判别式一元二次方程根的判别式的多种应用

一元二次方程根的判别式的多种应用 一元二次方程根的判别式用来判断一元二次方程根的情况，能帮助我们解一元二次方程，也是以后学习一些知识的基础，在解题中应用很多，举例如下： 一、 不解方程，判断一元二次方程根的情况。 例1、判断下列方程根的情况 2x2+x━1=0；x2—2x—3=0；x2—6x+9=0；2x2+x+1=0 二、 已知一元二次方程根的情况，求方程中字母系数所满足的条件。 例2、当m为何值时关于x的方程（m—4）x2—（2m—1）x+m=0 有两个实数根？ 简解：当Δ=[-（2m-1）]2-4（m-4）m≥0时，原方程有两个实数根， ∴4m2-4m+1-4m2+16m≥0，解得m≥- 又∵m-4≠0 ∴m≠4 ∴当m≥- 且m≠4时，原方程有两个实数根。 例3、当m分别取何值时关于x的方程（m-1）x2+（2m-1）x+m-1=0 l 有两个不相等的实数根 l 有两个相等的实数根 l 有两个实数根 l 有一个实数根 l 有实数根 l 无实数根 评析：初中阶段的根的判别式Δ=b2-4ac是相对于一元二次方程而言的，而ax2+bx+c=0当a=0时是一元一次方程不能用判别式，所以例2中一定要考虑二次项系数m-4≠0；例3则一定要做分类讨论。 三、 证明方程根的性质。 例4、求证：无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。 简解：∵Δ=（m2+3）2-4╳0.5(m2+2)=m4+4m2+5=（m2+2）2+1>0 ∴无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。 评析：这种应用有两个难点：（1）是容易与（二）中求字母取值混淆，即用Δ≥0求m的取值范围；（2）是用配方法证明二次三项式的特性。 四、 判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。 例5、当m为何值时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围 内因式分解。 简解：当Δ=[-2（m+2）]2-4m（m+5）≥0时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围内因式分解。 ∴m≥4且m≠0。 评析：对于系数是有理数的二次三项式ax2+bx+c（a≠0）的因式分解，其方法是先求ax2+bx+c=0（a≠0）的根然后再代入，所以，判别式决定了二次三项式能否在实数范围内因式分解，即： Δ<0时不能在实数范围内因式分解； Δ≥0时能在实数范围内因式分解；进而当Δ为完全平方数时能在有理数范围内因式分解； 再进而当Δ=0时ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）=a（x-x1）2（a≠0），所以此时可以说它是完全平方式。 五、 判定二次三项式为完全平方式。 例6、若x2-2（k+1）x+k2+5是完全平方式，求k的值。 例7、当m为何值时，代数式（5m-1）x2-（5m+2）+3m—2是完全平方式。 六、 利用判别式构造一元二次方程。 例8、已知：（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0（x≠y） 求证：2y=x+z 简解：证明：以（x-y）、（z-x）、（y-z）为系数的一元二次方程 （x-y）t2+（z-x）t+（y-z）=0有两个相等的实数根 又∵（x-y）+（z-x）+（y-z）=0 ∴ t1=t2=1 由根与系数的关系可知： = t1t2=1 ∴2y=x+z 七、 限制一元二次方程的根与系数关系的应用。 例9、已知关于x的方程x2-（k-1）x-3k-2=0的两个实数根的平方和为17，求k的值。 简解：设方程的两个实数根为m、n，∴m+n=k-1，mn=-3k-2 ∴m2+n2=（m+n）2-2mn=k2+4k+5=17 ∴k1=-6，k2=2 又∵Δ=[--2（k-1）]2-4（-3k-2）=k2+10k+9 ∴当k1=-6时，Δ= k2+10k+9=-15<0，方程无实数根； 当 k2=2时，Δ= k2+10k+9=33>0方程有实数根。 故只取k=2。 评析：初中范围内，在应用韦达定理求字母取值时，其前提条件是使方程有实数根，即必须使所求字母的值满足Δ≥0，正如应用判别式时一定要考虑二次项系数，即对于ax2+bx+c=0（a≠0），可按如下顺序求字母取值： a——Δ——韦达定理。 八、 与几何知识相联系的问题。 例10、已知方程a（x2+1）-2bx+c（x2-1）=0有两个相等的实数根，a、b、c为一三角形的三条边，求此三角形的形状。 例11、已知a、b、c为直角三角形的三条边，c为斜边，求证：关于x的方程 x2-2（a+b）x+c2+ab=0有两个相等的实数根。 简解：证明：Δ=[-2（a+b）]2-4（c2+ab）=4（a2+b2-c2） ∵a、b、c为直角三角形的三条边，c为斜边 ∴Δ=a2+b2-c2 =0 ∴原方程有两个相等的实数根。 在以后的学习中，判别式的应用也非常频繁，在与其他知识的综合运用时更显得尤为重要。 九、 判断其他类方程根的情况。 例12、分式方程 无实数根，求m的取值范围。 例13、a、b、c为一三角形的三条边长，若方程ax-y+bc=0与方程x2-ax-y+b2=0只有一组公共的实数解，求次三角形的形状。 十、 解决二次函数的相关问题。 例14、若抛物线y=x2-ax+8的顶点在横轴上，求a值。 例15、求证：无论m为何值，二次函数y= x2-（m+4）x+2（m-1）总与横轴有两个交点。 例16、直线y=3x-3与 y=x2-x+1有几个交点？ 评析：二次函数与二次方程有密切的联系，抛物线与横轴交点个数由Δ决定，即Δ>0时，有两个交点；Δ=0时，有一个交点（或者说顶点在横轴上）；Δ<0时没有交点（或者说当a>0时函数值恒为正，当a<0时函数值恒为负）。 十一、求最值问题。 例17、已知x为任意实数，求的最值。 简解：设=y，整理得：（y-1）x2-x-2=0 ∵x≠0 ∴ 在y-1≠0时Δ=1+8（x-1）≥0 即：y≥且y≠1，当y=1时，x=-2 ∴的最小值为 十二、巧解方程（组）。 例18、求方程2x2-2xy+y2-2x+1=0的实数解。 简解：方程变形为2x2-2（y+1）x+y2+1=0 Δ=[-2（y+1）]2-4（y2+1）╳2≥0 化简得：-（y-1）2≥0 ，而-（y-1）2≤ 0 ∴-（y-1）2=0 即y=1 ∴代入方程得：x1=x2=1 十三、证明恒等式。 例19、若a、b、c为实数，且a（a-b）+b（b-c）+c（c-a）=0 求证：a=b=c 简解：视a为主元，整理得：a2-（b+c）a+（b2-bc+c2 ）=0 ∵a为实数，∴Δ=[-（b+c）]2-4（b2-bc+c2）≥0 解得：b=c，代入上式得a=b，故a=b=c。 由以上例题可以看出一元二次方程的判别式在初中中占有非常重要的地位，也是学习某些知识的基础。在中考试题和竞赛中常有出现。 附：（中考试题和竞赛试题精选） 1、不解方程，判别方程2x2+3x-4=0的根的情况（ ） A、 有两个相等的实数根。B、有两个不相等的实数根。 C、 有一个实数根。D、无实数根 （2002年武汉市中考数学试题） 2、已知关于x的方程0.25x2- (m-3)x+m2=0有两个不相等的实数根，那么m的最大整数值是（ ）。A、2 B、1 C、0 D－1 （２００２年四川省中考数学试题） 3、已知关于x的方程x2－2x+k=0有实数根，则k的取值范围是（　　　　） 　 A、k<1 B、k≤1 C、 k≤-1 D、k≥--1 （2002年辽宁省中考数学试题） 4、已知a、b、c是一个三角形三条边的长，那么方程cx2+(a+b)x+0.25c=0的根的情况是（ ）。 A、无实数根。 B、有两个不相等的正实数根。C、有两个不相等的负实数根。 D、 有两个异号的实数根。 （2002年河南省中考数学试题） 5、关于x的一元二次方程x2—(k+1)x+k=0的根的情况是（ ）。 A、 有两个不相等的实数根。B、总有实数根。C、有两个相等的实数根。 D、 实数根。（2002年包头市中考数学试题） 6、关于x的方程x2—2x+k=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）。（2002年南昌市中考数学试题） 7、如果方程组 只有一个实数解，则m的取值是（ ）。 （2002年厦门市中考数学试题） 8、已知关于x的方程x2—x+a=0的两个实数根的平方的倒数和为3，则a=（ ）。 （2002年嘉兴市中考数学试题） 9、m>2时，关于x、y的方程组的实数解有（ ）个。 10、已知关于x的方程x2—kx-2=0,求证：方程总有两个不相等的实数根。（2002年南京市中考数学试题） 11、已知:二次函数y=x2+ax+a-2 求证：〈1〉不论a取何值，抛物线y=x2+ax+a-2的顶点总在横轴下方。 〈2〉是否存在a的值使抛物线y=x2+ax+a-2在横轴上截得的线段长为1？ （2002年杭州市中考数学试题） 12、已知x1x2是一元二次方程 4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根，是否存在实数k，使（2x1-x2）（x1-2x2）= -1.5，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。 (2002年四川省中考数学试题) 13、是否存在这样的非负整数m，使关于x的一元二次方程m2x2-(2m-1)x+1=0有两个实数根？若存在请求出m的值；若不存在，请说明理由。 14、若方程x2+2px-q=0(p、q为实数)没有实数根。 a) 求证：p+q<0.25 b) 试写出上述命题的逆命题。 c) 判断〈2〉中逆命题是否正确，若正确请加以证明；若不正确请举一反例说明。 15、已知关于x的方程（n-1）x2+mx+1=0 <1>有两个相等的实数根。 i. 求证：关于y的方程m2y2-2my-m2-2n2+3=0 <2>必有两个不相等的实数根。 ii. 若方程〈1〉的一根的相反数恰好是方程〈2〉的一根求代数式m2n+12n的值。（2002年北京市海淀区中考数学试题） 16、若三个方程x2+4ax-4a+3=0；x2+(a-1)x+a2=0；x2+2ax-2a=0至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围。 17、若a、b、c、d都是实数，且满足a2d2+b2(d2+1)+c2+2b(a+c)d=0,求证：b2=ac。 18、已知：a、b、c三数满足方程组，试求方程bx2+cx-a=0的根。（2002年全国初中数学联合竞赛试题） 19、已知a、b、c为实数，a-b=8，ab+c2+16=0，求证：a+b+c=0 20、已知0.25(b-c)2=(a-b)(c-a)且a≠0,则(b+c)/a的值是_____. 21、ΔABC的三边满足b+c=8,bc=a2-12a+52,试问ΔABC是什么三角形（按边分类）并证明你的结论。（第九届“缙云杯”初中数学邀请赛试题） PAGE 2