特殊平行四边形的
1.在平面直角坐标中,边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上,点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转,当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转,旋转过程中,AB边交直线y=x于点M,BC边交x轴于点N(如图). (1)旋转过程中,当MN和AC平行时,求正方形 y OABC旋转的度数; yx, (2)设的?MBN周长为p,在旋转正方形OABC ,MBN A 的过程中,p值是否有变化?请证明你的结论. M
B
x N O
C
2.如图在中,将绕点顺时针方向旋转得到Rt?ABC?.ABC,:90Rt?ABCC60:?,DEC点在上,再将沿着所在直线翻转得到连接 ACRt?ABC180:?.ABFEABAD.
(1)求证:四边形是菱形; AFCD
(2)连接并延长交于连接请问:四边形是什么特殊平行四G,CG,ABCGADBE
边形?为什么?
G A D
E
F C B
3.如图,在?ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连结BF。
(1) 求证:BD=CD;
(2) 如果AB=AC,试判断四边形AFBD的形状,并证明你的结论。
1
4.在平行四边形ABCD中,过点C作CE?CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转90得到线段EF(如图1)(1)在图1中画图探究:
?当P为射线CD上任意一点(P不与C重合)时,连结EP绕点E逆时针旋转90得11
到线段EC.判断直线FC与直线CD的位置关系,并加以证明; 11
?当P90为线段DC的延长线上任意一点时,连结EP,将线段EP绕点E 逆时针旋转222得到线段EC.判断直线CC与直线CD的位置关系,画出图形并直接写出你的结论. 212
5.已知:如图,四边形ABCD是菱形,过AB的中点E作AC的垂线EF,交AD于点M,
交CD的延长线于点F.
(1)求证:AM=DM;
(2)若DF=2,求菱形ABCD的周长.
2
6.如图1,在正方形中,分别为边上的点,ABCDEFGH,,,ABBCCDDA,,,
,连接交点为. HAEBFCGD,,,EGFH,,O(1)如图2,连接,试判断四边形的形状,并证明你的EFFGGHHE,,,EFGH结论;
(2)将正方形沿线段剪开,再把得到的四个四边形按图3的方式拼接ABCDEGHF,
成一个四边形.若正方形的边长为3cm,,则图3中ABCDHAEBFCGD,,,,1cm
2阴影部分的面积为_________cm.
G G C C D D
F F H O H B A A B E E
7.如图,在边长为5的正方形中,点、分别是、边上的点,且ABCDBCDCEF
,. AEEF,BE,2
(1)求EC?CF的值;
(2)延长CPP于点AEEP与交正方形外角平分线(如图 -2),试判断的大小关系,EF
并说明理由;
(3)在图 2的边上是否存在一点,使得四边形是平行四边形?若存在,请ABMDMEP给予证明;若不存在,请说明理由.
3
8.已知:如图,在平行四边形ABCD中,AE是BC边上的高,将沿方向平?ABEBC
移,使点E与点C重合,得. ?GFC
(1)求证:; BEDG,
(2)若,当AB与BC满足什么数量关系时,四边形是菱形?证明你,,B60?ABFG的结论.
G A D
B C E F
9.如图,?ABC中,AC的垂直平分线MN交AB于 点D,交AC于点O,CE?AB交MN于E,连结AE、CD. (1)求证:AD=CE;
(2)填空:四边形ADCE的形状是 .
A
DMOE
N
CB
10.如图所示,在
Rt?ABC?.ABC,:90Rt?ABCC60:中,将绕点顺时针方向旋转
得到?,DEC点在AC上,再将Rt?ABC沿着所在直线翻转180:得到?.ABF连EAB接 AD.
(1)求证:四边形AFCD是菱形;
(2)连接G,CG,ABCG并延长交于连接请问:四边形是什么特殊平行四ADBE
边形?为什么?
G A D
E
F C B
4
11.如图,在?ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连结BF。
(3) 求证:BD=CD;
(4) 如果AB=AC,试判断四边形AFBD的形状,并证明你的结论。
12.如图 ,P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点(P与A、C不重合),点E在射线BC上,且PE=PB. 求证:? PE=PD ; ? PE?PD;
13.如图所示,在菱形ABCD中,E、F分别为AB、AD上两点,AE=AF. (1)求证:CE=CF;(2)若?ECF=60?,=80?,试问BC=CE吗?请说明理由. ?B
A
FE
DB
C
5
14. 已知:正方形中,,,MAN45,绕点顺时针旋转,它的两边分别ABCD,MANA交(或它们的延长线)于点. CBDC,MN,
当绕点旋转到时(如图1),易证. ,MANBMDN,BMDNMN,,A
(1)当绕点旋转到时(如图2),线段和之间有怎样,MANBMDN,BMDN,MNA
的数量关系?写出猜想,并加以证明.
(2)当绕点旋转到如图3的位置时,线段和之间又有怎样的数,MANBMDN,MNA
量关系?请直接写出你的猜想.
A D A D A D
N
N
M B C B B C C M M
图1 图2
N 图3
15. 如图,矩形纸片
ABCD中,AB=8,将纸片折叠,使顶点B落在边AD的E点上,BG=10.
(1)当折痕的另一端F在AB边上时,如图(1).求?EFG的面积. (2)当折痕的另一端F在AD边上时,如图(2).证明四边形BGEF为菱形,并求出折痕GF的长.
图(1) 图(2)
H(A)
EDDFE(B)AA F
BCBCGG
HED A
F
BCG
6
16. 如图,在中,是边上的一点,是的中点,过点作的平行线?ABCBCBCDEADA
交的延长线于,且,连接. AFDC,CFFBE
(1)求证:是的中点; BCD
(2)如果,试猜测四边形的形状,并证明你的结论. ABAC,ADCF
A F
E
B C D
17. 已知:如图,在正方形ABCD中,G是CD上一点,延长BC到E,使CE=CG,连接BG并
延长交DE于F.
(1)求证:?BCG??DCE;
(2)将?DCE绕点D顺时针旋转90?得到?DAE′,判断四边形E′BGD是什么特殊四边形?
并说明理由.
A D
F , E
G
B E C
7
18. 如图,矩形中,是与的交点,过点的直线与的延长ABCDOACOABCD,BDEF
线分别交于. EF,
(1)求证:; ???BOEDOF
(2)当与满足什么关系时,以为顶点的四边形是菱形?证明你的结ACAECF,,,EF
论.
F
DA
O
B C
E
19. 在矩形3ABCD中,AB=2,AD=. (1)在边CD上找一点E,使EB平分?AEC,并加以说明; .
(2)若P为BC边上一点,且BP=2CP,连接EP并延长交AB的延长线于F.
?求证:点B平分线段AF;
??PAE能否由?PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到,若能,加以证明,并求出旋转度数;
若不能,请说明理由.
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20. 已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF?BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.
(1)求证:EG=CG;
(2)将图?中?BEF绕B点逆时针旋转45º,如图?所示,取DF中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由. (3)将图?中?BEF绕B点旋转任意角度,如图?所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明)
D A D D A A
G
G F E E E F
C B F C C B B 图? 图? 图?
21. 如图,在Rt?ABC中,?ACB=90?, ?B
=60?,BC=2.点0是AC的中点,过点0的直线l从与AC重合的位置开始,绕点0作逆时针旋转,交AB边于点D.过点C作CE?AB
交直线l于点E,设直线l的旋转角为α.
(1)?当α=________度时,四边形EDBC是等腰梯形,此时AD的长为_________;
?当α=________度时,四边形EDBC是直角梯形,此时AD的长为_________;
(2)当α=90?时,判断四边形EDBC是否为菱形,并说明理由.
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22. 三个牧童A、B、C在一块正方形的牧场上看守一群牛,为保证公平合理,他们商量将牧场划分为三块分别看守,划分的原则是:?每个人看守的牧场面积相等;?在每个区
域内,各选定一个看守点,并保证在有情况时他们所需走的最大距离(看守点到本区域....
内最远处的距离)相等.按照这一原则,他们先
了一种如图1的划分
:把正方形牧场分成三块相等的矩形,大家分头守在这三个矩形的中心(对角线交点),看守自己的一块牧场.过了一段时间,牧童B和牧童C又分别提出了新的划分方案.牧童B的划分方案如图2:三块矩形的面积相等,牧童的位置在三个小矩形的中心.牧童C的划分方案如图3:把正方形的牧场分成三块矩形,牧童的位置在三个小矩形的中心,并保证
在有情况时三个人所需走的最大距离相等.
请回答:
(1)牧童B的划分方案中,牧童 (填A
、B或C)在有情况时所需走的最大距离较远;
(2)牧童C的划分方案是否符合他们商量的划分原则?为什么?(提示:在计算时可取正方形边长为2)
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23. 在平面直角坐标系中,O为坐标原点.
(1)已知点A(3,1),连结OA,平移线段OA,使点O落在点B.设点A落在点C,作如下探究: 探究一:若点B的坐标为(1,2),请在图1中作出平移后的像,则点C的坐标是 ? ;连结AC,BO,请判断O,A,C,B四点构成的图形的形状,并说明理由; 探究二:若点B的坐标为(6,2),按探究一的方法,判断O,A,B,C四点构成的图形的形
状. y y
B B A A
1 O x x 1 O
图1 图2 (:作图时,别忘了用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑喔!) ..
(2)通过上面的探究,请直接回答下列问题:
?若已知三点A (a,b),B(c,d),C (a+c,b+d),顺次连结O,A,C,B,请判断所得到
的图形的形状;
?在?的条件下,如果所得到的图形是菱形或者是正方形,请选择一种情况,写出a,b,
c,d应满足的关系式.
24. 如图1,P是线段AB上的一点,在AB的同侧作?APC和?BPD,使PC=PA,PD=PB,?APC=?BPD,连接CD,点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点,顺次连接E、F、G、H.
(1)猜想四边形EFGH的形状,直接回答,不必说明理由; ....
(2)当点P在线段AB的上方时,如图2,在?APB的外部作?APC和?BPD,其他条
件不变,(1)中的结论还成立吗?说明理由;
(3)如果(2)中,?APC=?BPD=90º,其他条件不变,先补全图3,再判断四边形EFGH
的形状,并说明理由.
C C H H D D E E G P G P
A B A B A B F P F
图1 图2 图3
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25. 如图所示,在中,将绕点顺时针方向旋转得Rt?ABC?.ABC,:90Rt?ABCC60:
到点在上,再将沿着所在直线翻转得到连?,DECACRt?ABC180:?.ABFEAB
接 AD.
(1)求证:四边形是菱形; AFCD
(2)连接并延长交于连接请问:四边形是什么特殊平行四边G,CG,ABCGBEAD
形?为什么?
G A D
E
F C B
26. 阅读下列材料:
小明遇到一个问题:5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示,将它们分割后拼接成一个新的正方形.他的做法是:按图2所示的方法分割后,将三角形纸片?绕AB的中点O旋转至三角形纸片?处,依此方法继续操作,即可拼接成一个新的正方形DEFG.请你参考小明的做法解决下列问题:
(1)现有5个形状、大小相同的矩形纸片,排列形式如图3所示.请将其分割后拼接成一个平行四边形.要求:在图3中画出并 指明拼接成的平行四边形(画出一个符合条件的平行
四边形即可);
(2)如图4,在面积为2的平行四边形ABCD中,点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点,分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ请在图4中探究平行四边形MNPQ面积的大小(画图并直接写出结果).
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