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因式分解 因式分解的多种方法 编者按：很多同学在做因式分解的题目时，会觉得无从入手。而面临竞赛题目时，更加摸不着头脑。在此介绍几种因式分解的方法。其实，因式分解没有想象中的那么难。 1】提取公因式 这种方法比较常规、简单，必须掌握。 常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等 例一：2x^2-3x=0 解：x(2x-3)=0 x1=0,x2=3/2 这是一类利用因式分解的方程。 总结：要发现一个规律就是：当一个方程有一个解x=a时，该式分解后必有一个(x-a)因式 这对我们后面的学习有帮助。 2】公式法 将式子利用公式来分解，也是比较简单的方法。 常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等 注意：使用公式法前，建议先提取公因式。 例二：x^2-4分解因式 分析：此题较为简单，可以看出4=2 2，适用平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2 解：原式=(x+2)(x-2) 3】十字相乘法 是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。注意：它不难。 这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果 　例三： 把2x^2-7x+3分解因式. 　　分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 　　分解二次项系数(只取正因数)： 　　2＝1×2＝2×1； 　　分解常数项： 　　3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3). 　　用画十字交叉线方法示下列四种情况： 　　1 1 　　╳ 　　2 3 　　1×3+2×1 　　=5 　　1 3 　　╳ 　　2 1 　　1×1+2×3 　　=7 　　1 -1 　　╳ 　　2 -3 　　1×(-3)+2×(-1) 　　=-5 　　1 -3 　　╳ 　　2 -1 　　1×(-1)+2×(-3) 　　=-7 经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7. 解 原式=(x-3)(2x-1). 总结：对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下： 　　a1 c1 　　 ╳ 　　a2 c2 　　a1c2+a2c1 　　按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即 　　ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2). 这种方法要多实验，多做，多练。它可以包括前两者方法。 4】分组分解法 也是比较常规的方法。 一般是把式子里的各个部分分开分解，再合起来 需要可持续性！ 例四：x^2+4x+4y^2-y^2 可以看出，前面三项可以组成平方，结合后面的负平方，可以用平方差公式 解：原式=（x+2）^2-y^2 =(x+2+y)(x+2-y) 总结：分组分解法需要前面的方法作基础，可见前面方法的重要性。 5】换元法 整体代入，免去繁琐的麻烦，亦是建立的之前的基础上 例五：（x+y）^2-2(x+y)+1分解因式 考虑到x+y是以整体出现，展开是十分繁琐的，用a代替x+y 那么原式=a^2-2a+1 =(a-1)^2 回代 原式=（x+y-1）^2 6】主元法 这种方法要难一些，多练即可 即把一个字母作为主要的未知数，另一个作为常数 例六：因式分解16y+2x^2(y+1)^2+(y-1)^2x^4 　　分析：本题尚且属于简单例用，只是稍加难度，以y为主元会使原式极其烦琐，而以x为主元的话，原式的难度就大大降低了。 　　原式=(y-1)^2x^4+2(y+1)^2x^2+16y---------------------【主元法】 　　=(x^2y^2-2x^2y+x^2+8y)(x^2+2)---------------------【十字相乘法】 可见，十字相乘十分重要。 7】双十字相乘法 难度较之前的方法要提升许多。是用来分解形如ax^2＋bxy＋cy^2＋dx＋ey＋f 的二次六项式 　　在草稿纸上，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq＋np＝b，pk＋qj＝e，mk＋nj＝d，即第1,2列和第2,3列都满足十字相乘规则。则原式＝（mx＋py＋j）（nx＋qy＋k） 要诀：把缺少的一项当作系数为0，0乘任何数得0， 　　例七：ab＋b^2＋a－b－2分解因式 　　解：原式＝0×1×a^2＋ab＋b^2＋a－b－2 　　 ＝（0×a＋b＋1）（a＋b－2） 　　＝（b＋1）（a＋b－2） 8】待定系数法 将式子看成方程，将方程的解代入 这时就要用到1】中提到的知识点了 当一个方程有一个解x=a时，该式分解后必有一个(x-a)因式 例八：x^2+x-2 该题可以用十字相乘来做，这里介绍一种待定系数法 我们可以把它当方程做，x^2+x-2=0 一眼看出，该方程有一根为x=1 那么必有一因式为(x-1) 结合多项式展开原理，另一因式的常数必为2（因为乘-1要为-2） 一次项系数必为1（因为与1相乘要为1） 所以另一因式为（x+2） 分解为(x-1)(x+2) 9】列竖式 让人拍案叫绝的方法。原理和小学的除法差不多。 要建立在待定系数法的方程法上 不足的项要用0补 除的时候，一定要让第一项抵消 例九：3x^3+5x^2-2分解因式 提示：x=-1可以使该式=0，有因式（x+1） 那么该式分解为（x+1）(3x^2+2x-2) 因式分解有9种方法，这么多？ 其实是不止的，还有很多很多。不过了解这些，初中的因式分解是不会有问题了。 考虑到每种方法只有一个例题，下面提供一些题目，供大家练习。 (ab+b)^2−(a+b)^2 (a^2−x^2)^2−4ax(x−a)^2 3a^3b^2c－6a^2b^2c^2＋9ab^2c^3 xy＋6－2x－3y (3a－b)^2－4(3a－b)(a＋3b)＋4(a＋3b)^2 (x＋2)(x－3)＋(x＋2)(x＋4) 12x^2－29x＋15 x(y＋2)－x－y－1 4x^2＋4xy＋y^2－4x－2y－3 2x^4＋13x^3＋20x^2＋11x＋2 2x^2-7xy-22y^2-5x+35y-3 4m^2+8mn+3n^2 4n^2+4n－15 x^2+2x-8 x^2+3x-10 .x^2+x-6 2x^2+5x-3 x^2+4x-2 x^2-2x-3 5ax+5bx+3ay+3by x^３-x^２+x-1 18a^2-32b^2-18a+24b 希望同学们能掌握因式分解，把因式分解看成一种乐趣~