高等代数第七章 线性变换第一次课 线性变换的定义及运算

第一次课 线性变换的定义及运算 教学目的： 1．理解和掌握线性变换的定义及性质。 2．掌握线性变换的运算及运算规律，理解线性变换的多项式。 教学重点：理解线性变换的定义，线性变换的运算。 教学难点：线性变换的定义及性质、线性变换的运算。 教学过程： 一、 线性变换的定义 1． 定义 线性空间 到自身的映射称为 的一个变换. 定义1 线性空间 的一个变换A称为线性变换，如果对于 中任意的元素 和数域 中任意数 ，都有 A ( )=A ( )+A ( ); A( )=A ( ). （1） 一般用花体拉丁字母A，B，…示 的线性变换，A ( )或A 代表元素 在变换A下的像. 定义中等式(1)所表示的性质，有时也说成线性变换保持向量的加法与数量乘法. 例如：.平面上的向量构成实数域上的二维线性空间.把平面围绕坐标原点按反时钟方向旋转 角，就是一个线性变换，用ℐ 表示.如果平面上一个向量 在直角坐标系下的坐标是 ，那么像ℐ ( )的坐标，即 旋转 角之后的坐标 是按照公式 . 来计算的.同样空间中绕轴的旋转也是一个线性变换. 2． 例子 （1） 零变换 线性空间 中的零变换ℴ，即 ℴ 是线性变换. （2） 单位变换 线性空间 中的恒等变换或称单位变换E，即 E 是线性变换. （3） 数乘变换 设 是数域 上的线性空间， 是 中的某个数，定义 的变换如下： . 这是一个线性变换，称为由数 决定的数乘变换，可用K表示.显然当 时，便得恒等变换，当 时，便得零变换. （4） 微分变换 在线性空间 或者 中，求微商是一个线性变换.这个变换通常用D代表，即 D（ ）= . 是一线性变换. （5） 积分变换 定义在闭区间 上的全体连续函数组成实数域上一线性空间，以 代表.在这个空间中变换 ℐ（ ）= 是一线性变换. （6） 射影变换 设 是几何空间中一固定非零向量，把每个向量 变到它在 上的内射影的变换也是一个线性变换，以 表示它.用公式表示就是 . 这里 表示内积. 2、 线性变换的简单性质 1. 设A是 的线性变换，则A (0)=0, A ( )=-A ( ). 2. 线性变换保持线性组合与线性关系式不变.换句话说，如果 是 的线性组合： , 那么经过线性变换A之后，A ( )是A ( ),A ( ),…, A ( )同样的线性组合： A ( )= A ( )+ A ( )+…+ A ( ) 又如果 之间有一线性关系式 那么它们的像之间也有同样的关系式 A ( )+ A ( )+…+ A ( )=0. 3. 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组. 3、 线性变换的运算 1． 乘法 (1)定义：设A,,B是线性空间 的两个线性变换，定义它们的乘积为. (AB)( )= A,(B ( )) ( ). 则线性变换的乘积也是线性变换. （2）性质 结合律：(AB)C=A(BC). 单位变换：对于任意线性变换A，都有 Aℰ=ℰA = A. 注：但线性变换的乘法不适合.例如，在实数域上的线性空间中，线性变换 D（ ）= . ℐ（ ）= 的乘积D ℐ=ℰ，但一般ℐD≠ℰ. 2． 加法 （1） 定义 设A,B是线性空间 的两个线性变换，定义它们的和A+B为 (A+B)( )= A ( )+B ( ) ( ). 则线性变换的和还是线性变换. （2）性质 结合律：A+(B+C)=(A+B)+C. 交换律：A+B=B+A. 零变换：A+ℴ=A，A为任意线性变换. 负变换：对于每个线性变换A，可以定义它的负变换（-A）： (-A)( )=- A ( ) ( ). 则负变换（-A）也是线性变换，且 A+（-A）=ℴ. 分配律：A(B+C)=AB+AC，(B+C)A=BA+CA. 3．数乘 （1）定义 数域 中的数k与线性变换A的数量乘法定义为 A =KA 即 A( )=K(A ( ))=KA ( ), 当然 A 还是线性变换. (2) 性质 A= ( A), A= A+ A, (A+B)= A+ B, 1A=A. 线性空间 上全体线性变换，对于如上定义的加法与数量乘法，也构成数域 上一个线性空间. 4．幂、多项式、逆变换 （1） 逆变换: 的变换A称为可逆的，如果有 的变换B 存在，使 AB=BA=E. 这时，变换B称为A的逆变换，记为A .如果线性变换A是可逆的，那么它的逆变换A 也是线性变换. （2） 幂：当 个（ 是正整数）线性变换A相乘时，就可以用 来表示，称为A的 次幂，简记为A .作为定义，令 A = E. 幂的指数法则：A =A A ,(A ) =A EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 当线性变换A可逆时，定义A的负整数幂为 A =(A ) ( 是正整数). （3）线性变换乘积的指数法则不成立，即一般说来 (AB) EMBED Equation.3 A B . （4）多项式：设 是 中一多项式，A是 的一个线性变换，定义 (A)= A + A +…+ E 显然 (A)是一线性变换，它称为线性变换A的多项式. 不难验证，如果在 中 那么 (A)= ( A)+ ( A), (A)= ( A) ( A). 特别地， (A) ( A)= ( A) ( A). 即同一个线性变换的多项式的乘法是可交换的. 四、例题 例1 在三维几何空间中，对于某一向量 的内射影 是一个线性变换. 可以用下面的公式来表示： . 其中 表示向量的内积. 从图2不难看出， 在以 为法向量的平面 上的内射影 可以用公式 表示.因此 ℰ- . 这里ℰ是恒等变换. 对于平面 的反射ℛ 也是一个线性变换，它的像由公式 ℛ 给出.因此 ℛ =ℰ-2 . 设 是空间的两个向量.显然， 与 互相垂直的充要条件为 ℴ 例2 在线性空间 中，求微商是一个线性变换，用D表示.显然有 D ℴ. 其次，变换的平移 也是一个线性变换，用ℐ 表示.根据泰勒展开式 , 因之ℐ 实质上是℄的多项式： ℐ =ℰ+ D+ D +…+ D . 作业： P320 1（1）（3）（5）（7），3，4 _1138618853.unknown _1138623447.unknown _1138887292.unknown _1138887743.unknown _1138887929.unknown _1138888138.unknown _1138888468.unknown _1138888518.unknown _1142338330.unknown _1138888555.unknown _1138888507.unknown _1138888260.unknown _1138888459.unknown _1138888163.unknown _1138888250.unknown _1138887948.unknown _1138888072.unknown _1138887937.unknown _1138887894.unknown _1138887915.unknown _1138887860.unknown _1138887495.unknown _1138887512.unknown _1138887724.unknown _1138887306.unknown _1138887409.unknown _1138887431.unknown _1138887370.unknown _1138886511.unknown _1138886632.unknown _1138887252.unknown _1138887264.unknown _1138886581.unknown _1138886612.unknown _1138886563.unknown _1138886223.unknown _1138886440.unknown _1138886454.unknown _1138886241.unknown _1138886201.unknown _1138886213.unknown _1138886188.unknown _1138623484.unknown _1138886107.unknown _1138622829.unknown _1138623091.unknown _1138623295.unknown _1138623368.unknown _1138623393.unknown _1138623311.unknown _1138623215.unknown _1138623227.unknown _1138623106.unknown _1138623119.unknown _1138622963.unknown _1138622986.unknown _1138623085.unknown _1138622976.unknown _1138622947.unknown _1138622948.unknown _1138622861.unknown _1138622876.unknown _1138621232.unknown _1138622226.unknown _1138622702.unknown _1138622792.unknown _1138622243.unknown _1138621493.unknown _1138621500.unknown _1138621479.unknown _1138619255.unknown _1138621153.unknown _1138621211.unknown _1138621227.unknown _1138619592.unknown _1138620877.unknown _1138619549.unknown _1138619574.unknown _1138618878.unknown _1138618877.unknown _1138523087.unknown _1138523400.unknown _1138618400.unknown _1138618687.unknown _1138618803.unknown _1138618814.unknown _1138618765.unknown _1138618791.unknown _1138618718.unknown _1138618764.unknown _1138618617.unknown _1138618633.unknown _1138618599.unknown _1138617718.unknown _1138618273.unknown _1138618319.unknown _1138618364.unknown _1138617880.unknown _1138617696.unknown _1138523159.unknown _1138523285.unknown _1138523381.unknown _1138523271.unknown _1138523108.unknown _1138523115.unknown _1138523096.unknown _1138520411.unknown _1138521622.unknown _1138522407.unknown _1138522979.unknown _1138523042.unknown _1138522909.unknown _1138521902.unknown _1138521931.unknown _1138521991.unknown _1138521876.unknown _1138521521.unknown _1138521601.unknown _1138520550.unknown _1138521418.unknown _1138517404.unknown _1138520358.unknown _1138520368.unknown _1138520403.unknown _1138520312.unknown _1138517372.unknown _1138517394.unknown _1138517225.unknown