函数的周期性

函数的周期性 一、正弦函数的周期 三角函数，以正弦函数 y = sin x为代表，是典型的周期函数. x幂函数 y = xα 无周期性，指数函数 y = a 无周期性，对数函数 y =logx无周期，一次函数 y = kx+b、a232二次函数 y = ax+bx+c、三次函数 y = ax+bx + cx+d 也无周期性. 周期性是三角函数独有的特性. 1、正弦函数 y=sin x 的最小正周期 在单位圆中，设任意角α的正弦线为有向线段MP. 正弦函数的周期性 动点P每旋转一周，正弦线MP的即时位置和变化方向重现一次. 同时还看到，当P的旋转量不到一周时，正弦线的即时位置包括变化方向不会重现. 因此，正弦函数y=sinx的最小正周期2π. 2、y=sin(ωx)的最小正周期 ω>0，y =sin(ωx)的最小正周期设为L . 设 按定义 y = sin ω(x+L) = sin(ωx+ ωL) = sinωx . 令ωx = x' 则有 sin (x' + ωL) = sin x' 因为sinx最小正周期是2π，所以有 2π, L,2π,L,, 2π例如 sin2x的最小正周期为 ,π2 x2πsin的最小正周期为 ,4π12 2 3、正弦函数 y=sin(ωx+φ) 的周期性 对正弦函数sinx的自变量作“一次替代”后，成形式y = sin (ωx+φ). 2π它的最小正周期与y = sinωx的最小正周期相同，都是. L,, π2π,,如的最小周期与 y = sin(3x)相同，都是. y,sin3x，,,32,, ππ,,,,于是，余弦函数的最小正周期与sinx的最小正周期相同，都是y,cosx,sin,x,,sinx,,,,,22,,,,2π. 二、复合函数的周期性 将正弦函数 y = sin x 进行周期变换x?ωx，sinx ?sinωx 2π后者周期变为 (,,0), 而在以下的各种变换中，如 (1)初相变换sinωx ? sin( ωx+φ); (2)振幅变换sin(ωx +φ)? Asin( ωx+φ); (3)纵移变换 Asin( ωx +φ) ? Asin( ωx+φ)+m; 1 2π后者周期都不变，亦即 Asin( ωx +φ) +m与sin(ωx)的周期相同，都是. ,而对复合函数 f (sinx)的周期性，由具体问题确定. 1、复合函数 f(sinx) 的周期性 【例题】 研究以下函数的周期性: (1)2 sinx; (2) sinx (2)的定义域为,2kπ，2kπ+π,，值域为,0，1,，作图可知， 它是最小正周期为2π的sinx 周期函数. 1，，【解答】 (1)2sinx 的定义域为R，值域为，作图可知，它是最小正周期为2π的周期函数. , 2,,2，， 1【说明】 从基本函数的定义域，值域和单调性出发，通过作图，还可确定，log x，sinx，， asinxsin(sinx)都是最小正周期2π的周期函数. 32、y= sin x 的周期性 33对于y = sinx =(sinx)，L=2π肯定是它的周期，但它是否还有更小的周期呢, 我们可以通过作图判断，分别列表作图如下. 3图上看到，y = sinx 没有比2π更小的周期，故最小正周期为2π. 23、y= sin x 的周期性 22对于y = sinx = (sinx)，L=2π肯定是它的周期，但它的最小正周期是否为2π, 可以通过作图判定，分别列表作图如下. 2 2图上看到，y = sinx 的最小正周期为π，不是2π. 2n2n-14、sin x 和sin x 的周期性 y = sin2x 的最小正周期为π，还可通过另外一种复合方式得到. 2因为 cos2x 的周期是π，故 sinx的周期也是π. 22sinx的周期，由cosx的2π变为sinx的π. 就是因为符号法“负负得正”所致. mmm因此，正弦函数sinx的幂符合函数sinx，当m=2n时，sin x的最小正周期为π;m = 2n–1时，sinx 的最小正周期是2π. 5、幂复合函数举例 【例1】 求 y =|sinx|的最小正周期. 2【解答】 最小正周期为π. y,|sinx|,sinx 5 3【例2】 求的最小正周期. y,(sinx) 5353【解答】 最小正周期为2π. (sinx),(sinx) 2 5【例3】 求的最小正周期. y,(sinx) 2255【解答】 最小正周期为π. (sinx),(sinx) q p【说明】 正弦函数sinx的幂复合函数. (sinx) 当q为奇数时，周期为2π;q为偶数时，周期为π. 三、周期函数的和函数 两个周期函数，如 sin x 和 cosx ，它们最小正周期相同，都是 2π. 那么它们的和函数，即 sinx + cos x的最小正周期如何, π sinx，cosx,2sin(x，)4和函数的周期与原有函数的周期保持不变. 这个结论符合一般情况. 对于另一种情况，当相加的两个函数的最小正周期不相同，情况将会如何, 1、函数 sinx + sin2 x 的周期性 sin x的最小正周期为2π，sin2x的最小正周期是π，它们之间谁依赖谁，或依赖一个第三者, 列表如下. 3 表上看到函数sinx+sin2x的最小正周期是2π. 2、函数 sinx + sin2x 的周期性 依据上表，作sinx+sin2x 的图像如右. 从图上看到，函数的最小正周期为2π. 由sinx，sin2x的最小正周期中的大者决定，因为前者是后者的2倍. 从图上看到，sinx+sin2x仍然是个“振动函数”，但振幅已经不是常数了. 23、函数sinx+sinx的周期性 3 2sinx的最小正周期为2π，sinx的最小正周期是3π. 它3 2们之间的和sinx + sinx的最小正周期也由“较大的”决定吗,3 即“和函数”的周期为3π吗, π不妨按周期定义进行检验. 设 x,02 π 则x +3π=，3π02 ππ2π3,,,,()sinsin1 fx,f,，,,，,,,,022322,,,, π7π27π3,,,, f(x，3π),f，3π,sin，sin,,,1，,f(x),,,,0022322,,,, 2因此3π不是sinx + sinx的最小正周期. 3 22通过作图、直观看到，sinx+sinx的最小正周期为6π，即sinx和sinx最小正周期的最小倍数. 33四、周期函数在高考中 三角函数是高考命题的重要板块之一，小题考，大题也考，比分约占高考总分的七分之一，与立体几 何相当. 与立几不同的是，它还与函数、方程、不等式、数列、向量等综合. 正弦函数是三角函数的代表，而周期性又是正弦函数的特性. 关系到正弦函数的试题，有2种形式. (1)直接考，求正弦函数的最小正周期. (2)间接考，考周期在正弦函数性质中的应用. 求单调区间，求最值，简单方程的通解等. 1、求正弦函数的周期 x【例1】 函数 y =|sin|的最小正周期为 2 π(A) (B)π (C)2π (D)4π 2 xx2|sin|sin【解答】 y,,22 x最小正周期是最小正周期的一半，即2π. 为(C) sin2 【说明】 图象法判定最简便，|sin x|的图象是将sin x的图象在x轴下方部分折到x轴上方去. 4 x2倍角法定判定最麻烦 y,sin,1,2cosx2 【解答】 (1)y = 2cos2x + 1的最小正周期由cos2x决定 2、求正弦函数的周期 2【例2】 (1)y =2cosx+1的最小正周期为 . (2)y =|sinx + cosx|的最小正周期为 . 22【解答】 (1)y = 2cosx + 1的最小正周期由cosx决定，故答案为π. 2(2) 故答案为π. |sinx，cosx|,2|sin(x，,)|,2sin(x，,) 22【说明】 都可看作sinx的幂函数的复合函数. cosxsin(x，,) 3、函数周期性应用于求值 【例题】 f (x)是R上的偶函数，且是最小正周期为π的周期函数. π35π2πππ,,,,,,,,【解答】 ,sin, f ,f ,f ,,f ,,,,,,,,323333,,,,,,,, 【说明】 周期性应用于区域转化. 将“无解析式”的区域函数转化到“有解析式”的区间上求值. 若 时 f (x) = sinx 试求 的值. 4、函数周期性应用于求单调区间 22【例题】 x?R，求函数 y =sinx + sinx cosx+2cosx 的单调增区间. 3 1,cos2x3 【解答】 y,，sin2x，(1，cos2x)22 313π3,sin2x，cos2x，,sin(2x，)， 22262 函数的最小正周期为π. πππππ,,x, 令 得 ,,2x，,26236 ππ，，因为函数周期为π，故函数的单调增区间为. kπ,, kπ，,,36，，【说明】 先求包含零点的增区间，再用最小正周期求单调增区间的集合. 周期函数在高考中 5、周期性应用于求函数零点 4422sincossincos1x，x，xx()【例题】 已知函数. fx,,2sin24,x 442222sincossincos11sincos1x，x，xx,xx()【解答】 fx,,,, 2sin242(1sincos)4,x,xx 11111 ,，sin2x,,，sin2x24444 5 11π 令 得 ，sin2x,0x,444 π 故交点横坐标的值的集合为. x,4 【说明】 先求绝对值最小的解，再利用最小正周期求“通解”. 五、高考史上的周期大难题 高考史上第一次“周期大难题”出现在恢复高考后的第3年，即1980年的理科数学卷上. 本题排在该卷的第六大题上. 在有十个大题的试卷上，这是个中间位置，然而，从当年的得分情况来看，本题的难度超过了包括压轴题和附加题在内的所有题目. 这点为命题人事先未能预料. 后来，该题的难点有三 . (1)函数抽象，导致周期中含有参数;(2)求参数范围，与解不等式综合;(3)求最小正整数解，连命题人自拟的“标答”都含糊不清. 20多年来数学界质疑不断. kππf(x),sin(，)【考题】设三角函数，其中k?0. 53 (1)写出 f (x)极大值M、极小值m与最小正周期; (2)试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间(包括整数本身)变化时，函数 f (x)至少有一个值是M与一个值是m. 5，2π10πT,,【解答】 (1) M=1，m = -1，. kk (2)f (x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是M与一个值是m . 而任意两个整数间的距离都?1因此要使任意两个整数间函数f(x)至少有一个值是M与一个值是m， 10 π必须且只须使 f (x)的周期?1即:k=32就是这样的最小正整数. ,1, k,10 π,31.4？.k 六、高考史上的周期大错题 中学教材上的周期函数，一般都是简单和具体的函数. 关于最小正周期的求法，也是一些感性的结果;没有系统和完整“最小正周期”的系统研究. 然而，随着“抽象函数”的不断升温，对周期函数周期的考点要求越来越高. 2006年福建理数卷出现的“周期大错题”正是这种盲目拔高的必然结果. 【例题】 f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0，则方程f(x)=0在区间(0，6)内解的个数的最小值是 A.2 B.3 C.4 D.5 【说明】 这是2005年福建卷(理)第12题，命题组提供的答案是D，即答案为5. 答案D从何而来,以下，就是“D”的一种解法. 【解答】 f (x)周期为3，由 f (2)=0，得 f (5) = f (2)=0，得 f (-1)= f (2-3) = f (2)=0，得 f (-4) = f (2-6) = f (2)=0 f (x)为奇函数，得 f (1) = - f (-1) =0 f (4)= - f (-4)=0，得 f (-0)= - f (0)，得 f (0)=0 f (3)= f (3+0)= f (0)=0 于是，求得 f (x)=0的解为:1、2、3、4、5. 共5个解，答案为D. 【讨论】 除了上述解法得 f (x)=0的5个解外，还有如下的解. 根据方程 f (x)=0的定义， x = 1.5 和 x =4.5 也是方程的解，证明如下: 由 f (x)的周期性，知 f (-1.5)= f (1.5) (1) 由 f (x)的奇偶性，知 f (-1.5) = - f (1.5) (2) 6 从而有 f (1.5)=0，f (4.5) = f (1.5)=0. 所以，1.5和4.5也是方程 f (x)=0的解.于是，方程的解共有7个:即是1、1.5、2、3、4、4.5、5. 【思考】 按上面讨论的结果，方程 f (x) = 0的解至少有7个. 而原题的四个选项支中均没有这个答案. 命题人给定的答案D是错的. 高考史上的周期大错题 【实验检验】 f (x)同时满足4个条件:(1)定义在R上;(2)奇函数;(3)周期为3;(4)f (2) =0. 据 2π4π此，我们找到 f (x)的一个具体例子: f(x),sinx，sinx33 并在区间(0，6)上找到 f (x)=0的7个解，列表如下: 这7个解即是1，1.5，2，3，4，4.5，5. 2π4π函数在一个周期,0，3,上的f(x),sinx，sinx33 图像如右. 图像与 x 轴有5个交点，故在,0，6,有9个交点， 从而在(0，6)上有7个交点. 【反思】 命题人的错误自然出在疏忽二字上. 实在地，本 题较难，首先难倒了命题人自己. 严格地讲，试题“超纲”. 对两个周期函数的和函数，其 最小正周期是它们的“最小公倍数”——这本身就没有进行过 证明，对某些具体函数可以具体分析，但对抽象函数来讲，却 没有理论依据. 而本题，又恰恰是个抽象函数，而且是个综合 问题. 命题出错似乎是必然的. 抽象函数是相对于具体函数而言的,它没有给出具体的函数解析式.所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力.近几年高考中也常出现涉及抽象函数的题目,大多考查的是函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性.而在实际教学中我感觉同学们对于抽象函数周期性的判定和运用比较困难,所以先研究一下抽象函数的周期性问题. 预备知识: 对于函数定义域内的每一个x,若存在某个常数T(T?0),使f(x 7 +T)= f(x)总成立,则f(x)是周期函数.T是f(x)的一个周期.若T是f(x)的一个周期,则kT(k?Z且k?0)也是f(x)的周期 一. 抽象函数周期的求法. 由于抽象函数无具体的解析式,所以应根据周期函数的定义来解决.大致分为以下几个类型: 1.型如f(x+a)=f(x+b)(a?b) 分析: 用替换思想将条件等式化成定义形式.将原等式中的x用x-a(或x-b)来替换.得f(x-a+a)=f(x-a+b)即 f(x)=f[x+(b-a)] 所以根据周期函数的定义得f(x)是周期函数且b-a是其一个周期. 若用x-b替换x得f(x)=f[x+(a-b)] 所以f(x)是周期函数且a-b是其一个周期. 2.型如f(x)=-f(x+a)(a?0) 分析: 条件与定义相比多了一个负号,故可用替换和代入的方法变为定义形式。将原等式中的x用x+a替换 得f(x+a)=-f(x+2a)，代入原条件等式得f(x)=-[-f(x+2a)]=f(x+2a) 所以f(x)是周期性函数且2a是其一个周期. 3.型如f(x)=1/ f(x+a) (a?0) 分析: 与上一类型相仿用替换和代入的方法得到周期函数定义的形式.将原条件等式中的x 用x+a替换得f(x+a)=1/ f(x+2a)代入原等式得f(x)=f(x+2a) 所以f(x)是周期函数,2a是其一个周期. 从以上可发现求周期，主要是用替换与代入的思想将原条件等式化成定义的形式得到周期. 8 二. 抽象函数周期性与函数的奇偶性,对称性的关系. 2001年全国高考的第22题第2问就涉及这方面的知识,仔细分析发现其结论可推广,在很多函数小题中有灵活运用. 1.设条件A: 定义在R上的函数f(x)是一个偶函数. 条件B: f(x)关于x=a对称 条件C: f(x)是周期函数,且2a是其一个周期. 结论: 已知其中的任两个条件可推出剩余一个. 证明: ?已知A、B? C (2001年高考第22题第二问) f(x)是R上的偶函数?f(-x)=f(x) ? 又?f(x)关于x=a对称?f(-x)=f(x+2a) ?f(x)=f(x+2a)?f(x)是周期函数,且2a是其一个周期 ?已知A、C?B ?定义在R上的函数f(x)是一个偶函数?f(-x)=f(x) 又?2a是f(x)一个周期?f(x)=f(x+2a) ?f(-x)=f(x+2a) ? f(x)关于x=a对称 ?已知C、B?A ?f(x)关于x=a对称?f(-x)=f(x+2a) 又?2a是f(x)一个周期?f(x)=f(x+2a) ?f(-x)=f(x) ?f(x)是R上的偶函数 看来偶函数性质加上对称性可推出同期性。那么奇函数是不是也可以呢,经分析可得: 2.定义在R上的奇函数f(x)关于x=a对称，则f(x)是周期函数，4a是其一个周期。 9 证明:?定义在R上的奇函数f(x) ?f(-x)=-f(x) 又?f(x)关于x=a对称?f(-x)=f(x+2a) ?f(x)=-f(x+2a)再根据周期求法中的第二类型可得f(x)=f(x+4a) (替换+代入)故f(x)是周期函数，4a是其一个周期。 奇函数本身是一个中心对称图形，关于原点对称那么若f(x)关于x轴上另一点线中心对称，再加对称性是否也可推出周期性吗,经分析可得: 3 .f(x)关于(a、0)成中心对称且f(x)关于x=b成轴对称(a?b)，则f(x)是周期函数且4(b-a)是其一个周期。 若f(x)关于x轴上的两个点成中心对称呢, 4.定义在R上的f(x)关于(a、0)和(b、0)都成中心对称则f(x)是周期函数且2(b-a) 是一个周期。 证明:?定义在R上的f(x)关于(a、0)成中心对称?f(-x)=-f(x+2a) 又?定义在R上的f(x)关于(b、0)成中心对称?f(-x)=-f(x+2b) ?f(x)是周期函数且2(b-a) 是其一个周期 将原条件换成关于x=a，x=b对也行，结论成立。 综上可知函数的周期性、对称性、奇偶性之间的关系相当紧密，灵活运用可简化题目难度。 例1( f(x) 是R上的奇函数f(x)=- f(x+3) ，x?[0，3/2]时f(x)=x，则 f(2003) =, f(x)= f(x+6) 解:方法一 ?f(x)=- f(x+3) (替换、代入)? ?6是f(x)的一个周期 f(x) 10 ?f(2003)= f(334*6-1)=f(-1)=-f(1)=-1 方法二?f(x)=-f(x+3)，f(x)是奇函数 ?f(-x)=f(x+3) ?f(x)关于x=3/2对称 又?f(x)是奇函数 ?6是f(x)的一个周期，以下与方法一相同。 例2( f(x)是R上的偶函数，f(1-x )=f(x+1)，x?[-1，0]时 f(x)=Log0.5(-x)则f(2003)=, 解:? f(x)是偶函数，f(1-x)=f(x+1)(即f(x)关于x=1对称) ?根据结论1得2是f(x)的一个周期 f(2003)=f(2*1002-1)=f(-1)= Log0.5(1)=0 ? 例3( f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a?[5，9]且f(x)在[5，9]上单调。求a的值。 解:? f(x)=-f(6-x) ?f(x)关于(3，0)对称 ? f(x)= f(2-x) ? f(x)关于x=1对称 ?根据结论3得8是f(x)的一个周期 ?f(2000)= f(0) 又?f(a) =-f(2000) ?f(a)=-f(0) 又?f(x) =-f(6-x) ?f(0)=-f(6) ?f(a)=f(6) ?a =6 11