Sketchpad5Sketchpad Help3D几何画板使用教程

3D几何画板使用 http://exjh.com 3D 几何画板 使用教程 介绍 这是一个几何画板工具。 几何画板是一个数学平台，能解决平面几何，平面解析几何的大多数问题。但是，遇到 立体几何问题就无能为力了。可喜的是，几何画板提供了创建自定义工具的功能，正是 利用这个功能，我做成了这个立体几何平台——3D 几何画板。 在这套工具问世之前，网上已经出现的一些表现立体几何的工具。其中有美国保罗的 3d 工具和霍焰老师制作的立体几何平台，还有 Infinte 网友的 3d 平台。保罗的工具可 以有中心投影和正投影两种显示方式，但是测量功能欠缺；霍焰老师的工具测量功能齐 全，但是只能提供正投影的显示方式，立体感稍稍不足；Infinte 网友的工具界面友好， 另外具备表面的材质编辑功能和灯光功能，但是测量功能较少。这些工具各有所长，用 法各异，但都是通过几何画板本身的自定义工具功能，通过计算用平面图象表现立体效 果。 沿着这些工具的思路，我决定自己制作一套几何画板工具，综合它们的优点，并力求为 高中立体几何的学习服务。我的这套工具集成了较多的测量与作图功能，如直接测量面 与面的夹角，作公垂线等。另外，相比前面提及的工具，我还增加的空间旋转等功能， 以满足立体几何教学的需要。 这套工具一共分成 3 个部分： 1 基本工具。主要是实现立体图形的构造，测量功能。利用这个工具基本可以解决高中 立体几何题了。 2 旋转工具。功能是实现空间点绕轴的旋转。利用这套工具可以制作立体图形的展开动 画。 3 着色工具。这套工具包含线段虚实工具（即将被平面遮挡的线段自动调至较浅颜色）， 平面着色工具以及二元函数的绘制工具。 利用这三个部分的工具，可以解决高中立体几何的大多数问题了。 讲讲我制作这套工具的经过吧。我在 2007 年初有了制作这套工具的想法，解决的 3d 核心的计算问题后，于 1 月初制成最初版本。当时只能通过参数坐标值绘出点。后来参 考的霍焰老师的工具，解决的反求空间点的难题。之后制作出这套工具的第一版，并发 上了人民教育出版社的论坛。到了大概 10 月份，我有了重写这套工具的想法，于是把 先前的工具全部重新制作，改进了 3d 核心的算法，并增加的许多工具。以后的两个多 月时间里，我利用空余的时间又陆续增添的一些工具，终于达到现在的规模。 最后，希望我的工具能给更多的人带来方便！ 2008-2-5 安装工具的方法 将三个工具文件复制到几何画板目录下的 tool folder 目录（如果没有，新建）中即可， 如图。 工具原理 现在讲讲工具的核心算法——3d 换算。 这套工具利用中心投影的算法。如图蓝色的点代表摄像机（即观察者在空间的实际位置）， 平面代表屏幕，只要在空间点与摄像机间作一连线，求出此线与平面交点，并求出交点 在平面的坐标系（较小的坐标轴代表这个坐标系的 x y 轴）上的坐标值，按此值显示 平移 center 点即可。（希望大家能听懂我的话吧） 这就是全套工具。 下面就该讲讲这套工具的用法了 为了节省篇幅，我只讲讲工具的基本用法，有些用法相似的就不赘述了。 第一部分 ——基本工具 一 建立坐标系 坐标系是这套工具的基础，它提供了对视角，缩放比例，点的空间位置的控制。 因此，每次使用这套工具，第一步必须新建坐标系。 用法：点击 基本工具——建立三维坐标系，再在画板上单击，即 可建立坐标系。 建立坐标系之后，必须初始化。为此，点击“初始化”按钮。 这时可以见到如图情况 下面我对界面进行说明。 左上方提供对视角及缩放比例的控制。右方的坐标格是正交视图，右上方显示空间点在 xoy 平面的投影（实际上是图形的仰视图），右下方显示空间点在 yoz 上的投影（实际 上是侧视图）。利用“正交视图定点”工具（后面讲述），可以方便地在这两个图控制 空间点的位置。 先看左上方。 第一个滑杆控制坐标值的缩放比例（对应 k 值），拖动它，发现坐标轴端点的数值变了， 这说明单位长度的坐标值变了。 第二个滑杆是控制立体图形的扭曲程度（对应 Lens 值），实际上对应原理图中摄像机 离原点的距离。这个值越大，图形越接近正投影的效果（同斜二测画法的结果相似）。 之后是两个扇形的滑杆，拖动扇形弧的端点，可以发现空间坐标发生旋转，左边的扇形 控制水平旋转，右边的控制竖直旋转。 这是水平旋转的效果。 还有几个按钮，大家一看就知道什么意思了。但要提醒的是，切换到俯视图（或正视图， 侧视图后，只需点“初始化”，即可重新切换到立体图（透视图））。 注意：新建坐标系后，图中的参数名称（Lens，alpha，beta，k），以及点的名称（center） 绝对不能改，其他参数的名称也不能与它们一样，否则后面的工具无法使用。 二 三棱锥和三棱柱 三棱锥和三棱柱是立体几何的常见图形，这个工具提供的新建它们的快捷方法。 三棱柱用法：选中 基本工具——三棱柱，先在右上方的仰视图画 出一个三角形，再在右下方的侧视图确定高。 之后的效果如图。 三棱锥用法： 基本工具——三棱锥，然后在仰视图画出底面三角形， 并确定另外一点的位置，再在侧视图确定高。 画成后效果如图 大家可能已经发现立体图中的点都附带上一条线段，这是后面的工具要用的，千万不能 删除！（除非你不需要再用工具） 三 长方体 长方体是立体几何最常见的图形，下面讲述新建方法。 用法：先新建三个参数分别代表长宽高， 再点击 基本工具——长 方体，顺次点击这三个参数即可，改变参数值即可改变长宽高。 新建后的情况如图。 有时由于长宽高过大，会出现这样的情况。 这时只需调节 k 值（通过拖动对应的滑杆），即可缩小图形。如图形较小，用同样方法 也可解决。 四 正交视图定点 这是很重要的一个工具，利用它可以直接在右侧正交视图（仰视图和侧视图）中确定点 的位置，工具自动计算出点在中央立体图的位置 用法：点击基本工具——正交视图定点，先在右上方确定点在仰视 图的位置，再在右下方确定点的高度 之后的效果如图。 可以利用右方灰色的栅格，定出特殊坐标（例如：坐标值是整数的点），如图。但事前 要算出每格代表多少坐标值。 也可以在正交视图新建几何图形（例如：圆），把点定在图形上，这样空间点就被约束 在图形上了。利用这种方法，以及几何画板自身的轨迹功能，可以画出空间曲线，如图： 五 xyz 坐标定点 用法：新建三个参数作为 xyz 值，再选基本工具——xyz 坐标定点， 顺次点击参数即可。 六 点的匹配 在继续之后的教学前，必须讲讲如何匹配点。这一章非常重要，希望大家注意。 基本工具中剩下的工具，都是通过直接匹配立体图中的点（而不是它在正交视图的投影）， 通过计算出空间点的坐标，再完成其余的操作（如：计算点与点的距离）。 但是，只知道点在立体图中的相对位置，是无法计算出点的空间坐标的（因为不同位置 的两个空间点在某些角度看上去是完全可以重叠的，这样就无法判断看到的是哪个点）。 怎么办呢？在这个问题上，我运用了霍焰老师的方法（在此感谢霍焰老师想出了这么好 的方法！）画出空间点时，令它附带一根线段（就像刚才大家看到的那样），线段的倾 斜程度代表点的 z 坐标，而线段的中点就是那个空间点。这样，我们反求空间点的坐标 时，只需确定它附带的线段，再度量它的斜率，然后作出线段的中点（这个点与空间点 重合，作出中点可以省去匹配空间点的一步），通过计算中点在屏幕的位置（实际上是 得出它相对于屏幕坐标平面的坐标值），结合通过斜率得出的 z 值，即可计算出它的空 间坐标。 讲了这么多，也许大家并不知道我讲什么。但没关系，我想告诉大家的是当以后的工具 提到匹配某个点时，不是匹配（点击）这个点本身，而是匹配（点击）它附带的线段。 鼠标靠近那条线段时，线段会变成蓝色，如图： 这时只需点击一下，就算匹配了这个点。 匹配点的方法：点击它附带的小线段。 七 线段上定点 这个工具可以直接在立体图作出线段上的一点，可以在立体图移动它的位置，工具自动 计算出点的三维坐标。 用法：匹配（如果不知道匹配是什么意思，请认真看第六章）线段 的两个端点即可。 注意：如果旋转视角，点的坐标会改变，这时必须重新调节坐标。 八 中点 作线段中点。 用法：选中工具，匹配所求线段两个端点。 九 定比分点 作出线段的定比分点（如三等分点）。 用法：1 新建一个参数，表示比例; 2 选中工具，匹配所求线段两 个端点。 下面讲讲参数的意义: 如图，参数 t4 的意义是 AC/AB＝0.6。 十 点在正交视图投影 有时需要获得空间点在右侧正交视图的位置。 用法：选中工具，匹配空间点。 之后会出现如下图形。 浅蓝色的点和线段就是中点在正交视图的位置。 十一 公垂线 用法：选中工具，先匹配线段 1 的两端点，再匹配线段 2 的两端点。 效果如图： 十二 平行线 用法：先匹配直线上两点，再匹配线外一点 这个工具实际上是计算线上的两点组成的向量，再将线外一点按这个向量平移。 十三 平面的单位法向量 如图： 用法：选中工具，匹配平面上三点。 粗线就是法向量，其长度为 1。 十四 匹配点的技巧 讲了这么多，我都觉得有点烦了。相信大家听了这么多，对于一些工具先匹配哪个点， 后匹配哪个点也不能全部记住（我也记不住）。怎么办呢？不用烦恼，我在制作工具的 时候，写了工具提示，可以提示各位用时匹配点的顺序。提示在哪里？就在屏幕的左下 方。如图 这样，以后应用工具看着提示做就行了。以后的工具用法我也可以简写了。 十五 线面交点 面面交线 求出线面交点和面面交线。 用法：选中工具，按照工具提示，匹配相应的点就行了。 十六 获取点的坐标 将点的坐标显示出来。 用法：选中工具，按照工具提示，匹配相应的点就行了。 以后的工具用法都是选中工具，按照工具提示，匹配相应的点就行了，我也懒的打了。 看看效果吧。 十七 距离工具 有三个：点到点的距离，点到线的距离，点到平面的距离。大家都知道用法了吧。 十八 夹角工具 也有三个：线面，面面，线线夹角工具。大家都知道用法了吧。 其中线线夹角实际上是向量的夹角，所以要注意向量的方向，有钝角时换算成锐角就行 了。这个工具效果如图： 十九 垂线工具 有两个：分别是作出点到直线的垂线，点到平面的垂线，并显示出垂足。 二十 向量工具 有两个：求出向量坐标，求出向量数量积（内积）。 二十一 面积 体积工具 求出三角形面积和三棱锥体积。 至此，基本工具包里的工具就介绍完了。利用这些工具，可以解决高中立体几何的大部 分问题。下面介绍旋转工具。 第二部分 ——旋转 一 介绍 这套工具有两个：定轴旋转和定点旋转。 定轴旋转的意思是确定空间的两个点，以这两个点的连线为轴，算出另一个点绕轴旋转 后得出的新点。 定点旋转的意思是确定空间的一个点，以及一个向量，使旋转轴经过这个点，方向沿着 向量的方向，再算出另一个点绕这根轴旋转后得出的新点。 利用这两个工具，可以做出几何体的展开动画。 二 定轴转动 用法：1 选中旋转——定轴旋转控制台；2 将要作为轴的直线上的 两点附带的线段分别命名为轴始点，轴终点；3 选中旋转——定轴 转动，匹配需要进行旋转操作的点。 新建控制台后的情况如图： 其中，参数定轴旋转角度控制之后的旋转角度，正常情况名称“定轴旋转角度”不能更 改。但是如果在作出一个旋转效果后，想再作一个独立的旋转效果（即旋转角度独立控 制），那么必须将先前的参数改名，再新建一个控制台。改名后原来的旋转效果不受影 响，而新的旋转效果会自动匹配新的角度。 如果想以另一根轴旋转，则必须将原来作为轴的线段改为其他名字，再将新轴上的两点 分别改名为轴始点，轴终点。 其实也可以不给轴起名，这时应用工具时需要匹配作为轴的两点，但要注意如果希望多 个点绕同一个方向旋转，每次必须匹配同一个点作为始点，同一个点作为终点。 利用定轴转动可以制作图形的展开动画，下面简单讲讲方法。 首先，新建定轴旋转控制台。作出顶面 4 个点绕各自边的旋转效果，再连接相应线段， 如图： 这样，四个侧面的展开效果就出来了。 那么，顶面的展开怎样制作呢？我们希望它的一边能与一个侧面连在一起，并随它一起 旋转。 怎么做到呢？我们假设顶面与面 A1B1B2A2 一起旋转，首先我们作出 C2,D2 绕轴 A1B1 的旋转效果，如图： 然后，我们再作 c2’,d2’绕轴 a2’,b2’的旋转效果，如图： 隐藏边 b2’c2’, c2’d2’, d2’a2’即可，如图： 这样展开效果就做好了。 三 定点转动 用法：1 先新建定点旋转控制台；2 将要作为轴的点附带的线段命 名为轴点；3 选中旋转——定点转动，匹配要旋转的一点。 定点旋转控制台如图： 最左边的控制旋转角度。右边的两个控制轴向量的方向。 做成后效果如图（虚线是旋转轨迹，是我后来添加的）： 图中粉红色的箭头代表轴的方向，蓝色的点是旋转后的结果。 至此，旋转工具包就介绍完了。 第三部分 ——着色工具 一 介绍 着色工具包包含四个方面的工具：线段的着色，即按距离的远近决定线段颜色的深浅； 线的虚实，即将被平面遮挡的线段显示为浅色或虚线；面的着色，根据面与光源的位置 给面着上不同的颜色；二元函数绘制工具，绘制二元函数图象。 二 线段着色 有两个工具，分别是把线段着成彩色和黑白的工具。彩色工具根据离摄像机的远近自动 调节线段的饱和值。 彩色工具用法：1 选中颜色滑块工具，新建一个颜色滑块；2 选中 着色工具——彩色，匹配线段两端点；3 调节颜色滑块直到得到理 想的效果。 效果如图： 灰度工具用法：也是先新建灰度控制台，再匹配线段两个端点，最 后调节控制台参数。 效果如图： 三 线段虚实 包含五个工具：凸多面体的虚实效果；一个三角面的遮挡判断；一个四边面的遮挡判断； 多个三角面的遮挡判断；多个四边面的遮挡判断。 凸多面体虚实效果用法：1 首先确定要出现虚实效果的棱所在的两 个面 2 选中工具，先匹配线段两个端点，再分别匹配两个面上的一 点。 注意：匹配点是有顺序的，请看图（图中要出现虚实效果的线段是粉红色的那根）； 以下这幅图讲原理。文字太多，懒得去打，于是直接插入以前作为教程的图算了。 以下讲线段被一个平面遮挡的虚实效果。 用法：1 选中着色工具——控制台，新建一个控制台；2 选中着色 工具——三角面（四边面）遮挡，匹配所需点即可。 这是控制台： 其中饱和度调节被遮挡部分的深浅，通常调至 0.2 到 0.4 效果较好。比例参数是为了实 现多个平面的遮挡效果而加上的，这里不用。 三角面，四边面遮挡效果： 注意，四边面要保证组成面的四个点共面，才能得出正确的效果。 以下讲述多个平面的虚实效果。这个工具用法比较复杂。 用法：1 选中着色工具——控制台，新建一个控制台，并把要实现 虚实效果的线段两个端点附带的线段分别命名为始点，终点； 2 选 中着色工具——三角面遮挡判断（或者四边面遮挡判断），匹配三 角面（或四边面）各顶点，这时出现名为“虚实判断”的计算结果。 3 用相同的方法得出所有面的计算结果（都是叫做“虚实判断”）， 并把这些结果相乘，将结果命名为虚实混合。4 选中最终虚实工具， 这时发现多了一个点（图中的 a 点），选中这个点和控制台最下方 滑杆上的点（就是控制比率参数的点），创建轨迹。 完成后的效果如图： 四 材质灯光控制 材质灯光控制工具是剩下的两个工具——面着色和二元函数绘制工具的基础。因此在介 绍这两个工具之前必须讲讲材质灯光控制工具各项参数的意义。 用法：选中着色工具——材质灯光控制工具，在画板中新建。 新建后的效果如图： 参数这么多，是不是觉得有点不知所措呢。不要紧，现在我来讲讲各项参数的意义。 灯泡初始化：新建后必须点一下这个按钮，使各项参数复位。 隐藏灯泡：图中黄色的圆形就是灯泡（光源），单击这个按钮可以隐藏它。 红绿蓝：对应最上面的那三个滑杆，控制面的颜色，结果可以在右边的颜色块看到。 对比度：控制亮面与暗面的差异程度，值越大对比越明显。 左边的对比度是 1，右边是 0.5 倍增器：也就是灯泡的亮度，值越大越亮。 左边倍增器是 1.84，右边是 2.87。 灯的距离：控制灯泡离 Center 点的距离，当距离较大时，光线接近于平行光。调大距 离的同时必须调大倍增器的数值，以保持亮度。 衰减：灯光亮度会随距离减少（遵循平方反比规律），此参数控制衰减速度。值越小衰 减越快。 左边值是 21，右边是 3。 分段数：控制二元函数的分段数，值越大图象越光滑。 左边分段数是 12，右边是 102。 正反判断：面的背面会被自动显示成白色，调节这个参数可以把背面着色，而正面成白 色。这个参数只有两个值 1 和-1。 中间的两段弧控制灯的水平和竖直角度。 n0：这个参数为工具进行迭代运算时用，不要动它。 五 面的着色 包括三角面和四边面着色工具。 用法：1 新建材质灯光控制工具（如果已经有就不用新建）2 选中着 色工具——三角面着色（或四边面着色），匹配面的各顶点。 注意：1 如果要制作多个面的效果，每次匹配的方向必须一致（必须都是顺时针匹配或 逆时针匹配），否则无法使所有正对着的面都着上色。 2 如果发现面是白色的，把正反控制滑杆拉到另一边，即可显示。 这是效果： 六 函数发生器 包含三个工具：函数发生器 1 ，2 和 3。1 采用点的轨迹的方法，通过空间点的轨迹描 绘出图象，2 采用迭代的方法，通过四边面的迭代得出图象。3 采用轨迹方法，不过是 描绘四边面的轨迹。发生器 1 和 3 用前都需要把轨迹的采样提高。方法是选中编辑菜单， 再按住 shift 键，选择“高级参数选项”，在采样栏里调高“新轨迹样本数量”和“最 大轨迹样本数量”。样本数量越大图象越精确，但是样本数量过大会拖慢速度。 函数发生器 1 用法：1 新建一个参数命名为 delta，以决定分段数； 2 选中函数发生器 1，在右上方的仰视图确定定义域。3 修改计算 Cz，输入新的解析式。 Delta 的值以 20 左右为宜，值增大时要同时增加采样率，再重建轨迹，才能保证准确 度。 重建轨迹的方法：先删除图象，选中定义域方框底边上的点（图中的 B9），以及立体 图中的运动点，再点构造菜单下的轨迹选项。 修改解析式的方法：双击 Cz，会出现如下计算： Cy，Cx 分别表示自变量 y ，x，这时的解析式就是 z＝sqrt（x^2+y^2）。修改成需要 的解析式就行了。 下面讲述函数发生器 2 的用法 函数发生器 2 用法：1 新建一个材质灯光控制，2 选中着色工具— —函数发生器 2，在右上方仰视图确定定义域。 修改解析式的方法：双击 Z(x),出现如图计算： 这里 Y(x)代表自变量 y；X(x)代表自变量 x，这里的解析式是 z＝0*(x+y)，自然结果是 一个平面。修改时只需将 x 用 X(x)代替，y 用 Y(x)代替（括号内一定要是 x，如不能是 Y(x^2)）。 现在我把解析式修改成 z＝sin(50*sqrt(x^2+y^2))了，得出类似波纹的效果。 函数发生器 3 用法：同函数发生器 2 一样 函数发生器 3 修改解析式的方法与 2 一样。 由于轨迹采样所限，发生器 3 无法得出像上图那样的高精度图象，但它在与 2 相同的分 段数时显示速度明显较快。 至此，这套工具的所有内容就介绍完了，希望大家看完后对我的这套工具有所了解，希 望我的这套工具能够给更多的人带来方便。 PAGE 11