圆锥曲线高中理科数学解题方法篇(圆锥曲线)

攻克圆锥曲线解答题的策略 摘要:为帮助高三学生学好圆锥曲线解答题，提高成绩，战胜高考，可从四个方面着手：知识储备、方法储备、思维训练、强化训练。 关键词：知识储备 方法储备 思维训练 强化训练 第一、知识储备： 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率 ②点到直线的距离 ③夹角： EMBED Equation.DSMT4 （3）弦长公式 直线 上两点 间的距离： 或 （4）两条直线的位置关系 ① =-1 ② 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） 方程： 距离式方程： 参数方程： (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程： 距离式方程： (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？ (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？ 如：已知 是椭圆 的两个焦点，平面内一个动点M满足 则动点M的轨迹是（ ） A、双曲线；B、双曲线的一支；C、两条射线；D、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式： （其中 ） (6)、记住焦半径公式：（1） ，可简记为“左加右减，上加下减”。 （2） （3） (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备 1、点差法（中点弦问题） 设 、 ， 为椭圆 的弦 中点则有 ， ；两式相减得 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？ 设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式 ，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点 ，将这两点代入曲线方程得到 eq \o\ac(○,1) eq \o\ac(○,2)两个式子，然后 eq \o\ac(○,1)- eq \o\ac(○,2)，整体消元······，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为 ，就意味着k存在。 例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆 上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）. （1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程; （2）若角A为 ，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程. ：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率，从而写出直线BC的方程。第二问抓住角A为 可得出AB⊥AC，从而得 ，然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程； 解：（1）设B（ , ）,C( , EMBED Equation.3 ),BC中点为( ),F(2,0)则有 两式作差有 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (1) F(2,0)为三角形重心，所以由 ，得 ，由 得 ，代入（1）得 直线BC的方程为 2)由AB⊥AC得 （2） 设直线BC方程为 ，得 ， 代入（2）式得 ，解得 或 直线过定点（0， ，设D（x,y），则 ，即 所以所求点D的轨迹方程是 。 4、设而不求法 例2、如图，已知梯形ABCD中 ，点E分有向线段 所成的比为 ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当 时，求双曲线离心率 的取值范围。 分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系 ，如图，若设C ，代入 ，求得 ，进而求得 再代入 ，建立目标函数 ，整理 ，此运算量可见是难上加难.我们对 可采取设而不求的解题策略, 建立目标函数 ，整理 ,化繁为简. 解法一：如图，以AB为垂直平分线为 轴，直线AB为 轴，建立直角坐标系 ，则CD⊥ 轴因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于 轴对称 依题意，记A ，C ，E ，其中 为双曲线的半焦距， 是梯形的高，由定比分点坐标公式得 ， 设双曲线的方程为 ，则离心率 由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和 代入双曲线方程得 ， ① ② 由①式得 ， ③ 将③式代入②式，整理得 ， 故 由题设 得， 解得 所以双曲线的离心率的取值范围为 分析：考虑 为焦半径,可用焦半径公式, 用 的横坐标表示，回避 的计算, 达到设而不求的解题策略． 解法二：建系同解法一， ， ，又 ，代入整理 ，由题设 得， 解得 所以双曲线的离心率的取值范围为 5、判别式法 例3已知双曲线 ，直线 过点 ，斜率为 ，当 时，双曲线的上支上有且仅有一点B到直线 的距离为 ，试求 的值及此时点B的坐标。 分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B作与 平行的直线，必与双曲线C相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式 . 由此出发，可设计如下解题思路： 解题过程略. 分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线 的距离为 ”，相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路： 简解：设点 为双曲线C上支上任一点，则点M到直线 的距离为： 于是，问题即可转化为如上关于 的方程. 由于 ，所以 ，从而有 于是关于 的方程 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 由 可知： 方程 的二根同正，故 恒成立，于是 等价于 . 由如上关于 的方程有唯一解，得其判别式 ，就可解得 . 点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性. 例4已知椭圆C: 和点P（4，1），过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q，使 ，求动点Q的轨迹所在曲线的方程. 分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的. 由于点 的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率 作为参数，如何将 与 联系起来？一方面利用点Q在直线AB上；另一方面就是运用题目条件： 来转化.由A、B、P、Q四点共线，不难得到 ，要建立 与 的关系，只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可. 通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数. 在得到 之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于 的方程（不含k），则可由 解得 ，直接代入 即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。 简解：设 ，则由 可得： ， 解之得： （1） 设直线AB的方程为： ，代入椭圆C的方程，消去 得出关于 x的一元二次方程： （2） ∴ 代入（1），化简得： (3) 与 联立，消去 得： 在（2）中，由 ，解得 ，结合（3）可求得 故知点Q的轨迹方程为： （ ）. 点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到. 这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道. 6、求根公式法 例5设直线 过点P（0，3），和椭圆 顺次交于A、B两点，试求 的取值范围. 分析：本题中，绝大多数同学不难得到： = ，但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系. 分析1: 从第一条想法入手， = 已经是一个关系式，但由于有两个变量 ，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB的斜率k. 问题就转化为如何将 转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于 的一元二次方程，其求根公式呼之欲出. 简解1：当直线 垂直于x轴时，可求得 ; 当 与x轴不垂直时，设 ，直线 的方程为： ，代入椭圆方程，消去 得 解之得 因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑 的情形. 当 时， ， ， 所以 = = = . 由 , 解得 ， 所以 ， 综上 . 分析2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定 的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与 联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于 不是关于 的对称关系式. 原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于 的对称关系式. 简解2：设直线 的方程为： ，代入椭圆方程，消去 得 （*） 则 令 ，则， 在（*）中，由判别式 可得 ， 从而有 ，所以 ，解得 . 结合 得 . 综上， . 点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法. 解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里. 第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。通过编写思维来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力。 例6椭圆长轴端点为，为椭圆中心，为椭圆的右焦点，且，． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）记椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，问：是否存在直线，使点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程;若不存在，请说明理由。 思维流程： （Ⅰ） （Ⅱ） 消元 解题过程： （Ⅰ）如图建系，设椭圆方程为,则 又∵即 ，∴ 故椭圆方程为 （Ⅱ）假设存在直线交椭圆于两点，且恰为的垂心，则 设，∵，故， 于是设直线为 ，由得， ∵ 又 得 即 由韦达定理得 解得或（舍） 经检验符合条件． 点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向量乘积为零． 例7、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点． （Ⅰ）求椭圆的方程： （Ⅱ）若点D为椭圆上不同于、的任意一点，，当Δ 内切圆的面积最大时，求Δ 内心的坐标； 思维流程： （Ⅰ） （Ⅱ） 解题过程： （Ⅰ）设椭圆方程为 EMBED Equation.3 ，将、、代入椭圆E的方程，得 解得.∴椭圆的方程 ． （Ⅱ），设Δ 边上的高为 当点在椭圆的上顶点时，最大为，所以 的最大值为． 设Δ 的内切圆的半径为，因为Δ 的周长为定值6．所以， 所以的最大值为．所以内切圆圆心的坐标为. 点石成金： 例8、已知定点 及椭圆 ，过点 的动直线与椭圆相交于 两点. （Ⅰ）若线段 中点的横坐标是 ，求直线 的方程； （Ⅱ）在 轴上是否存在点 ，使 为常数？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 思维流程： （Ⅰ）解：依题意，直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ， 将 代入 ， 消去 整理得 设 则 由线段 中点的横坐标是 ， 得 ，解得 ，符合题意。 所以直线 的方程为 ，或 . （Ⅱ）解：假设在 轴上存在点 ，使 为常数. ① 当直线 与 轴不垂直时，由（Ⅰ）知 所以 将 代入，整理得 EMBED Equation.DSMT4 注意到 是与 无关的常数， 从而有 ， 此时 ② 当直线 与 轴垂直时，此时点 的坐标分别为 ，当 时， 亦有 综上，在 轴上存在定点 ，使 为常数. 点石成金： 例9、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线 在y轴上的截距为m（m≠0）， 交椭圆于A、B两个不同点。 （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求m的取值范围； （Ⅲ）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形. 思维流程： 解：（1）设椭圆方程为 则 ∴椭圆方程为 （Ⅱ）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m 又KOM= 由 ∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点， （Ⅲ）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可 设 则 由 而 故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形. 点石成金：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形 EMBED Equation.3 例10、已知双曲线 的离心率 ，过 的直线到原点的距离是 （1）求双曲线的方程； （2）已知直线 交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值. 思维流程： 解：∵（1） 原点到直线AB： 的距离 . 故所求双曲线方程为 （2）把 中消去y，整理得 . 设 的中点是 ，则 即 故所求k=± . 点石成金: C，D都在以B为圆心的圆上 BC=BD BE⊥CD; 例11、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （II）若直线 y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标． 思维流程： 解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为 ， 由已知得： ， 椭圆的标准方程为 ． （II）设 ． 联立 得 ，则 又 ． 因为以 为直径的圆过椭圆的右顶点 ， ，即 . ． ． ． 解得： ，且均满足 ． 当 时， 的方程 ，直线过点 ，与已知矛盾； 当 时， 的方程为 ，直线过定点 ． 所以，直线 过定点，定点坐标为 ． 点石成金：以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点 CA⊥CB; 例12、已知双曲线 的左右两个焦点分别为 ,点P在双曲线右支上. （Ⅰ）若当点P的坐标为 时, ,求双曲线的方程； （Ⅱ）若 ,求双曲线离心率 的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程. 思维流程： 解：（Ⅰ）(法一)由题意知, EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 （1分） 解得 . 由双曲线定义得: EMBED Equation.3 , 所求双曲线的方程为: (法二) 因 ,由斜率之积为 ,可得解. （Ⅱ）设 , (法一)设P的坐标为 , 由焦半径公式得 , , EMBED Equation.3 ， 的最大值为2,无最小值. 此时 , 此时双曲线的渐进线方程为 (法二)设 , . (1)当 时, , 此时 . (2)当 ,由余弦定理得: EMBED Equation.3 , , ,综上, 的最大值为2,但 无最小值. (以下法一) 把直线l’的方程代入双曲线方程，消去y，令判别式� EMBED Equation.3 ��� 直线l’在l的上方且到直线l的距离为� EMBED Equation.3 ��� 转化为一元二次方程根的问题 求解 问题 关于x的方程� EMBED Equation.3 ���有唯一解 将直线方程代入椭圆方程，消去y，利用韦达定理 利用点Q满足直线AB的方程：y = k (x—4)+1，消去参数k 点Q的轨迹方程 � EMBED Equation.2 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� 所求量的取值范围 把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程 xA= f（k），xB = g（k） 得到所求量关于k的函数关系式 求根公式 AP/PB = —（xA / xB） 由判别式得出k的取值范围 把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程 xA+ xB = f（k），xA xB = g（k） 构造所求量与k的关系式 关于所求量的不等式 韦达定理 AP/PB = —（xA / xB） 由判别式得出k的取值范围 由椭圆经过A、B、C三点 设方程为� EMBED Equation.3 ��� 得到� EMBED Equation.3 ���的方程组 解出� EMBED Equation.3 ��� 由� EMBED Equation.3 ���内切圆面积最大 转化为� EMBED Equation.3 ���面积最大 转化为点� EMBED Equation.3 ���的纵坐标的绝对值最大最大 � EMBED Equation.3 ���为椭圆短轴端点 � EMBED Equation.3 ���面积最大值为� EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� 得出� EMBED Equation.3 ���点坐标为� EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� 写出椭圆方程 由� EMBED Equation.DSMT4 ���，� EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ���，� EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� 由F为� EMBED Equation.DSMT4 ���的重心 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� 两根之和， 两根之积 � EMBED Equation.DSMT4 ��� 得出关于 m的方程 解出m 第 2 页 共 16 页 _1300183359.unknown _1313937527.unknown _1338636315.unknown _1340166278.unknown _1340166526.unknown _1340167357.unknown _1340192112.unknown _1340192407.unknown _1340192488.unknown _1340192380.unknown _1340169208.unknown _1340166627.unknown _1340166429.unknown _1340166518.unknown _1340166410.unknown _1340166008.unknown _1340166178.unknown _1340166198.unknown _1340166036.unknown _1340165909.unknown _1340165952.unknown _1340018969.unknown _1340165890.unknown _1340018935.unknown _1324536304.unknown _1324539361.unknown _1324664573.unknown _1324665355.unknown _1324666412.unknown _1324666935.unknown _1324667244.unknown _1324666664.unknown _1324665839.unknown _1324664931.unknown _1324665025.unknown _1324664827.unknown _1324540018.unknown _1324620038.unknown _1324664457.unknown _1324540039.unknown _1324539814.unknown _1324539829.unknown _1324539926.unknown _1324539495.unknown _1324539120.unknown _1324539184.unknown _1324538853.unknown _1324539020.unknown _1324536374.unknown _1320300960.unknown _1324536147.unknown _1324536148.unknown _1324536212.unknown _1313937712.unknown _1313937689.unknown _1300185323.unknown _1313935813.unknown _1313936946.unknown _1313937336.unknown _1313936202.unknown _1313936222.unknown _1313936546.unknown _1313936010.unknown _1300554234.unknown _1300554315.unknown _1313044983.unknown _1300554199.unknown _1300186138.unknown _1300184517.unknown _1300184837.unknown _1300185171.unknown _1300184694.unknown _1300183848.unknown _1300184224.unknown _1300183664.unknown _1224692407.unknown _1266558732.unknown _1300182886.unknown _1300183088.unknown _1300183138.unknown _1300182946.unknown _1266663546.unknown _1266678274.unknown _1267092390.unknown _1300182730.unknown _1267092371.unknown _1267016131.unknown _1266664253.unknown _1266664438.unknown _1266584686.unknown _1266663354.unknown _1266558821.unknown _1243063585.unknown _1265528153.unknown _1266153467.unknown _1266153667.unknown _1266153822.unknown _1266558645.unknown _1266153731.unknown _1266153569.unknown _1266153666.unknown _1265805457.unknown _1265806343.unknown _1265807245.unknown _1265807946.unknown _1265808038.unknown _1265808110.unknown _1265808160.unknown _1265807967.unknown _1265807878.unknown _1265807069.unknown _1265807202.unknown _1265806684.unknown _1265805612.unknown _1265805625.unknown _1265805489.unknown _1265805416.unknown _1265805435.unknown _1265528172.unknown _1265804293.unknown _1265528161.unknown _1265527813.unknown _1265527892.unknown _1265528017.unknown _1265528146.unknown _1265527850.unknown _1243063746.unknown _1243081658.unknown _1252651352.unknown _1255801358.unknown _1252651812.unknown _1243081659.unknown _1243063793.unknown _1243081655.unknown _1243081657.unknown _1243063800.unknown _1243063807.unknown _1243063780.unknown _1243063785.unknown _1243063762.unknown _1243063719.unknown _1243063734.unknown _1243063739.unknown _1243063729.unknown _1243063645.unknown _1243063703.unknown _1243063622.unknown _1234567978.unknown _1243063299.unknown _1243063404.unknown _1243063563.unknown _1243063579.unknown _1243063434.unknown _1243063340.unknown _1243063367.unknown _1243063327.unknown _1234567984.unknown _1243060452.unknown _1243063284.unknown _1234567986.unknown _1234567981.unknown _1234567983.unknown _1234567979.unknown _1224692787.unknown _1234567974.unknown _1234567976.unknown _1234567977.unknown _1234567975.unknown _1224692885.unknown _1224692921.unknown _1224692871.unknown _1224692560.unknown _1224692741.unknown _1224692754.unknown _1224692699.unknown _1224692482.unknown _1224692516.unknown _1224692453.unknown _1082087194.unknown _1224691535.unknown _1224691986.unknown _1224692121.unknown _1224692178.unknown _1224692355.unknown _1224692145.unknown _1224692086.unknown _1224692100.unknown _1224692063.unknown _1224691947.unknown _1224691966.unknown _1224691971.unknown _1224691957.unknown _1224691882.unknown _1224691924.unknown _1224691698.unknown _1224691834.unknown _1082483616.unknown _1104750735.unknown _1105107842.unknown _1142618343.unknown _1224691415.unknown _1142620819.unknown _1142621601.unknown _1142622038.unknown _1142622385.unknown _1158988024.unknown _1158988058.unknown _1142699173.unknown _1142622437.unknown _1142622143.unknown _1142622186.unknown _1142622052.unknown _1142621681.unknown _1142621728.unknown _1142621643.unknown _1142621546.unknown _1142621581.unknown _1142621078.unknown _1142621112.unknown _1142619246.unknown _1142619516.unknown _1142619939.unknown _1142620012.unknown _1142619808.unknown _1142619324.unknown _1142618945.unknown _1142619061.unknown _1142618433.unknown _1142617485.unknown _1142617975.unknown _1142618200.unknown _1142618304.unknown _1142618058.unknown _1142617515.unknown _1142617547.unknown _1142617497.unknown _1142617507.unknown _1142616951.unknown _1142617077.unknown _1142617306.unknown _1142617316.unknown _1142617099.unknown _1142615576.unknown _1142616378.unknown _1142616436.unknown _1142615491.unknown _1104750759.unknown _1105107679.unknown _1105107779.unknown _1105107656.unknown _1104750748.unknown _1104750755.unknown _1104750744.unknown _1082703620.unknown _1082708732.unknown _1104750721.unknown _1104750730.unknown _1082709736.unknown _1082707021.unknown _1082708709.unknown _1082708196.unknown _1082703681.unknown _1082514188.unknown _1082619859.unknown _1082668956.unknown _1082703476.unknown _1082669095.unknown _1082702915.unknown _1082620044.unknown _1082620320.unknown _1082664853.unknown _1082620068.unknown _1082619897.unknown _1082515114.unknown _1082515246.unknown _1082619819.unknown _1082515190.unknown _1082514893.unknown _1082514901.unknown _1082514871.unknown _1082484375.unknown _1082514059.unknown _1082484271.unknown _1082483977.unknown _1082147511.unknown _1082150481.unknown _1082152383.unknown _1082154280.unknown _1082154855.unknown _1082172675.unknown _1082156423.unknown _1082154333.unknown _1082154166.unknown _1082152692.unknown _1082152156.unknown _1082152208.unknown _1082150586.unknown _1082149508.unknown _1082150475.unknown _1082150050.unknown _1082148011.unknown _1082144447.unknown _1082144898.unknown _1082147375.unknown _1082145529.unknown _1082144755.unknown _1082144765.unknown _1082144420.unknown _1082144429.unknown _1082144200.unknown _1028199129.unknown _1081861512.unknown _1081964847.unknown _1082048101.unknown _1082049416.unknown _1082049488.unknown _1082049071.unknown _1082049147.unknown _1082049277.unknown _1082049074.unknown _1082048173.unknown _1081966838.unknown _1081967744.unknown _1081967944.unknown _1081968040.unknown _1081968078.unknown _1081967886.unknown _1081967304.unknown _1081967320.unknown _1081967004.unknown _1081966672.unknown _1081966705.unknown _1081966743.unknown _1081966655.unknown _1081965047.unknown _1081964323.unknown _1081964495.unknown _1081964749.unknown _1081964483.unknown _1081964357.unknown _1081964437.unknown _1081865366.unknown _1081867396.unknown _1081862167.unknown _1081825860.unknown _1081860645.unknown _1081861016.unknown _1081861459.unknown _1081860816.unknown _1081860888.unknown _1081860560.unknown _1081825800.unknown _1081825837.unknown _1081825846.unknown _1081825817.unknown _1081825808.unknown _1028199220.unknown _1079724339.unknown _1081825714.unknown _1028199262.unknown _1028199169.unknown _1028198275.unknown _1028198695.unknown _1028199034.unknown _1028199077.unknown _1028198795.unknown _1028198913.unknown _1028198725.unknown _1028198436.unknown _1028198601.unknown _1028198659.unknown _1028198533.unknown _1028198362.unknown _1028198397.unknown _1028198344.unknown _1028093519.unknown _1028198093.unknown _1028198248.unknown _1028198078.unknown _1028093547.unknown _1028198058.unknown _1028093405.unknown _1028093423.unknown _947495525.unknown _1028093367.unknown _947409669.unknown _947491620.unknown _947407376.unknown