高等数学A教案《高等数学》（A）教案第三章

讲授内容：§3.1 微分中值定理 教学目的与要求： 1、 理解罗尔定理，拉格朗日中值定理的几何意义及定理成立的条件. 2、 熟练掌握罗尔定理，拉格朗日中值定理的应用. 3、 了解柯西中值定理. 4、 了解罗尔定理，拉格朗日中值定理的证明过程. 重难点：重点——罗尔定理，拉格朗日中值定理的应用. 难点——柯西中值定理的应用. 教学方法：讲授法 教学建议：1、借助几何图形引入罗尔定理的证明思路. 2、对拉格朗日中值定理的证明，一方面是借助几何图形构造函数 . 另一方面也可直接从结论入手构造函数 . 学时：3学时 上一章我们研究了导数，本章我们将利用导数这一工具来研究函数的某些性态，为此先介绍微分中值定理。因为它们是导数应用理论的基础 1、 罗尔定理 为介绍罗尔定理，我们先介绍费马引理 1. 费马引理: 设 在 内有定义，且在 处可导，若 有 [或 ]，则 . 思想：因为是抽象函数，所以求导公式、法则都无能为力，只能借助于导数定义（也是最后一道防线）。 证明：不妨设 时,有 .则对 ,有 即 当∆x>0时, ; 当∆x<0时, ; 从而 ; ; 于是 f′(x0)= 0 定义：称满足 的点为驻点（或稳定点,或临界点）. 2. 罗尔定理:如果函数 满足： ⑴ ⑵ ⑶ 那么在 内至少存在一点 ,使得: . 思路：由引理及图形知在 内部找一局部最值，为确保在 内找到最值，分两种情形讨论。 证明：因为 ,所以 在 内有最大值M和最小值m. 以下分两种情形讨论: 1） m.此时f(x)在[a,b]上必然取得相同的值f(x)=M. 此时有f′(x)=0,即 对(ξ∈(a,b),有f′(ξ)=0. 2） M>m.由于f(a)=f(b),所以M和m中至少有一个不等于f(x)在[a,b]上的函数值. 不妨设:M≠f(a).则在(a,b)内必有ξ使得f(ξ)=M. 即(x([a,b],有f(x)≤f(ξ). 有费马引理得: . 注：1、定理条件说明：①是充分条件，缺少也有可能成立。 ②缺一也能找到反例。 2、应用定理时，①首先是针对可导函数而言，②关键是构造一个满足定理条件的函数，③用于证明导函数方程有根。 3、几何意义：水平切线或平行弦 例1. 验证罗尔定理对函数y=lnsinx在区间[π/6,5π/6]上的正确性. 证明：显然函数在区间[π/6,5π/6]上连续,在(π/6,5π/6)上可导,且有 y(π/6)=y(5π/6)=ln1/2. 令y′=cotx=0,则有:x=π/2,因此存在ξ=π/2∈(π/6,5π/6),使得y′(ξ)=0. 例2. 不求函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)的导数,说明方程f′(x)=0的根的个数, 并指出根所在的区间. 解：由于f(1)=f(2)=0,且f(x)在[1,2]上连续,可导,且当x∈(1,2)时f(x)≠0 从而存在点ξ1∈[1,2]使得f′(ξ1)=0; 同理存在ξ2∈[2,3],ξ3∈[3,4]使得f′(ξ2)= f′(ξ3)=0. 例3. 证明无论C为何实数值,方程 在 上至多有一个实数根. 思路：“至少有一”四个字的最有力证明是假设不只一个。 证明:“反证法”假设方程 在 上有两个实数根 ，且 .则 f(x)= x3-3x+C在[0,1]上连续，可导且f(ξ1)=f(ξ2)=0， 于是f(x)在 上满足罗尔定理的条件, 从而，存在 使得 . 但 只有两个根 和1,且此两个根显然不在(ξ1,ξ2) (0,1)内,矛盾，所以原命正确. 例4. 设 在 内可导， ， 求证方程 在 内有根. 思路：首先方程中出现了导数 .即是一个与导数相关的方程的根的存在性，所以可用罗尔定理证明是一个不可拒绝的选择，问题是对哪个函数用罗尔定理。记函数为 ，即 就应该是 . 亦 ，所以 。 证明： 在 内连续，在 可导，且 ， 完全满足罗尔定理的条件，所以 ，使得 . 即 有根. 例5. 设 在 内可导， . 求证： . 思路：第一步：构造函数 . 由 . 所以 第二步：验证 是否满足罗尔定理条件。 事实上：条件1） 2）显然满足，关键是否满足条件3）. 由此 与 并不相等. 但还有一条件没用到 . 观察三个点的函数值，见下图（画图时，先标三个点，后随意连线） 注意到，我们只要找两个点的函数值相等，显然在虚线的上方，相等的函数值有许多。（要从理论上说清楚）. 如： ，又 而第一个值在后两个值之间。 依介值定理 使 . 于是在 中用罗尔定理， . 注：当 已知，而 未知时，但可借助于介值定理找 点附近的点 ，使 . 2、 拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理: 如果函数y=f(x) ⑴ ⑵ 那么在(a,b)内至少存在一点ξ (a<ξb也成立. ② 拉格朗日公式的其它形式: 当 时,则在区间 (x>0)或区间 (Δx<0)上有： (0<θ<1). 或 (0<θ<1). 此公式表明当Δx有限时，Δy有精确值，定理也称为有限增量定理. ③ 拉格朗日定理是罗尔定理的推广 作为拉格朗日中值定理的推论，给出如下结果。 定理: 如果函数 在区间I上的导数恒为零,那么 在区间I上时一个常数. 证明：在区间I上任取 ,则有 由假定: ，所以： .即： . 注： （常数） 例6. 证明等式: . 证明：设 ，则 ,从而 . 例7. 证明:当 时, 思路：请看公式 原本是等式，但 的具体值未知却知道范围，正因为如此，如将 或 又会得到什么式子呢？也许就能得到左右两边的不等式，于是中间的哪个函数就是我们用拉格朗日中值公式的对象。 即 如设 ， 则 在 上用拉格朗日公式。 又如 则 在 上用拉格朗日公式。 证明：设 ，则f(x)在[0,x]上满足拉格朗日中值定理的条件, 于是有: 由于 , 所以上式为: 又 ，所以： EMBED Equation.3 . 即， . 注：应用拉格朗日中值公式证明不等式注意如下四点： 1 构造适合的函数。 2 选定恰当的区间。 3 依 的范围得到相应的不等式。 4 凡适合用拉格朗日中值公式证明的不等式或多或少留有函数值差的踪影。 例8. 当 时，求证： . 思路：“问：函数值的差呢？”为此将原式变形为： 解： 令 ，则有 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . （ ） 例9. 设 在 内有二阶导数，曲线 与连结两端的弦交于点 ，其中 ，证明 使 . 思路：由结果 来看要用到罗尔定理，到底怎样，请看草图 就 而言，罗尔定理的条件3）是不可能满足的，只能暂时排除罗尔定理，还是将注意力放在拉格朗日公式上，请注意到P点这一条件，同时把注意力放到弦上，而弦的斜率是一个。因此分别在 ， 上用拉格朗日公式。 证 明： ………………..(1) ………………..(2) 而(1)，(2)两式左端相等， 所以 而在 上对用罗尔定理，得 . 此例再次让我们看到了几何图形对证明思路所提供的帮助。 3、 柯西中值定理： 柯西中值定理:如果函数 和 满足 ⑴ ⑵ ,且 则在 内至少存在一点 ，成立等式: = . 注： ① 是拉格朗日公式的推广， ② 用与两个函数。 ③ 分母的函数 满足 例10．设 在 内可导，且 ， ， ，则 . 思路：首先这里涉及到两个可导函数，且有一导函数不等于0，完全满足柯西公式的条件。将结果边形为 再变形为 证明： ，即有 . 例11 . 函数 在 的某邻域内具有n阶导数,且 .求证： (0<θ<1) 证明：设 ,则 和 在 (或 )上满足柯西中值定理. 即 ，使得 . 在 上,函数 和 满足柯西中值定理, 即 ，使得 EMBED Equation.3 同理： = .由于 所以， (0<θ<1) 作业：高等数学A练习册习题十七 教学后记： 1、学生对结论的充分性掌握较好，但必要性欠佳． 2、对构造（函数）性的证明思路不够清晰． 3、综合性的题训练不够（如例5，学生在听讲时，感觉是被动的）． 教学参考书： 思考题：设 在 内连续，在 内可导，且 ， ， 证明 EMBED Equation.DSMT4 . 教学内容： §3.2洛必达法则 教学目的与要求：1、理解洛必达法则定理1、2的条件. 2、熟练掌握洛必达法则的应用，针对七种不定型能应用自如 3、理解化简的重要性. 重难点：重点——七种不定型的求极限. 难点——较复杂题型计算过程中的化简 教学方法：讲授法 教学建议：结合实例讲清定理条件的重要性，化简的重要性，以及哪些不能用法则或用法则做不简. 学时：3学时 在前面章节中介绍了许多求极限的方法，但它们都有局限性，为此介绍一种更有效的求极限的方法——洛必达法则。 当x→a(或x→∞)时，f(x), F(x)→0(或f(x),F(x)→∞)，称极限 为未定式. 记为： 或 . 1、 未定式 或 的求法. 定理：设1）x→a时,f(x)和F(x)→0； 2） 在点a的某个去心邻域内,f′(x)和F′(x)存在,且F′(x)≠0； 3） 存在(或为∞)， 那么 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 …………………..(1) 思路：从结果的结构上看很象柯西公式，为此对 需做一定补充. 证明：定义f(a)=F(a)=0， 则f(x)和F(x)在[x,a]或[a,x]上满足柯西中值定理的条件,而且左端完全是柯西公式的左端了， = = (ξ在a与x之间). 令x→a,则有ξ→a,于是： EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . 当f′(x)和F′(x)满足定理的条件时,可以继续使用，即： EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . 对x→∞时的未定式 及x→a或x→∞时的未定式 ,有相应的结论. 注 ：1、对单侧极限也真； 2、应用时尤要检查条件一； 3、使用过一次后，有可能仍是未定式，检查是否满足后可再用； 4、若使用后的结果不存在，也不是无穷大，则此做法不真； 例1. 求下列极限: 1） EMBED Equation.3 (b≠0) 解：原式= EMBED Equation.3 = 2） 错解：原式 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 =1 解：原式 EMBED Equation.3 = 3） EMBED Equation.3 解：原式= EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = 例2 求下列极限: 1) EMBED Equation.3 ( ) 解：原式= EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 =0. 注 ：幂函数 比对数函数 趋于无穷的速度要快得多，请看下题： 因 所以 2) (n为正整数,λ>0) 解：原式= EMBED Equation.3 =…= EMBED Equation.3 =0. 注 ：指数函数 比幂函数 趋于无穷大的速度要快得多. 2、 未定式0·∞;∞- ∞; 00; 1∞; ∞0的求法. 例3、求下列极限: 1) xnlnx (n>0) （0·∞型） 解：原式= EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = - =0 2) （∞- ∞型） 解：原式= EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 =0 注 ：前面题是通过简单的代数变形，转换成商的形式. 3) （00型） 解：原式= EMBED Equation.3 = = =1 4) EMBED Equation.3 （1∞型） 解：设y= 则lny= = 由于 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 • EMBED Equation.3 （注：分子的 不可替换成1） = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 =- 所以 原式= . 5) （∞0型） 解：记 则 由于 ， 所以 原式=1 注 ：后三例均为幂指函数的极限，它们的解题过程一般为 第一步：取对数 第二步：化为商 第三步：用法则 例4、请看如下题解 （错解） 不存在 （正解） 前者之所以得到错误的结论，是因为本题不满足罗必达法则的条件3. 例5、求下列极限: (下面是两个关于数列的例子) 1) EMBED Equation.3 解： 由于 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 =0； 所以 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 =1 从而 EMBED Equation.3 =1 2) EMBED Equation.3 (a,b,c均为正数) 解： = 因为 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = 所以 EMBED Equation.3 = 即 EMBED Equation.3 = = 例6、求常数a和n,使当x→0时,axn与ln(1-x3)+x3为等价无穷小. 解： EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = - 当n=6时, EMBED Equation.3 = 例7、设f′′(x0)存在,证明 =f′′(x0). 解： EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = f′′(x0). 此处不可再用罗必达法则了 例8、讨论函数f(x)= 在x=0处的连续性. 解：当x>0时,lnf(x)=ln = ·[ ln(1+x)-lne]= 强调代数化简的好处 所以 lnf(x)= EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 =-1/2 从而 由 f(x)=f(0)= = f(x)，所以函数在x=0处连续. 注：用罗必达法则求极限时，为了提高该法则的效益应注意如下三点： 　 （1）采取适当的代数化简. （2）利用极限乘积的运算法则化简，即极限不为0的乘积因式可尽早地用数值替换掉. （3）利用等价无穷小代换化简. 请参以下三个例子. 例9、 1) 2) 3) 解：1）属 型，为此先通分 原式 （此处直接利用法则很繁，所以先考虑化简，首先分母换成 ，再分成两项之积） . 3）属 型，不宜直接用法则. 原式 作业：高等数学A练习册习题十八 教学后记： 教学参考书： 思考题： 二阶可导，且 ， ，求 . （提示：只能用一次法则） 讲授内容： §3.3 泰勒公式 教学目的与要求：1、理解泰勒公式. 2、掌握泰勒公式的应用. 3、了解泰勒公式的证明. 重难点：重点——泰勒公式的应用. 难点——利用泰勒公式证明有关于抽象函数的等式或不等式. 教学方法：讲授法 教学建议：

分析

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泰勒公式的结构，从而搞清要证什么，有什么已有的公式可用．强调利用此公式证不等式是只能用拉格朗日余项，而求极限时用皮亚诺余项． 学时： 3学时 1、 泰勒公式 引言：设函数f(x)在x0处可导,则由微分公式有： f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)+o(x-x0)…………(＊) (＊)式的优点是f(x)可以用一个一次多项式来近似表示，而缺点存在函数的表示不够精确,且误差不易估计. 为了解决此问题,用一个高次多项式来近似表示函数,且使其误差容易估计这就是泰勒公式. 泰勒中值定理：如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数,则(x((a,b),有 f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)+ (x-x0)2+… (x-x0)n+Rn(x) ……(1) 其中Rn(x)= (x-x0)n+1, 这里ξ是x0与x之间的某个值， 称(1)式为泰勒公式. 注 ：1、记Pn(x )=f(x0)+f′(x0)(x-x0)+ (x-x0)2+… (x-x0)n， 我们称Pn(x )为泰勒多项式. 2、称Rn(x)= (x-x0)n+1为余项（拉格朗日余项）. 3、泰勒公式(1)由两部分组成，即f(x)= Pn(x ) + Rn(x) 4、容易证明 思路：要证明(2)式成立，即证f(x)- Pn(x)是否确能表示成Rn(x)的形式，这里f(x)是给定的，Pn(x)是由f(x)的条件可作出来的，所以关键是f(x)与Pn(x)之差怎样才能较换成Rn(x)的形式，为此将(2)式变形为 　　　 (3)式的左端为两函数的商，右端为导函数在 处的值，很自然会想到利用柯西中值公式，为此引进记号，将(3)式左端变形， 记 ， 同时注意到两组等式： （3）式变为： ………(4) 证明： = = (ξ1在x0与x之间), 同样函数Rn′(x)与(n+1)(x-x0)n在[x0,x]或[x,x0]满足柯西中值定理,即: = = (ξ2在x0与ξ1之间). 如此经过n+1次后,得： = , (ξ在x0与ξn之间,从而在x0与ξ之间) 由于 Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)， [因为pn(n+1)(x)=0] 所以 Rn(x)= (x-x0)n+1 这里ξ是x0与x之间的某个值. 余项Rn(x)的另一形式. 对某个固定的n值,如果(M>0,使得|f(n+1)(x)|≤M,则有余项估计式： |Rn(x)|=| (x-x0)n+1|≤ |x-x0|n+1 且 EMBED Equation.3 =0， 因此 Rn(x)=o[(x-x0)(n)]. 当不需要余项的精确表达式时,则n阶泰勒公式为: f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)+ (x-x0)2+… (x-x0)n+o[(x-x0)(n)] 此式称为Peano公式；Rn(x)= o[(x-x0)(n)] 称为Peano余项公式 公式(1)的两个特例： 1、特别当n=0时,有： f(x)=f(x0)+f′(ξ)(x-x0) (ξ在x与x0之间) 此为拉格朗日中值定理. 2、特别当x0=0时,即为麦克劳林公式: f(x)=f(0)+f′(0)x+ x2+…+ xn+ xn+1. (0<θ<1). 或 f(x)=f(0)+f′(0)x+ x2+…+ xn+o(xn). 于是 f(x)≈f(0)+f′(0)x+ x2+…+ xn. 且 |Rn(x)|≤ |x|n+1. 注：对给定的 ，公式（1）是唯一的，公式（2）当然也是唯一的. 2、 函数的泰勒展开 例1. 求函数f(x)=ex的n阶麦克劳林公式. 解：由于f′(x)=f′′(x)=…=f(n)(x)=ex. 所以f(0)=f′(0)=f′′(0)=…=f(n)(0)=1. ex=1+x+ x2+…+ xn+ xn+1. (0<θ<1). |Rn(x)|=| xn+1|<| |x|n+1. 当x=1时，则有： 1+1+ +…+ 其中 |Rn(1)|=| |<| . 例2. 求函数f(x)=sinx的2m阶麦克劳林公式. 解：由于 f(n)(x)=sin(x+nπ/2). 所以 f(0)=0, f′(0)=1, f′′(0)=0, f′′′(0)=-1, f(4)(0)=0, 即有 f(2m)(0)=0, f(2m-1)(0)=(-1)m-1 m=0,1,2,…. 因此 sinx=x- + －…(-1)m-1 x2m-1+R2m(x). 请写出sinx的2m阶(或2m-1阶)泰勒多项式P2m(x)（P2m-1(x)） 其中R2m(x) = x2m+1 (0<θ<1). 让同学们看教材上的图，略加讲解即可 当m=1时, sinx≈y=x, |R2|=| x3|≤|x|3/6. 当m=2时, sinx≈ y=x- , |R4|≤|x|5/5!. 当m=3时, sinx≈y=x- + |R6|≤|x|7/7! 例3. 求函数f(x)=cosx的麦克劳林公式. 解: cosx=1- x2+ x4+…+ x2n+R2n+1(x) 其中 R2n+1(x)= x2n+2. 例4. ln(1+x)=x- x2+ x3-…+(-1)n xn+Rn(x) 其中: Rn(x)= (0<θ<1) (1+x)α=1+αx+ x2+…+ xn+Rn(x) 其中: Rn(x)= (1+θx)α-n-1xn+1 (0<θ<1) 例5. 求函数f(x)=tanx的二阶麦克劳林公式. 解: f(0)=0, f′(0)=sec2x|x=0=1; f′′(0)=2sec2xtanx|x=0=0. f′′′(x)=4sec2xtan2x+2sec4x=2· 所以 tanx=x+ EMBED Equation.3 x3=x+ x3 (0<θ<1). 三、泰勒公式的应用 例6. 用Talor公式求极限 1) EMBED Equation.3 解: =1+ + +o(x4); = +o(x4); cosx=1- x2+ x4+o(x4); =1+x2+ + o(x4); cosx- =- x2- + o(x4); EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 =- 2) ( - ) 解: = =x[1+ + + ]=x+1- + = =x[1- + + ]=x- - + - = x+1- + -[ x- - + ]= - + ( - )= [ - + ]= 例7. 设 ，求 . 解：利用展开式的唯一性解决此问题 因为 的系数为 ，所以 即 . 例8. 设 二阶可导，且 ，求 的值. 解：利用展式的唯一性求值，关键是从已知条件中将 解出来. 由 得 ……….（1） 而 应该为： ……….（2） (2)式在写佩亚诺余项 时，函数只须 存在即可. 比较（1）（2）两式，得 例9. 设 在 上连续，在 内二阶可导，且 .证明存在 使得 . 思路：由不等式中含有 ，所以可考虑用一阶泰勒公式，又由于一阶导数有两个条件，于是要在两个不同点展开. 证明： ………..(1) 同理： ………..(2) 时，左端始终是消掉了的，为了让右端出现4，有因 是 内任意值，所以令 代入(1) (2)两式，得 ……..(3) ……..(4) 得 记 得 故 作业：高等数学A习题册习题十九 教学后记： 教学参考书： 思考题：1、设 在 上连续，在 内二阶可导，证明至少存在一点 ，使得 . 2、设 在 上二阶导连续，证明存在一点 ，使得 . 3、设在 上连续，在 内二阶可导，证明至少存在一点 ，使得 . 1、思路：（1）从条件看函数二阶可导. （2）从结果看出现了三个点的函数值，及 . 证明：由于函数值 出现了两次，可考虑在点 处用泰勒公式 （右端的第二项是不受欢迎的，必需处理掉） 将（A）中的x分别用a，b替代，得 （1）（2）两式相加 记 得 即 2、思路：条件强于1）的条件，1）中的证明过程直到（B）式均可用. 证明： 又由于 是连续的，对 依介值定理及 练习4知 ，使得 ， 故 3、思路：条件同1）但要证的结果同2），所以前面的证法显然是不通.如下给出两种证明方法. [错]证明：记 ？？？ [正] 要证 即要证 左端为一定数，记为k，即 现在问题是“是否存在 使得 ，为此构造函数： 显然 ， 由 可得 即 再用拉格朗日公式 这里 即 ，使得 . 讲授内容： §3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性 教学目的与要求：1、理解单调性及凹凸性的概念. 2、熟练掌握函数单调性，曲线凹凸性的判别及单调性的应用 （证明不等式）. 3、理解拐点的概念并会求拐点. 重难点：重点——函数的单调性，曲线的凹凸性的判断. 难点——凹凸性判断法的证明. 教学方法：讲授法 教学建议：强调仅凭导数的符号是推导不出不等式，一定要有函数值作为参考. 学时：3学时. 在中学里我们已讨论过函数的单调性，但不深入，在此我们借助导数及拉格朗日中值定理将对函数的单调性进行更深入的讨论，并进一步研究函数曲线的凹凸性. 1、 函数单调性 1、函数单调性的判断 请看下图 y f′(x)>0,图形上升 f′(x)<0图形下降 定理:（函数单调性的判定法）设函数y=f(x)(C[a,b], f(x)(D(a,b). 1）如果:(x((a,b),f′(x)>0, 则y=f(x)在[a,b]上单调增加; 2）如果:(x((a,b),f′(x)<0, 则y=f(x)在[a,b]上单调减少. 证明：1) 由于f(x)(C[a,b]，f(x)(D(a,b)， 在(a,b)内任取两点x1、x2(x10,且f′(x)>0,从而有f′(ξ)>0,于是 f(x2)－f(x1)=f′(ξ)(x2－x1)>0, 即 f(x2)>f(x1). 2、函数单调性判断举例 例1. 判定函数y=x－sinx在[0,2π]上的单调性. 解: 因为在(0,2π)内y′=1－cosx>0, 所以函数y= x +sinx在[0，2π]上单调增加. 注：1.两个端点处的导数等于0,并不影响单调. 事实上此函数在(-∞, +∞)都是单调的. 2.若 使等号成立的是有限个点，则f(x)在[a,b]区间上仍然是单调增的. 如： . 例2. 确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间. 解：函数的定义域为(-∞,+∞), 函数的导数为： f′(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2). 令f′(x)=0，即 解6(x-1)(x-2)=0，得x1=1、x2=2， 这两个根把(-∞,+∞)分成三个部分区间(-∞,1)、[1,2]及(2,+∞). (x((-∞,1)U(2,+∞)，f′(x)>0, 函数单调上升; (x((1,2)， f′(x)<0, 函数单调下降. 例3. 讨论函数y= 的单调性. 解：这函数的定义域为(－∞,+∞). 当x≠0时,这函数的导数为y′= , 当x=0时,函数的导数不存在, (x((-∞,0), y′<0, 函数y= 在(-∞,0)上单调减少, (x((0,+∞), y′>0, 函数y= 在[0,+∞]上单调增加. 注： 1、例2告知两种不同单调性的交点在水平切线处，即f′(x0)=0，即要寻找函数的单调区间，首先找f′(x)=0的点x0，然后判断在x0点处两侧的符号。 2、例3告知在不可导点的两侧函数的单调性也可能改变。 3、导数为0的点，导数不存在的点都有可能是单调性改变的交点，但也有可能不是。 如：y=x2 3、利用单调性证明不等式 例4. 证明:当x>1时,2 >3－ 思路：不等式变形2 －3+ >0，若记f(x)=2 －3+ ， 即证 f(x)>0 (x>1)即可，注意到f(1)=0，亦要证f(x)> f(1). 证明：f′(x)= EMBED Equation.3 = (x －1) f(x)(C[1,+∞],(x((1,+∞)，f′(x)>0,，f(x)在 [1,+∞]上单调增加,从而 当x>1时, f(x)>f(1)=0 即 2 －(3－ )>0, 亦即 2 >3－ (x>1). 注 ：利用单调性证明不等式的3个步骤： （1）构造函数f(x)（只需将不等式的所有表达式移至不等式的左端）. （2）判断f(x)的单调性. （3）计算特殊点处的函数值. 例5. 证明 时 . 证明： 此处 并非定号. 时， ， 为增函数，推知 ; 时， ， 为减函数，推知 ; 综合可得 ，又 故 . 例6. 证明 ， 方法1：利用单调性证明. 设 （符号难以判断） （两个互为倒数的正数之和大于2） 有 处处为增函数. 又 推知 时 ； 时 ； 又 所以 . 注：此例子告知，有时需多次用单调性. 方法2：利用泰勒公式证明. 设 所以 注： 也可用二阶泰勒公式 在0与x之间. 1）当 时， 2）当 时， 综合 时 所以 . 例7. 设 ，证明： . 思路：请看 ， ， 变形 若记 ，于是归结为要证 . 即要证 单调递减. 证明：设 确为递减函数 时 EMBED Equation.DSMT4 . 另证：设 又 ，所以 ， 所以 . 4、利用单调性讨论方程根的个数 例8. 讨论方程lnx=ax (其中a>0)有几个实根? 思路：此题涉及到两个知识点：①用介值定理说明有根. ②用单调性说明仅有几个根 解: 设f(x)=lnx-ax,则令f′(x)= -a=0得: x=1/a. 当00, 函数单调上升，推知在(0,1/a)内至多一根. 当1/a 0,即01/e) 5、讨论数列的单调性 例9. 讨论数列 的单调性，并求最大项. 思路：这里是借助于函数的单调性来讨论的，所以必须先构造函数，设 . 证明：因为 . 时， 为递减. 时， 为递增 比较 的大小 2、 曲线的凹凸性与拐点 单调性是研究曲线上升或下降的趋势。问？曲线的弯曲方向又如何呢？请看图 这里是连接A，B两点且同为单调递增的两条曲线，只是弯曲的方向有差异，即是说仅凭单调性难以准确的描绘图形，为此我们有必要研究曲线的凹向. 1、凹凸弧的定义 定义：设f(x)在区间I上连续,如果对I上的任意两点x1和x2有: < 称f(x)在I上的图形是凹的(或凹弧); > 称f(x)在I上的图形是凸的(或凸弧); EMBED PBrush 凹弧的等价说法：① 弦在弧之上；②弧在切线之上. 2、凹凸性的判断定理: 定理：设f(x)(C[a,b],在(a,b)内具有连续的一阶和二阶导数,则: 1) 若在(a,b)内有f′′(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的; 2) 若在(a,b)内有f′′(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的; 思路：关于凹凸性目前只给出了定义，所以只能借助于定义证明。为了尽快的用上f′′(x)>0的条件，很自然就会想到利用泰勒公式. （请看凹凸性的定义） 记x0=(x1+x2)/2，在定义中有2 f(x0)，所以我们很容易想到在x0处展开成二次， f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)+f′′(ξ1)(x-x0)2/2 对于结论1）来说有f(x)< f(x0)+f′(x0)(x-x0)……………(*) 注意到，我们需要的是f(x1)， f(x2) ，f(x0)之间的不等式. 证明：将(*)式中的x替换成x1，x2 f(x1)< f(x0)+f′(x0)(x1-x0)； f(x2)< f(x0)+f′(x0)(x2-x0); 所以 f(x1)+f(x2)<2 f(x0)+f′(x0)(x1+x2-x0)=2f(x0). 同理可证明2). 注： 我们知道，一阶导数的符号是用于判断函数的单调性的，此定理告知二阶导数的符号是用于判断曲线的凹凸性的. 例10. 判断函数y=lnx的凹凸性. 解：由于y′=1/x,y′′=-1/x2<0 (x>0),所以函数在(0,+∞)内是向上凸的. 例11. 判断函数y=x3的凹凸性 解：由于:y′=3x2,y′′=6x, 当x∈(-∞,0)时,y′′<0,曲线在(-∞,0)内是向上凸的, 当x∈(0,+∞)时,y′′>0,曲线在(0,+∞)内是向上凹的. 拐点的定义 定义：曲线y=f(x)由凹变凸(或由凸变凹)的分界点称为曲线的拐点. 注：1、拐点是曲线上的点，所以是二维坐标. 2、此定义前提条件是单值函数. 如： 在点 处不符合拐点定义的要求，所以不是拐点. 例12. 判断函数y= 的凹凸性. 解：y′= ;y′′=- . 当x∈(-∞,0)时, ,y′′<0,曲线在(-∞,0)内是向上凸的, 当x∈(0,+∞)时,y′′>0,曲线在(0,+∞)内是向上凹的. 函数在x=0处的一阶和二阶导数不存在,但(0,0)为函数图形的拐点. 例13. 判断函数y=x4的凹凸性. 解：由于y′′=12x2>0 ,(x∈(-∞,+∞),所以函数在(-∞,+∞)内是向上凹的. 这里y′′(0)=0,但(0,0)不是曲线的拐点. 注：由例11，例12，例13知拐点只有可能出现在f′′(x)=0及f′′(x)不存在的点，但上述点不一定全是拐点. 拐点的求法: 1) 求f′′(x)=0及f′′(x)不存在的点; 2) 对上面求出的每一个点x0,判断f′′(x)在点(x0,f(x0))的左右两侧的符号,当两侧符号相反时,点(x0,f(x0))为拐点,当两侧的符号相同时,点(x0,f(x0))不是拐点. 例14. 求函数y=(x-1) 的凹凸区间和拐点. 解：函数的定义区间为:(-∞,+∞). y′= , y′′= = 当x=-1/2时,y′′=0,当x=0时,y′′不存在. x (-∞,-1/2) -1/2 (-1/2,0) 0 (0,+∞) f′′(x) + 0 - 不存在 + f(x) ( 拐点(-1/2, ) ( 拐点(0,0) ( 例15. 试确定k的值,使曲线y=k(x2-3)2的拐点处的法线通过原点. 解：由于y′=2k(x2-3)2x=4kx3-12kx y′′=12k(x-1)(x+1). 显然x1=-1和x2=1为拐点的横坐标. 当x1=-1时y1=4k，点(-1,4k)处有：y′(-1)=8k, 所以法线方程为： y-4k= (x+1). 由法线通过原点有：32k2=1,即: k=± . 当x2=1时 y1=4k，点(1,4k)处有：y′(1)=-8k， 所以法线方程为： y-4k= (x-1). 由法线通过原点有：32k2=1,即: k=± . 因此当k=± 时,曲线在拐点处的法线通过原点. 例16. 设y=f(x)在x=x0的某一邻域内具有三阶连续的导数,如果f′(x0)=0, f′′(x0)=0而f′′′(x0)≠0,问x=x0是否为极值点?(x0, f(x0))是否为拐点?为什么? 解：由f′′′(x0)≠0，不妨设f′′′(x0)>0，由于f′′′(x)在U(x0)内连续，从而存在区间I(U(x0)，对(x∈I,有f′′′(x)>0.于是由泰勒公式有: f(x)= f(x0)+f′(x0)(x-x0)+ f′′(x0)(x-x0)2+ f′′′(ξ)(x-x0)3 ,ξ在x与x0之间. 即 f(x)- f(x0)= f′′′(ξ)(x-x0)3 ,由于f′′′(ξ)>0, 所以 当x>x0时，有f(x)>f(x0)； 当xx0时，有f′′(x)>0. 所以点(x0,f(x0))为拐点. 注：1、一般地：如果f(x)在U(x0)内具有n阶连续的导数,且 f′(x0)= f′′(x0)=…= f(n-1)(x0)=0,f(n)(x0)≠0, 当n为奇数时,x=x0为曲线拐点的横坐标; 当n为偶数时,x=x0为极值点, 且当f(n)(x0)>0时x=x0为极小值点; 当f(n)(x0)<0时x=x0为极大值点. 2、在各阶导数连续时，拐点、极值点不会同时出现在一处，最多只能二者其一，但对于不可导的点，有可能出现在同一处，请看图 3、若将连续改为存在且不为0，此时就没有(A)式了. 请看证明：要证f′′(x)在x0的两侧变号，条件是f′′′(x0)≠0（设大于0） 紧抓住条件f′′′(x0)存在且不为0，所以很自然想到三阶导的定义 由于x-x0变号，推知f′′(x)-f′′(x0)=f′′(x)变号 所以点(x0,f(x0))为拐点. 例17. 证明不等式：xlnx+ylny> (x+y)ln (x>0,y>0,x≠y). 证明：设f(x)=xlnx ，则f′(x)=1+lnx ，f′′(x)=1/x>0. 从而f(x)在(0,+∞)内是向上凹的，于是对(x≠y∈(0,+∞)有： (xlnx+ylny)> (x+y)ln ,即: xlnx+ylny>(x+y)ln . 作业：高等数学A习题册习题二十 教学后记： 教学参考书： 思考题： 设 ，证明 . 思路：看不等式的中间项，完全就是拉格朗日公式的格式，可左右两端的结构相差甚远，不妨用单调性一试. 证明：（1）设 为增函数，又 （2）设 或 是增函数. 又 故 讲授内容： §3.5 函数的极值与最大值最小值 教学目的与要求：1、正确理解极值与最值的概念. 2、熟练掌握求极值的方法. 3、掌握函数最值的求法. 4、会实际问题的最值应用题. 重难点： 重点——求函数的极值. 难点——实际问题的最值应用题. 教学方法：讲授法 教学建议：重点介绍求极值，最值的方法．借助图形讲解极值的定义． 学时：2学时 1、 极值及求法 请看图 由图知f(xi​)的值与xi​两侧附近相比要么最大，要么最小，即f(xi​)在局部都具有最值性。这就是所要讲的极值。 1． 定义： 设函数f(x)在区间(a,b)内有定义, x0是(a,b)内的一个点，如果存在点x0的一个去心邻域Ů(x0,δ)，对于 x∈Ů(x0,δ),有f(x)< f(x0)， 称f(x0)是函数f(x)的一个极大值; x∈Ů(x0,δ),有f(x)>f(x0)， 称f(x0)是函数f(x)的一个极小值. 注：1、定义式中是严格的不等号. 2、极值的局部性的概念.（给一生活中的实例） 3、极值是函数值f(x0)，而x0是取得极值的点. 为了寻找极值先介绍必要条件，有图知，极值在水平切线处。 2． 极值存在的必要条件: 定理（必要条件）设f(x)在点x0处可导，且在x0处取得极值，则 f′(x0)=0. 证明：设函数f(x)在x0处取得极大值f(x0). 由于 f′(x0)= ≥0； f′(x0)= ≤0. 所以 f′(x0)=0. 注：1、驻点——方程f′(x)=0的点 (导数为零的点). 2、驻点与极值点的关系：可导函数的极值点必为驻点,但驻点不一定是极值点. 例如y=x3有驻点x=0,但不是极值点. 仅有必要条件是求不到极值，因此还需介绍如下充要条件 3． 极值存在的充分条件 定理（第一种充分条件）设函数f(x)在x0连续，在Ů(x0,δ)可导，且f′(x0)=0， 1) f′(x)在x0两侧变号时，f(x0)为极值，且有正变到负为极大值，相反有负变 到正为极小值. 2) f′(x)在x0两侧不变号时，f(x0)不是极值. 证明：1) 当(x((x0-δ,x0),f′(x)>0 函数是单调上升的; 当(x((x0,x0+δ),f′(x)<0 函数是单调下降的; 所以 f(x0)为函数的极大值. 同理 可证明2)和3). 注：此定理结论1） 2）的图示 例1. 求函数f(x)=x3-3x2-9x+5的极值. 解：f′(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3); 令f′(x)=0，得 驻点：x1=-1；x2=3. 当x<-1时f′(x)>0；当-13时f′(x)>0，从而x2=3为函数的极小值点； 所以 函数的极大值为f(-1)=10；极小值为f(3)=-22. 注：如果函数f(x)在定义区间内可导,则求极值步骤为: 1）求函数的导数f′(x); 2）求出f′(x)=0的全部实根(即函数的所有驻点); 3）对每个驻点讨论f′(x)在其左、右两边的符号,确定是否有极值. 4）并计算出极值. 例2. 求函数 的极值. 解： 令 得 时 ； 时 所以 . 4。当函数在驻点处的二阶导数存在且不为零时,有 定理 （第二充分条件）设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f′(x)=0, f′′(x)≠0，那么 1） f′′(x0)<0时,函数f(x)在x0处取得极大值; 2）f′′(x0)>0时,函数f(x)在x0处取得极小值. 思路：借助第一充分条件，即要导出f′(x)在x0两侧变号，已有条件为f′′(x0)<0. 值得注意的是：f′′(x)在其它点是不一定存在的，所以§3-1、§3-3的结论是不可用的，而导数的定义则总是可以用的. 证明：1) 由于f′′(x0)= EMBED Equation.3 <0. 由保号性定理,存在Ů(x0,δ),对x∈Ů(x0,δ),有 = <0. （即是说f′(x)与x-x0的商是定号，而x-x0是可正可负的） 即f′(x)与x-x0异号， 所以在Ů(x0,δ)内，当x0； 当x>x0时f′(x)<0， 由第一充分条件得f(x0)为函数的极大值.同理可证2). 注：当f′′(x0)=0时,f(x)在x0处可能有极值,也可能没有极值. 例如y=x3和y=x4在x=0处有f′(0)=f′′(0)=0, 但x=0不是y=x3的极值点,而x=0是y=x4的极小值点. 例3. 求函数f(x)=(x2-1)3+1的极值. 解：由于 f′(x)=6x(x2-1)2=6x(x-1)2(x+1)2， 所以驻点： x1=-1, x2=0, x3=1. 又 f′′(x)=6(x2-1)(5x2-1) f′′(0)=6>0，所以x=0为函数的极小值点，极小值为f(0)=0. 而f′′(-1)=f′′(1)=0，不能用第二充分条件判断. 但当x<-1时f′(x)<0；当-10； 当x>2时f′(x)<0， 所以x=2为函数的极大值点，且极大值为f(2)=1. 注：函数在x=2处不可导. 函数的极值可能在导数不存在的点处取得. 但导数不存在的点处函数也可能没有极值. 例如函数y= 在x=0处不可导，函数在x=0处没有极值. 由此可得求函数极值的方法如下： 1) 求出函数的所有驻点和导数不存在的点; 2) 对上述每一个点讨论其左、右两边f′(x)的符号,判断是否为极值点，或计算f(x)在驻点处的值，依第二充分条件判断. 3) 求出极值. 例6. 求函数f(x)= 的极值. 解：当x>0时f′(x)=2x2x(1+lnx)； 当x<0时f′(x)=1. f′+(0)= EMBED Equation.3 =-∞； f′-(0)= EMBED Equation.3 =0 所以函数在x=0处不可导. 令f′(x)=0得驻点:x=1/e. 当00，所以f(1/e)=e-2/e为函数的极小值. 当x=0时，由于 ， ，所以函数在x=0处间断. 由于f(0+0)=1，所以对ε=1/2，存在δ>0当00，所以f(x)0，相反时s<0. s(x) 是x的单调增加函数. 2. 弧长函数的微分： 下面求s=s(x)的导数与微分. 设x，x+Δx为(a,b)内的两点,对应曲线上的点为M和M′. 并设对应于增量Δx，弧的增量为Δs，则Δs= － = . = EMBED Equation.3 =± ， 令Δx→0， 则M′→M. 由于 EMBED Equation.3 =1， 所以 =± 又s(x)为单调增加函数， 所以 = 弧微分公式为： ds= dx 或 当曲线方程为x=x(t)，y=y(t)时，则有 ds= dt 当曲线方程为ρ=ρ(θ)时，由直角坐标与极坐标的关系得曲线的参数方程为: x=ρ(θ)cosθ ， y=ρ(θ)sinθ (θ为参数). ds= dθ 例1. 求曲线y=arctanx的弧微分. 解： ds= dx= dx 例2. 求曲线x=acos3t,y=asin3t (a>0)的弧微分. 解： ds = = =3asintcostdt. 2、 曲率及其计算 图(a) 图(b) 曲率表示曲线的弯曲程度. 图(a)弧段M1M2与M2M3的长度相同，但其切线的转角不同，平坦的曲线转角要小，弯曲厉害的曲线段切线的转角大. 图(b)中弧段M1M2和N1N2有相同的切线转角，但弧长短的曲线弯曲程度大，弧段长的曲线弯曲程度要小; （实际例子P172例3） 半径为R的圆，各点的弯曲程度是相同的，且半径越小弯曲程度越厉害. 可见曲线的弯曲程度与切线的转角和曲线的弧长有关.由此有定义: 1. 定义:设曲线C为光滑的（曲线上每一点存在切线,且切线随切点的移动而连续移动），在曲线上点M对应弧s ，在点M处的切线的倾角为α(曲线C在平面上建立了坐标系)，曲线上点M′对应的弧为s+Δs，倾角为α+Δα，弧段 的长度为|Δs|，动点从M′ 移到M时切线转过的角度为|Δα|. 称比值: 为弧段 的平均曲率. 令Δs→0,则曲线在点M处的曲率为：K= EMBED Equation.3 = 借助右上方的图形解释两切线的夹角Δα就是圆心角，弧 的长度为Δs则有 EMBED Equation.DSMT4 ，即圆在各点的曲率相同，且为半径的倒数. 注：1、显然直线在任意点处的曲率为0. 因为Δα=0. 2、半径为a的圆，圆上任意一点处的曲率为 K=1/a. 2. 曲率计算: 设曲线y=f(x)具有二阶导数.由于 于是 dα= dx, 又 ds= dx. 所以 K=

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路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理

上当|y′|<<1（即|y′| 同1相比很小）时，有K≈|y′′| 设曲线C的方程为：x=x(t)，y=y(t),则曲率公式为: K= . 例3. 求曲线xy=1在点(1,1)处的曲率. 解： ， . 曲率 K= 例4. 抛物线y=ax2+bx+c上哪一点处的曲率最大? 解： y′=2ax+b； y′′=2a. K= 要使K最大,则需分母[1+(2ax+b)2]3/2最小,显然有2ax+b=0.即:x=-b/2a. 即在抛物线的顶点处曲线的曲率最大. 例5. 求曲线x=a(1-cost);y=a(t-sint) (t>0)在t=π/4处的曲率. 解：x′(t)=asint，x′′(t)=acost； y′(t)=a(1-cost)，y′′(t)=asint. [x′(t)y′′(t)-x′′(t)y′(t)]|t=π/4 = [a2sin2(t)-a2cost+a2sint]|t=π/4 =-a2(1-cost)|t=π/4=-(1- /2)a2; [x′2(t)+y′2(t)]|t=π/4=2a2(1-cost) |t=π/4=(2- )a2. K= = . 例6. P172例3（见教材） 3、 曲率圆与曲率半径 定义：设y=f(x)在点M(x,y)处的曲率为K(K≠0). 在M处的曲线的法线上，凹的一侧取点D，使|DM|=1/K=ρ. 以D为中心，ρ为半径所作的圆称为曲线在点M处的曲率圆. 曲率圆的圆心D称为曲线的曲率中心. 曲率圆的半径称为曲线在M处的曲率半径. 注：函数在M处的曲率与曲率半径互为倒数. 例7. 曲线y=lnx上哪一点的曲率半径最小，求此半径. 解：y′=1/x, y′′=-1/x2. k=x/(1+x2)3/2. 令k′=(1-2x2)/(1+x2)5/2=0 ( x= /2. 此时曲率半径为：ρ=3 /2. 方程的近似解 1、 二分法 设 在 上连续，且 ．假设 在 内仅有一根 ，下给出求 近似值的方法之一（二分法）． 给误差 第一步：记 ，查三值 的符号 　　　　若 ，记 ， 得　 内含 ． 第二步：重复第一步工作，得 内含 ． 继续下去，当 时，因 在 内，所以取 为 内的任一值均可作为 的近似值． 例１、 用十次二分法得 ， 且 所以 可取 也可取 ，也可以取 ， 之间的任一值． 2、 切线法 若 与 同号，记 ，则 ， 依此下去　　 　但 越来越接近 ． 例２、 四步完成，可见比二分法需要的步骤少． 作业：高等数学A练习册习题二十二 教学后记： 教学参考书： 思考题：渐近线有几种，如何寻找？ 讲授内容: §3-6 §3-7 §3-8函数绘图、曲率、方程近似根 教学目的与要求：1、掌握函数的单调性，凹凸性，极值、拐点的判断. 2、掌握水平、铅直渐近线的求法，了解斜渐近线，并绘画出函数的草图. 3、理解曲率的概念，掌握曲率半径的计算. 4、了解方程近似根的求法. 教学方法：讲授法 教学重难点：重点——函数单调性、凹凸性、极值、拐点的判断及曲率的计算 难点——绘函数的草图. 教学建议：对快班的学生给一个非显函数求斜渐近线的例子. 学时：4学时 函数图形的描绘 一、渐近线 定义: 水平渐近线：如果 ，则直线y=c为f(x)的水平渐近线; 垂直渐近线：如果 ，则直线x=c为f(x)的垂直渐近线; 斜渐近线：如果 ，则f(x)有斜渐近线y=ax+b. 其中：b= . 注： 当a =0时，说明没有斜渐近线，但此时也不一定有水平渐近线. 如 ， ，显然 没有任何渐渐线. 例5. 求函数y=x+ 的渐近线. 解：由于 ( x+ )不存在，所以没有水平渐近线； ( x+ )=∞，所以有垂直渐近线x=0； EMBED Equation.3 =1， ( x+ -x)=0， 所以有斜渐近线y=x. 例6. 求 的渐近线. 思路：渐近线有三种，但无论哪一种，都是由极限来判断的，为便于求极限，先将隐函数化为参数方程. 解：令 得 分别讨论三种渐近线 4） 水平渐近线： 因 ，而不是常数，所以没有水平渐近线. 5） 铅直渐近线：因 ，所以没有铅直渐近线. 6） 斜渐近线：因 ，所以斜渐近线的斜率 ， . 所以斜渐近线为： . 二、图形的描绘 9. 函数的周期性、奇偶性 10. 确定函数y=f(x)的定义域;并求f′(x)和f′′(x). 11. 求出方程f′(x)=0和f′′(x)=0的根; 12. 求出函数一阶导数f′(x)和二阶导数f′′(x)不存在的点; 13. 求出函数的间断点; 14. 以2,3,4中的点为分点,将函数的定义域划分为几个部分; 15. 在每个部分上确定f′(x)和f′′(x)的符号,并判断函数单调区间,凹凸区间,极值点和拐点; 16. 求出函数的所有渐近线. 9.计算几个特殊点的函数值. 例7. 作函数y=x+ 的图形. 解：定义域(-∞,0)U (0,+∞); ， . 令y′=0得x1=-1和x2=1，间断点为x3=0. ( x+ )=∞，所以有垂直渐近线x=0. EMBED Equation.3 =1， ( x+ -x)=0，所以有斜渐近线y=x. x (-∞,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞) f′(x) + 0 - 不存在 - 0 + f′′(x) - - - 不存在 + + + f(x) ↗( 极大值-2 ↘( 无定义 ↘( 极小值2 ↗( 例8. 作函数y=1+ 的图形. 解：定义域(-∞,-3)U(-3,+∞). y′= ， y′′= 令y′=0得x1=3，令y′′=0得x2=6，间断点x3=-3. 由于 f(x)=1，所以水平渐近线y=1; 由于 f(x)=-∞，所以垂直渐近线x= -3; x (-∞,-3) -3 (-3,3) 3 (3,6) 6 (6,+∞) f′(x) - 不存在 + 0 - - - f′′(x) - 不存在 - - - 0 + f(x) ↘( 无定义 ↗( 极大值4 ↘( 拐点(6,11/3) ↘( 曲 率 4、 弧微分 1. 弧长函数： 设函数y=f(x)在(a,b)内具有连续的导数.在曲线上取固定点M0(x0,y0)作为度量弧长的起点，规定：x增大的方向为曲线的正向.在曲线上任取一点M(x,y)，记有向弧段 的长度为s(简称为弧s)为：s=s(x) 当有向弧段 的方向与曲线的正向一致时s>0，相反时s<0. s(x) 是x的单调增加函数. 2. 弧长函数的微分： 下面求s=s(x)的导数与微分. 设x，x+Δx为(a,b)内的两点,对应曲线上的点为M和M′. 并设对应于增量Δx，弧的增量为Δs，则Δs= － = . = EMBED Equation.3 =± ， 令Δx→0， 则M′→M. 由于 EMBED Equation.3 =1， 所以 =± 又s(x)为单调增加函数， 所以 = 弧微分公式为： ds= dx 或 当曲线方程为x=x(t)，y=y(t)时，则有 ds= dt 当曲线方程为ρ=ρ(θ)时，由直角坐标与极坐标的关系得曲线的参数方程为: x=ρ(θ)cosθ ， y=ρ(θ)sinθ (θ为参数). ds= dθ 例1. 求曲线y=arctanx的弧微分. 解： ds= dx= dx 例2. 求曲线x=acos3t,y=asin3t (a>0)的弧微分. 解： ds = = =3asintcostdt. 5、 曲率及其计算 图(a) 图(b) 曲率表示曲线的弯曲程度. 图(a)弧段M1M2与M2M3的长度相同，但其切线的转角不同，平坦的曲线转角要小，弯曲厉害的曲线段切线的转角大. 图(b)中弧段M1M2和N1N2有相同的切线转角，但弧长短的曲线弯曲程度大，弧段长的曲线弯曲程度要小; （实际例子P172例3） 半径为R的圆，各点的弯曲程度是相同的，且半径越小弯曲程度越厉害. 可见曲线的弯曲程度与切线的转角和曲线的弧长有关.由此有定义: 3. 定义:设曲线C为光滑的（曲线上每一点存在切线,且切线随切点的移动而连续移动），在曲线上点M对应弧s ，在点M处的切线的倾角为α(曲线C在平面上建立了坐标系)，曲线上点M′对应的弧为s+Δs，倾角为α+Δα，弧段 的长度为|Δs|，动点从M′ 移到M时切线转过的角度为|Δα|. 称比值: 为弧段 的平均曲率. 令Δs→0,则曲线在点M处的曲率为：K= EMBED Equation.3 = 借助右上方的图形解释两切线的夹角Δα就是圆心角，弧 的长度为Δs则有 EMBED Equation.DSMT4 ，即圆在各点的曲率相同，且为半径的倒数. 注：1、显然直线在任意点处的曲率为0. 因为Δα=0. 2、半径为a的圆，圆上任意一点处的曲率为 K=1/a. 4. 曲率计算: 设曲线y=f(x)具有二阶导数.由于 于是 dα= dx, 又 ds= dx. 所以 K= 工程上当|y′|<<1（即|y′| 同1相比很小）时，有K≈|y′′| 设曲线C的方程为：x=x(t)，y=y(t),则曲率公式为: K= . 例3. 求曲线xy=1在点(1,1)处的曲率. 解： ， . 曲率 K= 例4. 抛物线y=ax2+bx+c上哪一点处的曲率最大? 解： y′=2ax+b； y′′=2a. K= 要使K最大,则需分母[1+(2ax+b)2]3/2最小,显然有2ax+b=0.即:x=-b/2a. 即在抛物线的顶点处曲线的曲率最大. 例5. 求曲线x=a(1-cost);y=a(t-sint) (t>0)在t=π/4处的曲率. 解：x′(t)=asint，x′′(t)=acost； y′(t)=a(1-cost)，y′′(t)=asint. [x′(t)y′′(t)-x′′(t)y′(t)]|t=π/4 = [a2sin2(t)-a2cost+a2sint]|t=π/4 =-a2(1-cost)|t=π/4=-(1- /2)a2; [x′2(t)+y′2(t)]|t=π/4=2a2(1-cost) |t=π/4=(2- )a2. K= = . 例6. P172例3（见教材） 6、 曲率圆与曲率半径 定义：设y=f(x)在点M(x,y)处的曲率为K(K≠0). 在M处的曲线的法线上，凹的一侧取点D，使|DM|=1/K=ρ. 以D为中心，ρ为半径所作的圆称为曲线在点M处的曲率圆. 曲率圆的圆心D称为曲线的曲率中心. 曲率圆的半径称为曲线在M处的曲率半径. 注：函数在M处的曲率与曲率半径互为倒数. 例7. 曲线y=lnx上哪一点的曲率半径最小，求此半径. 解：y′=1/x, y′′=-1/x2. k=x/(1+x2)3/2. 令k′=(1-2x2)/(1+x2)5/2=0 ( x= /2. 此时曲率半径为：ρ=3 /2. 方程的近似解 3、 二分法 设 在 上连续，且 ．假设 在 内仅有一根 ，下给出求 近似值的方法之一（二分法）． 给误差 第一步：记 ，查三值 的符号 　　　　若 ，记 ， 得　 内含 ． 第二步：重复第一步工作，得 内含 ． 继续下去，当 时，因 在 内，所以取 为 内的任一值均可作为 的近似值． 例１、 用十次二分法得 ， 且 所以 可取 也可取 ，也可以取 ， 之间的任一值． 4、 切线法 若 与 同号，记 ，则 ， 依此下去　　 　但 越来越接近 ． 例２、 四步完成，可见比二分法需要的步骤少． 作业：高等数学A练习册习题二十二 教学后记： 教学参考书： 思考题：渐近线有几种，如何寻找？ 讲授内容： 第三章习题课 教学目的与要求： 1、复习巩固本章各节的内容，以保证各节要求的完成. 2、适当增加一些解题技巧，活跃同学们的解题思路，培养同学们分析问题，解决问题的能力，逐步培养学生学习数学的兴趣. 教学重难点： 重点——§3-2，§3-4，§3-5 难点——§3-1，§3-3 教学方法：讲授法 教学建议：重要的是讲清思路. 学时：4学时 一、回顾本章内容 微分中值公式（三个）；罗必达法则；泰勒公式；单调性；凹凸性；极值、最值；绘图；曲率；方程的近似解。 二、举例 例1、设 在 内可导，且 ，证明 使 . 思路：这里的 只满足罗尔定理的条件②，但有一附加条件 ，所以我们要用此条件构造一个满足罗尔定理条件①②③的函数 . 证明：令 易见 在 上有定义，且 在 上连续，及 又 ，即 满足罗尔定理的条件①②③ 所以依罗尔定理在 内存在 ，使得 . 又因 ，推得 . 例2、设 在 上连续，且 ，证明存在一点 使 . 思路：（三个点的函数值相等的题型已讲过） 1 此处不能保证有三点的函数值相等，如图. 2 若真有的话，就不需要 在 上连续了，而只需要 在 内存在，因此关键在于如何应用 在 上连续这一条件，而闭连续是为用介值定理提供保证的，所以只要能够证明 使 与 异号即可. 证明：首先由 关于 已有三个条件， ， (A) 因此对 可分别在 上用拉氏公式 即 在两点 处的值异号. 加之 在 上连续，所以由介值定理 使 . 注：条件改为： 在 上连续， 在 内存在时，　（A）式以下没有用，另证: 若 ，命题以真．不妨设 ，于是 介于 与 之间，由介值定理，存在 使 ，进而在 上用罗尔定理，存在 使 ． 例3、设 在 上连续，在 内可导且 ，记 .证明至少存在一点 使 . 思路：（1）此题的条件在 上完全满足了罗尔定理，可是在 上用罗尔定理只能推知至少存在一点 使 . （2）从所要证的结论来看，不得不引入 ，记 . （3）已有了三个点的函数值 ，可考虑用两次拉格朗日公式. 证明：1）若 ，命题已真. 2）设 （不可能小于0），由 ，推知 ， 下在 内用拉格朗日公式， （注意到 与 必有不超过 ，即 与 必有一大于等于 ） 必有一为真. 综上命题证. 例4、 在 上单调递减， ， 证明 . 思路：因为 只有一阶导数的条件，所以只能借助于拉格朗日公式 要证 凑成双数项，得 证明：分别用拉格朗日公式，得 （用 ，加之递减，所以 ） 所以 即 . 例5、设 在 内连续，在 内可导，且 ， ， 证明 EMBED Equation.DSMT4 . 思路：1） 只给出一阶导数的条件，所以可优先想到用拉格朗日公式. 2）条件 必须用上. 证明：分三种情况讨论： （1） 当 时，命题显然为真. （2） 当 时， （3） 当 时 综上命题得证. 例6、1）设 在 上连续，在 内二阶可导，证明至少存在一点 ，使得 . 2）设 在 上二阶导连续，证明存在一点 ，使得 . 3）设在 上连续，在 内二阶可导，证明至少存在一点 ，使得 . 1）思路：（1）从条件看函数二阶可导. （2）从结果看出现了三个点的函数值，及 . 证明：由于函数值 出现了两次，可考虑在点 处用泰勒公式 （右端的第二项是不受欢迎的，必需处理掉） 将（A）中的x分别用a，b替代，得 （1）（2）两式相加 记 得 即 2）思路：条件强于1）的条件，1）中的证明过程直到（B）式均可用. 证明： 又由于 是连续的，对 依介值定理及 练习4知 ，使得 ， 故 3）思路：条件同1）但要证的结果同2），所以前面的证法显然是不通.如下给出两种证明方法. [错]证明：记 ？？？ [正] 要证 即要证 左端为一定数，记为k，即 现在问题是“是否存在 使得 ，为此构造函数： 显然 ， 由 可得 即 再用拉格朗日公式 这里 即 ，使得 . 例7、已知 ，求 . 思路：要求 在同一点 处的各阶导数值，自然会想到用麦各劳林公式，为此去掉极限符号，解出 . 解： 原式 . 例8、求证 . 思路： 为此要比较 与 的大小， 两式都将与函数 有关. 证明： EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 为增函数 EMBED Equation.DSMT4 . 例9、设 ，证明 . 思路：看不等式的中间项，完全就是拉格朗日公式的格式，可左右两端的结构相差甚远，不妨用单调性一试. 证明：（1）设 为增函数，又 （2）设 或 是增函数. 又 故 例10、设 ，函数 在 内有几个零点. 思路：要从两方面证明：（1）用介值定理证明至少有几个. （2）用单调性证明仅有几个. 证明：（1） 在 内为增函数， 在 内为减函数. 所以 在 内至多有两个零点. （2） ， EMBED Equation.DSMT4 在 内至少有一根. ， EMBED Equation.DSMT4 在 内至少有一根. 综上 在 内恰有两根. 注：由 可推得 式. 例11、在 上 ，则正确的是：（ ） 思路：因为 为增函数 如何才能使 用上条件 为增函数呢？ 事实上： 即 即 （B）为正确的. 例12、设 ， 则 . 思路：关键是点 处的函数值从何而来，而 可由泰勒公式后再将 替换成 得到，而 必须在替换前就得到，所以在点 处展开 (1)(2)两式中后两项都是不受欢迎的，而最后一项依条件可直接去掉，而另一项必须经过巧妙组合可以去掉，按照所要证的结果组合 得 . 例13、设 在 内连续，且 ，试证： （1） ，存在唯一的 使 成立. （2） 思路：（1）要证拉氏公式中 的唯一性. 事实上： 在 上完全满足拉氏公式，所以 满足 下证 的唯一性， 由于 加之连续，所以 不变号，不妨设 ，即 单调增，故 唯一. （2）想办法把 解出来，为此还需一等式，可由泰勒公式提供. 事实上： 　 在 与 之间．．．．．．（Ｂ） 由（A）（B）两式得 两边除 得 变形 取极限： ，　　故 . 例14、设函数 在 上可导，且 ，证明在 内至少存在一点 ，使 . 思路：（1）首先将结果变形 记 即 所以可考虑对 用罗尔定理. （2）问题 ① 是定义在无限区间，不合罗尔定理要求. ②即使我们能够将无限区间转变成有限区间，但仍然不是闭区间，不符合要求. 为此必须引入代换，将 变成有限区间，并补充端点的定义，使之所构造的函数完全满足罗尔定理，同时又能得到结果. （3）注意到 有另外两个条件 . 证明：令 将 变到了 . 又 补充定义： 在 完全满足罗尔定理的条件， EMBED Equation.DSMT4 ，使 ， 即 记 上式变为： . 例15、曲线 有几条渐近线，并求之. 思路：分水平，铅直，斜渐近线三种情形讨论. 水平： ，所以有水平渐近线 ; 铅直：看 是否成立. 事实上： ，所以有铅直渐近线 ； 斜渐近线：看 是否成立，显然与有水平渐近线相矛盾. 注：水平、斜渐近线有可能同时出现在一道题中. 例16、求 思路：（1） 是极限值不为零的乘积因式，因此可用2代替. （2） 解： 原式 . 例17、求 思路：因 各自分别存在，所以首先就可以用和差的运算法则，一分为二。 故 原式=2. 例18、求 思路：（1）此题不能一分为二（因各自不存在） （2）分子加减1后两项各自等价代换也不行. （3）直接用罗必塔法则，分子太繁. 正解，将分子有理化. 解： 原式 （现在用法则时机不佳） （现在用法则即可） 作业：高等数学A练习册习题二十三 习题二十四 教学后记： 教学参考书： 思考题： � EMBED PBrush ��� PAGE 第三章 第89页 _1212318230.unknown _1217920535.unknown _1244272755.unknown _1244272931.unknown _1244273046.unknown _1244273071.unknown _1244273363.unknown _1244273406.unknown _1244273468.unknown _1244273399.unknown _1244273147.unknown _1244273063.unknown _1244272963.unknown _1244272997.unknown _1244272948.unknown _1244272874.unknown _1244272892.unknown _1244272770.unknown _1244269873.unknown _1244272731.unknown _1244272747.unknown _1244269910.unknown _1244272626.unknown _1244269825.unknown _1244269861.unknown _1244268452.unknown _1244268619.unknown _1244268933.unknown _1244269383.unknown _1244269450.unknown _1244269606.unknown _1244269621.unknown _1244269788.unknown _1244269814.unknown _1244269740.unknown _1244269612.unknown _1244269596.unknown _1244269434.unknown _1244269442.unknown _1244269428.unknown _1244269064.unknown _1244269334.unknown _1244268969.unknown _1244268711.unknown _1244268826.unknown _1244268872.unknown _1244268796.unknown _1244268684.unknown _1244268696.unknown _1244268665.unknown _1244268509.unknown _1244268564.unknown _1244268595.unknown _1244268477.unknown _1244268483.unknown _1244268491.unknown _1244268463.unknown _1217920759.unknown _1244265068.unknown _1244268444.unknown _1217920678.unknown _1217229779.unknown _1217831030.unknown _1217920313.unknown _1217920464.unknown _1217844435.unknown _1217845103.unknown 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