1
第一章 空间直角坐标,平面和直线
1.在给定坐标系中画出下列各点:
341510421421 ,,,,,,,,,,, 。
2.自点 M 321 ,, 和 N cba ,, 分别引各坐标平面和坐标轴的垂线,求各垂足的坐标。
解:点 M 321 ,, 在平面 XOY,XOZ,YOZ 上的垂足分别为: 320301021 ,,,,,,,,
在 X,Y,Z 轴上的垂足分别为: 300020001 ,,,,,,,,
点 N cba ,, 在平面 XOY,XOZ,YOZ 上的垂足分别为: cb,ca,,ba ,,0,00,,
在 X,Y,Z 轴上的垂足分别为: ,c,,,b,,,a, 000000
3. 给定点 M 3,2,1 和 N cba ,, ,求它们分别对于坐标平面、坐标轴和原点的对称点的坐标。
解:
关于 XOY 对称 关于 XOZ 对称 关于 YOZ 对称 关于原点对称
M(1,-2,3) (1,-2,-3) (1,2,3) (-1,-2,3) (-1,2,-3)
N(a, b, c) (a, b, -c) (a, -b, c) (-a, b, c) (-a, -b, -c)
关于 X 轴对称 关于 Y 轴对称 关于 Z 轴对称
M(1,-2,3) (1,2,-3) (-1,-2,-3) (-1,2,3)
N(a, b, c) (a, -b, -c) (-a, b, -c) (-a, -b, c)
4.求点 M(4,-3,5)到原点、各坐标轴和各坐标平面的距离。
解:点 M 到原点的距离: 255)3(4 222 OM
点 M 在 XOY,XOZ,YOZ 上的垂足分别为 A(4,-3,0),B(4,0,5),C(O,-3,5),
则距离为: 52500 MA , 30)3(0 2 MB , 40042 MC ,
点 M 在 X,Y,Z 轴上的垂足分别为 )0,0,4(A ,B(0,-3,0),C(0,0,5)则距离为:
345)3( 22 AM , 1454B 22 M , 543C 22 M
5.求点(1,2,-2)和(-1,0,-2)之间的距离。
解:所求距离为: 3121)(1d 222
6.求下列方向余弦:(1,2,-2),(2,0,0),(0,2,-2),(-1,-2,-5)。
解:(1,2,-2)的方向余弦为: )2,2,1(
3
1
,即:(
3
2
3
2
3
1
,, )
2
(2,0,0)的方向余弦为: )00,2(
2
1
, ,即:( 001 ,, )
(0,2,-2)的方向余弦为: )220(
22
1
,, ,即:( )
2
2
2
2
0 ,,
(-1,-2,-5)的方向余弦为: )521(
30
1
,, ,即:( )
6
30
15
30
30
30
,,
7.求从点(1,2,-2)到点(-1,0,-1)的方向的方向数和方向余弦。
解:从点(1,2,-2)到点(-1,0,-1)的方向的方向数为(-1-1,0-2,-1+2),即(-2,
-2,1);方向余弦为( )
3
1
,
3
2
,
3
2
。
8.求下列方向的方向角:(0,0,-1),( )4,1,2(),0,
2
1
,
2
3
。
解:(0,0,-1)的方向余弦为:0,0,-1,则方向角为:
,
2
,
2
( )0,
2
1
,
2
3
的方向余弦为: 0,
2
1
,
2
3
,则方向角为:
2
,
3
,
6
(-2,-1,-4)的方向余弦为:
21
214
,
21
21
,
21
212
,则方向角为:
21
214
arccos,
21
21
arccos,
21
212
arccos
9.求下列各对方向之间的夹角:
1)(1,0,1)和(0,0,1);2)(-1,-2,3)和(2,0,1);3)(01,-4,-5)和(2,
3,4)。
解:1)方向余弦为(
2
2
,0,
2
2
)和(0,0,1),则:
2
2
1
2
2
000
2
2
cos
而 ),0( 故
4
2)方向余弦为(
14
142
,
7
14
,
14
14
)和(
5
5
,0,
5
52
),则:
70
70
arccos
70
70
5
5
14
143
0)
7
14
(
5
52
14
14
cos
3)方向余弦为(
42
5
,
42
4
,
42
1
)和(
29
4
,
29
3
,
29
2
),则:
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3
609
121817
arccos
609
121817
29
4
42
5
29
3
42
4
29
3
24
1
cos
10. 证明:顶点是 A(2,4,3),B(4,1,9),C(10,-1,6)的三角形是直角三形角形。
求出各边的长和各内角的大小。
证明: 7,27,7)6,1,10(),9,1,4(),3,4,2( BCACABCBA
即: 222 ACBCAB RtABC是
又: BCAB
2
,
4
BCA
故各边长为: ;27,7 ACBCAB
各内角为:
2
,
4
BCA
11.在给定的坐标系中画出下列平面:
1) ;0632 zyx 2) ;0122 zyx 3) ;023 y
4) ;0234 zx 5) .043 zyx
12.求下列平面的方程:
1)过点(0,-1,4),法向的方向数为(2,-1,0);
解:1)设所求方程为: 02 Dyx ,又点(0,-1,4)在平面上
0)1(02 D 1D 012 yx:所求平面方程为
2)过点(-1,-5,4),平行于平面 ;0523 yx
解:2)设平面方程为: 023 Dyx ,则:
0)5(2)1(3 D 7D 0723 yx:所求平面方程为
3)过点(1,3,5),(-1,-2,3),(2,0,-3);
解:设平面方程为: 0( DCzByAx ,则由题可得:
11
18
34
35
35
11
35
18
35
34
032
032
053
C
B
A
,D
DC
DB
DA
DCA
DCBA
DCBA
则令
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4
035111834 zyx:所求平面方程为
4)过点(3,-1,4)和(1,0,-3),垂直于平面 ;0152 zyx
解:设平面方程为: 0 DCzByAx ,则由题可得:
6
1
3
1
6
3
052
03
043
D
B
A
,C
CD
CB
CA
CBA
DCA
DCBA
则令
063 zyx:所求平面方程为
5)过点(0,-1,3)和 Y 轴;
解:设平面方程为: 0CzAx ,则:
6)过点(-2,-1,3)和(0,-1,2),平行于 Z 轴。
解:设平面方程为: 0 DByAx ,则由题可得:
01
00
02
y:
A
DB
DB
DBA
所求平面方程为
13.将 11 题中的平面方程化为法式方程:
解:1)法式方程为: 0
7
143
14
14
14
143
7
14
zyx
2)法式方程为: 0
14
14
14
143
7
14
14
14
zyx
3)法式方程为: 0
3
2
y
4)法式方程为: 0
5
2
5
3
5
4
zx
5)法式方程为: 0
13
262
26
26
26
263
zyx
14.在给定的直角坐标系中画出下列直线:
1)
1
4
1
2
1
1
xyx
; 2)
2
3
1
2
0
1
zyx
;
3)
2
1
2
3
1
2
zyx
; 4)
.0134
,0132
zyx
yx
15.求下列直线的方程:
000030 x:ACCA 所求平面方程为而
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5
1)过点(-2,3,5),方向数为(-1,3,4);
解:直线方程为:
4
5
3
3
1
2
zyx
2)过点(0,3,1)和(-1,2,7);
解:直线的方向数为:(-1,-1,6),则直线方程为:
6
7
1
2
1
1
zyx
3)过点(-1,2,9),垂直于平面 3x+2y-z+5=0;
解:由题可知直线的方向数为:(3,2,-1),则直线方程为:
1
9
2
2
3
1
zyx
4)过点(2,4,-1),与三个坐标轴成等角。
解:由于直线与三个坐标轴成等角,则(1,1,1)为其一个方向数,则:直线方程为:
1
1
1
4
1
1
zyx
16.给定直线
3
2
1
1
2
1
:
zyx
l ,求
1)过 l 平行于 Z 轴的平面;
解:由题可设平面方程为: 0 DByAx ,则:
1
2
1
2
0
02
D
B
:,A
AD
AB
DBA
BA
则令
012 yx:所求平面方程为
2)l 在 XY 平面上的投影。
解:由
0
1
1
2
1
z
yx
得直线 l 在 XY 平面上的投影为:
0
012
z
yx
17.求下列直线在各坐标平面上的投影;并画图:
1)
1
1
2
3
1
1
zyx
解:由
0
2
3
1
1
z
yx
得直线在 XOY 平面上的投影为: 012 zyx
由
0
1
1
1
1
y
zx
得直线在 XOZ 平面上的投影为: 02 yzx
由
0
1
1
2
3
x
zy
得直线在 YOZ 平面上的投影为: 052 xzy
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6
2)
2
2
1
1
0
1
zyx
;
解:由
0
1
1
0
1
z
yx
得直线在 XOY 平面上的投影为: 01 zx
由
0
2
2
0
1
y
zx
得直线在 XOZ 平面上的投影为: 022 yx
由
0
2
2
1
1
x
zy
得直线在 YOZ 平面上的投影为: 042 xzy
3)
032
013
zx
zyx
解:由
032
013
zx
zyx
得直线的点向方程为:
2
7
11
2
zyx
0
11
2
z
yx
由 得直线在 XOY 平面上的投影为: 02 zyx
由
0
2
7
1
2
y
zx
得直线在 YOZ 平面上的投影为: 032 yzx
由
0
2
7
1
x
zy
得直线在 YOZ 平面上的投影为: 072 xzy
4)
02
01
z
x
解:直线的点向方程为:
0
2
10
1
zyx
0
10
1
z
yx
由 得直线在 XOY 平面上的投影为: 01 zx
由
0
0
2
0
1
y
zx
得直线在 YOZ 平面上的投影为: )2,0,1(
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7
由
0
0
2
1
x
zy
得直线在 YOZ 平面上的投影为: 02 xz
18.将下列直线的方程化为点向式:
(1)
;0132
,03
zyx
zyx
解:由
13
5
4
8
84
53
0132
03 zyx
:
zx
zy
zyx
zyx
直线点向方程为
(2)
;01
,01
z
yx
解:由
0
1
1
1
11
1
01
01
zyx
:
z
yx
z
yx
直线点向方程为
(3)
;0134
,023
zy
yx
解:由
4
3
3
2
134
23
0124
023
zyx
:
xz
xy
zy
yx
直线点向方程为
(4)
;02
,01
z
y
解:由
00
1
12
1
02
01 zzyx
:
z
y
z
y
直线点向方程为
19.求下列各对直线之间的夹角:
1)
2
3
0
1
10
1
1
2
1
1
zyxzyx
与 ;
解:设直线间的夹角为 θ,
由于两直线的方向数为(1,-1,0),(-1,0,2),则方向余弦为( 0,
2
2
,
2
2
),(
5
52
,0,
5
5
)
10
10
5
52
00
2
2
)
5
5
(
2
2
cos
10
10
arccos
2)
3
1
42
1
2
4
1
3
1
1
zyxzyx
与 ;
解:设直线间的夹角为 θ,
两直线的方向数为(-1,1,2),(-2,4,-3),由于:(-1)×(-2)+1×4+2×(-3)=0
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8
2
两直线间的夹角 .
3)
.023
,013
012
,01
zy
yx
xyx
zyx
与 ;
解:设直线间的夹角为 θ,
由题可知两直线的方向数为(-3,1,2),(
3
1
1
3
1
,, ),则方向余弦为(
14
2
14
1
14
3
,, ),
(
11
1
11
3
11
1
,, ),
77
1542
)
11
1
(
14
2
11
3
14
1
)
11
1
(
14
3
cos
77
1542
arccos
20.求直线与平面的交点:
1) 023
1
2
3
1
2
1
zyx
zyx
与 ;
解:
11
25
11
20
11
5
11
25
11
20
11
5
023
1
2
3
1
2
1
,,
z
y
x
zyx
zyx
交点为
2) 平面与XZ
zyx
zyx
022
,0132
;
解:
3
5
0
3
1
3
5
0
3
1
0
022
0132
,,
z
y
x
y
zyx
zyx
交点为
3) 0623
4
2
1
1
2
2
zyx
zyx
与 ;
解: 0142132 而直线上一定点(-2,1,-2)也在平面上
直线在平面上 即:直线与平面有无数个交点。
4) 0723
4
2
1
1
2
2
zyx
zyx
与 .
解: 0142132 但直线上一定点(-2,1,-2)不在平面上
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9
直线平行于平面 即:直线与平面没有交点。
21.求直线: )2(
0
,0
: 21
2222
1111
CC
DzCyBxA
DzCyBxA
l 与 Z 轴相交的条件。
解:令 X=0,y=0,则: ,
0
0
22
11
DZC
DZC
即:
2
2
1
1
C
D
Z
C
D
Z
∴直线 l 与 z 轴相交的条件是:
2
2
1
1
C
D
C
D
,即:
2
2
1
1
C
D
C
D
22.证明:直线
n
zz
m
yy
l
xx
p 000:
落在平面 0: DCzByAx 上必须且
只须 .0,0 000 DCzByAxCnBmAl 同时,写出 p 平行于 π但不在 π上的条
件。
证明:直线 p 与平面 π的方向数分别为:(l, m, n),(A, B, C)
∵Al+Bm+Cn=0 ∴直线 p 平行于平面 π。
又:点(x0, y0, z0)在直线 p 上,且 Ax0+By0+Cz0+D=0,即点(x0, y0, z0)也在平面 π上
∴直线 p 在平面 π上。
23.求经过直线
01323
09232
zyx
zyx
和点(1, 2, 1)的平面方程。
解:设平面方程为: 0)1323()9232( zyxBzyxA ,
又:点(1, 2, 1)在平面上
∴ 0)1132213()9122312( BA ∴A=-B
令 B=-1,则 A=1 故:所求平面方程为: 085 zyx
24.设平面 π1与 π2不平行,它们的方程分别为
01111 DzCyBxA , 02222 DzCyBxA 。
证明:过 π1 和 π2 的交线的所有平面的方程都可以
示成
0)()( 22221111 DzCyBxADzCyBxA ,其中 λ和 μ为不全为零的
实数。
证明:∵ 21 ,21 L 且
0
08
:
2222
111
DzCyBxA
zCyBxA
L
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10
设 0)()( 22221111 DzCyBxADzCyBxA 其中 0
22 ,由
21 知该方程是一个三元一次方程,即方程表示一个平面设 Lzyx 000 ,, ,则:把点
000 ,, zyx 代入 π中有:
0)()( 20202021010101 DzCyBxAMDzCyBxA
即:左边=右边 ∴L 在 π上。
由 , 的任意性可知:所有过 L 的平面上方程都可以成:
0)()( 22221111 DzCyBxADzCyBxA
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11
第二章 向量代数
1.已知平行四边形 ABCD 的对角 DACD,BC,ABbBDaAC 和求,, 。
解:
2
2
ba
AB
ba
BC
bBDABBC
aACABBC
2
2
ba
BCCBDA
ab
ABBACD
故: )(
2
1
);(
2
1
),(
2
1
),(
2
1
baDAabCDbaBCbaAB
2.已知平行四边形 ABCD 的边 BC 和 CD 的中点分别为 K 和 L,且 lALkAK , ,求
CDBC和 。
解:设 bBC , aCD ,则:
klb
kla
lab
bka
3
2
3
4
3
4
3
2
2
1
(
2
1
klCD
klBC
3
4
3
2
3
2
3
4
3. MBAM 。证明:对任意一点 O, OBOAOM
2
1
。
证明:
一: )(
2
1
2
1
2
1
OBOAOAOBAOOAABAMOAOM
)(
2
1
OBOAOM
方法二:由已知可得 A、M、B 三点共线,且 M 为线段 AB 的中点。
延长 OM 至 N,使 MON 20 ,连 OA、OB、AN、BN,易证四边形 OANB 为平行四
边形。 OBOAON 而 ONOM
2
1
)(
2
1
OBOAOM
4.设 M 是三角形 ABC 的重心。证明:对任意一点 O, OCOBOAOM
3
1
。
证明:方法一: ),, CMOCOMBMOBOMAMOAOM
)(
3
1
)(
3
1
CMBMAMOCOBOAOM
而: OMCMBMA 即: OCMBMAM
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12
)(
3
1
OCOBOAOM
方法二:设三角形 ABC 三点坐标分别为 A(x1,y1,z1), B(x2, y2, z2),(x3, y3, z3)
由重心坐标公式得:
z
zzzyyyxxx
M
3
,
3
,
3
321321321
∴ )(
3
1
OCOBOAOM
5.设 M 是平行四边形 ABCD 的对角线的交点。证明:对任意一点 O,
).(
4
1
ODOCOBOAOM
证明: AMOAOM , BMOBOM , CMOCOM , DMODOD
而: ,OMDMCMBMA 即: ,ODMCMBMAM
∴ )(
4
1
ODOCOBOAOM
6.设 A,B,C,D 是一个四面体的顶点,M,N 分别是边 AB,CD 的中点。
证明: )(
2
1
BCADMN 。
证明:取 AC 的中点 O,则 OM,ON 分别为中位线,故有: BCMO
2
1
, ADON
2
1
∴ )(
2
1
ADBCONMOMN 即: )(
2
1
BCADMN
7.设 AD,BE,CF 是三角形 ABC 的中线。
1)用 AB , AC 表示 AD , BE ,CF ;
解: )(
2
1
ACABAD ABACACBABABCBABE
2
1
)(
2
1
)(
2
1
ACABCBACF
2
1
)(
2
1
2)求 CFBEAD 。
解: OACABABACACABCFBEAD
2
1
2
1
)(
2
1
8.设 nppp ,, 21 是以 O 为中心的圆周上的 n 等分点,证明: 021 nOPOPOP 。
证明: nppp ,, 21 是 n 等份点 ∴相邻边的夹角相等。
∴ iii OPOPOP 11 (其中 2 ) 又:
)()()()()(2 212422121 nnn OPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOP
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13
即: OOPOPOP n ))(2( 21 而 02
OOPOPOP n )( 21
9.设 O 是点 A 和 B 的联线以外的一点。证明:三点 A,B,C 共线必须且只须
OBOAOC ,其中 1 。
证明:A,B,C 三点共线 OBOAOC ,其中 1 。
“ ”: CBA ,, 三点共线 )( OAOBABACOAOC
即: OBOAOAOBOAa )1(
令 1 ,则: OBOAOC (其中 1 )
“”: OBOAOC )1( OAOBOAOC )1()1(
即: ABABAC )1( CBA ,, 三点共线
10.设 O 是不共线的三点 A,B,C 所在平面以外的一点,证明:四点 A,B,C,D 共面必
须且只须 OBOAOD ,其中 1 V
“ ”: DCBA ,,, 四点共面 CAkBCkAD 21
即: akkOBkOAkakOAkOBkOCkOAOD )()1( 21122211
令 2112 ,,1 kkVkk ,则: ,OCvOBOAOD 其中 1 v
“”: OCvOBOAvOCvOBOAOD )1(
ACvABOAOAOCvOAOBOA )()(
ACvABOAOD 即: ACvABAD ∴A,B,C,D 四点共面
11.已知 321 ,, rOCrOBrOA 是以原点 O 为顶点的平行六面体的三条边,求此平行六
面体过点 O 的对角线与平面 ABC 的交点的定位向量。
解:设体对角线为 OD,OD 与平面 ABC 的交点为 E,则: 321 rrrOD
∴定位向量: )(
3
2
3
2
321 rrrODED
12.设 AL 和 BM 是三角形 ABC 的中线,它们的交点是 O,证明 BMBOALOA
3
2
,
3
2
。
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14
证明:过 L 作 LD=BM。
AMMCDCMDLCBL
2
1
2
1
ALOAALAO
AM
AM
AD
AM
AL
AO
3
2
3
2
2
3
同理可得: BMBO
3
2
13.证明:三角形 ABC 的三条中线相交于一点。
证明:方法一:设 D,E,F 分别为 BC,AC,AB 的中点,则:
)(
2
1
OBOAOF
又: )(22 OBODOBBDOBBCOBOC
BOAOOBOD 2 OFOC 2
而:OC,OF 共点 O FCO ,, 三点共线
故:三角线 ABC 的三条中线相交于一点。
方法二:设 ),,(),,(),,( 332211 yxCyxByxA 则:
)
2
,
2
(),
2
,
2
(),
2
,
2
( 212132323131
yyxx
F
yyxx
D
yyxx
E
)
2
,
2
( 2
31
2
31 y
yy
x
xx
BE
由 12 题结论可知: )
3
2
3
,
3
2
3
(
3
2
2
31
2
31 y
yy
x
xx
BEBO
)
3
2
,
3
2
()
3
,
3
( 3213213
321
3
321 yyyxxxy
yyy
x
xxx
BOCBCO
而: )
2
2
,
2
2
()
2
,
2
( 3213213
21
3
21 yyyxxxy
yy
x
xx
CF
CFCO
3
2
故:C,O,F 三点共线
∴三角形 ABC 的三条中线相交于一点。
14.设 a=(5, 7, 2), b=(3, 0, 4), c=(-6,1,-1)求
1)3a-2b+c;
解: )3,22,3()1,1,6()42,0,32()23,73,53(23 cba
2)5a+6b+c.
解: )33,36,37()1,1,6()46,0,36()25,75,55(65 cba
15.给定点 A(1,2,4)和 B(0,-1,7),求 AB 的坐标。
A
B
O
M
D
L C
C D
E F
O
B
A
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15
解: )3,3,1( AB
16.给定点 A(2,0,-1)和向量 AB (1,4,5),求 B 的坐标。
解:B(3,4,4)
17.判断下列各组的三个向量 a,b,c 是否共面?能否将 c 表成 a,b 的线性组合?若能表
示则写出表示式。
1)a=(5,2,1), b=(-1,4,2), c=(-1,-1,5);
解: 01010414100
521
142
115
cba
cba ,, 不共面, c 不能表示成 ba, 的线性组合。
2)a=(6,4,2), b=(-9,6,3), c=(-3,6,3);
解: 033633631225436336
332
664
396
cba
cba ,, 共面,设 c = ba , 则:
3
2
2
1
664
396
baC
3
2
2
1
3) a=(1,2,-3), b=(-2,-4,6), c=(1,0,5);
解: 020121220
563
042
121
cba
cba ,, 共面
设 c = ba ,则 方程无解
042
12
C 不能表示成 A, B 的线性组合。
18.设点 C 分线段 AB 为 5:2,A 的坐标为(3,7,4),C 的坐标为(8,2,3,),求 B 的
坐标。
解: )
5
13
,0,10(B
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16
19.已知三角形的三顶点为 A(2,5,0),B(11,3,8)和 C(5,11,12),求各边和各
中线之长。
解: )8,2,9( AB ,AB 边上的中线 )8,7,
2
3
()(
2
1
CBCA
)4,8,6(BC ,BC 边上的中线 )10,2,6()(
2
1
ACAB
)12,6,3(AC ,AC 边上的中线 )2,5,
2
15
()(
2
1
BABC
则: 149829 222 AB ,AB 边上的中线长:
2
461
87)
2
3
( 222
292486 222 BC ,BC 边上的中线长: 3521026 222
2121263 222 AC ,AC 边上的中线长:
2
341
25)
2
15
( 222
20.求 a·b,已知:
1)
3
,,5,8
baba ;
解: 20
2
1
58,cos bababa
2)a=(3,5,6),b=(1,-2,3)。
解: 11362513 ba
21.已知 a=(3,5,7),b=(0,4,3)c=(-1,2,-4),求 yxyayx ,,, 和 :
1) x=3a+4b-c, y=2b+c;
解: )2,10,1(2),37,29,10(43 cbycbax
242550
354
arccos,,105,2310,354 yxyxyx
2)x=4a+3b+2c, y=a+2b-c;
解: )17,11,4(2),29,36,10(234 cbaycbax
952962
929
arccos,,426,2237,929 yxyxyx
22.已知
6
,,2,3
baba 求,3a+2b 与 2a-5b 的内积和夹角。
解: 3331411)52()23(
22
bobaabbaba
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17
36013652,3369723 baba
2
2
36013633697
33314
5223
)52)(23(
cos
baba
baba
4
3
故:两向量间的夹角为
4
3
23.证明下列各对向量互相垂直:
1)(3, 2, 1)与(2, -3, 0);
证明: 0013223)0,3,2()1,2,3(
∴向量(3,2,1)与(2,-3,0)互相垂直。
2)a(b·c)-b(a·c)与 c。
证明: 0))(()()()()( cacbcbcaccabcba
ccabcba 与向量 )()( 互相垂直。
24.设 OABC 是一个四面体, ,
3
,1,2
AOCAOBOCOBOA
,
6
BOC L 是 AB 的中点,M 是 OMOL。ABC 求的重心 和 OM,OL 。
解: 3
3
2 OLAOB,OBOA
)
2
1
(
3
2
)(
3
2
3
2
BACBOCBLCBOCCLOCCMOCOM
)(
3
1
)(
2
1
3
2
)(
3
2
OCOBOAOBOAOCOBOC
3215
3
1
)(
9
1 2 OCOBOAOM
又:
6
13
)
3
1
3
1
3
1
)(
2
1
2
1
()
2
1
(
OCOBOAOAOBOMABOAOMOL
32156
33
arccos,
32156
33
,cos
OMOL
OMOL
OMOL
OMOL
故
32156
33
arccos,,3215
3
1
,3
OMOLOMOL
25.CD,CT 和 CH 分别是三角形 ABC 的中线、分角线和高线, ,,, cbCBaCA
求 D,T 和 H 分 AB 的分比。
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18
解:∵CD 为三角形的 ABC 的中线 DBAD
11
DB
AD
, 即:D 分 AB 的比为 1
∵CT 由三角形 ABC 的角平分线,由内角平分线定理得:
b
a
ABT:
b
a
b
a
TB
AT
BC
AC
的中为分即,2
cos222 abbaAB:AB,CH,ABCCH 由余弦定理得则的高线为三角形
而:
AB
abb
BH
AB
aba
AH
abbaABHBAH
HBBCAHAC
cos
cos
cos2
2
2
22
2222
cos
cos
,
cos
cos
2
2
2
2
3
abb
aba
ABH:
abb
aba
HB
AH
的线为分即
26.证明:三角形三条中线的长度的平方和等于三边的长度的平方和的
4
3
。
证明: 2222222
4
1
cos
4
1
ACBCBBCABBCABCFBEAD
AABACABACCACBC cos
4
1
cos 22
= )coscoscos()(
4
5 222 AABACCACBCBBCABACBCAB
=
2222222222 (
2
1
)(
4
5
ACABBCACACBCABACBCAB
)22 BCAB
= )(
4
3 222 ACBCAB 即证。
27.证明:三角形的三条高线相交于一点。
证明:已知 ,, BCAOACBO 则:
OACOBOBCOA ,
又: CBACACACACOACBACACOAABOC ))((
故:三角形的三条高线相交于一点。
C D
E F
B
A
0
A
B C
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19
28.证明: 0 BDCAADBCCDAB
证明: BDCABDABABACCDABBDCAADBCCDAB )()(
= BDCABDABABBDACABACCDAB
2
= 0)(
222
ABABABBDACCDAB
0 BDCAADBCCDAB
29.求 a×b 和以 a,b 为边的平行四边形的面积:
1)a=(2, 3, 1), b=(5, 6, 4);
解: )3,3,6()4,6,5()1,3,2( ba
63336 222 S
2)a=(5, -2, 1), b=(4, 0, 6 );
解: )8,26,12()6,0,4()1,2,5( ba
221282612 222 S
3)a=(-2, 6, 4), b=(3, -9, 6, );
解: )0,24,72()6,9,3()4,6,2( ba
102402472 22 S
30.给定 a=(1, 0, -1), b=(1, -2, 0) ,c=(-1, 2, 1),求
1) abba , ;
解: )2,1,2(),2,1,2( abba
2) )()3( cbacba ;
解: )0,4,1(),4,4,5(3 cbacba
)16,4,16()()3( cbacba
3) cbacba , ;
解: )0,1,2(),2,1,2( cbba
2,2 cbacba
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20
4) )(,)( cbacba 。
解: )1,2,1()(),5,4,3()( cbacba
31.证明下列等式:
1) ))(())(( cbdadbcadcba ;
证明: ])()[()]([)( dcbcdbadcbadcbadcba
= )()()()()()( cbdadbcacbbadbca
故: )()()()( cbdadbcadcba
2) 0)()()( bacacbcba 。
证明: )()()(,)()()( acbcabacbabcbaccba
cbaabcbac )()()(
0)()()( bacacbcba
32.一个四面体的顶点为 A(1,2,0),B(-1,3,4),C(-1,-2,-3)和 D(0,-1,3),
求它的面积。
解: )3,3,1(),3,4,2(),4,1,2( ADACAB
∴四面体的体积为:
6
59
59
6
1
)(
6
1
ADACABV
33.证明:如果 0 accbba ,那末 a, b, c 共面。
证明: 0 accbba 0)()( cacccbcba
即: 0)( cba cba ,, 共面
34.下列等式是否正确?
1) 2aaa ;
解:等式错误。等式左边为向量,右边为实数,但向量与实数是无比较性的。
2) 2)( abbba ;
解:等式正确。
3) babaa 2)( ;
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21
解:等式错误。等式左边表示向量 baa 的 倍,而右边表示b 的
2
a 倍。
4) 222)( baba ;
解:等式错误。
2222
2
22
2 )(cos)( baba),ba(baba 的夹角与为
5) )()( cbacba ;
解:等式错误。等式左边表示向量 bac 的 倍,右边表示a 的 cb 倍。
6) )()( cbacba 。
解:等式错误。等式左边表示与 cba , 都垂直的向量,而左边表示与a , cb 垂直的
向量。
35.下列推断是否正确?
1)如果 0, ccabc 且 ,那么 a=b;
解:推断错误。若 0c ,但 bc ,则 0 cabc ,但 ba
2)如果 0, ccabc 且 ,那么 a=b;
解:推断错误。由 cacabcbc:cabc ,sin,sin 得 ,则只能推得
caabcb ,sin,sin ,并不能得出 ba 。
36.讨论 x 和 y 的关系,已知:
1)x 与 x×y 共线;
解:①当 yx, 中有一个为0 时,结论显然成立。
②当 yx, 都不为0 时,由 yxx 与 共线可得: 0)( yxx 。
即: 0)()( yxxxyx y
yx
x
x
2
yx与 共线
故: yx 与 共线或 yx 与 中至少有一个为 0。
2)x,y,x×y 共面。
①当 yx, 中至少有一个为0 时,结论显然成立。
②当 yx, 都不为0 时,由题可知: 0)()( yxyx 0 yx
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22
故: yx 与 共线或 yx 与 中至少有一个为 0。
37.设 a 和 b 都是非零向量,且 ,0ba 为任意的数,并知 b×x=a, xa 求:x.
解: axb abxbb )(
而: xbbxbbbxbxbb
2
2)()()(
2
2 2
2
b
abb
x:abxbb
故
38.设 ,0,0,0 cbbacba 并知 ,, cbxax 求:x。
解: cbx cabxa )(
而: bxbabxaxbabxa 2)()()()(
ba
cab
x:cabxba
2
2)( 故
39.证明:a, b, c 不共面必须且只须 accbba ,, 不共面。
证明: accbbacba ,,,, 不共面 不共面:
“”: 0)()()(,, bacacbcbacba 不共面
)(])()[()()]()[( accbbabcbaaccbba
= 0)()()()()[( 2 cbabaccbaacbcba
0)()]()[( accbba
即: accbba ,, 不共面。
“”: accbba ,, 不共面。 0)()]()[( accbba
而: 2)[()()]()[( cbaaccbba 0))( 2 cba
cba:cba ,,0 即 不共面。即证。
40.设 cxbxaxcba ,,,0 ,求:x。
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w
w
w
.h
a
c
k
s
h
p
.c
n
?????:www.hackshp.cn
??????????,??????! www.hackshp.cn
23
解:设 ][
1
cacbba
cba
xw
,则:
][
1
ccaccbcba
cba
cxcw
= owcba
cba
cw
0)[
1
故: cacbba
cba
x
[
1
41.1)已知 用得到右旋角度绕将 ,rerere 1,1, e,r 和θ表出 r1;
解:由题可得:
cinrcinrrrr
rerrerrrr
er
2
11
111
1
sincossin
0
2)给定三点 ,POAPAPAO 1,0,,, 得到右旋角度绕将 用 1, OPOPOA 表出和 。
解:过点 P 作一平面π,垂直于 OA,交 OA 直线于 O*,由于 O,P,A 不共线,则 P
与 O*不重合。
利用 1)式有 PO
OA
OA
POPO *sincos** 1
由于 *,*,)(*,** 11 OOOPPO
OA
OA
OA
OA
OPOOPOOOOP ,则:
)*(sincos])([)1 OOop
OA
OA
OA
OA
OA
OA
OPOP
OA
OA
OA
OA
OPOP (
= OPOA
OA
OPOA
OA
OAOP
sin
cos)cos1(
2
故: OPOA
OA
OPOA
OA
OAOP
OP
sin
cos)cos1(
21
42.将 e1绕 a=(1,1,1)右旋 45℃得到 1e,求 1e。
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kh
da
w.
co
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kh
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a
c
k
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h
p
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n
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24
解:由第 41 题 2)知: 112
1
1
45sin
45cos)45cos1( ea
a
ea
a
ae
e
= )
3
21
,
3
1
,
3
21
(
即:
3
21
,
3
1
,
3
21
1
e
43.将 a=(1,1,1)绕 e1右旋 45℃得到a,求a。
解:由第 41 题 2)知: ae
e
ae
e
ea
a
1
1
12
1
1 45sin45cos)45cos1(
=(1,0, 2 )
即: )2,0,1(a
44.求下列平面的方程:
1)过点(-1,0,3),垂直于向量(1,2,-5);
解:设平面上任意一点 ),,( zyxp ,则: 0)3(52)1( zyx
01652 zy:x所求平面方程为
2)过点(2,4,-3),平行于向量(0,2,4)和(-1,-2,1);
解:由题可得平面的法向量为:(0,2,4)×(-1,-2,1)=(10,-4,2)
设平面上任意一点 ),,( zyxp ,则: 0)3(2)4(4)2(10 zyx
022410 zyx:所求平面方程为
3)过点(1,0,3),(2,-12),(4,-3,7);
解:设平面方程为:Ax+By+Cz+2=0,则
0
1
1
1
00734
022
03
C
B
A
:,D
C
DB
DA
DCBA
DCBA
DCA
则令
故:所求平面方程为: 01 yx
4)过直线
112
1
zyx
,平行于直线
2
1
12
zyx
;
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kh
da
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a
c
k
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h
p
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25
解:直线
112
1
zyx
与直线
2
1
12
zyx
的方向数为:(2,1,-1),(2,1,-2),
则: a =(2,1,-1)×(2,1,-2)=(-1,2,0)
∵平面过直线
112
1
zyx
∴点(1,0,0)在平面上
∵ a 平面 ∴平面方程为:(x-1)×(-1)+2y=0 即:x-2y-1=0
5)过直线
.04
,0122
zzyx
zyx
在 Y 轴 Z 轴上有相同的非零截距。
解:经过已知直线的方向为( 1,
3
10
,
3
2
),且过点( )0,
3
5
,
3
1
,而平面经过另一直线且
该直线方向为(0,-1,1),则: )
3
2
,
3
2
,
3
7
()1,1,0()1,
3
10
,
3
2
(
设平面方程: 0
3
2
3
2
3
7
Dzyx
将点 )0,
3
5
,
3
1
( 代入得:
9
17
D
故:所求平面方程为:21x+6y+6z-17=0
45.求下列直线的方程:
1)过点(1,0,-2),平行于向量(4,2,-3);
解:依题意可设直线方程为:
324
000
zzyyxx
将点(1,0,-2)代入得: 2,0,1 000 zyx
∴所求直线方程为:
3
2
24
1
zyx
2)过点(0,2,3),垂直于平面 2x+3y=0;
解:直线方向为:(2,3,0),则可设直线方程为:
032
000 zzyyxx
将点(0,2,3)代入解得: 3,2,0 000 zyx
∴所求直线方程为:
0
3
3
2
2
zyx
3)过点(2,-1,3),与直线
2
2
01
1
zyx
相交且垂直;
解:设所求直线为:
n
z
m
y
l
x 312
,则: 020)1( nml ①
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kh
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m
kh
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a
c
k
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h
p
.c
n
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26
∵两直线相交 023
201
111
lnmnme ②
联立 D②得: nlnm 2,
3
5
令 6,5,3 lm:n 则
故:所求直线为:
3
3
5
1
6
2
zyx
4)过点(1,0,-2),与平面 3x-y+2z+1=0 平行,与直线
12
3
4
1 zyx
相交;
解:设所直线的方向数为: ),,( nml ,则: 023 nml ①
12
3
4
1 zyx
所求直线与直线 相交
07812
124
230
lmnnml ②
联立①②得: 31,4:,50
50
31
,
25
2
nlmmnml 则令
故:所求直线方程为:
31
2
504
1
zyx
5)过点(11,9,0),与直线
2
1
1
2
53
5
4
3
2
1
zyxzyx
和 相交;
解:设所求直线方向为: ),,( nml ,则
0)820(2
342
51210
nmnml ① 046175
215
1711
nmlnml ②
联立①②得
5
132
,
2
5
:,1
5
132
,
2
5
lnmmlmn 则令
故:所求直线方程为:
2
5
1
9
5
132
11 z
y
x
6)直线
212
:
231
1
: 21
zyx
l
zyx
l 与 的公垂线。
解: 018)1(33
764
231
1
zyx
zyx
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co
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w
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.h
a
c
k
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h
p
.c
n
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??????????,??????! www.hackshp.cn
27
082219
764
212 zyx
zyx
∴所求直线方程为:
082219
0331833
zyx
zyx
46.给定点 A(1,0,3)与 B(0,2,5)和直线
21
1
2
1
:1
zyx
l
,设 各为BA , A,B
在 l 上垂足。求
1) ;BA
解: eeABBA 14
7
3
eeABBA
2) BA , 的坐标。
解:设 :yyyBxxxA 则),,,(),,,( 321321
0)3(3)1(2
31
1
2
1
321
32
xxx
xxx
①
0)5(322
31
1
2
1
321
321
xyy
yyy
②
由①得:
7
15
,
7
2
,
7
17
321 xxx 由②得:
7
24
,
7
1
,
7
23
321 yyy
)
7
24
,
7
1
,
7
23
(),
7
15
,
7
2
,
7
17
( BA
47.给定点 A(,0,3),与 B(0,2,5)和直线 042: zyx ,设 在为A,,BA ,
的垂足,求
1) ;BA
解: 33AB ,A,B 点到平面π的距离分别为:
6
1
,
6
11
21 dd
3
93
)( 221
2 ddABBA
2)通过 BA , 的直线的方程。
解:设 ),,(),,,( 222111 zyxBzyxA ,则:
111111 1,23,2 tztytx
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c
k
s
h
p
.c
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28
222222 4,2,1 tztytx
而: 042,042 222111 zyxzyx
6
11
04)1()23(22 1111 tttt
6
1
04)4(221 2222 tttt
)
6
23
,
3
1
,
6
5
(),
6
17
,
3
2
,
6
1
( BA
故:所求直线方程为:
1
6
17
1
3
2
1
6
1
zyx
48.求点到平面的距离:
1)(0,2,1)到 2x-3y+5z-1=0;
解:
19
38
d
2)(-1,2,4)到 x-y+1=0
解: 2d
49.求平面 Ax + By + Cz + D=0 与平面 Ax + By + Cz + D1=0 之间的距离。
解:两平在平行,则其间距为一面上任一点 ),,( 0000 zyxP 到另一平面的距离。
DCzByAxDCzByAx 000000 0
故:两平行平面间的距离为:
222
1
222
1000
CBA
DD
CBA
DCzByAx
d
50.求下列点到直线的距离:
1)(-1,-3,5)到
3
1
3
1
2
1
zyx
;
解: )3,3,2(),5,3,1(),1,1,1( 10 VPP
11
2091
V
VPP
d O
2)(0,2,4)到
1
5
3
2
2
zyx
。
解: )1,3,2(),4,2,0(),5,2,0( 10 VPP
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kh
da
w.
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m
kh
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a
c
k
s
h
p
.c
n
?????:www.hackshp.cn
??????????,??????! www.hackshp.cn
29
14
1829
14
13
91
V
VPP
d O
51.求下列各对直线之间的距离:
1)
1
1
2
3
4
1
1
1
2
2
2
zyxzyx
和 ;
解: )1,3,2(),1,2,0(
1
1
2
2
2
111
VP
zyx
:L
)1,2,4(),1,3,1(
1
1
2
3
4
1
222
VP
zyx
:L
1260)2,5,0( 2121 ,,VV,PP
5
5
21
2121
VV
PPVV
d
2)
21
1
2
1
0
1
1
1
1
zyxzyx
和 。
解: )0,1,1(),1,1,0(
0
1
1
1
1
111
VP
zyx
:L
)2,1,2(),0,1,1(
21
1
2
1
222
VP
zyx
:L
322)1,0,1( 2121 ,,VV,PP
17
17
21
2121
VV
PPVV
d
52.判断下列各对直线的位置关系(相交、平行或不共面):
1)
3
53
2
6
1
,
1
2
3
1
3
1
zyxzyx
。
解: )1,2,1(),1,3,3(),
3
5
,6,0(),2,1,1( 2121 VVPP
222121 PPVV ∴两直线不共面。
2)
.01
,01
;01
,0
yx
zx
zy
zyx
解: )1,1,1(),1,1,0(),0,0,1(),0,1,1( 2121 VVPP
32121 PPVV ∴两直线不共面。
3)
0
1
1
1
1
,
1
1
11
1
zyxzyx
。
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w.
co
m
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w
w
w
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c
k
s
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p
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30
解: )0,1,1(),1,1,1(),1,1,0(),1,0,1( 2121 VVPP
02121 PPVV ∴两直线共面且相交
4)
.0542
,02
;0332
,02
zy
zyx
yx
zyx
解: )1,2,3(),1,2,3( 21 VV ∴两直线平行。
53.设平面 0: DCzByAx 与联结两点 ),,( 1111 zyxM 和 ),,( 2222 zyxM 不在π上的
线段相交于 M,且 21 MMkMM ,证明:
DCzByAx
DCzByAx
k
222
111 .
证明:由题可知:
2
1
MM
MM
k
设点 M1,M2 在平面π上的垂足为
1
2
1
1 ,MM ,则:
222
2221
22
222
1111
11 ,
CBA
DCzByAx
MM
CBA
DCzByAx
MM
而: k
MM
MM
MM
MM
1
22
1
1
2
1
DCzByAx
DCzByAx
DCzByAx
DCzByAx
k
222
111
122
111
故:
DCzByAx
DCzByAx
k
222
111
54.将坐标系统 X 轴右旋
3
2
,再沿 X 轴平移至五个单位距离,求坐标变换公式。
解:设点 P 原来的坐标为(x, y, z),旋转平移后的坐标为(x1, y1, z1)
)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1( 321 eee 旋转平移后的坐标分别为:
)
2
1
,
2
3
,0(),
2
3
,
2
1
,0(),0,0,1( 13
1
2
1
1
eee
1
3
11
2
11
1
1
3211
11 ezeyexezeyexPOOP
)
2
1
2
3
()
2
3
2
1
( 32
1
32
11
1
1
321 eezeeyexezeyex
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kh
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w.
co
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31
即: 3
11
2
11
1
1
321 )
2
1
2
3
()
2
3
2
1
( ezyezyexezeyex
11
11
1
2
1
2
3
2
3
2
1
zyz
zyy
xx
再沿 x 轴平移 5 个单位:
11
11
1
2
1
2
3
2
3
2
1
5
zyz
zyy
xx
故:坐标变换公式为:
11
11
1
2
1
2
3
2
3
2
1
5
zyz
zyy
xx
55.将坐标系统方向(1,1,1)右旋
3
,原点不动。求坐标变换公式。
解: )1,0,0(),0,1,0(),0,0,1( 321 eee 绕(1,1,1)旋转后为:
)
3
2
,
6
31
,
6
31
(),
6
31
,
3
2
,
6
31
(),
6
31
,
6
31
,
3
2
( 13
1
2
1
1
eee
又: 21
1
321
11
3
11
2
11
1
1
3
2
6
31
()
6
31
6
31
3
2
( eeyeeexezeyex
)
3
2
6
31
6
31
()
6
31
321
1
3 eeeze
= 2
111
1
111 )
6
31
3
2
6
31
()
6
31
6
31
3
2
ezyxezyx
3
11 )
3
2
6
31
6
31
( ezyx
而:坐标原点不动
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w.
co
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w.
co
m
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?
?
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c
k
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p
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??????????,??????! www.hackshp.cn
32
∴坐标变换公式为:
111
111
111
3
2
6
31
6
31
6
31
3
2
6
31
6
31
6
31
3
2
zyxz
zyxy
zyxx
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33
第三章 二次曲面
1.求下列球面的中心和半径:
1) 06412222 zyxzyx ;
解:原方程化为: 49)3()2()6( 222 zyx ,则球面中心(6,-2,3),半径 R=7
2) 022642222 zyxzyx ;
解:原方程化为: 36)3()2()1( 222 zyx ,则球面中心(1,-2,3),半径 R=6
3) 08222 xzyx 。
解:原方程化为: 16)4( 222 zyx ,则球面中心(-4,0,0),半径 R=4
2.求下列圆的中心和半径:
1)
012
0246412222
zyx
zyxzyx
解:球面方程为: 25)3()2()6( 222 zyx ,则球面心 0(6,-2,3),半径 R=5
球心 O 到平面 a:2x+y+z+1=0 的距离 6
3
7
112
13262
222
d
Rd ∴平面 a 与球不相交 故只能形成虚圆。
2)
0
2222
DCzByAx
Rzyx
解:球心 O(0,0,0),半径为 R,则:
球心 O 到平面的距离
222222 CBA
D
CBA
DOCOBOA
d
要能形成圆,则球面必须与平面相交,即: dR
设球 O 到平面上的垂足为 1000
1 ),,,( OzyxO 则 为球面与平面相交所形成的圆的圆心,即
1OO 平面,又设: CtzBtyAtx 000 ,, ,则:
222
222 0
CBA
D
tDtCtBtA
,即:
222222222222
1 ,,,(
CBA
CD
CBA
BD
CBA
BD
CBA
DA
O
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kh
da
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34
设圆的半径为 r,则:r= )(
222
2
2 dR
CBA
D
R
∴圆的中心 ),,(
222222222 CBA
CD
CBA
BD
CBA
AD
,
半径 r= )(
222
2
2 dR
CBA
D
R
3.求下列球面的方程:
1)过点(1,-1,1),(1,2,-1),(2,3,0)和坐标原点;
解:设球面方程为: 0222 DCzByAxzyx ,则:
0
2
3
2
2
7
01332
062
03
0
D
C
B
A
DBA
DCBA
DCBA
D
∴所求球面方程为: 0
2
3
2
2
7222 zyxzyx
2)过点(1,2,5),与三个坐标平面相切;
解:设球面方程为: 2222 )()()( aazayax ,则:
53)5()2()1( 2222 或 aaaaa
∴所求球面方程为:
25)5()5()5(9)3()3()3( 222222 zyxzyx 或
3)过点(2,-4,3),且包含圆: 0,522 zyx 。
解:由题可知球心在 z 轴,设球心坐标为(0,0,C),则:球的半径为:R2=C2+5
设球的方程为: 5)( 2222 cczyx ,则:4+16+(3-c)2=c2+5 ∴c=4
∴所求球的方程为: 21)4( 222 zyx
4.求半径为、对称轴为
32
zy
x 的圆柱面的方程。
解:法一:设点(x, y, z)为圆柱面上任意一点,则该点到对称轴的距离为:
222 )2()3()23(
14
1
yxxzzyd
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35
∵d=2 ∴ 2)2()3()23(
14
1 222 yxxzzy
即: 56)23()3()2( 222 zyzxyx
∴所球圆柱面的方程为: 56)23()3()2( 222 zyzxyx
法二:∵对称轴方程为
32
zy
x ∴对称轴过原点(0,0,0)
设 ),,( zyxM 为圆柱面上任意一点,再在对称轴上取一点 ),,( 0000 zyxM
使得 0MM 对称轴,由题意有:
420
2
0
2
0
22222
0
2
0
2
0
2
zyxzyxROMMMOMMO
0MM 对称轴 03)(2)(1)( 000 zzyyxx
0M 在对称轴上 t
zy
x
32
00
0
消去参数得圆柱面方程为: 056)32()(14 2222 zyxzyx
5.设圆柱面的对称轴为直线: tztytx 23,21, ,且知点 M(1,-2,1)在这个
圆柱面上,求这个圆柱面的方程。
解:法一:圆柱面的对称轴:
2
3
2
1
zy
x
点 M 到对称轴的距离为:
3
65
d
设点(x, y, z)为圆柱面上的任意一点,则:
3
65
3
)]1()0(2[)]0(2)3[()]3(2)1(2[ 222
yxxzzy
即: 65)2(4)32()12( 222 zyzxyx
∴所球圆柱面的方程为: 65)2(4)32()12( 222 zyzxyx
法二:设圆柱面的对称轴为
2
3
2
1
:
zy
xl
即 M(1,-2,1)到 l 的距离:
3
65
d ,l 过点 A(0,1,-3)
设点 P(x, y, z)为圆柱面上的任意一点,则: ),,( 0000 zyxM 为对称轴上一点,使得:
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36
PM0 在同一纬圆上,且 M0为该纬圆的圆心,依题意有:
2
0
2
0
2
0
2222
0
22
0
2
0
2
)3()1(
9
65
)3()1( zyxzyxAMdAMPMPA
0PM 0)2()(2)(1)( 000 zzyyxx
0M 在 l 上 t
zy
x
2
3
2
1 00
0
消去数得圆柱方程为: 065)822(])3()1([9 2222 zyxzyx
6.求顶点为(1,2,3),轴与平面 2x+2y-z+1=0 垂直、母线和轴夹角为
6
的圆柱面的方程。
解:设顶点 A(1,2,3),在圆锥面上任取一点 M(x, y, z),则过点 A,M 的直线 l 的
方向数为(x-1, y-2, z-3)因轴与平面 2x+2y-z+1=0 垂直,则轴的方向数为(2,2,-1),即轴
的方向余弦为(
3
1
,
3
2
,
3
2
),直线 l 的方向余弦为
)
)3()2()1(
3
,
)3()2()1(
2
,
)3()2()1(
1
(
222222222
zyx
z
zyx
y
zyx
x
因直线 l 与轴的夹角为
6
,则:
3
2
)3()2()1(
2
3
2
)3()2()1(
1
6
cos
222222
zyx
y
zyx
x
)
3
1
(
)3()2()1(
3
222
zyx
z
整理即得圆锥面方程为:
0)322(4])3()2()1[(27 2222 zyxzyx
7.求顶点为(1,2,4),轴与平面 022 zyx 垂直且经过点(3,2,1)的圆锥面的
方程。
解:设 M(1,2,4),P0(3,2,1), 0MP =(2,0,-3)轴的方向数为: r (2,2,1)
rMP与 的夹角为:
133
1
cos
设点 P(x, y, z)是圆锥面上的任意一点,则: )4,2,1( zyxMP
以:
rMP
rMP
cos 即:
3)4()2()1(
)4()2(2)1(2
133
1
222
zyx
zyx
∴所求圆锥面的方程为: 0)1022(13)4()2()1( 2222 zyxzyx
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37
8.给定球面 020442222 zyxzyx ,求
1)过点(1,5,2)的切平面的方程;
解:球面方程为: 29)2()2()1( 222 zyx
平面的法向量为:(2,3,4)
∴所求平面方程为: 0)2(4)5(3)1(2 zyx
2)以(2,6,10)为顶点的切锥面的方程。
解:球心 0(-1,2,-2),半径 R= 29 ,切锥面顶点 P(2,6,10)
轴的方向数为: )12,4,3(OPr 轴与母线夹角的余弦为: 13OP
13
352
cos
22
OP
ROP
设点 M(x, y, z)为切锥面上的点,则:
13)10()6()2(
)10(12)6(4)2(3
13
352
222
zyx
zyx
故:所求方程为:
0)1501243()10()6(140)2(140 2222 zyxzyx
9.已知圆柱面的三条母线为 ,11,11, zyxzyxzyx 求这圆柱面的方
程。
解:法一:由题知圆柱面的轴线的方向数为(1,1,1),
设点 A(x1, y1, z1)在轴线上,则:
2
11
2
11
2
11
2
11
2
11
2
11
2
11
2
11
2
11
2
11
2
11
2
11
)11()1()1()()()(
)1()11()1()()()(
yxxzzyyxxzzy
yxxzzyyxxzzy
)1,1,(1,1 1111111 xxxAxyxz
令 x1=1,则:A(1,0,2) 轴线方程为:x-1=y=z-2
母线与轴线间的距离为: 2d ,设点 P(x, y, z)为圆柱面上的任意一点,则:
2
3
)1()12()2( 222
yxxzzy
即 6)2()1()1( 222 zyzxyx
故:所求圆柱面的方程为: 6)2()1()1( 222 zyzxyx
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38
法二:因三条母线 zyxlzyxlzyxl 11:,11:,: 321 ,分别过定
点 A1(0,0,0),A2(1,-1,0),A3(1,-1,0),设过 A1,A2,A3后平面 01 zByAx为
则有:
0
0
0
DBA
DCA
D
则:A=B=C,D=0
即平面 0 zyx:的方程为 ,则圆柱面的准线为平面 321 ,, lll与 相交所形成
的圆,设圆的方程为:
0
0
222 DCzByAxzyx
zyx
∵A1(0,0,0),A2(-1,0,1),A3(1,-1,0)在圆上,则有
0
4
2
0011
0001
0
D
CB
CA
DBA
DCA
D
∵C 是任意的 ∴取 C=0,则:A=2,B=4,C=0,D=0
故准线方程为:
042
0
222 yxzyx
zyx
设 M0(x0, y0, z0)是准线上的任意一点,M(x, y, z)为相应母线上一点,则有:
)1,1,1(),,(
042
0
000
00
2
0
2
0
2
0
000
tzzyyxx
yxzyx
zyx
消去参数,得圆柱面方程: 033222 zyyzxzxyzyx
10.求柱面的方程:
1)准线为:
0
22
x
zy
母线平行于 X 轴;
解:母线的方向数为(1,0,0)
设 P(x, y, z)是柱面上的点,M(x, y, z)是准线上的点且使 MP 为一条母线,则:
过 M 的母线方程为:
0
2
001
1
1
2
1111
x
zyzzyyxx
且 *
再设 t
yyxx
01
11 ,则:x1=x-t, y1=y, z1=z 代入*得:y
2
=2z
∴所求柱面的方程为:y2=2z
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39
2)准线为:
0
4
z
xy
母线平行于向量(1,-1,1)。
解:设 P(x, y, z)是柱面上的点,M(x1, y1, z1)是准线上的点且使 MP 为一条母线,
则:
过 M 的母线方程为:
0
4
111 1
11111
z
yxzzyyxx
且 *
再设 t
zzyyxx
111
111 ,则:x1=x-t, y1=y+t, z1=z-t 代入*得:
4))((
0
4))((
zyzx
tz
tytx
故:所求柱面方程为: 4))(( zyzx
11.求顶点(4,0,-3)准线为
0
,1
925
22
z
yx
的锥面的方程。
解:设点 M(x1, y1, z1)是准线上的一点,P(4,0,-3)是顶点,则:
PM 为一条母线:
0
1
925
3
3
4
4
1
2
1
2
1
111 z
yx
z
z
y
y
x
x
且 *
令 1
111 3
3
4
4
t
z
z
y
y
x
x
,则: 3
3
,,4
4
111
t
z
z
t
y
y
t
x
x
代入*得:
03
3
0)3(2525)43(1
9
)(
25
)4
4
(
222
22
t
z
zyzxt
y
t
x
故:所求锥面方程为: 0)3(2525)43( 222 zyzx
12.求旋转面的方程:
1)
2
1
1
1
1
1
1
1
zzyx
绕
2
1
11
zyx
旋转;
解:轴
2
1
11
zyx
过点 A(0,0,1),设 M0(x0, y0, z0)为直线
2
1
1
1
1
zyx
上
一点,M(x, y, z)为旋转面上任意一点,使 M0,M 在同一纬圆上,则:
2
0
2
0
2
0
222
0 )1()1( zyxzyxAMMA
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m
kh
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40
0MM 轴 02)()1()(1)( 000 zzyyxx
0M 在直线 t
zyxzyx
2
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1 000
∴消去参数,得旋转面方程:
)12(4)42(])1([6 2222 zyxzyxzyx
2)
1
1
12
zyx
绕
2
1
11
zyx
旋转;
解:轴
2
1
11
zyx
过点 A(0,0,1),设 M0(x0, y0, z0)为
1
1
12
zyx
上一点,
P(x, y, z)为旋转面上任意一点,且 M0,P 在同一纬圆上,则:
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
000 )()()()1( zzyyxxzyxAMAM
点 M0 在
1
1
12
zyx
上, t
zyx
1
1
12
000
PM0 旋转轴 02)()1()(1)( 000 zzyyxx
由上可得旋转面方程为:
2222 )1()22()4423()22(6 yxzxzyxzyx
3)
33
1
zy
x
绕 z 轴旋转;
解:因 z 轴为旋转轴,则旋转轴过 A(0,0,1),设 M0 为直线
33
1
zy
x
上一点,
M(x, y, z)为旋转面上一点,且 M,M0 在同一纬圆上,有:
2222
0
2
0
2
00 )1()1( zyxzyxMAAM
M0 为直线上一点 t
zy
x
33
1 000 z=z0
由上可得,旋转面方程为:10z2+6z+9=9(x2+y2)
4)
33
1
zy
x
绕
212
zyx
旋转;
解:旋转轴
212
zyx
过 A(0,0,1),设 M0(x0, y0, z0)为
33
1
zy
x
上一点,
M(x, y, z)为旋转面上一点,且 M0,M 在同一纬圆上,则有:
2222
0
2
0
2
00 zyxzyxMAAM
M0 在
33
1
zy
x
上 t
zy
x
33
1 000
旋转轴0MM 0)()2()(1)(2 000 zzyyxx
由以上得旋转面方程:
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41
77)22(14)222(1949 2222 zyxzyxzyx
5)圆
0
)( 222
y
rzRx
)0( rR 绕 Z 轴;
解:设 M0(x0, y0, z0)为圆上一点,M(x, y, z)是旋转面上任意一点,且 M0与 M 共纬
圆,则由圆绕 z 轴旋转有:
0
2
0
2
0
2
0
222
0
22
0
2
0
0
)(
zz
zyxzyx
y
rzRx
由上可得旋转面方程: 22222 )( rzRyx
6)空间曲线
122
2
yx
xz
绕 Z 轴。
解:因 z 轴为旋转轴,记 A(0,0,1)为 z 轴上一点,设 M0(x0, y0, z0)是曲线上一点,
M(x, y, z)为旋转面上的一点,且 M,M0在同一纬圆上,则有:
0
2222
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
00
)1()1(
1
zz
zyxzyx
yx
xz
由上得,旋转面方程: 122 yx
13.画出下列曲面的简图:
1) ;1644 222 zyx 2) 819 22 zy ;
3) ;044 222 zyx 4) 1
94
22
z
yx
;
5) xyz 2 ; 6) ;42 222 zyx
7) xyz 8) ;623 222 zyx
9) ;12 222 zyxyx 10) 2 yxxyz
14.适当选取坐标系,求下列轨迹的方程,并画图:
1)到两定点距离之比等于常数的点的轨迹;
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42
解:选取合适的坐标条,使两定点 A(a,0,0),B(-a,0,0),则 P(x, y, z)为空间
内一点,则设 0( k)kk
PB
PA
为常数
即: 0)1(2))(1(
)(
)( 222222
222
222
kaxazyxkk
zyax
zyax
当 k=1 时,轨迹为平面 x=0
当 k≠1 时,轨迹为以点( 0,0,
1
)1(
2
2
k
ka
)为球心,
21
2
k
ak
为半径的球面。
2)到两定点距离之和等于常数的点的轨迹;
解:选取合适的坐标条,使两定点 A(a,0,0),B(-a,0,0),则 P(x, y, z)为空间
内一点,
∵ 0kkPBPA ∴ )0()()( 222222 kkzyaxzyax
即: )0(444)164( 2222222222 kakkzkykxak
∴轨迹方程为: )0(444)164( 2222222222 kakkzkykxak
3)到两定点距离之差等于常数的点的轨迹;
解:选取合适的坐标条,使两定点 A(a,0,0),B(-a,0,0),设 P(x, y, z)为任意
一点,
∵ kPBPA ∴ kzyaxzyax 222222 )()(
即: 044416)416( 22422222222 akkzkykxakxka
当 k=0 时,轨迹方程为:x=0
当 k≠1 时,轨迹方程为: 044416)416( 22422222222 akkzkykxakxka
4)到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹;
解:以定点 O 为坐标原点,建立空间直线坐标条,设定平面为 Ax+By+Cz+D=0,设 P
(x, y, z)为任意一点,由已知可得:
K
CBA
DCzByAx
zyx
222
222
,即: 22222222 )())(( DCzByAxkzyxCBA
∴轨迹方程为: 22222222 )())(( DCzByAxkzyxCBA
5)求与二给定直线等距离的点轨迹的方程,已知二直线之间的距离为 a,夹角为 a(取
公垂线为 z 轴,中点为原点,X 轴与二直线成等角)。
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43
解:以两直线的公垂线为 z 轴,公垂线中点为原点,x 轴与二直线成等角建立坐标条设
两直线分别为 l1, l2,l1 与 z 轴交点 A(0,0,
2
a
),l2 与 z 轴交点 B(0,0,-
2
a
),l1, l2,与 x 轴
夹角都为
2
a
,l1, l2 与 z 轴夹角都为
2
,由方向余弦公式 1coscoscos 222 r ,可知:
2
sin
2
cos1cos 222
,则:
2
sincos 2
,因 l1与 l2 异面,则 l1 与 l2的方向余
弦不相等,即:
l1 的方向余弦为( 0,
2
sin,
2
cos
),l2的方向余弦为( 0,
2
sin,
2
cos
)或
l1 的方向余弦为( 0,
2
sin,
2
cos
),l2的方向余弦为( 0,
2
sin,
2
cos
)则:
l1 的方程为:
0
2
2
sin
2
cos
a
z
a
y
a
x
,l2 的方程为:
0
2
2
sin
2
cos
a
z
a
y
a
x
,设 p
(x, y, z)为满足条件的一点,则有:
0sin
0,
2
sin,
2
(cos
)0,
2
sin,
2
(cos)
2
,,(
0,
2
sin,
2
cos
)0,
2
sin,
2
(cos)
2
,,(
axyaz
aa
aaa
zyx
aa
aaa
zyx
当 l1 的方向余弦为( 0,
2
sin,
2
cos
a
),则同理有:
0sin
0,
2
sin,
2
(cos
)0,
2
sin,
2
(cos)
2
,,(
0,
2
sin,
2
cos
)0,
2
sin,
2
(cos)
2
,,(
axyaz
aa
aaa
zyx
aa
aaa
zyx
综上:轨迹方程为: 0sin22222 ayxza
15.已知椭球面的轴与坐标轴重合,且通过椭圆
1
169
0
22 yx
z
及点 )23,2,1(M ,求这个椭球面的方程。
解:由题可设椭球面的方程为: 1
169 2
222
c
zyx
又过点 M(1,2, 23),则有: 1
23
16
4
9
1
2
c
362 c
故:所求椭球圆的方程为: 1
36169
222
zyx
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44
16.已知椭圆抛物面的顶点为原点,对称面为 XZ 和 YZ 平面,且过点(
3
22
,2,1 )和( 1,1,
3
1
),
求这个椭圆抛物面的方程。
解:由题可设椭圆抛物面的方程为:
2
2
2
2
b
y
a
x
z ,则:
3
6
1
19
1
1
41
3
22
2
2
22
22
b
a
ba
ba
∴所求椭圆抛物面的方程为: 22
3
1
6 yxz
17.求直线族
011
2
zyx
所成的曲面。
解:由
011
2
zyx
得: 0
0
01
11 2
2
2
zyx
z
yx
zy
yx
∴所求曲面的方程为: 02 zyx
18.求下列三条直线同时相交的直线所产生的曲面:
5
2
4
1
3
2,1
,
,1
zyx
zy
x
zy
x
解:先写出通过直线 l1 和 l2 的两个平面来的方程:
0)1(: xzy (1) 0)1(: xzy (2)
直线 l3上的动点坐标为: tztytx 52,31,32 (3)
分别将(3)代入(1)得:
13
1
t
t
,代入(2)得:
1
13
t
t
于是得线来:
1
0)1(
1
3
0)1(
13
1
222
zyx
x
t
t
zy
x
t
t
zy
∴所求曲面的方程为: 1222 zyx
19.求下列曲线在各坐标面上投影的方程,画出简图:
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45
1)
02
1
41216
222
x
zyx
解:在 YOZ 平面上的投影:
0
4
3
412
22
x
zy
在 XOZ 平面上的投影:
0
2
y
x
在 XOY 平面上的投影:(2,3,0),(2,-3,0)
2)
012
0
2
222
zx
zyx
解:在 YOZ 平面上的投影:
0
01853 2246
x
yzzz
在 XOZ 平面上的投影:
0
012 2
y
zx
在 XOY 平面上的投影:
0
01223
z
xyx
3)
44
164
22
222
zyx
zyx
解:在 YOZ 平面上的投影:
0
0123 22
x
zy
在 XOZ 平面上的投影:
0
03 22
y
zx
在 XOY 平面上的投影:
0
422
z
yx
4)
22
22
4
1
3
4
1
4
yxx
yxz
解:在 YOZ 平面上的投影:
0
02482
x
zy
在 XOZ 平面上的投影:
0
022
y
zx
在 XOY 平面上的投影:
0
088 22
z
yx
20.用不等式表出下列曲面所围成的区域,并作简图:
1) ;0,4,2 2222 zxyxxyx
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46
解:
0
22
40
z
y
x
2) ;1,1 2222 zyyx
解:
0
22
1
z
y
x
3) 12,4 22222 zyxzyx
解:
320
32
32
z
y
x
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47
第四章 正交变换和仿射变换
1.求出把点(2,3,0)变成点(0,-1,1)的平移α的公式。α把曲面 1222 zyx 和
01882 yxy 变成什么曲面?
解:∵a1=0-2=-2,a2=-1-3=-4,a3=1-0=1, )1,4,2( a
设该平移的 a 后的点为(x, y, z),则平移前的点为:(x+2, y+4, z-1)
∴ a 把曲面 1222 zyx 变成曲面 1)1()4()2( 222 zyx
a 把曲面 01882 yxy 变成曲面 016)4(8)4( 2 yxy
2.求出绕 Y 轴左旋
4
的旋转 的公式, 把曲面 2522 zx 和 02 22 zxzxzx
变成什么曲面?
解:旋转 :
11
1
11
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
zxz
yy
zxx
zxz
yy
zxx
把曲面 2522 zx 变成曲面: 50)()( 22 zxzx
把曲面 02 22 zxzxzx 变成曲面: 02 2 zx
3.求前两题中变换乘积 和 的公式。
解: 的公式:
2
2
2
2
2
4
23
2
2
2
2
1
1
1
zxz
yy
zxx
的公式:
1
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
1
1
1
zxz
yy
zxx
4.设α,σ,τ是三个变换,证明 )()(
证明:设点 P 为任意一点,则: )))((()))(())(( ppp
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48
)))((()()( pp 故: )()(
5.设α,σ是两个变换,证明 111)(
证明:∵ 11111 )())((
又 1))(( 111)(
6.求出把点(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1)分别变成点(0,0,0),(0,0,1),(1,
0,0)的旋转。
解:由题可设旋转公式为:
zayaxaz
zayaxay
zayaxax
333231
1
232221
1
131211
1
将(0,1,0),(0,0,1)代入得:a12=0,a22=0,a32=1,a13=1,a23=0,a33=0
而: 0,11
01
00
10
3121312121
33
22
11
aaaaa
a
a
a
又: 0110 11
222
11 aa
故:旋转公式为:
yz
xy
zx
7.求出对于平面 0 DCzByAx 的反射公式。
解:设点(x, y, z)传平面反射后的点为( zyx ,, ),则:
C
zz
B
yy
A
xx
DC
zz
B
yy
A
xx
0
222
即得:
)222(
))(222(
))(222(
222
222
222
222
222
222
z
C
BAC
ByAxD
CBA
C
z
zy
B
CAB
AxD
CBA
B
y
zByx
A
CBA
D
CBA
A
x
8.证明:分别对于两个平行平面的两个反射的乘积是一个平移。
9.证明:分别对于两个相交平面的两个反射的乘积是一个旋转。
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10.证明:相似变换:
kzz
kkyy
kxx
)0(,
,
保持角度不变。
11.证明:在仿射变换下,两个不动点的边线上的每个点都不动。
证明:设在仿射变换下,点 A,B 的对应点分别为 A',B'在直线 AB 上任取一点 x,设 x
的对应点为 x',由题设知:
A'≡A, B'≡B
再由结合性知 A,B,X, x' 共线 ∵(ABX)=(ABX') ∴ X = X'
即:直线 AB 上每个点都是不动点。即证。
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