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深圳大学 高数试题.doc 函数的连续性与可微性 拉格朗日从1772年就开始了他那重建微积分基础的雄心勃勃的尝试。导数概念就是拉格朗日引进的。拉格朗日认为微积分面临的困境和逻辑矛盾是由使用无穷小量引起的，如果在微积分中不用无穷小量，也就是说寻找一种不用无穷小量的方法建立微积分的基础，那么，所有对微积分的攻击就都不攻自破了。拉格朗日认为当时的代的严密性是毋庸置疑的。因此，他力图用纯代数的方法建立微各分基础。他把微积分建立在任一连续函数都存在泰勒展式这一假设上。他认为，如果将连续函数展在无穷级数，那么由所得到的无穷级数的各项系数就可以得到该函数的各阶导数，从而就避免了用无穷小量和求极限。他没有考虑到各阶导数的存在问题。拉各朗日确信连续函数一定是可微的。 在18世纪寻求建立微积分基础的工作中数学巨匠尤其是欧拉和拉格朗日给出了不正确的思路和逻辑基础。因为他们是数学界的权威，他们的思想和方法给同时代的大大小小的数学家以巨大的影响，以至许多数学家不加分析，不加批判地重复他们提出的观点，甚至在他们给出的基础上进一步发展。因而在18世纪结束之际，微积分和建立 微积分基础上的其它分支的逻辑处于一种混乱的状态中。 人们总以为在社会科学和社会发展史上，政治家、思想家方面的权威对政治和社会形势的错误估计会造成政治思想上的混乱，会影响社会的发展，从上面的例子也可以看到，科学技术上的权威对对新生事物的错误认识也会造成逻辑上的混乱，也会影响科学技术的发展。欧拉和拉格朗日虽然在重建微积分基础的逻辑上出现了失误，但他们的失误和他们对人类作出的贡献相比，错误只是沧海一粟，他们的失误是英雄的失误。 柯西把函数的连续性和导数概念的严密化提到了相当的高度，柯西给出的连续函数的定义为: 如果在两个界限之间(即某一区间)变量的无穷小增量总使函数产生一个 无穷小增量，则称函数在这两个界限之间连续。 连续性和可微性是微积分的基本概念。认为连续函数一定是可微的，在今天对一个学过高等数学的学生来说都是不可原谅的，然而犯错误的人都是当时的伟人:欧拉、拉格朗日、柯西、 高斯等。和柯西同时代的几乎所有数学家都确信连续函数一定是可微的。最早明确区别连续性和可微性的例子，出现德国大数学家黎曼1854年的论文中。1817年波察诺为了发他的论文，需要一个精确的连续函数的定义，于是波尔察诺第一个开始对函数性质仔细研究。第一个用极限概念给出了在某一区间内连续的恰当定义: 如果在某区间内任一处，只要充分小，就能使任意小，则称 在该区间上连续。 这与定义函数连续性的现代方法——非常类似。 维尔施特拉斯给出了函数连续性的现代定义: 如果对任意给定的，总存在，使当时，恒有 成立，则称在处连续。 魏尔施特拉斯用和这种静态的有限量刻划了动态的无限量，既排除了无穷小这个有 争议的概念，又消除了波尔察诺和柯西定义中的小于任意给定的量的说法的含糊性。它标志着微积分从动态化达到静态化，是对常量的否定之否定。 波尔察诺1824年觉察到了连续函数和可微性的区别。最早明确地以几何形式(1830年)给出了区别连续性和可微性的例子，但没有发表。1872年魏尔施特拉斯在柏林科学院的一次讲演中，通过一致收敛级数，用分析式给出了历史上第一个处处连续而处处不可微函数的经典例子: 其中 为奇整数，为实数，， 连续性与可微性差异的重大发现，标志着人类对函数认识的进一步深化。人们开始注意到依靠几何直观的思维方法有时是靠不住的。 数学史上一系列的事件发生的顺序是耐人寻味的。魏尔施特拉斯的例子没有过早出现是微积分发展史上的幸事。正如皮卡1905年所说的:“如果牛顿和莱布尼茨知道了连续函数不一定可导，微分学将无以产生。”的确，严谨的思想也可阻碍创造。 函数的连续性与可微性 拉格朗日从1772年就开始了他那重建微积分基础的雄心勃勃的尝试。导数概念就是拉格朗日引进的。拉格朗日认为微积分面临的困境和逻辑矛盾是由使用无穷小量引起的，如果在微积分中不用无穷小量，也就是说寻找一种不用无穷小量的方法建立微积分的基础，那么，所有对微积分的攻击就都不攻自破了。拉格朗日认为当时的代数学的严密性是毋庸置疑的。因此，他力图用纯代数的方法建立微各分基础。他把微积分建立在任一连续函数都存在泰勒展式这一假设上。他认为，如果将连续函数展在无穷级数，那么由所得到的无穷级数的各项系数就可以得到该函数的各阶导数，从而就避免了用无穷小量和求极限。他没有考虑到各阶导数的存在问题。拉各朗日确信连续函数一定是可微的。 在18世纪寻求建立微积分基础的工作中数学巨匠尤其是欧拉和拉格朗日给出了不正确的思路和逻辑基础。因为他们是数学界的权威，他们的思想和方法给同时代的大大小小的数学家以巨大的影响，以至许多数学家不加分析，不加批判地重复他们提出的观点，甚至在他们给出的基础上进一步发展。因而在18世纪结束之际，微积分和建立 微积分基础上的其它分支的逻辑处于一种混乱的状态中。 人们总以为在社会科学和社会发展史上，政治家、思想家方面的权威对政治和社会形势的错误估计会造成政治思想上的混乱，会影响社会的发展，从上面的例子也可以看到，科学技术上的权威对对新生事物的错误认识也会造成逻辑上的混乱，也会影响科学技术的发展。欧拉和拉格朗日虽然在重建微积分基础的逻辑上出现了失误，但他们的失误和他们对人类作出的贡献相比，错误只是沧海一粟，他们的失误是英雄的失误。 柯西把函数的连续性和导数概念的严密化提到了相当的高度，柯西给出的连续函数的定义为: 如果在两个界限之间(即某一区间)变量的无穷小增量总使函数产生一个 无穷小增量，则称函数在这两个界限之间连续。 连续性和可微性是微积分的基本概念。认为连续函数一定是可微的，在今天对一个学过高等数学的学生来说都是不可原谅的，然而犯错误的人都是当时的伟人:欧拉、拉格朗日、柯西、高斯等。和柯西同时代的几乎所有数学家都确信连续函数一定是可微的。最早明确区别连续性和可微性的例子，出现德国大数学家黎曼1854年的论文中。1817年波察诺为了发表他的论文，需要一个精确的连续函数的定义，于是波尔察诺第一个开始对函数性质仔细研究。第一个用极限概念给出了在某一区间内连续的恰当定义: 如果在某区间内任一处，只要充分小，就能使任意小，则称 在该区间上连续。 这与定义函数连续性的现代方法——非常类似。 维尔施特拉斯给出了函数连续性的现代定义: 如果对任意给定的，总存在，使当时，恒有 成立，则称在处连续。 魏尔施特拉斯用和这种静态的有限量刻划了动态的无限量，既排除了无穷小这个有 争议的概念，又消除了波尔察诺和柯西定义中的小于任意给定的量的说法的含糊性。它标志着微积分从动态化达到静态化，是对常量的否定之否定。 波尔察诺1824年觉察到了连续函数和可微性的区别。最早明确地以几何形式(1830年)给出了区别连续性和可微性的例子，但没有发表。1872年魏尔施特拉斯在柏林科学院的一次讲演中，通过一致收敛级数，用分析式给出了历史上第一个处处连续而处处不可微函数的经典例 子: 其中 为奇整数，为实数，， 连续性与可微性差异的重大发现，标志着人类对函数认识的进一步深化。人们开始注意到依靠几何直观的思维方法有时是靠不住的。 数学史上一系列的事件发生的顺序是耐人寻味的。魏尔施特拉斯的例子没有过早出现是微积分发展史上的幸事。正如皮卡1905年所说的:“如果牛顿和莱布尼茨知道了连续函数不一定可导，微分学将无以产生。”的确，严谨的思想也可阻碍创造。 99级第一学期《高等数学》期末试题 一、填空(每小题3分，共12分，将答案填在横线上，不填解题过程) 1(= . 2(= . 3(为实数，不定积分= . 4(设C为大于1的常数.已知，则C= . 二、选择题(每小题3分，共12分。每小题给出四种选择，有且仅有一个是正确的，将你认为正确的代号填入括号内。) 1(设，当时，是的( ) (A)高阶无穷小; (B)低阶无穷小; (C)等价无穷小; (D)同阶但非等价无穷小. 2(已知，则=( ). (A); (B) (C); (D) 3(曲线( ) (A)没有渐近线; (B)仅有水平渐近线; (C)仅有铅直渐近线; (D)既有水平渐近线，又有铅直渐近线. 4(设，，则下列结论正确的是( ). (A); (B) (C) (D). 三、求下列各题(每小题6分，共36分) 1((6分)设函数由所确定，求 2((6分)求极限 3((6分)计算不定积分 4((6分)求在处带拉格朗日余项的二阶泰勒公式. 5((6分)计算广义积分(n为自然数)。 6((6分)已知.求. 四、(7分)设，且，求. 五、(7分)已知讨论在处的连续性与可导性。 六、(8分)已知函数，求的n阶导函数的单调增和单调减区间， 及最大值与最小值. 七、(8分)在曲线上求一点M，使点M处曲线的切线与曲线及x轴所围图形 面积为. (1)求点M的坐标; (2)求过M点的切线方程; (3)求上述所围平面图形绕x=2旋转一周所得旋转体的体积V. 八、(5分)设函数在闭区间[0，2]上二阶可微，且满足， .求证在(0,2)内至少存在一点，使得=0. 九、(5分)已知函数在上连续，且有，试证若n 为奇数，则存在一个，使得。 高等数学上学期模拟试题(一) 一、选择题:(12分) 1(设f (x)在x处可导，g (x)在x处不可导，那么在x处 . 000 (A)f (x)+ g (x) 与 f (x)?g (x)在x处都不可导; 0 (B)f (x)+ g (x) 与 f (x)?g (x)在x处都可导; 0 (C)f (x)+ g (x) 未必不可导，而 f (x)?g (x)一定不可导; (D)f (x)+ g (x) 一定不可导，而 f (x)?g (x)未必不可导; 2(设，则的值等于 . ,27,27,2727(A)0; (B),2; (C)22; (D)2 3(设f (x) 在[a, b]上连续，积分中值定理:中的 是 . (A)[a, b]上任一点; (B)在[a, b]上至少存在某一点; (C)[a, b]上唯一的某一点; (D)[a, b]上的中点 4(设函数y = f (x)可导，且，则当时，该函数在x处的微分0 是 . (A)Δx的等阶无穷小; (B)Δx的同阶无穷小; (C)Δx的高阶无穷小; (D)Δx的低阶无穷小 二、填空题:(14分) 1(= . 2(函数在[-1，1]上不能有罗尔定理的结论，其原因是由于f (x)不满足罗 尔定理 的条件。 3(设，则 4(设，则= . 5(由曲线和直线所围成的图形绕直线y=,1旋转一周所得旋 转体的体积可用定积分表示为 . 三、计算题(4×3=52分) 1(求极限 2( 3(求曲线与x轴所围图形绕x轴旋转一周的旋转体之体积。 4(求极限. 5(，求. 6(求在x=1处的切线方程. 7(设，求 8(设，且存在，求f (2). 9(已知，求. 10(求. 3四、若曲线y = f (x)上点(x, y)处的切线斜率与x成正比例，并知道曲线通过点A (1,6) 和B (2,-9)，求该曲线的方程。(4分) 五、设讨论()在 = 0处的连续性和可导性。(5f xx 分) 六、设f (x)在[0,1]上连续，且0< f (x)<1，求证方程在(0,1)内 有且只有一个实根。(4分) 七、求通过点(0,0)点(1,2)的抛物线，它满足如下条件: ?对称轴平行于y轴，且图形是凸的。 ?它与x轴所围成的面积最小。(5分) 八、设函数f (x)在[a,b]上具有连续的二阶导数，且.证明 (4分) 高等数学上学期模拟试题(二) 一、填空 1(极限= . 2(设，则y′= . 3(积分和的大小关系是 . 4( . 5(设k是实常数，函数f (x)=.若存在，则k的取值范 围是 . 二、选择: 1(设，则等于: . 2222 (A)g (x); (B)2xg (x) (C)xg(x); (D)2xg (x) 2(设f (x) 在x = x处附近四阶连续可导且，0 ，则有: (A)y = f (x)在x = x有极大值; (B)y = f (x)在x = x有极小值; 00 (C)y = f (x)在x = x有拐点; (D)y = f (x)在x = x无极值也无拐点。 00 3(对于不定积分，在下列等式中正确的是 . (A); (B); (C); (D). 4(已知f (x) 在x = 0的某邻域内连续，且f (0) =0，，则在x=0处， () . fx (A)不可导 (B)可导且(C)取得极大值 (D)取得极小值 三、1.若f (x)有n阶导数，试用数学归纳法证明: 2(求曲线的拐点坐标。 3(作的图形。 4(求曲线上曲率最大的点的坐标。 四、一曲线过原点，且在任一点(x,y)的切线的斜率等于2x，求该曲线方程。 2五、当a为何值时，抛物线y=x与三直线x = a，x = a+1，y= 0所围成的图形面积最小, 六、设曲线方程为，求此曲线在横坐标x=1处的法线方程。 七、直线 = +经过点(2,1)，且使积分的值最小，求之值。 yaxba、b 八、求 九、求 十、设f (x) 具有二阶导数，在x = 0的某去心邻域内f (x) ?0，且 ，求. 十一、设f (x)在[0,1]上连续，证明。 十二、设在有意义，试证明: 高等数学上学期模拟试题(三) 一、填空题(每小题3分，共9分，填错或不填均得零分) 1(设，则= . 2( . 3(设，且f [g (x)]=lnx，则= . 二、选择题(每小题3分，共9分，选错或不选均不得零分) 1(设f (x)在[0,1]上有>0，且=0，则(1)，(0)，f (1),f (0)， 或f (0),f (1)的大小顺序是:( ) (A)(1)>(0)> f (1),f (0); (B)(1) > f (1) ,f (0)>(0); (C)f (1),f (0)>(1)>(0); (D)(1) > f (0) ,f (1)>(0) 2.设ab<0，则在a