抽象函数经典综合题33例(含详细解答)

抽象函数经典综合33例（含详细解答） 抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。 本资料精选抽象函数经典综合问题33例（含详细解答） 1.定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1） 求证：f(0)=1； （2） 求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R上的增函数； （4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围。 解 （1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 （2）令a=x，b=-x则 f(0)=f(x)f(-x) ∴ 由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0 ∴又x=0时，f(0)=1>0 ∴对任意x∈R，f(x)>0 (3)任取x2>x1，则f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0 ∴ ∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)在R上是增函数 （4）f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0)， f(x)在R上递增 ∴由f(3x-x2)>f(0)得：3x-x2>0 ∴ 02时， 4.已知f(x)在(－1，1)上有定义，f()＝－1，且满足x，y∈(－1，1)有f(x)＋f(y)＝f() ⑴证明：f(x)在(－1，1)上为奇函数； ⑵对数列x1＝，xn＋1＝，求f(xn); ⑶求证 (Ⅰ)证明：令x＝y＝0，∴2f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0 令y＝－x，则f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0 ∴f(x)＋f(－x)＝0 ∴f(－x)＝－f(x) ∴f(x)为奇函数 (Ⅱ)解：f(x1)＝f()＝－1，f(xn＋1)＝f()＝f()＝f(xn)＋f(xn)＝2f(xn) ∴＝2即{f(xn)}是以－1为首项，2为公比的等比数列 ∴f(xn)＝－2n－1 (Ⅲ)解： 而 ∴ 5.已知函数，满足：对任意都有 ； （1）试证明：为N上的单调增函数； （2），且，求证：； （3）若，对任意,有，证明： . 证明：（1）由①知，对任意，都有， 由于，从而，所以函数为上的单调增函数. （2）由（1）可知都有f(n+1)>f(n),则有f(n+1)f(n)+1 f(n+1)-f(n), f(n)-f(n-1) f(2)-f(1) f(1)-f(0)由此可得f(n)-f(0)n f(n)n+1命题得证 （3）（3）由任意,有 得 由f(0)=1得m=0 则f(n+1)=f(n)+1,则f(n)=n+1 6.已知函数 的定义域为 ，且同时满足： (1)对任意 ，总有 ； (2) (3)若 且 ，则有 . (I)求 的值； (II)求 的最大值； (III)设数列 的前 项和为 ，且满足 . 求证： . 解：（I）令 ，由(3),则 由对任意 ，总有 （II）任意 且 ，则 (III) EMBED Equation.DSMT4 ，即 。 故 即原式成立。 7. 对于定义域为 的函数 ，如果同时满足以下三条：①对任意的 ，总有 ；② ；③若 ，都有 成立，则称函数 为理想函数． (1) 若函数 为理想函数，求 的值； (2)判断函数 EMBED Equation.3 是否为理想函数，并予以证明； (3) 若函数 为理想函数， 假定 EMBED Equation.DSMT4 ，使得 ，且 ，求证 ． 解：（1）取 可得 ． 又由条件① ，故 ． （2）显然 在[0，1]满足条件① ；- 也满足条件② ． 若 ， ， ，则 ，即满足条件③， 故 理想函数． （3）由条件③知，任给 、 [0，1]，当 时，由 知 [0，1]， 若 ，则 ，前后矛盾； 若 ，则 ，前后矛盾． 故 8. 已知定义在R上的单调函数 ,存在实数 ,使得对于任意实数 ,总有 恒成立。 (Ⅰ)求 的值； (Ⅱ)若 ,且对任意正整数 ,有 , ,求数列{an}的通项公式； (Ⅲ)若数列{bn}满足 ，将数列{bn}的项重新组合成新数列 ，具体法则如下： EMBED Equation.DSMT4 ……，求证： 。 解：(Ⅰ)令 ，得 ，① 令 ，得 ， ，② 由①、②得 ，又因为 为单调函数， (Ⅱ)由（1）得 ， ， ， ， (Ⅲ)由{Cn}的构成法则可知，Cn应等于{bn}中的n项之和，其第一项的项数为 [1+2+…+(n－1)]+1= +1，即这一项为2×[ +1]－1=n(n－1)+1 Cn=n(n－1)+1+n(n－1)+3+…+n(n－1)+2n－1=n2(n－1)+ =n3 当 时， EMBED Equation.DSMT4 解法2： 9.设函数是定义域在上的单调函数，且对于任意正数有，已知. （1）求的值； （2）一个各项均为正数的数列满足：，其中是数列的前n项的和，求数列的通项公式； （3）在（2）的条件下，是否存在正数，使 对一切成立？若存在，求出M的取值范围；若不存在，说明理由. 解：（1）∵，令，有，∴. 再令，有，∴，∴ （2）∵, 又∵是定义域上单调函数，∵，，∴ ……① 当时，由，得，当时， ……② 由①－②，得， 化简，得　，∴， ∵，∴，即，∴数列为等差数列. ，公差. ∴，故. （3）∵， 令=, 而. ∴=， ∴，数列为单调递增函数，由题意恒成立，则只需=， ∴ ，存在正数，使所给定的不等式恒成立，的取值范围为. 10.定义在R上的函数f（x）满足 ，且 时，f（x）<0。 （1）设 ，求数列的前n项和 ； （2）判断f（x）的单调性，并证明。 解：（1） 令x=n，y=1，则 所以， 故数列 是首项为－1，公差为－2的等差数列。 因此， （2）设 ，且 ，则 所以 于是 又 所以 ，而函数f（x）在R上是减函数。 11. 设函数f（x）定义在R上，对于任意实数m、n，恒有 ，且当x>0时，01； （2）求证：f（x）在R上单调递减； （3）设集合 ， ，若 ，求a的取值范围。 解：（1）令m=1，n=0，得f（1）= f（1）·f（0） 又当x>0时，0< f（x）<1，所以f（0）=1 设x<0，则－x>0 令m=x，n=－x，则f（0）= f（x）·f（－x） 所以f（x）·f（－x）=1 又0< f（－x）<1，所以 （2）设 ，且 ，则 所以 从而 又由已知条件及（1）的结论知f（x）>0恒成立 所以 所以 所以f（x2）< f（x1），故f（x）在R上是单调递减的。 （3）由 得： 因为f（x）在R上单调递减 所以 ，即A表示圆 的内部 由f（ax－y+2）=1= f（0）得：ax－y+2=0 所以B表示直线ax－y+2=0 所以 ，所以直线与圆相切或相离，即 解得： 12.定义在R上的函数f（x）对任意实数a、b都有f（a+b）+ f（a－b）=2 f（a）·f（b）成立，且 。 （1）求f（0）的值； （2）试判断f（x）的奇偶性； （3）若存在常数c>0使 ，试问f（x）是否为周期函数？若是，指出它的一个周期；若不是，请说明理由。 解：（1）令a=b=0 则f（0）+ f（0）=2 f（0）·f（0） 所以2 f（0）·[f（0）－1]=0 又因为 ，所以f（0）=1 （2）令a=0，b=x，则f（x）+ f（－x）=2 f（0）·f（x） 由f（0）=1可得f（－x）= f（x） 所以f（x）是R上的偶函数。 （3）令 ，则 因为 所以f（x+c）+ f（x）=0 所以f（x+c）=－ f（x） 所以f（x+2c）=－ f（x+c）= －[－f（x）]= f（x） 所以f（x）是以2c为周期的周期函数。 13.已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足： （1） （2）存在正常数a，使f（a）=1 求证：（1）f（x）是奇函数； （2）f（x）是周期函数，并且有一个周期为4a 证明：（1）设 ，则 所以函数f（x）是奇函数。 （2）令 ，则 即 解得：f（2a）=0 所以 所以 因此，函数f（x）是周期函数，并且有一个周期为4a。 14.已知 对一切 ，满足 ，且当 时， ，求证：（1） 时， （2） 在R上为减函数。 证明： 对一切 有 。 且 ，令 ，得 ， 现设 ，则 ， ， 而 ， 设 且 ， 则 ， 即 为减函数。 15.已知函数 是定义在 上的减函数，且对一切实数x，不等式 恒成立，求k的值。 分析：由单调性，脱去函数记号，得 由题意知(1)(2)两式对一切 恒成立，则有 16.设定义在 上的函数 对于任意 都有 成立，且 ，当 时， 。 （1）判断f(x)的奇偶性，并加以证明； （2）试问：当-2003≤ ≤2003时， 是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由； （3）解关于 的不等式 ，其中 . 分析与解：⑴令x=y=0，可得f(0)=0 令y=-x，则f(0)=f(－x)+f(x)，∴f(－x)= －f(x)，∴f(x)为奇函数 ⑵设－3≤x1＜x2≤3，y=－x1，x=x2 则f(x2－x1)=f(x2)+f(－x1)=f(x​2)－f(x1)，因为x＞0时，f(x)＜0， 故f(x2－x1)＜0，即f(x2)－f(x1)＜0。 ∴f(x2)＜f(x1)、f(x)在区间[－2003、2003]上单调递减 ∴x=－2003时，f(x)有最大值f(－2003)=－f(2003)=－f(2002+1)=－[f(2002)+f(1)]=－[f(2001)+f(1)+f(1)]=…=－2003f(1)=4006。 x=2003时，f(x)有最小值为f(2003)= －4006。 ⑶由原不等式，得 [f(bx2) －f(b2x)]＞f(x) －f(b)。 即f(bx2)+f(－b2x)＞2[f(x)+f(－b)] ∴f(bx2－b2x)＞2 f(x－b)，即f[bx(x－b)]＞f(x－b)+f(x－b) ∴f[bx(x－b)]＞f[2 f(x－b)] 由f(x)在x∈R上单调递减，所以bx(x－b)＜2(x－b)，∴(x－b)(bx－2) ＜0 ∵b2≥2, ∴b≥ 或b≤－ 当b＞ 时，b＞ ，不等式的解集为 当b＜－ 时，b＜ ，不等式的解集为 当b=－ 时，不等式的解集为 当b= 时，不等式解集为φ 17.已知定义在 上的函数 满足： （1）值域为 ，且当 时， ； （2）对于定义域内任意的实数 ，均满足： 试回答下列问题： （Ⅰ）试求 的值； （Ⅱ）判断并证明函数的单调性； （Ⅲ）若函数存在反函数 ，求证： ． 分析与解：（Ⅰ）在 中，令 ，则有 ．即： ．也即： ． 由于函数 的值域为 ，所以， ，所以 ． （Ⅱ）函数的单调性必然涉及到 ，于是，由已知 ，我们可以联想到：是否有 ？（＊） 这个问题实际上是： 是否成立？ 为此，我们首先考虑函数 的奇偶性，也即 的关系．由于 ，所以，在 中，令 ，得 ．所以，函数 为奇函数．故（＊）式成立．所以， ．任取 ，且 ，则 ，故 且 ．所以， ，所以，函数 在R上单调递减． （Ⅲ）由于函数 在R上单调递减， 所以，函数 必存在反函数 ， 由原函数与反函数的关系可知： 也为奇函数； 在 上单调递减；且当 时， ． 为了证明本题，需要考虑 的关系式． 在（＊）式的两端，同时用 作用，得： ， 令 ，则 ，则上式可改写为： ． 不难验证：对于任意的 ，上式都成立．（根据一一对应）． 这样，我们就得到了 的关系式． 这个式子给我们以提示：即可以将 写成 的形式，则可通过裂项相消的

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化简求证式的左端． 事实上，由于 ， 所以， ． 所以， 点评：一般来说，涉及函数奇偶性的问题，首先应该确定 的值． 18.已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）·f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当时，。 （1）判断f（x）的奇偶性； （2）判断f（x）在［0，＋∞）上的单调性，并给出证明； （3）若，求a的取值范围。 分析：由题设可知f（x）是幂函数的抽象函数，从而可猜想f（x）是偶函数，且在［0，＋∞）上是增函数。 解：（1）令y＝－1，则f（－x）＝f（x）·f（－1），∵f（－1）＝1，∴ f（－x）＝f（x），f（x）为偶函数。 （2）设，∴，， ∵时，，∴，∴f（x1）＜f（x2），故f（x）在0，＋∞）上是增函数。 （3）∵f（27）＝9，又， ∴，∴，∵，∴， ∵，∴，又，故。 19.设函数的定义域为全体R，当x<0时，，且对任意的实数x，y∈R，有成立，数列满足，且（n∈N*）    （Ⅰ）求证：是R上的减函数；    （Ⅱ）求数列的通项公式；    （Ⅲ）若不等式对一切n∈N*均成立，求k的 最大值． 解析：（Ⅰ）令，得， 由题意知，所以，故．     当时，，，进而得．        设且，则， ． 即，所以是R上的减函数．       （Ⅱ）由 得  ， 所以． 因为是R上的减函数，所以，  即， 进而， 所以是以1为首项，2为公差的等差数列． 所以，            所以．                                    （Ⅲ）由对一切n∈N*均成立． 知对一切n∈N*均成立．     设， 知且    又． 故为关于n的单调增函数，． 所以，k的最大值为   20.函数f(x)的定义域为D  , 满足: 对于任意 ，都有 ，且f(2)=1. (1)求f(4)的值； (2)如果 上是单调增函数，求x的取值范围. (1) (2) 3＝2＋1＝ 因为 上是增函数，所以 21.函数 的定义域为R，并满足以下条件：①对任意 ，有 ； ②对任意 、 ，有 ；③ 则 （1）求 的值； （2）求证： 在R上是单调增函数； （3）若 ，求证： 9.解：解法一：（1）令 ，得： （2）任取 、 ，且 . 设 则 在R上是单调增函 （3）由（1）（2）知 而 解法二：（1）∵对任意x、y∈R，有 ………1分 ∴当 时 ∵任意x∈R， …………3分 （2） 是R上单调增函数 即 是R上单调增函数；…（3） 而 22. 定义在区间（0， ）上的函f(x)满足：（1）f(x)不恒为零；（2）对任何实数x、q,都有 . （1）求证：方程f(x)=0有且只有一个实根； （2）若a>b>c>1,且a、b、c成等差数列，求证： ； （3）（本小题只理科做）若f(x) 单调递增，且m>n>0时，有 ，求证： 解：(1)取x=1,q=2,有 若存在另一个实根 ，使得 EMBED Equation.3 （2） ， ，则 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 0， ∴ ，又a+c=2b, ∴ac-b = 即ac0, g(1) =2,g(x) 是增函数. g(m) · g(n)= g(m+n)(m、n∈R) 求证： f(x)是R上的增函数 解:设x1>x2 g(x)是R上的增函数, 且g(x)>0 g(x1) > g(x2) >0 g(x1)+1 > g(x2)+1 >0 > >0 - >0 f(x1)- f(x2)= - =1- -(1- ) = - >0 f(x1) >f(x2) f(x)是R上的增函数 25..定义在R+上的函数f(x)满足: ①对任意实数m,f(xm)=mf(x); ②f(2)=1. (1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数x,y都成立; (2)证明f(x)是R+上的单调增函数; (3)若f(x)+f(x-3)≤2,求x 的取值范围. 解:(1)令x=2m,y=2n,其中m,n为实数,则f(xy)=f(2m+n)=(m+n)f(2)=m+n. 又f(x)+f(y)=f(2m)+f(2n)=mf(2)+nf(2)=m+n,所以f(xy)=f(x)+f(y) 故f(x1)0时,f(x)>1,且对任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2 解:(1)先证f(x)>0,且单调递增，因为f(x)=f(x+0)=f(x)f(0),x>0时f(x)>1,所以f(0)=1. f(x)=f[(x-xo)+xo]=f(x-xo)f(xo)=0,与已知矛盾，故f(x)>0 任取x1,x2∈R且x10,f(x2-x1)>1, 所以f(x1)-f(x2)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1]>0. 所以x∈R时,f(x)为增函数. 解得:{x|1