成人高考高等数学(二)公式

1 第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ⎩⎩⎩⎩ ⎨⎨⎨⎨ ⎧⎧⎧⎧ ∈∈∈∈ ∈∈∈∈ ==== 2222 1111 ))))(((( ))))(((( D D D Dx x x xx x x xg g g g D D D Dx x x xx x x xf f f f y y y y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f-1(y) y=f-1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x∈D,x1、x2∈D 当 x1＜x2时,若 f(x1)≤f(x2), 则称 f(x)在 D 内单调增加( )； 若 f(x1)≥f(x2), 则称 f(x)在 D 内单调减少( )； 若 f(x1)＜f(x2), 则称 f(x)在 D 内严格单调增加( )； 若 f(x1)＞f(x2), 则称 f(x)在 D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x∈(-∞，+∞) 周期：T——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=xn , (n 为实数) 3.指数函数： y=ax , (a＞0、a≠1) 4.对数函数： y=loga x ,(a＞0、a≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x 2 y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x∈X 2.初等函数: 由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子示的函 数 §1.2 极 限 一、 主要内容 ㈠极限的概念 1.1.1.1. 数列的极限: Ay n n = ∞→ lim 称数列{ }ny 以常数 A 为极限; 或称数列{ }ny 收敛于 A. 定理: 若{ } n y 的极限存在⇒ { } n y 必定有界. 2.函数的极限： ⑴当 ∞→x 时， )(xf 的极限： Axf Axf Axf x x x =⇔⎟ ⎟ ⎠ ⎞ = = ∞→ +∞→ −∞→ )(lim )(lim )(lim ⑵当 0xx→ 时， )(xf 的极限： Axf xx = → )(lim 0 左极限： Axf xx = −→ )(lim 0 3 右极限： Axf xx = +→ )(lim 0 ⑶函数极限存的充要条件： 定理： AxfxfAxf xxxx xx ==⇔= +− →→→ )(lim)(lim)(lim 000 ㈡无穷大量和无穷小量 1． 无穷大量： +∞=)(lim xf 称在该变化过程中 )(xf 为无穷大量。 X 再某个变化过程是指： ,,, ∞→+∞→−∞→ xxx 000 ,, xxxxxx →→→ +− 2． 无穷小量： 0)(lim =xf 称在该变化过程中 )(xf 为无穷小量。 3． 无穷大量与无穷小量的关系： 定理： )0)((, )( 1 lim0)(lim ≠+∞=⇔= xf xf xf 4． 无穷小量的比较： 0lim,0lim == βα ⑴若 0lim = α β ,则称β是比α较高阶的无穷小量； ⑵若 c= α β lim （c 为常数），则称β与α同阶的无穷小量； ⑶若 1lim = α β ，则称β与α是等价的无穷小量，记作：β～α； 4 ⑷若 ∞= α β lim ,则称β是比α较低阶的无穷小量。 定理：若： ；， 2211 ~~ βαβα 则： 2 1 2 1 limlim β β α α = ㈢两面夹定理 1． 数列极限存在的判定准则： 设： nnn zxy ≤≤ （n=1、2、3…） 且： azy n n n n == ∞→∞→ limlim 则： ax n n = ∞→ lim 2． 函数极限存在的判定准则： 设：对于点 x0的某个邻域内的一切点 （点 x0除外）有： )()()( xhxfxg ≤≤ 且： Axhxg xxxx == →→ )(lim)(lim 00 则： Axf xx = → )(lim 0 ㈣极限的运算规则 若： BxvAxu == )(lim,)(lim 5 则：① BAxvxuxvxu ±=±=± )(lim)(lim)]()(lim[ ② BAxvxuxvxu ⋅=⋅=⋅ )(lim)(lim)]()(lim[ ③ B A xv xu xv xu == )(lim )(lim )( )( lim )0)((lim ≠xv 推论：① )]()()(lim[ 21 xuxuxu n±±± L )(lim)(lim)(lim 21 xuxuxu n±±±= L ② )(lim)](lim[ xucxuc ⋅=⋅ ③ nn xuxu )]([lim)](lim[ = ㈤两个重要极限 1． 1 sin lim 0 = → x x x 或 1 )( )(sin lim 0)( = → x x x ϕ ϕ ϕ 2． e x x x =+ ∞→ ) 1 1(lim ex x x =+ → 1 0 )1(lim §1.3 连续 一、 主要内容 ㈠ 函数的连续性 1. 函数在 0x 处连续： )(xf 在 0x 的邻域内有定义， 1o 0)]()([limlim 00 00 =−∆+=∆ →∆→∆ xfxxfy xx 2o )()(lim 0 0 xfxf xx = → 6 左连续： )()(lim 0 0 xfxf xx = −→ 右连续： )()(lim 0 0 xfxf xx = +→ 2. 函数在 0x 处连续的必要条件： 定理： )(xf 在 0x 处连续⇒ )(xf 在 0x 处极限存在 3. 函数在 0x 处连续的充要条件： 定理： )()(lim)(lim)()(lim 00 000 xfxfxfxfxf xxxx xx ==⇔= +− →→→ 4. 函数在 [ ]ba, 上连续： )(xf 在 [ ]ba, 上每一点都连续。 在端点a 和b 连续是指： )()(lim afxf ax = +→ 左端点右连续； )()(lim bfxf bx = −→ 右端点左连续。 a+ 0 b- x 5. 函数的间断点： 若 )(xf 在 0x 处不连续，则 0x 为 )(xf 的间断点。 间断点有三种情况： 1o 在 0x 处无定义； 2o )(lim 0 xf xx→ 不存在； 7 3o 在 0x 处有定义，且 )(lim 0 xf xx→ 存在， 但 )()(lim 0 0 xfxf xx ≠ → 。 两类间断点的判断： 1o第一类间断点： 特点： )(lim 0 xf xx −→ 和 )(lim 0 xf xx +→ 都存在。 可去间断点： )(lim 0 xf xx→ 存在，但 )()(lim 0 0 xfxf xx ≠ → ，或 在 0x 处无定义。 2o第二类间断点： 特点： )(lim 0 xf xx −→ 和 )(lim 0 xf xx +→ 至少有一个为∞， 或 )(lim 0 xf xx→ 振荡不存在。 无穷间断点： )(lim 0 xf xx −→ 和 )(lim 0 xf xx +→ 至少有一个为∞ ㈡函数在 0x 处连续的性质 1. 连续函数的四则运算： 设 )()(lim 0 0 xfxf xx = → ， )()(lim 0 0 xgxg xx = → 1o )()()]()([lim 00 0 xgxfxgxf xx ±=± → 8 2o )()()]()([lim 00 0 xgxfxgxf xx ⋅=⋅ → 3o )( )( )( )( lim 0 0 0 xg xf xg xf xx = → ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ ≠ → 0)(lim 0 xg xx 2. 复合函数的连续性： )]([),(),( xfyxuufy ϕϕ === )]([)(lim),()(lim 0 )( 0 00 xfufxx xuxx ϕϕϕ ϕ == →→ 则： )]([)](lim[)]([lim 0 00 xfxfxf xxxx ϕϕϕ == →→ 3. 反函数的连续性： )(),(),( 00 1 xfyxfxxfy === − )()(lim)()(lim 0 11 0 00 yfyfxfxf yyxx −− →→ =⇔= ㈢函数在 ],[ ba 上连续的性质 1.最大值与最小值定理： )(xf 在 ],[ ba 上连续⇒ )(xf 在 ],[ ba 上一定存在最大值与最小值。 y y +M M f(x) f(x) 0 a b x m -M 0 a b x 9 2.2.2.2. 有界定理： )(xf 在 ],[ ba 上连续⇒ )(xf 在 ],[ ba 上一定有界。 3.介值定理： )(xf 在 ],[ ba 上连续⇒ 在 ),( ba 内至少存在一点 ξ ，使得： cf =)(ξ ， 其中： Mcm ≤≤ y y M f(x) C f(x) 0 a ξ b x m 0 a ξ1 ξ2 b x 推论： )(xf 在 ],[ ba 上连续，且 )(af 与 )(bf 异号 ⇒ 在 ),( ba 内至少存在一点ξ ，使得： 0)( =ξf 。 4.初等函数的连续性： 初等函数在其定域区间内都是连续的。 第二章 一元函数微分学 §2.1 导数与微分 一、主要内容 ㈠导数的概念 1．导数： ))))((((xxxxffffyyyy ==== 在 0000xxxx 的某个邻域内有定义， 10 x x x x x x x xf f f fx x x xx x x xf f f f x x x x y y y y x x x xx x x x ∆∆∆∆ −−−−∆∆∆∆++++ ==== ∆∆∆∆ ∆∆∆∆ →→→→∆∆∆∆→→→→∆∆∆∆ ))))(((())))(((( limlimlimlimlimlimlimlim 00000000 00000000 0000 0000 ))))(((())))((((limlimlimlim 0000 x x x xx x x x x x x xf f f fx x x xf f f f x x x xx x x x −−−− −−−− ==== →→→→ 00000000 ))))(((( 0000 xxxxxxxxxxxxxxxx dx dx dx dx dy dy dy dy x x x xf f f fy y y y ======== ====′′′′====′′′′ 2．左导数： 0000 0000 0000 ))))(((())))(((( limlimlimlim))))(((( 0000 xxxxxxxx x x x xf f f fx x x xf f f f x x x xf f f f x x x xx x x x −−−− −−−− ====′′′′ −−−−→→→→ −−−− 右导数： 0000 0000 0000 ))))(((())))(((( limlimlimlim))))(((( 0000 xxxxxxxx x x x xf f f fx x x xf f f f x x x xf f f f x x x xx x x x −−−− −−−− ====′′′′ ++++→→→→ ++++ 定理： ))))((((xxxxffff 在 0000xxxx 的左（或右）邻域上连续在 其内可导，且极限存在； 则： ))))((((limlimlimlim))))(((( 0000 0000 xxxxffffxxxxffff x x x xx x x x ′′′′====′′′′ −−−−→→→→ −−−− （或： ))))((((limlimlimlim))))(((( 0000 0000 xxxxffffxxxxffff x x x xx x x x ′′′′====′′′′ ++++→→→→ ++++ ） 3.函数可导的必要条件： 定理： ))))((((xxxxffff 在 0000xxxx 处可导⇒⇒⇒⇒ ))))((((xxxxffff 在 0000xxxx 处连续 4. 函数可导的充要条件： 定理： ))))(((( 00000000 xxxxffffyyyy xxxxxxxx ′′′′====′′′′ ==== 存在 ))))(((())))(((( 00000000 xxxxffffxxxxffff ++++−−−− ′′′′====′′′′⇒⇒⇒⇒ ， 且存在。 11 5.导函数： ),),),),((((xxxxffffyyyy ′′′′====′′′′ )))),,,,(((( bbbbaaaaxxxx∈∈∈∈ ))))((((xxxxffff 在 )))),,,,(((( bbbbaaaa 内处处可导。 y )( 0xf ′ )(xf 6.导数的几何性质： y∆ ))))(((( 0000xxxxffff ′′′′ 是曲线 ))))((((xxxxffffyyyy ==== 上点 x∆ (((( ))))00000000 ,,,, yyyyxxxxMMMM 处切线的斜率。 o x0 x ㈡求导法则 1.基本求导公式： 2.导数的四则运算： 1o vvvvuuuuvvvvuuuu ′′′′±±±±′′′′====′′′′±±±± ))))（ 2o vvvvuuuuvvvvuuuuvvvvuuuu ′′′′⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅′′′′====′′′′⋅⋅⋅⋅ ))))（ 3o 2222 v v v v v v v vu u u uv v v vu u u u v v v v u u u u ′′′′⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅′′′′ ==== ′′′′ ⎟⎟⎟⎟ ⎠⎠⎠⎠ ⎞⎞⎞⎞ ⎜⎜⎜⎜ ⎝⎝⎝⎝ ⎛⎛⎛⎛ ))))0000(((( ≠≠≠≠vvvv 3.复合函数的导数： )])])])](((([[[[),),),),((((),),),),(((( xxxxffffyyyyxxxxuuuuuuuuffffyyyy ϕϕϕϕϕϕϕϕ ============ dx dx dx dx du du du du du du du du dy dy dy dy dx dx dx dx dy dy dy dy ⋅⋅⋅⋅==== ，或 ))))(((()])])])](((([[[[}}}})])])])](((([[[[{{{{ xxxxxxxxffffxxxxffff ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ ′′′′⋅⋅⋅⋅′′′′====′′′′ ☆注意 }}}})])])])](((([[[[{{{{ ′′′′xxxxffff ϕϕϕϕ 与 )])])])](((([[[[ xxxxffff ϕϕϕϕ′′′′ 的区别： }}}})])])])](((([[[[{{{{ ′′′′xxxxffff ϕϕϕϕ 表示复合函数对自变量 xxxx求导； )])])])](((([[[[ xxxxffff ϕϕϕϕ′′′′ 表示复合函数对中间变量 ))))((((xxxxϕϕϕϕ 求导。 4.高阶导数： ))))((((),),),),((((),),),),(((( ))))3333(((( x x x xf f f fx x x xf f f fx x x xf f f f 或′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′ 12 ))))4444,,,,3333,,,,2222((((,,,,]]]]))))(((([[[[))))(((( ))))1111(((())))(((( L====′′′′==== −−−− nnnnxxxxffffxxxxffff nnnnnnnn 函数的 n 阶导数等于其 n-1 导数的导数。 ㈢微分的概念 1.微分： ))))((((xxxxffff 在 xxxx 的某个邻域内有定义， ))))(((())))(((( xxxxooooxxxxxxxxAAAAyyyy ∆∆∆∆++++∆∆∆∆⋅⋅⋅⋅====∆∆∆∆ 其中： ))))((((xxxxAAAA 与 xxxx∆∆∆∆ 无关， ))))(((( xxxxoooo ∆∆∆∆ 是比 xxxx∆∆∆∆ 较高 阶的无穷小量，即： 0000 ))))(((( limlimlimlim 0000 ==== ∆∆∆∆ ∆∆∆∆ →→→→∆∆∆∆ x x x x x x x xo o o o x x x x 则称 ))))((((xxxxffffyyyy ==== 在 xxxx处可微，记作： x x x xx x x xA A A Ady dy dy dy ∆∆∆∆==== ))))(((( dx dx dx dxx x x xA A A Ady dy dy dy ))))((((==== ))))0000(((( →→→→∆∆∆∆xxxx 2.导数与微分的等价关系： 定理： ))))((((xxxxffff 在 xxxx处可微 ))))((((xxxxffff⇒⇒⇒⇒ 在 xxxx处可导， 且： ))))(((())))(((( xxxxAAAAxxxxffff ====′′′′ 3.微分形式不变性： du du du duu u u uf f f fdy dy dy dy ))))((((′′′′==== 不论 u 是自变量，还是中间变量，函数的 微分dydydydy 都具有相同的形式。 §2.2 中值定理及导数的应用 一、主要内容 ㈠中值定理 1.罗尔定理: ))))((((xxxxffff 满足条件: 13 ....0000))))(((( ,,,, )))),,,,(((( ).).).).(((())))((((3333 ;;;;)))),,,,((((2222 ]]]],,,,[[[[1111 0000 .... 0000 .... 0000 .... ====′′′′ ⇒⇒⇒⇒ ⎪⎪⎪⎪ ⎭⎭⎭⎭ ⎪⎪⎪⎪ ⎬⎬⎬⎬ ⎫⎫⎫⎫ ==== ξξξξ ξ ξ ξ ξ f f f f b b b ba a a a b b b bf f f fa a a af f f f b b b ba a a a b b b ba a a a 使得 存在一点 内至少在 内可导在 上连续；在 y ))))((((ξξξξffff ′′′′ ))))((((ξξξξffff ′′′′ ))))((((xxxxffff ))))((((xxxxffff a o ξ b x a o ξ b x 2.拉格朗日定理： ))))((((xxxxffff 满足条件: a a a ab b b b a a a af f f fb b b bf f f f f f f f b b b ba a a a b b b ba a a a b b b ba a a a −−−− −−−− ====′′′′ ⇒⇒⇒⇒ ⎭⎭⎭⎭ ⎬⎬⎬⎬ ⎫⎫⎫⎫ ))))(((())))(((( ))))(((( )))),,,,(((( )))),,,,((((2222 ]]]],,,,[[[[1111 0000 0000 ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ，使得：在一点 内至少存在 内可导；在 上连续，在 ㈡罗必塔法则：（ ∞∞∞∞ ∞∞∞∞ ,,,, 0000 0000 型未定式） 定理： )(xf 和 )(xg 满足条件： 1o ）或 ）或 ∞= ∞= → → (0)(lim (0)(lim xg xf ax ax ； 2o在点 a 的某个邻域内可导，且 0)( ≠′ xg ； 14 3o ）（或∞= ′ ′ ∞→ , )( )( lim )( A xg xf ax 则： ）（或∞= ′ ′ = ∞→∞→ , )( )( lim )( )( lim )()( A xg xf xg xf axax ☆注意：1o法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。 2o若不满足法则的条件，不能使用法则。 即不是 0 0 型或 ∞ ∞ 型时，不可求导。 3o应用法则时，要分别对分子、分母 求导，而不是对整个分式求导。 4o若 )(xf ′ 和 )(xg′ 还满足法则的条件， 可以继续使用法则，即： ）（或∞∞∞∞==== ′′′′′′′′ ′′′′′′′′ ==== ′′′′ ′′′′ ==== ∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→ A A A A x x x xg g g g x x x xf f f f x x x xg g g g x x x xf f f f x x x xg g g g x x x xf f f f a a a ax x x xa a a ax x x xa a a ax x x x ))))(((( ))))(((( limlimlimlim ))))(((( ))))(((( limlimlimlim ))))(((( ))))(((( limlimlimlim ))))(((())))(((())))(((( 5o若函数是 ∞∞∞∞−−−−∞∞∞∞∞∞∞∞⋅⋅⋅⋅ ,,,,0000 型可采用代数变 形，化成 0000 0000 或 ∞∞∞∞ ∞∞∞∞ 型；若是 00000000 ,,,,0000,,,,1111 ∞∞∞∞∞∞∞∞ 型可 采用对数或指数变形，化成 0000 0000 或 ∞∞∞∞ ∞∞∞∞ 型。 ㈢导数的应用 1．切线方程和法线方程： 设： )))),,,,((((),),),),(((( 00000000 yyyyxxxxMMMMxxxxffffyyyy ==== 切线方程： )))))()()()((((( 000000000000 xxxxxxxxxxxxffffyyyyyyyy −−−−′′′′====−−−− 15 法线方程： ))))0000))))((((((((),),),),(((( ))))(((( 1111 00000000 0000 0000 ≠≠≠≠′′′′−−−−′′′′ −−−−====−−−− xxxxffffxxxxxxxx x x x xf f f f y y y yy y y y 2．曲线的单调性： ⑴ )))),,,,((((0000))))(((( bbbbaaaaxxxxxxxxffff ∈∈∈∈≥≥≥≥′′′′ 内单调增加；在 )))),,,,(((())))(((( bbbbaaaaxxxxffff⇒⇒⇒⇒ )))),,,,((((0000))))(((( bbbbaaaaxxxxxxxxffff ∈∈∈∈≤≤≤≤′′′′ 内单调减少；在 )))),,,,(((())))(((( bbbbaaaaxxxxffff⇒⇒⇒⇒ ⑵ )))),,,,((((0000))))(((( bbbbaaaaxxxxxxxxffff ∈∈∈∈>>>>′′′′ 内严格单调增加；在 )))),,,,(((( bbbbaaaa⇒⇒⇒⇒ )))),,,,((((0000))))(((( bbbbaaaaxxxxxxxxffff ∈∈∈∈<<<<′′′′ 内严格单调减少。在 )))),,,,(((( bbbbaaaa⇒⇒⇒⇒ 3.函数的极值： ⑴极值的定义： 设 )(xf 在 ),( ba 内有定义， 0 x 是 ),( ba 内的一点； 若对于 0 x 的某个邻域内的任意点 0 xx ≠ ，都有： )]()()[()( 00 xfxfxfxf ≤≥ 或 则称 )( 0xf 是 )(xf 的一个极大值（或极小值）， 称 0 x 为 )(xf 的极大值点（或极小值点）。 ⑵极值存在的必要条件： 定理： 0)( )(.2 )()(.1 0 0 0 0 0 =⇒ ⎭ ⎬ ⎫ ′ xf xf xfxf 存在。 存在极值 0x 称为 )(xf 的驻点 16 ⑶极值存在的充分条件： 定理一： 是极值点。 是极值； 时变号。过 不存在；或 处连续；在 0 0 0 0 00 0 0 0 )( )(.3 )(0)(.2 )(.1 x xf xxf xfxf xxf ⇒ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ′ ′=′ 当 x 渐增通过 0 x 时， )(xf 由（+）变（-）； 则 )( 0xf 为极大值； 当 x 渐增通过 0 x 时， )(xf 由（-）变（+）；则 )( 0xf 为极小值。 定理二： 是极值点。 是极值； 存在。 ； 0 0 0 0 0 0 )( )(.2 0)(.1 x xf xf xf ⇒ ⎭ ⎬ ⎫ ′′ =′ 若 0)( 0 <′′ xf ，则 )( 0xf 为极大值； 若 0)( 0 >′′ xf ，则 )( 0xf 为极小值。 ☆注意：驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。 4．曲线的凹向及拐点： ⑴若 ( ) baxxf ,,0)( ∈>′′ ；则 )(xf 在 ),( ba 内是上凹的（或凹的），（∪）； ⑵若 ( ) baxxf ,,0)( ∈<′′ ；则 )(xf 在 ),( ba 内是下凹的（或凸的），（∩）； ⑶ ( ) 的拐点。为 称 时变号。过 ， )( )(, )(.2 0)(.1 00 0 0 0 0 xf xfx xxf xf ⇒ ⎭ ⎬ ⎫ ′′ =′′ 5。曲线的渐近线： 17 ⑴水平渐近线： 的水平渐近线。 是 或 若 )( )(lim )(lim xfAy Axf Axf x x = ⇒ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ = = +∞→ −∞→ ⑵铅直渐近线： 的铅直渐近线。 是 或 若 )( )(lim )(lim xfCx xf xf Cx Cx = ⇒ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ∞= ∞= + − → → 第三章 一元函数积分学 §3.1 不定积分 一、主要内容 ㈠重要的概念及性质： 1．原函数：设： D D D Dx x x xx x x xF F F Fx x x xf f f f ∈∈∈∈),),),),((((),),),),(((( 若： ))))(((())))(((( xxxxffffxxxxFFFF ====′′′′ 则称 ))))((((xxxxFFFF 是 ))))((((xxxxffff 的一个原函数， 并称 C C C Cx x x xF F F F ++++))))(((( 是 ))))((((xxxxffff 的所有原函数, 其中 C 是任意常数。 2．不定积分： 函数 ))))((((xxxxffff 的所有原函数的全体， 称为函数 ))))((((xxxxffff 的不定积分；记作： ∫∫∫∫ ++++==== CCCCxxxxFFFFdxdxdxdxxxxxffff ))))(((())))(((( 其中： ))))((((xxxxffff 称为被积函数； 18 dx dx dx dxx x x xf f f f ))))(((( 称为被积表达式； x x x x 称为积分变量。 3. 不定积分的性质： ⑴ [[[[ ]]]] ))))(((())))(((( xxxxffffdxdxdxdxxxxxffff ====′′′′∫∫∫∫ 或： [[[[ ]]]] dx dx dx dxx x x xf f f fdx dx dx dxx x x xf f f fd d d d ))))(((())))(((( ====∫∫∫∫ ⑵ C C C Cx x x xf f f fdx dx dx dxx x x xf f f f ++++====′′′′∫∫∫∫ ))))(((())))(((( 或： C C C Cx x x xf f f fx x x xdf df df df ++++====∫∫∫∫ ))))(((())))(((( ⑶ ∫∫∫∫ ++++++++++++ dxdxdxdxxxxxffffxxxxffffxxxxffff nnnn )])])])](((())))(((())))(((([[[[ 22221111 L ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ++++++++++++==== dxdxdxdxxxxxffffdxdxdxdxxxxxffffdxdxdxdxxxxxffff nnnn ))))(((())))(((())))(((( 22221111 L —分项积分法 ⑷ ∫∫∫∫∫∫∫∫ ==== dxdxdxdxxxxxffffkkkkdxdxdxdxxxxxkfkfkfkf ))))(((())))(((( (k 为非零常数) 4.基本积分公式： ㈡换元积分法： ⒈第一换元法：（又称“凑微元”法） ∫∫∫∫ ′′′′ dxdxdxdxxxxxxxxxffff ))))(((()])])])](((([[[[ ϕϕϕϕϕϕϕϕ ∫∫∫∫⇑⇑⇑⇑==== ))))(((()])])])](((([[[[ xxxxddddxxxxffff ϕϕϕϕϕϕϕϕ凑微元 C C C Ct t t tF F F Fdt dt dt dtt t t tf f f f x x x xt t t t ++++======== ∫∫∫∫⇑⇑⇑⇑ ==== ))))(((())))(((( ))))((((ϕϕϕϕ令 C C C Cx x x xF F F F x x x xt t t t ++++==== ⇑⇑⇑⇑ ==== )])])])](((([[[[ ))))(((( ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ回代 常用的凑微元函数有： 19 1o ))))(((( 1111 ))))(((( 1111 b b b bax ax ax axd d d d a a a a ax ax ax axd d d d a a a a dx dx dx dx ++++======== ))))0000,,,,(((( ≠≠≠≠aaaabbbbaaaa 为常数， 2o ))))(((( ))))1111(((( 1111 1111 1111 11111111 b b b bax ax ax axd d d d m m m ma a a a dx dx dx dx m m m m dx dx dx dxx x x x m m m mm m m mm m m m ++++ ++++ ==== ++++ ==== ++++++++ 为常数）（mmmm 3o ))))(((( 1111 ))))(((( bbbbaeaeaeaedddd a a a a e e e ed d d ddx dx dx dxe e e e x x x xx x x xx x x x ++++======== ))))1111,,,,0000((((),),),),(((( lnlnlnln 1111 ≠≠≠≠>>>>==== aaaaaaaaaaaadddd a a a a dx dx dx dxa a a a x x x xx x x x 4o ))))(ln(ln(ln(ln 1111 x x x xd d d ddx dx dx dx x x x x ==== 5o ))))(sin(sin(sin(sincoscoscoscos))))(cos(cos(cos(cossinsinsinsin xxxxddddxdxxdxxdxxdxxxxxdddddxdxdxdx ====−−−−==== ))))(cot(cot(cot(cotcsccsccsccsc))))(tan(tan(tan(tansecsecsecsec 22222222 xxxxddddxdxxdxxdxxdxxxxxddddxdxxdxxdxxdx −−−−======== 6o ))))(arccos(arccos(arccos(arccos))))(arcsin(arcsin(arcsin(arcsin 1111 1111 2222 x x x xd d d dx x x xd d d ddx dx dx dx x x x x −−−−======== −−−− ))))cotcotcotcot(((())))(arctan(arctan(arctan(arctan 1111 1111 2222 x x x xarc arc arc arcd d d dx x x xd d d ddx dx dx dx x x x x −−−−======== ++++ 2.第二换元法： 20 ∫∫∫∫∫∫∫∫ ⇑⇑⇑⇑ ==== ==== ))))(((()])])])](((([[[[))))(((( ))))(((( t t t td d d dt t t tf f f fdx dx dx dxx x x xf f f f t t t tx x x x ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ令 ∫∫∫∫ ++++====′′′′==== CCCCttttFFFFdxdxdxdxttttfffftttt ))))(((()])])])](((([[[[))))(((( ϕϕϕϕϕϕϕϕ C C C Cx x x xF F F F x x x xt t t t ++++==== −−−− ==== ⇑⇑⇑⇑ −−−− )])])])](((([[[[ 1111 ))))((((1111 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ反代 第二换元法主要是针对含有根式的被积函数， 其作用是将根式有理化。 一般有以下几种代换： 1o 0000,,,,,,,, >>>>==== ttttnnnnttttxxxx n n n n 为偶数时 (当被积函数中有 n n n n x x x x 时) 2o 22220000),),),),coscoscoscos((((,,,,sinsinsinsin π π π π≤≤≤≤≤≤≤≤======== ttttxxxxaaaaxxxxttttaaaaxxxx 或 (当被积函数中有 22222222 x x x xa a a a −−−− 时) 3o ))))0000((((,,,,0000),),),),cotcotcotcot((((,,,,tantantantan 22222222 π π π ππ π π π ≤≤≤≤<<<<<<<<≤≤≤≤======== ttttttttttttaaaaxxxxttttaaaaxxxx 或 (当被积函数中有 22222222 x x x xa a a a ++++ 时) 4o ))))0000((((,,,,0000),),),),csccsccsccsc((((,,,,secsecsecsec 22222222 π π π ππ π π π ≤≤≤≤<<<<<<<<≤≤≤≤======== ttttttttttttaaaaxxxxttttaaaaxxxx 或 (当被积函数中有 22222222 a a a ax x x x −−−− 时) ㈢分部积分法： 1. 分部积分公式： 21 ⇓⇓⇓⇓⇑⇑⇑⇑ ∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫ ⋅⋅⋅⋅′′′′−−−−⋅⋅⋅⋅====′′′′⋅⋅⋅⋅ −−−−⋅⋅⋅⋅==== vdx vdx vdx vdxu u u uv v v vu u u udx dx dx dxv v v vu u u u vdu vdu vdu vduv v v vu u u uudv udv udv udv 2.分部积分法主要针对的类型： ⑴ ∫∫∫∫∫∫∫∫ xdxxdxxdxxdxxxxxPPPPxdxxdxxdxxdxxxxxPPPP coscoscoscos))))((((,,,,sinsinsinsin))))(((( ⑵ ∫∫∫∫ dxdxdxdxeeeexxxxPPPP xxxx))))(((( ⑶ ∫∫∫∫ xdxxdxxdxxdxxxxxPPPP lnlnlnln))))(((( ⑷ ∫∫∫∫∫∫∫∫ xdxxdxxdxxdxxxxxPPPPxdxxdxxdxxdxxxxxPPPP arccosarccosarccosarccos))))((((,,,,arcsinarcsinarcsinarcsin))))(((( ∫∫∫∫∫∫∫∫ xdxxdxxdxxdxarcarcarcarcxxxxPPPPxdxxdxxdxxdxxxxxPPPP cotcotcotcot))))((((,,,,arctanarctanarctanarctan))))(((( ⑸ ∫∫∫∫∫∫∫∫ bxdxbxdxbxdxbxdxeeeebxdxbxdxbxdxbxdxeeee axaxaxaxaxaxaxax coscoscoscos,,,,sinsinsinsin 其中： n n n n n n n nn n n n a a a ax x x xa a a ax x x xa a a ax x x xP P P P ++++++++++++==== −−−− L111111110000))))(((( （多项式） 3.选 u 规律： ⑴在三角函数乘多项式中，令 uuuuxxxxPPPP ====))))(((( ， 其余记作 dv;简称“三多选多”。 ⑵在指数函数乘多项式中，令 uuuuxxxxPPPP ====))))(((( ， 其余记作 dv;简称“指多选多”。 ⑶在多项式乘对数函数中，令 uuuuxxxx ====lnlnlnln ， 其余记作 dv;简称“多对选对”。 ⑷在多项式乘反三角函数中，选反三角函数 为 u，其余记作 dv;简称“多反选反”。 ⑸在指数函数乘三角函数中，可任选一函数 为 u，其余记作 dv;简称“指三任选”。 ㈣简单有理函数积分： 22 1. 有理函数： ))))(((( ))))(((( ))))(((( x x x xQ Q Q Q x x x xP P P P x x x xf f f f ==== 其中 ))))(((())))(((( xxxxQQQQxxxxPPPP 和 是多项式。 2. 简单有理函数： ⑴ 22221111 ))))(((( ))))((((,,,, 1111 ))))(((( ))))(((( x x x x x x x xP P P P x x x xf f f f x x x x x x x xP P P P x x x xf f f f ++++ ==== ++++ ==== ⑵ )))))()()()((((( ))))(((( ))))(((( b b b bx x x xa a a ax x x x x x x xP P P P x x x xf f f f ++++++++ ==== ⑶ b b b ba a a ax x x x x x x xP P P P x x x xf f f f ++++++++ ==== 2222))))(((( ))))(((( ))))(((( §3.2 定积分 f(x) 一． 主要内容 （一）.重要概念与性质 1. 定积分的定义： O a x1 x2 xi-1 ξi xi xn-1 b x [[[[ ]]]] i i i ii i i ii i i i b b b b a a a a n n n n i i i i i i i ii i i i n n n n x x x x x x x xx x x xx x x xf f f fdx dx dx dxx x x xf f f f ,,,,))))(((())))(((( 1111 11110000 limlimlimlim −−−− ==== ∞∞∞∞→→→→ →→→→∆∆∆∆ ∈∈∈∈∆∆∆∆====∫∫∫∫ ∑∑∑∑ ξξξξξξξξ 定积分含四步：分割、近似、求和、取极限。 定积分的几何意义：是介于 x 轴，曲线 y=f(x), 直线 x=a,x=b 之间各部分面积的代数和。 x 轴上方的面积取正号， y x 轴下方的面积取负号。 + + a 0 - b x 2. 定积分存在定理： [[[[ ]]]] b b b ba a a ax x x xx x x xf f f fy y y y ,,,,))))(((( ∈∈∈∈====设： 若：f(x)满足下列条件之一: 23 [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] ;;;;,,,,))))((((....2222 ;;;;,,,,))))((((....1111 点上有有限个第一类间断在 连续， b b b ba a a ax x x xf f f f b b b ba a a ax x x xx x x xf f f f o o ∈∈∈∈ [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]上可积。在则： 上单调有界在 b b b ba a a ax x x xf f f f b b b ba a a ax x x xf f f f ,,,,))))(((( ;;;;,,,,))))((((....3333o 若积分存在，则积分值与以下因素无关： [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]上任意选取。可以在的选取无关，即与点 可以任意划分上的划分无关，即与在 即与积分变量形式无关， i i i ii i i ii i i ii i i i b b b b a a a a b b b b a a a a x x x xx x x x b b b ba a a ab b b ba a a a dt dt dt dtt t t tf f f fdx dx dx dxx x x xf f f f ,,,,11113333 ;;;;,,,,,,,,2222 ;;;;))))(((())))((((1111 −−−− ∫∫∫∫∫∫∫∫ ==== ξ ξ ξ ξξ ξ ξ ξ o o o 有关。与区间积分值仅与被积函数 ]]]],,,,[[[[))))(((( bbbbaaaaxxxxffff 3. 牛顿——莱布尼兹公式： [[[[ ]]]] ))))(((())))(((())))(((())))(((( ,,,,))))(((())))(((( a a a aF F F Fb b b bF F F Fx x x xF F F Fdx dx dx dxx x x xf f f f b b b ba a a ax x x xf f f fx x x xF F F F b b b b a a a a b b b b a a a a −−−−========∫∫∫∫则： 上的任意一个原函数：在是连续函数若 *牛顿——莱布尼兹公式是积分学中的核心定理，其作用是将一个求曲边面积值的问转化为寻找原函数及 计算差量的问题。 4. 原函数存在定理： [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] ))))(((())))))))(((((((())))(((( ]]]],,,,[[[[))))(((())))(((( ,,,,,,,,))))(((())))(((( ,,,,,,,,))))(((( x x x xf f f fdt dt dt dtt t t tf f f fx x x x b b b ba a a ax x x xf f f fx x x x b b b ba a a ax x x xdt dt dt dtt t t tf f f fx x x x b b b ba a a ax x x xx x x xf f f f x x x x a a a a x x x x a a a a ====′′′′====′′′′ ∈∈∈∈==== ∈∈∈∈ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 且： 上的一个原函数，在是 则： 连续，若 24 5. 定积分的性质： 上可积，则：在设 ]]]],,,,[[[[))))((((),),),),(((( bbbbaaaaxxxxggggxxxxffff ∫∫∫∫∫∫∫∫ ==== b b b b a a a a b b b b a a a a dx dx dx dxx x x xf f f fk k k kdx dx dx dxx x x xkf kf kf kf ))))(((())))((((1111o ∫∫∫∫∫∫∫∫ −−−−==== a a a a b b b b b b b b a a a a dx dx dx dxx x x xf f f fdx dx dx dxx x x xf f f f ))))(((())))((((2222o [[[[ ]]]] 0000))))((((4444 ))))(((())))(((())))(((())))((((3333 ==== ±±±±====±±±± ∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ dx dx dx dxx x x xf f f f dx dx dx dxx x x xg g g gdx dx dx dxx x x xf f f fdx dx dx dxx x x xg g g gx x x xf f f f a a a a a a a a b b b b a a a a b b b b a a a a b b b b a a a a o o ))))(((())))(((())))(((())))((((5555 bbbbccccaaaadxdxdxdxxxxxffffdxdxdxdxxxxxffffxxxxffff b b b b c c c c c c c c a a a a b b b b a a a a <<<<<<<<++++==== ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫o a a a ab b b bdx dx dx dx b b b b a a a a −−−−====∫∫∫∫ 11116666o y y y f(x) g(x) 1 f(x) 0 a c b x 0 a b x 0 a b x dx dx dx dxx x x xg g g gdx dx dx dxx x x xf f f f b b b bx x x xa a a ax x x xg g g gx x x xf f f f b b b b a a a a b b b b a a a a ∫∫∫∫∫∫∫∫ ≤≤≤≤ ≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤ ))))(((())))(((( ))))((((),),),),(((())))((((7777 则 o 25 [[[[ ]]]]上的最小值和最大值。在分别为其中 估值定理： b b b ba a a ax x x xf f f fM M M Mm m m m a a a ab b b bM M M Mdx dx dx dxx x x xf f f fa a a ab b b bm m m m b b b b a a a a ,,,,))))((((,,,, ))))(((())))(((())))(((( 8888 −−−−≤≤≤≤≤≤≤≤−−−− ∫∫∫∫ o y y M f(x) f(x) m 0 a b x 0 a ξ b x [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] ))))(((())))(((())))(((( ,,,,,,,,,,,,,,,,))))(((( 9999 a a a ab b b bf f f fdx dx dx dxx x x xf f f f b b b ba a a ab b b ba a a ax x x xx x x xf f f f b b b b a a a a −−−−⋅⋅⋅⋅==== ∈∈∈∈∈∈∈∈ ∫∫∫∫ ξξξξ ξ ξ ξ ξ 使 则：必存在一点连续若 积分中值定理：o （二）定积分的计算： 1. 换元积分 ))))((((]]]],,,,[[[[))))(((( ttttxxxxbbbbaaaaxxxxxxxxffff ϕϕϕϕ====∈∈∈∈ ，连续，设 [[[[ ]]]],,,,,,,,))))(((( ββββααααϕϕϕϕ ∈∈∈∈′′′′ tttttttt 连续，若 ,,,,))))((((,,,,))))(((( ,,,,))))(((( b b b ba a a a b b b ba a a at t t tt t t t ======== ββββϕϕϕϕααααϕϕϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕβ β β βα α α α 变到单调地从时，变到从且当 [[[[ ]]]] dt dt dt dtt t t tt t t tf f f fdx dx dx dxx x x xf f f f b b b b a a a a ))))(((())))(((())))(((( ϕϕϕϕϕϕϕϕ β β β β α α α α ′′′′⋅⋅⋅⋅====∫∫∫∫ ∫∫∫∫则： 2. 分部积分 26 ∫∫∫∫∫∫∫∫ −−−−⋅⋅⋅⋅==== b b b b a a a a b b b b a a a a b b b b a a a a vdu vdu vdu vduv v v vu u u uudv udv udv udv 3. 广义积分 ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ +∞+∞+∞+∞ ∞∞∞∞−−−− +∞+∞+∞+∞ ∞∞∞∞−−−− ++++==== 0000 0000 ))))(((())))(((())))(((( dxdxdxdxxxxxffffdxdxdxdxxxxxffffdxdxdxdxxxxxffff 4. 定积分的导数公式 ))))(((())))))))((((1111 xxxxffffdtdtdtdtttttffff x x x x a a a a x x x x ====′′′′∫∫∫∫（o [[[[ ]]]] ))))(((())))((((]]]]))))(((([[[[2222 ) )))(((( x x x xx x x xf f f fdt dt dt dtt t t tf f f f x x x x x x x x a a a a ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ′′′′⋅⋅⋅⋅====′′′′∫∫∫∫o [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] ))))(((())))(((())))(((())))((((]]]]))))(((([[[[3333 1111111122222222 ))))(((( ))))(((( 2222 1111 x x x xx x x xf f f fx x x xx x x xf f f fdt dt dt dtt t t tf f f f x x x x x x x x x x x x ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ′′′′⋅⋅⋅⋅−−−−′′′′⋅⋅⋅⋅====′′′′∫∫∫∫o (三)定积分的应用 1. 平面图形的面积: ))))((((,,,,,,,,,,,,0000))))((((1111 bbbbaaaabbbbxxxxaaaaxxxxxxxxffffyyyy <<<<========>>>>====由o 与 x 轴所围成的图形的面积 y f(x) ∫∫∫∫==== b b b b a a a a dx dx dx dxx x x xf f f fs s s s ))))(((( ))))((((),),),),((((),),),),((((2222 22221111 ggggffffxxxxggggyyyyxxxxffffyyyy >>>>========由 o [[[[ ]]]] dx dx dx dxx x x xg g g gx x x xf f f fs s s s b b b bx x x xa a a ax x x x b b b b a a a a ∫∫∫∫ −−−−==== ======== ))))(((())))(((( ,,,, 所围成的图形的面积与 ))))((((),),),),((((),),),),((((3333 22221111 ϕϕϕϕφφφφϕϕϕϕφφφφ >>>>======== yyyyxxxxyyyyxxxx由 o 27 [[[[ ]]]] dy dy dy dyy y y yy y y ys s s s d d d dy y y yc c c cy y y y d d d d c c c c ∫∫∫∫ −−−−==== ======== ))))(((())))(((( ,,,, ϕ ϕ ϕ ϕφ φ φ φ 所围成的图形的面积与 ：求平面图形面积的步骤....4444o 1 . 求出曲线的交点，画出草图； 2 . 确定积分变量，由交点确定积分上下限； 3 . 应用公式写出积分式，并进行计算。 2. 旋转体的体积 b b b bx x x xa a a ax x x xx x x xf f f fy y y y ========>>>>==== ,,,,,,,,0000))))((((1111 与曲线o 及 x 轴所围图形绕 x 轴旋转所 得旋转体的体积： dx dx dx dxx x x xf f f fV V V V b b b b a a a a x x x x ))))((((2222∫∫∫∫====ππππ 0 a b x d d d dy y y yc c c cy y y yy y y yx x x x ========>>>>==== ,,,,,,,,0000))))((((2222 与由曲线 φφφφo 及 y轴所围成图形绕 y轴旋转所 得旋转体的体积： dy dy dy dyy y y yV V V V d d d d c c c c y y y y ))))((((2222∫∫∫∫==== φφφφππππ 第四章 多元函数微积分初步 §4.1 偏导数与全微分 一. 主要内容： ㈠. 多元函数的概念 3.3.3.3. 二元函数的定义： D D D Dy y y yx x x xy y y yx x x xf f f fz z z z ∈∈∈∈==== )))),,,,(((()))),,,,(((( ))))(((( ffffDDDD定义域： 4.4.4.4. 二元函数的几何意义： 28 二元函数是一个空间曲面。（而一元函数是平面上的曲线） ㈡. 二元函数的极限和连续： 1. 极限定义：设 z=f(x,y)满足条件： 的某个领域内有定义。在点 )))),,,,((((1111 00000000 yyyyxxxx o 可除外）（点 )))),,,,(((( 00000000 yyyyxxxx A A A Ay y y yx x x xf f f f y y y yy y y y x x x xx x x x ==== →→→→ →→→→ )))),,,,((((limlimlimlim2222 0000 0000 o 。极限存在，且等于在则称 AAAAyyyyxxxxyyyyxxxxffffzzzz )))),,,,(((()))),,,,(((( 00000000==== 2. 连续定义：设 z=f(x,y)满足条件： 的某个领域内有定义。在点 )))),,,,((((1111 00000000 yyyyxxxx o )))),,,,(((()))),,,,((((limlimlimlim2222 00000000 0000 0000 y y y yx x x xf f f fy y y yx x x xf f f f y y y yy y y y x x x xx x x x ==== →→→→ →→→→ o 处连续。在则称 )))),,,,(((()))),,,,(((( 00000000 yyyyxxxxyyyyxxxxffffzzzz ==== ㈢.偏导数： 点在定义 )))),,,,((((),),),),,,,,((((:::: 00000000 yyyyxxxxyyyyxxxxffff x x x x y y y yx x x xf f f fy y y yx x x xx x x xf f f f y y y yx x x xf f f f x x x x x x x x ∆∆∆∆ −−−−∆∆∆∆++++ ====′′′′ →→→→∆∆∆∆ )))),,,,(((()))),,,,(((( limlimlimlim)))),,,,(((( 0000000000000000 0000 00000000 y y y y y y y yx x x xf f f fy y y yy y y yx x x xf f f f y y y yx x x xf f f f y y y y y y y y ∆∆∆∆ −−−−∆∆∆∆++++ ====′′′′ →→→→∆∆∆∆ )))),,,,(((()))),,,,(((( limlimlimlim)))),,,,(((( 0000000000000000 0000 00000000 29 的偏导数。处对 在分别为函数 y y y yx x x x y y y yx x x xy y y yx x x xf f f fy y y yx x x xf f f fy y y yx x x xf f f f y y y yx x x x ,,,, )))),,,,(((()))),,,,(((()))),,,,((((),),),),,,,,(((( 000000000000000000000000 ′′′′′′′′ 处的偏导数记为：内任意点在 )))),,,,(((()))),,,,(((( yyyyxxxxDDDDyyyyxxxxffffzzzz ==== x x x xx x x x z z z z x x x x z z z z x x x x y y y yx x x xf f f f y y y yx x x xf f f f ′′′′==== ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ==== ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ====′′′′ )))),,,,(((( )))),,,,(((( y y y yy y y y z z z z y y y y z z z z y y y y y y y yx x x xf f f f y y y yx x x xf f f f ′′′′==== ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ==== ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ====′′′′ )))),,,,(((( )))),,,,(((( ㈣.全微分： 1.定义：z=f(x,y) )))),,,,(((()))),,,,(((( yyyyxxxxffffyyyyyyyyxxxxxxxxffffzzzz −−−−∆∆∆∆++++∆∆∆∆++++====∆∆∆∆若 ))))((((ρρρρooooyyyyBBBBxxxxAAAA ++++∆∆∆∆++++∆∆∆∆==== ）是比（无关，、与、其中， ρρρρooooyyyyxxxxBBBBAAAA ∆∆∆∆∆∆∆∆ 较高阶的无穷小量。22222222 yyyyxxxx ∆∆∆∆++++∆∆∆∆====ρρρρ y y y yB B B Bx x x xA A A Ay y y yx x x xdf df df dfdz dz dz dz ∆∆∆∆++++∆∆∆∆======== )))),,,,((((::::则 )))),,,,(((( yyyyxxxxffffzzzz ====是 在点(x,y)处的全微分。 3. 全微分与偏导数的关系 ....)))),,,,(((()))),,,,((((),),),),,,,,(((( DDDDyyyyxxxxyyyyxxxxffffyyyyxxxxffff y y y yx x x x ∈∈∈∈′′′′′′′′ 连续，定理：若 处可微且在点则： )))),,,,(((()))),,,,(((( yyyyxxxxyyyyxxxxffffzzzz ==== 30 dy dy dy dyy y y yx x x xf f f fdx dx dx dxy y y yx x x xf f f fdz dz dz dz y y y yx x x x )))),,,,(((()))),,,,(((( ′′′′++++′′′′==== ㈤.复全函数的偏导数： 1. )))),,,,((((),),),),,,,,((((),),),),,,,,(((( yyyyxxxxvvvvvvvvyyyyxxxxuuuuuuuuvvvvuuuuffffzzzz ============设： [[[[ ]]]])))),,,,((((),),),),,,,,(((( yyyyxxxxvvvvyyyyxxxxuuuuffffzzzz ====∴∴∴∴ x x x x v v v v v v v v z z z z x x x x u u u u u u u u z z z z x x x x z z z z ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ⋅⋅⋅⋅ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ++++ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ⋅⋅⋅⋅ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ==== ∂∂∂∂ ∂∂∂∂则： y y y y v v v v v v v v z z z z y y y y u u u u u u u u z z z z y y y y z z z z ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ⋅⋅⋅⋅ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ++++ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ⋅⋅⋅⋅ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ==== ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ 2. ))))((((),),),),((((),),),),,,,,(((( xxxxvvvvvvvvxxxxuuuuuuuuvvvvuuuuffffyyyy ============设 )])])])]((((),),),),(((([[[[ xxxxvvvvxxxxuuuuffffyyyy ====∴∴∴∴ ㈥.隐含数的偏导数： 1. 0000),),),),,,,,((((,,,,0000)))),,,,,,,,(((( ≠≠≠≠′′′′======== z z z z F F F Fy y y yx x x xf f f fz z z zz z z zy y y yx x x xF F F F 且设 z z z z y y y y z z z z x x x x F F F F F F F F y y y y z z z z F F F F F F F F x x x x z z z z ′′′′ ′′′′ −−−−==== ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ′′′′ ′′′′ −−−−==== ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ,,,,则 2. 0000),),),),((((,,,,0000)))),,,,(((( ≠≠≠≠′′′′======== y y y y F F F Fx x x xf f f fy y y yy y y yx x x xF F F F 且设 y y y y x x x x F F F F F F F F dx dx dx dx dy dy dy dy ′′′′ ′′′′ −−−−====则 dx dx dx dx dv dv dv dv v v v v y y y y dx dx dx dx du du du du u u u u y y y y dx dx dx dx dy dy dy dy ⋅⋅⋅⋅ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ++++⋅⋅⋅⋅ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ==== 31 ㈦.二阶偏导数： ))))(((()))),,,,(((( 2222 2222 x x x x z z z z x x x xx x x x z z z z y y y yx x x xf f f f xx xx xx xx ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ==== ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ====′′′′′′′′ ))))(((()))),,,,(((( 2222 2222 y y y y z z z z y y y yy y y y z z z z y y y yx x x xf f f f yy yy yy yy ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ==== ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ====′′′′′′′′ ))))(((()))),,,,(((( 2222 x x x x z z z z y y y yy y y yx x x x z z z z y y y yx x x xf f f f xy xy xy xy ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ==== ∂∂∂∂∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ====′′′′′′′′ ))))(((()))),,,,(((( 2222 y y y y z z z z x x x xx x x xy y y y z z z z y y y yx x x xf f f f yx yx yx yx ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ==== ∂∂∂∂∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ====′′′′′′′′ 的连续函数时，为和结论：当 yyyyxxxxyyyyxxxxffffyyyyxxxxffff yx yx yx yxxy xy xy xy ,,,,)))),,,,(((()))),,,,(((( ′′′′′′′′′′′′′′′′ )))),,,,(((()))),,,,(((( yyyyxxxxffffyyyyxxxxffff yx yx yx yxxy xy xy xy ′′′′′′′′====′′′′′′′′则： ㈧.二元函数的无条件极值 1. 二元函数极值定义： 某一个邻域内有定义，在设 )))),,,,(((()))),,,,(((( 00000000 yyyyxxxxyyyyxxxxzzzz [[[[ ]]]])))),,,,(((()))),,,,((((),),),),,,,,(((()))),,,,(((( 0000000000000000 yyyyxxxxzzzzyyyyxxxxzzzzyyyyxxxxzzzzyyyyxxxxzzzz ≥≥≥≥≤≤≤≤ 或若 ,,,,))))(((()))),,,,(((()))),,,,(((( 00000000 值或极小的一个极大是则称 yyyyxxxxzzzzyyyyxxxxzzzz 值点。或极小的一个极大是称 ))))(((()))),,,,(((()))),,,,(((( 00000000 yyyyxxxxzzzzyyyyxxxx ☆ 极大值和极小值统称为极值， 极大值点和极小值点统称为极值点。 2.极值的必要条件： )))),,,,(((()))),,,,(((()))),,,,(((( 0000000000000000 yyyyxxxxyyyyxxxxyyyyxxxxffffzzzz 有极值，且在在点若 ==== 32 两个一阶偏导数存在，则： 0000)))),,,,((((0000)))),,,,(((( 0000000000000000 ====′′′′====′′′′ yyyyxxxxffffyyyyxxxxffff yyyyxxxx ★ ，的点使 )))),,,,((((0000)))),,,,(((()))),,,,((((1111 000000000000000000000000 yyyyxxxxyyyyxxxxffffyyyyxxxxffff yyyyxxxx ====′′′′====′′′′ o 的驻点。称为 ))))(((( ,,,, yyyyxxxxffffzzzz ==== 的必要条件，定理的结论是极值存在o2222 而非充分条件。 例： 1111 22222222 ++++−−−−==== xxxxyyyyzzzz ⎩⎩⎩⎩ ⎨⎨⎨⎨ ⎧⎧⎧⎧ ==== ==== ====++++====′′′′ ====−−−−====′′′′ 0000 0000 00002222 00002222 0000 0000 y y y y x x x x y y y yz z z z x x x xz z z z y y y y x x x x 解出驻点 1111))))0000,,,,0000(((( ====zzzz 11111111)))),,,,0000((((0000,,,,0000 2222 >>>>++++====≠≠≠≠==== yyyyyyyyzzzzyyyyxxxx 时，当 11111111))))0000,,,,((((0000,,,,0000 2222 <<<<++++−−−−========≠≠≠≠ xxxxxxxxzzzzyyyyxxxx 时，当 ∴驻点不一定是极值点。 5.5.5.5. 极值的充分条件： 的某个领域内在设：函数 )))),,,,(((()))),,,,(((( 00000000 yyyyxxxxyyyyxxxxffffyyyy ==== 为驻点，有二阶偏导数，且 )))),,,,(((( 00000000 yyyyxxxx [[[[ ]]]] )))),,,,(((()))),,,,(((()))),,,,(((( 0000000000000000222200000000 yyyyxxxxffffyyyyxxxxffffyyyyxxxxffffpppp yyyyyyyyxxxxxxxxxyxyxyxy ′′′′′′′′⋅⋅⋅⋅′′′′′′′′−−−−′′′′′′′′====若： 33 ⎩⎩⎩⎩ ⎨⎨⎨⎨ ⎧⎧⎧⎧ ⇒⇒⇒⇒>>>>′′′′′′′′ ⇒⇒⇒⇒<<<<′′′′′′′′ <<<< 为极小值。时， 为极大值。时， 且当： )))),,,,((((0000)))),,,,(((( )))),,,,((((0000)))),,,,(((( 0000 0000000000000000 0000000000000000 y y y yx x x xf f f fy y y yx x x xf f f f y y y yx x x xf f f fy y y yx x x xf f f f p p p p xx xx xx xx xx xx xx xx 不是极值。当： )))),,,,((((,,,,0000 00000000 yyyyxxxxffffpppp ⇒⇒⇒⇒>>>> 不能确定。当： ⇒⇒⇒⇒==== ,,,,0000pppp 求二元极值的方法： 一阶偏导数等于零，求一阶偏导数，令两个o1111 解出驻点。 判断驻点是否是根据极值的充分条件，求出 ,,,,2222 ppppo 极值点。 极值。若驻点是极值点，求出o3333 34 二倍角公式：(含万能公式) ① θ θ θθθ 21 2 cossin22sin tg tg + == ② θ θ θθθθθ 2 2 2222 1 1 sin211cos2sincos2cos tg tg + − =−=−=−= ③ θ θ θ 21 2 2 tg tg tg − = ④ 2 2cos1 1 sin 2 2 2 θ θ θ θ − = + = tg tg ⑤ 2 2cos1 cos2 θ θ + =