《解析几何简明教程》(吴光磊-田畴-著)课后习题答案-高等教育出版社

1 第一章 空间直角坐标，平面和直线 1．在给定坐标系中画出下列各点：        341510421421  ，，，，，，，，，，， 。 2．自点 M  321 ，， 和 N  cba ,, 分别引各坐标平面和坐标轴的垂线，求各垂足的坐标。 解：点 M  321 ，， 在平面 XOY，XOZ，YOZ 上的垂足分别为：     320301021 ，，，，，，，，  在 X，Y，Z 轴上的垂足分别为：      300020001 ，，，，，，，，  点 N  cba ,, 在平面 XOY，XOZ，YOZ 上的垂足分别为：      cb，ca，，ba ,,0,00,, 在 X，Y，Z 轴上的垂足分别为：      ，c，，，b，，，a， 000000 3. 给定点 M  3,2,1 和 N  cba ,, ，求它们分别对于坐标平面、坐标轴和原点的对称点的坐标。 解： 关于 XOY 对称 关于 XOZ 对称 关于 YOZ 对称 关于原点对称 M（1，-2，3） （1，-2，-3） （1，2，3） （-1，-2，3） （-1，2，-3） N（a, b, c） （a, b, -c） （a, -b, c） （-a, b, c） （-a, -b, -c） 关于 X 轴对称 关于 Y 轴对称 关于 Z 轴对称 M（1，-2，3） （1，2，-3） （-1，-2，-3） （-1，2，3） N（a, b, c） （a, -b, -c） （-a, b, -c） （-a, -b, c） 4．求点 M（4，-3，5）到原点、各坐标轴和各坐标平面的距离。 解：点 M 到原点的距离： 255)3(4 222 OM 点 M 在 XOY，XOZ，YOZ 上的垂足分别为 A（4，-3，0），B（4，0，5），C（O，-3，5）， 则距离为： 52500 MA ， 30)3(0 2 MB ， 40042 MC ， 点 M 在 X，Y，Z 轴上的垂足分别为 )0,0,4(A ，B（0，-3，0），C（0，0，5）则距离为： 345)3( 22 AM ， 1454B 22 M ， 543C 22 M 5．求点（1，2，-2）和（-1，0，-2）之间的距离。 解：所求距离为： 3121)(1d 222  6．求下列方向余弦：（1，2，-2），（2，0，0），（0，2，-2），（-1，-2，-5）。 解：（1，2，-2）的方向余弦为： )2,2,1( 3 1  ，即：（ 3 2 3 2 3 1 ，， ）   2 （2，0，0）的方向余弦为： )00,2( 2 1 ， ，即：（ 001 ，， ） （0，2，-2）的方向余弦为： )220( 22 1 ，， ，即：（ ) 2 2 2 2 0 ，， （-1，-2，-5）的方向余弦为： )521( 30 1  ，， ，即：（ ) 6 30 15 30 30 30  ，， 7．求从点（1，2，-2）到点（-1，0，-1）的方向的方向数和方向余弦。 解：从点（1，2，-2）到点（-1，0，-1）的方向的方向数为（-1-1，0-2，-1+2），即（-2， -2，1）；方向余弦为（ ) 3 1 , 3 2 , 3 2  。 8．求下列方向的方向角：（0,0,-1）,( )4,1,2(),0, 2 1 , 2 3  。 解：（0，0，-1）的方向余弦为：0，0，-1，则方向角为：   , 2 , 2 （ )0, 2 1 , 2 3 的方向余弦为： 0, 2 1 , 2 3 ，则方向角为： 2 , 3 , 6  （-2，-1，-4）的方向余弦为： 21 214 , 21 21 , 21 212  ，则方向角为： 21 214 arccos, 21 21 arccos, 21 212 arccos   9．求下列各对方向之间的夹角： 1）（1，0，1）和（0，0，1）；2）（-1，-2，3）和（2，0，1）；3）（01，-4，-5）和（2， 3，4）。 解：1）方向余弦为（ 2 2 ,0, 2 2 ）和（0，0，1），则： 2 2 1 2 2 000 2 2 cos  而 ),0(   故 4    2）方向余弦为（ 14 142 , 7 14 , 14 14  ）和（ 5 5 ,0, 5 52 ），则： 70 70 arccos 70 70 5 5 14 143 0) 7 14 ( 5 52 14 14 cos   3）方向余弦为（ 42 5 , 42 4 , 42 1  ）和（ 29 4 , 29 3 , 29 2 ），则：       ??????????，????????！ ? www.khdaw.com kh da w. co m kh da w. co m ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n ?????：www.hackshp.cn ??????????，??????！ www.hackshp.cn 3 609 121817 arccos 609 121817 29 4 42 5 29 3 42 4 29 3 24 1 cos   10. 证明：顶点是 A（2，4，3），B（4，1，9），C（10，-1，6）的三角形是直角三形角形。 求出各边的长和各内角的大小。 证明： 7,27,7)6,1,10(),9,1,4(),3,4,2(  BCACABCBA 即： 222 ACBCAB   RtABC是 又： BCAB  2 , 4   BCA 故各边长为： ;27,7  ACBCAB 各内角为： 2 , 4   BCA 11．在给定的坐标系中画出下列平面： 1） ;0632  zyx 2) ;0122  zyx 3) ;023 y 4) ;0234  zx 5) .043  zyx 12.求下列平面的方程： 1）过点（0，-1，4），法向的方向数为（2，-1，0）； 解：1）设所求方程为： 02  Dyx ，又点（0，-1，4）在平面上 0)1(02  D 1D 012  yx：所求平面方程为 2）过点（-1，-5，4），平行于平面 ;0523  yx 解：2）设平面方程为： 023  Dyx ，则： 0)5(2)1(3  D 7D 0723  yx：所求平面方程为 3）过点（1，3，5），（-1，-2，3），（2，0，-3）； 解：设平面方程为： 0(  DCzByAx ，则由题可得：                               11 18 34 35 35 11 35 18 35 34 032 032 053 C B A ，D DC DB DA DCA DCBA DCBA 则令       ??????????，????????！ ? www.khdaw.com kh da w. co m kh da w. co m ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n ?????：www.hackshp.cn ??????????，??????！ www.hackshp.cn 4 035111834  zyx：所求平面方程为 4）过点（3，-1，4）和（1，0，-3），垂直于平面 ;0152  zyx 解：设平面方程为： 0 DCzByAx ，则由题可得：                           6 1 3 1 6 3 052 03 043 D B A ，C CD CB CA CBA DCA DCBA 则令 063  zyx：所求平面方程为 5）过点（0，-1，3）和 Y 轴； 解：设平面方程为： 0CzAx ，则： 6）过点（-2，-1，3）和（0，-1，2），平行于 Z 轴。 解：设平面方程为： 0 DByAx ，则由题可得： 01 00 02             y： A DB DB DBA 所求平面方程为 13．将 11 题中的平面方程化为法式方程： 解：1）法式方程为： 0 7 143 14 14 14 143 7 14  zyx 2）法式方程为： 0 14 14 14 143 7 14 14 14  zyx 3）法式方程为： 0 3 2  y 4）法式方程为： 0 5 2 5 3 5 4  zx 5）法式方程为： 0 13 262 26 26 26 263  zyx 14．在给定的直角坐标系中画出下列直线： 1） 1 4 1 2 1 1      xyx ； 2） 2 3 1 2 0 1       zyx ； 3） 2 1 2 3 1 2       zyx ； 4）      .0134 ,0132 zyx yx 15．求下列直线的方程： 000030  x：ACCA 所求平面方程为而       ??????????，????????！ ? www.khdaw.com kh da w. co m kh da w. co m ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n ?????：www.hackshp.cn ??????????，??????！ www.hackshp.cn 5 1）过点（-2，3，5），方向数为（-1，3，4）； 解：直线方程为： 4 5 3 3 1 2       zyx 2）过点（0，3，1）和（-1，2，7）； 解：直线的方向数为：（-1，-1，6），则直线方程为： 6 7 1 2 1 1        zyx 3）过点（-1，2，9），垂直于平面 3x+2y-z+5=0; 解：由题可知直线的方向数为：（3，2，-1），则直线方程为： 1 9 2 2 3 1       zyx 4）过点（2，4，-1），与三个坐标轴成等角。 解：由于直线与三个坐标轴成等角，则（1，1，1）为其一个方向数，则：直线方程为： 1 1 1 4 1 1      zyx 16．给定直线 3 2 1 1 2 1 :        zyx l ，求 1）过 l 平行于 Z 轴的平面； 解：由题可设平面方程为： 0 DByAx ，则：                  1 2 1 2 0 02 D B ：，A AD AB DBA BA 则令 012  yx：所求平面方程为 2）l 在 XY 平面上的投影。 解：由          0 1 1 2 1 z yx 得直线 l 在 XY 平面上的投影为：      0 012 z yx 17．求下列直线在各坐标平面上的投影；并画图： 1） 1 1 2 3 1 1        zyx 解：由          0 2 3 1 1 z yx 得直线在 XOY 平面上的投影为： 012  zyx 由          0 1 1 1 1 y zx 得直线在 XOZ 平面上的投影为： 02  yzx 由           0 1 1 2 3 x zy 得直线在 YOZ 平面上的投影为： 052  xzy       ??????????，????????！ ? www.khdaw.com kh da w. co m kh da w. co m ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n ?????：www.hackshp.cn ??????????，??????！ www.hackshp.cn 6 2） 2 2 1 1 0 1       zyx ； 解：由         0 1 1 0 1 z yx 得直线在 XOY 平面上的投影为： 01  zx 由          0 2 2 0 1 y zx 得直线在 XOZ 平面上的投影为： 022  yx 由          0 2 2 1 1 x zy 得直线在 YOZ 平面上的投影为： 042  xzy 3）      032 013 zx zyx 解：由      032 013 zx zyx 得直线的点向方程为： 2 7 11 2      zyx          0 11 2 z yx 由 得直线在 XOY 平面上的投影为： 02  zyx 由         0 2 7 1 2 y zx 得直线在 YOZ 平面上的投影为： 032  yzx 由         0 2 7 1 x zy 得直线在 YOZ 平面上的投影为： 072  xzy 4）      02 01 z x 解：直线的点向方程为： 0 2 10 1    zyx         0 10 1 z yx 由 得直线在 XOY 平面上的投影为： 01  zx 由         0 0 2 0 1 y zx 得直线在 YOZ 平面上的投影为： )2,0,1(       ??????????，????????！ ? www.khdaw.com kh da w. co m kh da w. co m ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n ?????：www.hackshp.cn ??????????，??????！ www.hackshp.cn 7 由        0 0 2 1 x zy 得直线在 YOZ 平面上的投影为： 02  xz 18．将下列直线的方程化为点向式： （1）      ;0132 ,03 zyx zyx 解：由 13 5 4 8 84 53 0132 03 zyx ： zx zy zyx zyx                  直线点向方程为 （2）      ;01 ,01 z yx 解：由 0 1 1 1 11 1 01 01                zyx ： z yx z yx 直线点向方程为 （3）      ;0134 ,023 zy yx 解：由 4 3 3 2 134 23 0124 023                 zyx ： xz xy zy yx 直线点向方程为 （4）      ;02 ,01 z y 解：由 00 1 12 1 02 01 zzyx ： z y z y                直线点向方程为 19．求下列各对直线之间的夹角： 1） 2 3 0 1 10 1 1 2 1 1            zyxzyx 与 ； 解：设直线间的夹角为 θ， 由于两直线的方向数为（1,-1,0）,(-1,0,2),则方向余弦为（ 0, 2 2 , 2 2  ），（ 5 52 ,0, 5 5  ） 10 10 5 52 00 2 2 ) 5 5 ( 2 2 cos   10 10 arccos  2） 3 1 42 1 2 4 1 3 1 1           zyxzyx 与 ； 解：设直线间的夹角为 θ， 两直线的方向数为（-1，1，2），（-2，4，-3），由于：（-1）×（-2）+1×4+2×（-3）=0       ??????????，????????！ ? www.khdaw.com kh da w. co m kh da w. co m ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n ?????：www.hackshp.cn ??????????，??????！ www.hackshp.cn 8 2   两直线间的夹角 . 3）           .023 ,013 012 ,01 zy yx xyx zyx 与 ； 解：设直线间的夹角为 θ， 由题可知两直线的方向数为（-3，1，2），（ 3 1 1 3 1  ，， ），则方向余弦为（ 14 2 14 1 14 3 ，， ）， （ 11 1 11 3 11 1  ，， ）， 77 1542 ) 11 1 ( 14 2 11 3 14 1 ) 11 1 ( 14 3 cos   77 1542 arccos 20．求直线与平面的交点： 1） 023 1 2 3 1 2 1        zyx zyx 与 ； 解：                                11 25 11 20 11 5 11 25 11 20 11 5 023 1 2 3 1 2 1 ，， z y x zyx zyx 交点为 2） 平面与XZ zyx zyx      022 ,0132 ； 解：                           3 5 0 3 1 3 5 0 3 1 0 022 0132 ，， z y x y zyx zyx 交点为 3） 0623 4 2 1 1 2 2       zyx zyx 与 ； 解：   0142132  而直线上一定点（-2，1，-2）也在平面上 直线在平面上 即：直线与平面有无数个交点。 4） 0723 4 2 1 1 2 2       zyx zyx 与 . 解：   0142132  但直线上一定点（-2，1，-2）不在平面上       ??????????，????????！ ? www.khdaw.com kh da w. co m kh da w. co m ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n ?????：www.hackshp.cn ??????????，??????！ www.hackshp.cn 9 直线平行于平面 即：直线与平面没有交点。 21．求直线： )2( 0 ,0 : 21 2222 1111       CC DzCyBxA DzCyBxA l 与 Z 轴相交的条件。 解：令 X=0，y=0，则： , 0 0 22 11      DZC DZC 即：          2 2 1 1 C D Z C D Z ∴直线 l 与 z 轴相交的条件是： 2 2 1 1 C D C D  ，即： 2 2 1 1 C D C D  22．证明：直线 n zz m yy l xx p 000:      落在平面 0:  DCzByAx 上必须且 只须 .0,0 000  DCzByAxCnBmAl 同时，写出 p 平行于 π但不在 π上的条 件。 证明：直线 p 与平面 π的方向数分别为：（l, m, n）,（A, B, C） ∵Al+Bm+Cn=0 ∴直线 p 平行于平面 π。 又：点（x0, y0, z0）在直线 p 上，且 Ax0+By0+Cz0+D=0,即点（x0, y0, z0）也在平面 π上 ∴直线 p 在平面 π上。 23．求经过直线      01323 09232 zyx zyx 和点（1, 2, 1）的平面方程。 解：设平面方程为： 0)1323()9232(  zyxBzyxA ， 又：点（1, 2, 1）在平面上 ∴ 0)1132213()9122312(  BA ∴A=-B 令 B=-1，则 A=1 故：所求平面方程为： 085  zyx 24．设平面 π1与 π2不平行，它们的方程分别为 01111  DzCyBxA ， 02222  DzCyBxA 。 证明：过 π1 和 π2 的交线的所有平面的方程都可以示成 0)()( 22221111  DzCyBxADzCyBxA  ，其中 λ和 μ为不全为零的 实数。 证明：∵ 21   ,21 L   且      0 08 : 2222 111 DzCyBxA zCyBxA L       ??????????，????????！ ? www.khdaw.com kh da w. co m kh da w. co m ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n ?????：www.hackshp.cn ??????????，??????！ www.hackshp.cn 10 设 0)()( 22221111  DzCyBxADzCyBxA  其中 0 22   ，由 21   知该方程是一个三元一次方程，即方程表示一个平面设   Lzyx 000 ,, ，则：把点  000 ,, zyx 代入 π中有： 0)()( 20202021010101  DzCyBxAMDzCyBxA 即：左边=右边 ∴L 在 π上。 由 , 的任意性可知：所有过 L 的平面上方程都可以成： 0)()( 22221111  DzCyBxADzCyBxA        ??????????，????????！ ? www.khdaw.com kh da w. co m kh da w. co m ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n ?????：www.hackshp.cn ??????????，??????！ www.hackshp.cn 11 第二章 向量代数 1．已知平行四边形 ABCD 的对角 DACD，BC，ABbBDaAC 和求,,  。 解：                   2 2 ba AB ba BC bBDABBC aACABBC 2 2 ba BCCBDA ab ABBACD      故： )( 2 1 );( 2 1 ),( 2 1 ),( 2 1 baDAabCDbaBCbaAB  2．已知平行四边形 ABCD 的边 BC 和 CD 的中点分别为 K 和 L，且 lALkAK  , ，求 CDBC和 。 解：设 bBC  ， aCD  ，则：                   klb kla lab bka 3 2 3 4 3 4 3 2 2 1 ( 2 1 klCD klBC 3 4 3 2 3 2 3 4    3． MBAM  。证明：对任意一点 O，  OBOAOM  2 1 。 证明：一： )( 2 1 2 1 2 1 OBOAOAOBAOOAABAMOAOM  )( 2 1 OBOAOM  方法二：由已知可得 A、M、B 三点共线，且 M 为线段 AB 的中点。 延长 OM 至 N，使 MON 20 ，连 OA、OB、AN、BN，易证四边形 OANB 为平行四 边形。 OBOAON  而 ONOM 2 1  )( 2 1 OBOAOM  4．设 M 是三角形 ABC 的重心。证明：对任意一点 O，  OCOBOAOM  3 1 。 证明：方法一： ),, CMOCOMBMOBOMAMOAOM  )( 3 1 )( 3 1 CMBMAMOCOBOAOM  而： OMCMBMA  即： OCMBMAM        ??????????，????????！ ? www.khdaw.com kh da w. co m kh da w. co m ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n ?????：www.hackshp.cn ??????????，??????！ www.hackshp.cn 12 )( 3 1 OCOBOAOM  方法二：设三角形 ABC 三点坐标分别为 A（x1,y1,z1）, B（x2, y2, z2）,(x3, y3, z3) 由重心坐标公式得：         z zzzyyyxxx M 3 , 3 , 3 321321321 ∴ )( 3 1 OCOBOAOM  5．设 M 是平行四边形 ABCD 的对角线的交点。证明：对任意一点 O， ).( 4 1 ODOCOBOAOM  证明： AMOAOM  ， BMOBOM  ， CMOCOM  ， DMODOD  而： ,OMDMCMBMA  即： ,ODMCMBMAM  ∴ )( 4 1 ODOCOBOAOM  6．设 A，B，C，D 是一个四面体的顶点，M，N 分别是边 AB，CD 的中点。 证明： )( 2 1 BCADMN  。 证明：取 AC 的中点 O，则 OM，ON 分别为中位线，故有： BCMO 2 1  ， ADON 2 1  ∴ )( 2 1 ADBCONMOMN  即： )( 2 1 BCADMN  7．设 AD，BE，CF 是三角形 ABC 的中线。 1）用 AB ， AC 表示 AD ， BE ，CF ； 解： )( 2 1 ACABAD  ABACACBABABCBABE  2 1 )( 2 1 )( 2 1 ACABCBACF  2 1 )( 2 1 2）求 CFBEAD  。 解： OACABABACACABCFBEAD  2 1 2 1 )( 2 1 8．设 nppp ,, 21 是以 O 为中心的圆周上的 n 等分点，证明： 021  nOPOPOP  。 证明： nppp  ,, 21 是 n 等份点 ∴相邻边的夹角相等。 ∴ iii OPOPOP   11 （其中 2 ） 又： )()()()()(2 212422121 nnn OPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOP          ??????????，????????！ ? www.khdaw.com kh da w. co m kh da w. co m ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n ?????：www.hackshp.cn ??????????，??????！ www.hackshp.cn 13 即： OOPOPOP n  ))(2( 21  而 02  OOPOPOP n  )( 21  9．设 O 是点 A 和 B 的联线以外的一点。证明：三点 A，B，C 共线必须且只须 OBOAOC   ，其中 1  。 证明：A，B，C 三点共线 OBOAOC   ，其中 1  。 “ ”： CBA ,, 三点共线 )( OAOBABACOAOC   即： OBOAOAOBOAa   )1( 令  1 ，则： OBOAOC   （其中 1  ） “”： OBOAOC )1(   OAOBOAOC )1()1(   即： ABABAC   )1( CBA ,, 三点共线 10．设 O 是不共线的三点 A，B，C 所在平面以外的一点，证明：四点 A，B，C，D 共面必 须且只须 OBOAOD   ，其中 1 V “ ”： DCBA ,,, 四点共面 CAkBCkAD 21  即： akkOBkOAkakOAkOBkOCkOAOD )()1( 21122211  令 2112 ,,1 kkVkk   ，则： ,OCvOBOAOD   其中 1 v “”： OCvOBOAvOCvOBOAOD   )1( ACvABOAOAOCvOAOBOA   )()( ACvABOAOD   即： ACvABAD   ∴A，B，C，D 四点共面 11．已知 321 ,, rOCrOBrOA  是以原点 O 为顶点的平行六面体的三条边，求此平行六 面体过点 O 的对角线与平面 ABC 的交点的定位向量。 解：设体对角线为 OD，OD 与平面 ABC 的交点为 E，则： 321 rrrOD  ∴定位向量： )( 3 2 3 2 321 rrrODED  12．设 AL 和 BM 是三角形 ABC 的中线，它们的交点是 O，证明 BMBOALOA 3 2 , 3 2  。       ??????????，????????！ ? www.khdaw.com kh da w. co m kh da w. co m ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n ?????：www.hackshp.cn ??????????，??????！ www.hackshp.cn 14 证明：过 L 作 LD=BM。 AMMCDCMDLCBL 2 1 2 1  ALOAALAO AM AM AD AM AL AO 3 2 3 2 2 3  同理可得： BMBO 3 2  13．证明：三角形 ABC 的三条中线相交于一点。 证明：方法一：设 D，E，F 分别为 BC，AC，AB 的中点，则： )( 2 1 OBOAOF  又： )(22 OBODOBBDOBBCOBOC  BOAOOBOD  2 OFOC 2 而：OC，OF 共点 O FCO ,, 三点共线 故：三角线 ABC 的三条中线相交于一点。 方法二：设 ),,(),,(),,( 332211 yxCyxByxA 则： ) 2 , 2 (), 2 , 2 (), 2 , 2 ( 212132323131 yyxx F yyxx D yyxx E  ) 2 , 2 ( 2 31 2 31 y yy x xx BE      由 12 题结论可知： ) 3 2 3 , 3 2 3 ( 3 2 2 31 2 31 y yy x xx BEBO      ) 3 2 , 3 2 () 3 , 3 ( 3213213 321 3 321 yyyxxxy yyy x xxx BOCBCO       而： ) 2 2 , 2 2 () 2 , 2 ( 3213213 21 3 21 yyyxxxy yy x xx CF       CFCO 3 2  故：C，O，F 三点共线 ∴三角形 ABC 的三条中线相交于一点。 14．设 a=(5, 7, 2), b=（3, 0, 4）, c=（-6，1，-1）求 1）3a-2b+c； 解： )3,22,3()1,1,6()42,0,32()23,73,53(23  cba 2）5a+6b+c. 解： )33,36,37()1,1,6()46,0,36()25,75,55(65  cba 15．给定点 A（1，2，4）和 B（0，-1，7），求 AB 的坐标。 A B O M D L C C D E F O B A       ??????????，????????！ ? www.khdaw.com kh da w. co m kh da w. co m ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n ?????：www.hackshp.cn ??????????，??????！ www.hackshp.cn 15 解： )3,3,1( AB 16．给定点 A（2，0，-1）和向量 AB （1，4，5），求 B 的坐标。 解：B（3，4，4） 17．判断下列各组的三个向量 a，b，c 是否共面？能否将 c 表成 a，b 的线性组合？若能表 示则写出表示式。 1）a=(5,2,1), b=(-1,4,2), c=(-1,-1,5); 解： 01010414100 521 142 115    cba cba ,, 不共面， c 不能表示成 ba, 的线性组合。 2）a=(6,4,2), b=(-9,6,3), c=(-3,6,3); 解： 033633631225436336 332 664 396    cba cba ,, 共面，设 c = ba   ， 则：               3 2 2 1 664 396     baC 3 2 2 1  3) a=(1,2,-3), b=(-2,-4,6), c=(1,0,5); 解： 020121220 563 042 121      cba cba ,, 共面 设 c = ba   ，则 方程无解      042 12   C 不能表示成 A， B 的线性组合。 18．设点 C 分线段 AB 为 5：2，A 的坐标为（3，7，4），C 的坐标为（8，2，3，），求 B 的 坐标。 解： ) 5 13 ,0,10(B       ??????????，????????！ ? www.khdaw.com kh da w. co m kh da w. co m ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n ?????：www.hackshp.cn ??????????，??????！ www.hackshp.cn 16 19．已知三角形的三顶点为 A（2，5，0），B（11，3，8）和 C（5，11，12），求各边和各 中线之长。 解： )8,2,9( AB ，AB 边上的中线 )8,7, 2 3 ()( 2 1 CBCA )4,8,6(BC ，BC 边上的中线 )10,2,6()( 2 1  ACAB )12,6,3(AC ，AC 边上的中线 )2,5, 2 15 ()( 2 1  BABC 则： 149829 222 AB ，AB 边上的中线长： 2 461 87) 2 3 ( 222  292486 222 BC ，BC 边上的中线长： 3521026 222  2121263 222 AC ，AC 边上的中线长： 2 341 25) 2 15 ( 222  20．求 a·b，已知： 1） 3 ,,5,8   baba ； 解： 20 2 1 58,cos  bababa 2）a=（3，5，6），b=（1，-2，3）。 解： 11362513 ba 21．已知 a=（3，5，7），b=（0，4，3）c=（-1，2，-4），求 yxyayx ,,, 和 : 1) x=3a+4b-c, y=2b+c; 解： )2,10,1(2),37,29,10(43  cbycbax 242550 354 arccos,,105,2310,354  yxyxyx 2）x=4a+3b+2c, y=a+2b-c; 解： )17,11,4(2),29,36,10(234  cbaycbax 952962 929 arccos,,426,2237,929  yxyxyx 22．已知 6 ,,2,3   baba 求，3a+2b 与 2a-5b 的内积和夹角。 解： 3331411)52()23( 22  bobaabbaba       ??????????，????????！ ? www.khdaw.com kh da w. co m kh da w. co m ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n ?????：www.hackshp.cn ??????????，??????！ www.hackshp.cn 17 36013652,3369723  baba 2 2 36013633697 33314 5223 )52)(23( cos        baba baba   4 3  故：两向量间的夹角为  4 3 23．证明下列各对向量互相垂直： 1）（3, 2, 1）与（2, -3, 0）； 证明： 0013223)0,3,2()1,2,3(  ∴向量（3，2，1）与（2，-3，0）互相垂直。 2）a(b·c)-b(a·c)与 c。 证明：   0))(()()()()(  cacbcbcaccabcba   ccabcba 与向量 )()(  互相垂直。 24．设 OABC 是一个四面体， , 3 ,1,2   AOCAOBOCOBOA  , 6  BOC L 是 AB 的中点，M 是 OMOL。ABC  求的重心 和 OM，OL 。 解： 3 3 2  OLAOB，OBOA   ) 2 1 ( 3 2 )( 3 2 3 2 BACBOCBLCBOCCLOCCMOCOM  )( 3 1 )( 2 1 3 2 )( 3 2 OCOBOAOBOAOCOBOC  3215 3 1 )( 9 1 2  OCOBOAOM 又： 6 13 ) 3 1 3 1 3 1 )( 2 1 2 1 () 2 1 (   OCOBOAOAOBOMABOAOMOL 32156 33 arccos, 32156 33 ,cos         OMOL OMOL OMOL OMOL 故 32156 33 arccos,,3215 3 1 ,3    OMOLOMOL 25．CD，CT 和 CH 分别是三角形 ABC 的中线、分角线和高线， ,,,  cbCBaCA  求 D，T 和 H 分 AB 的分比。       ??????????，????????！ ? www.khdaw.com kh da w. co m kh da w. co m ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n ?????：www.hackshp.cn ??????????，??????！ www.hackshp.cn 18 解：∵CD 为三角形的 ABC 的中线 DBAD  11  DB AD  ， 即：D 分 AB 的比为 1 ∵CT 由三角形 ABC 的角平分线，由内角平分线定理得： b a ABT： b a b a TB AT BC AC 的中为分即,2   cos222 abbaAB：AB，CH，ABCCH  由余弦定理得则的高线为三角形 而：                   AB abb BH AB aba AH abbaABHBAH HBBCAHAC    cos cos cos2 2 2 22 2222      cos cos , cos cos 2 2 2 2 3 abb aba ABH： abb aba HB AH      的线为分即 26．证明：三角形三条中线的长度的平方和等于三边的长度的平方和的 4 3 。 证明： 2222222 4 1 cos 4 1 ACBCBBCABBCABCFBEAD  AABACABACCACBC cos 4 1 cos 22  = )coscoscos()( 4 5 222 AABACCACBCBBCABACBCAB  = 2222222222 ( 2 1 )( 4 5 ACABBCACACBCABACBCAB  )22 BCAB  = )( 4 3 222 ACBCAB  即证。 27．证明：三角形的三条高线相交于一点。 证明：已知 ,, BCAOACBO  则： OACOBOBCOA  , 又： CBACACACACOACBACACOAABOC  ))(( 故：三角形的三条高线相交于一点。 C D E F B A 0 A B C       ??????????，????????！ ? www.khdaw.com kh da w. co m kh da w. co m ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n ?????：www.hackshp.cn ??????????，??????！ www.hackshp.cn 19 28．证明： 0 BDCAADBCCDAB 证明： BDCABDABABACCDABBDCAADBCCDAB  )()( = BDCABDABABBDACABACCDAB  2 = 0)( 222  ABABABBDACCDAB 0 BDCAADBCCDAB 29．求 a×b 和以 a，b 为边的平行四边形的面积： 1）a=(2, 3, 1), b=(5, 6, 4); 解： )3,3,6()4,6,5()1,3,2( ba 63336 222 S 2）a=(5, -2, 1), b=(4, 0, 6 ); 解： )8,26,12()6,0,4()1,2,5( ba 221282612 222 S 3）a=(-2, 6, 4), b=(3, -9, 6, ); 解： )0,24,72()6,9,3()4,6,2( ba 102402472 22 S 30.给定 a=(1, 0, -1), b=(1, -2, 0) ,c=(-1, 2, 1)，求 1） abba  , ； 解： )2,1,2(),2,1,2(  abba 2） )()3( cbacba  ； 解： )0,4,1(),4,4,5(3  cbacba )16,4,16()()3(  cbacba 3） cbacba  , ； 解： )0,1,2(),2,1,2(  cbba 2,2  cbacba       ??????????，????????！ ? www.khdaw.com kh da w. co m kh da w. co m ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n ?????：www.hackshp.cn ??????????，??????！ www.hackshp.cn 20 4） )(,)( cbacba  。 解： )1,2,1()(),5,4,3()(  cbacba 31．证明下列等式： 1） ))(())(( cbdadbcadcba  ； 证明： ])()[()]([)( dcbcdbadcbadcbadcba  = )()()()()()( cbdadbcacbbadbca  故： )()()()( cbdadbcadcba  2） 0)()()(  bacacbcba 。 证明： )()()(,)()()( acbcabacbabcbaccba  cbaabcbac  )()()( 0)()()(  bacacbcba 32．一个四面体的顶点为 A（1，2，0），B（-1，3，4），C（-1，-2，-3）和 D（0，-1，3）， 求它的面积。 解： )3,3,1(),3,4,2(),4,1,2(  ADACAB ∴四面体的体积为： 6 59 59 6 1 )( 6 1  ADACABV 33．证明：如果 0 accbba ，那末 a, b, c 共面。 证明： 0 accbba 0)()(  cacccbcba 即： 0)(  cba cba ,, 共面 34．下列等式是否正确？ 1） 2aaa  ； 解：等式错误。等式左边为向量，右边为实数，但向量与实数是无比较性的。 2） 2)( abbba  ； 解：等式正确。 3） babaa 2)(  ；       ??????????，????????！ ? www.khdaw.com kh da w. co m kh da w. co m ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n ?????：www.hackshp.cn ??????????，??????！ www.hackshp.cn 21 解：等式错误。等式左边表示向量 baa 的 倍，而右边表示b 的 2 a 倍。 4） 222)( baba  ； 解：等式错误。 2222 2 22 2 )(cos)( baba），ba（baba  的夹角与为 5） )()( cbacba  ； 解：等式错误。等式左边表示向量 bac 的 倍，右边表示a 的 cb  倍。 6） )()( cbacba  。 解：等式错误。等式左边表示与 cba , 都垂直的向量，而左边表示与a ， cb 垂直的 向量。 35．下列推断是否正确？ 1）如果 0,  ccabc 且 ，那么 a=b； 解：推断错误。若 0c ，但 bc  ，则 0 cabc ，但 ba  2）如果 0,  ccabc 且 ，那么 a=b； 解：推断错误。由 cacabcbc：cabc ,sin,sin  得 ，则只能推得 caabcb ,sin,sin  ，并不能得出 ba  。 36．讨论 x 和 y 的关系，已知： 1）x 与 x×y 共线； 解：①当 yx, 中有一个为0 时，结论显然成立。 ②当 yx, 都不为0 时，由 yxx 与 共线可得： 0)(  yxx 。 即： 0)()(  yxxxyx y yx x x   2 yx与 共线 故： yx 与 共线或 yx 与 中至少有一个为 0。 2）x，y，x×y 共面。 ①当 yx, 中至少有一个为0 时，结论显然成立。 ②当 yx, 都不为0 时，由题可知： 0)()(  yxyx 0 yx       ??????????，????????！ ? www.khdaw.com kh da w. co m kh da w. co m ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n ?????：www.hackshp.cn ??????????，??????！ www.hackshp.cn 22 故： yx 与 共线或 yx 与 中至少有一个为 0。 37．设 a 和 b 都是非零向量，且 ,0ba 为任意的数，并知 b×x=a，  xa 求：x. 解： axb  abxbb  )( 而： xbbxbbbxbxbb 2 2)()()(  2 2 2 2 b abb x：abxbb   故 38．设 ,0,0,0  cbbacba 并知 ,, cbxax   求：x。 解： cbx  cabxa  )( 而： bxbabxaxbabxa 2)()()()(  ba cab x：cabxba    2 2)( 故 39．证明：a, b, c 不共面必须且只须 accbba  ,, 不共面。 证明： accbbacba  ,,,, 不共面 不共面： “”： 0)()()(,,  bacacbcbacba 不共面 )(])()[()()]()[( accbbabcbaaccbba  = 0)()()()()[( 2  cbabaccbaacbcba 0)()]()[(  accbba 即： accbba  ,, 不共面。 “”： accbba  ,, 不共面。 0)()]()[(  accbba 而： 2)[()()]()[( cbaaccbba  0))( 2  cba cba：cba ,,0 即 不共面。即证。 40．设   cxbxaxcba ,,,0 ，求：x。       ??????????，????????！ ? www.khdaw.com kh da w. co m kh da w. co m ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n ?????：www.hackshp.cn ??????????，??????！ www.hackshp.cn 23 解：设 ][ 1 cacbba cba xw     ，则： ][ 1 ccaccbcba cba cxcw     = owcba cba cw    0)[ 1  故： cacbba cba x    [ 1 41．1）已知 用得到右旋角度绕将 ，rerere 1,1,  e，r 和θ表出 r1； 解：由题可得：              cinrcinrrrr rerrerrrr er 2 11 111 1 sincossin 0 2）给定三点 ，POAPAPAO 1,0,,, 得到右旋角度绕将  用 1, OPOPOA 表出和 。 解：过点 P 作一平面π，垂直于 OA，交 OA 直线于 O*，由于 O，P，A 不共线，则 P 与 O*不重合。 利用 1）式有 PO OA OA POPO *sincos** 1   由于 *,*,)(*,** 11 OOOPPO OA OA OA OA OPOOPOOOOP  ，则： )*(sincos])([)1 OOop OA OA OA OA OA OA OPOP OA OA OA OA OPOP  （ = OPOA OA OPOA OA OAOP      sin cos)cos1( 2 故： OPOA OA OPOA OA OAOP OP      sin cos)cos1( 21 42．将 e1绕 a=（1，1，1）右旋 45℃得到 1e，求 1e。       ??????????，????????！ ? www.khdaw.com kh da w. co m kh da w. co m ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n ?????：www.hackshp.cn ??????????，??????！ www.hackshp.cn 24 解：由第 41 题 2）知： 112 1 1 45sin 45cos)45cos1( ea a ea a ae e      = ) 3 21 , 3 1 , 3 21 (  即： 3 21 , 3 1 , 3 21 1  e 43．将 a=(1,1,1)绕 e1右旋 45℃得到a，求a。 解：由第 41 题 2）知： ae e ae e ea a      1 1 12 1 1 45sin45cos)45cos1( =（1，0， 2 ） 即： )2,0,1(a 44．求下列平面的方程： 1）过点（-1,0,3），垂直于向量（1，2，-5）； 解：设平面上任意一点 ),,( zyxp ，则： 0)3(52)1(  zyx 01652  zy：x所求平面方程为 2）过点（2,4,-3），平行于向量（0，2，4）和（-1，-2，1）； 解：由题可得平面的法向量为：（0，2，4）×（-1，-2，1）=（10，-4，2） 设平面上任意一点 ),,( zyxp ，则： 0)3(2)4(4)2(10  zyx 022410  zyx：所求平面方程为 3）过点（1,0,3），（2，-12），（4，-3，7）； 解：设平面方程为：Ax+By+Cz+2=0，则                           0 1 1 1 00734 022 03 C B A ：，D C DB DA DCBA DCBA DCA 则令 故：所求平面方程为： 01 yx 4）过直线 112 1    zyx ，平行于直线 2 1 12    zyx ；       ??????????，????????！ ? www.khdaw.com kh da w. co m kh da w. co m ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n ?????：www.hackshp.cn ??????????，??????！ www.hackshp.cn 25 解：直线 112 1    zyx 与直线 2 1 12    zyx 的方向数为：（2，1，-1），（2，1，-2）， 则： a =（2，1，-1）×（2，1，-2）=（-1，2，0） ∵平面过直线 112 1    zyx ∴点（1，0，0）在平面上 ∵ a 平面 ∴平面方程为：（x-1）×（-1）+2y=0 即：x-2y-1=0 5）过直线      .04 ,0122 zzyx zyx 在 Y 轴 Z 轴上有相同的非零截距。 解：经过已知直线的方向为（ 1, 3 10 , 3 2  ），且过点（ )0, 3 5 , 3 1 ，而平面经过另一直线且 该直线方向为（0，-1，1），则： ) 3 2 , 3 2 , 3 7 ()1,1,0()1, 3 10 , 3 2 (  设平面方程： 0 3 2 3 2 3 7  Dzyx 将点 )0, 3 5 , 3 1 ( 代入得： 9 17 D 故：所求平面方程为：21x+6y+6z-17=0 45．求下列直线的方程： 1）过点（1，0，-2），平行于向量（4，2，-3）； 解：依题意可设直线方程为： 324 000       zzyyxx 将点（1，0，-2）代入得： 2,0,1 000  zyx ∴所求直线方程为： 3 2 24 1     zyx 2）过点（0，2，3），垂直于平面 2x+3y=0； 解：直线方向为：（2，3，0），则可设直线方程为： 032 000 zzyyxx     将点（0，2，3）代入解得： 3,2,0 000  zyx ∴所求直线方程为： 0 3 3 2 2     zyx 3）过点（2，-1，3），与直线 2 2 01 1     zyx 相交且垂直； 解：设所求直线为： n z m y l x 312      ，则： 020)1(  nml ①       ??????????，????????！ ? www.khdaw.com kh da w. co m kh da w. co m ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n ?????：www.hackshp.cn ??????????，??????！ www.hackshp.cn 26 ∵两直线相交 023 201 111    lnmnme ② 联立 D②得： nlnm 2, 3 5  令 6,5,3  lm：n 则 故：所求直线为： 3 3 5 1 6 2       zyx 4）过点（1，0，-2），与平面 3x-y+2z+1=0 平行，与直线 12 3 4 1 zyx      相交； 解：设所直线的方向数为： ),,( nml ，则： 023  nml ① 12 3 4 1 zyx      所求直线与直线 相交 07812 124 230    lmnnml ② 联立①②得： 31,4:,50 50 31 , 25 2  nlmmnml 则令 故：所求直线方程为： 31 2 504 1     zyx 5）过点（11，9，0），与直线 2 1 1 2 53 5 4 3 2 1           zyxzyx 和 相交； 解：设所求直线方向为： ),,( nml ，则 0)820(2 342 51210   nmnml ① 046175 215 1711   nmlnml ② 联立①②得 5 132 , 2 5 :,1 5 132 , 2 5  lnmmlmn 则令 故：所求直线方程为： 2 5 1 9 5 132 11 z y x     6）直线 212 : 231 1 : 21      zyx l zyx l 与 的公垂线。 解： 018)1(33 764 231 1   zyx zyx        ??????????，????????！ ? www.khdaw.com kh da w. co m kh da w. co m ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n ?????：www.hackshp.cn ??????????，??????！ www.hackshp.cn 27 082219 764 212  zyx zyx ∴所求直线方程为：      082219 0331833 zyx zyx 46．给定点 A（1，0，3）与 B（0，2，5）和直线 21 1 2 1 :1 zyx l     ，设 各为BA , A，B 在 l 上垂足。求 1） ;BA  解： eeABBA  14 7 3  eeABBA 2） BA , 的坐标。 解：设 ：yyyBxxxA 则),,,(),,,( 321321            0)3(3)1(2 31 1 2 1 321 32 xxx xxx ①           0)5(322 31 1 2 1 321 321 xyy yyy ② 由①得： 7 15 , 7 2 , 7 17 321  xxx 由②得： 7 24 , 7 1 , 7 23 321  yyy ) 7 24 , 7 1 , 7 23 (), 7 15 , 7 2 , 7 17 ( BA  47．给定点 A（，0，3），与 B（0，2，5）和直线 042:  zyx ，设 在为A，，BA , 的垂足，求 1） ;BA  解： 33AB ，A，B 点到平面π的距离分别为： 6 1 , 6 11 21  dd 3 93 )( 221 2  ddABBA 2）通过 BA , 的直线的方程。 解：设 ),,(),,,( 222111 zyxBzyxA  ，则： 111111 1,23,2 tztytx        ??????????，????????！ ? www.khdaw.com kh da w. co m kh da w. co m ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n ?????：www.hackshp.cn ??????????，??????！ www.hackshp.cn 28 222222 4,2,1 tztytx  而： 042,042 222111  zyxzyx 6 11 04)1()23(22 1111  tttt 6 1 04)4(221 2222  tttt ) 6 23 , 3 1 , 6 5 (), 6 17 , 3 2 , 6 1 (  BA 故：所求直线方程为： 1 6 17 1 3 2 1 6 1        zyx 48．求点到平面的距离： 1）（0，2，1）到 2x-3y+5z-1=0; 解： 19 38 d 2）（-1，2，4）到 x-y+1=0 解： 2d 49．求平面 Ax + By + Cz + D=0 与平面 Ax + By + Cz + D1=0 之间的距离。 解：两平在平行，则其间距为一面上任一点 ),,( 0000 zyxP 到另一平面的距离。 DCzByAxDCzByAx  000000 0 故：两平行平面间的距离为： 222 1 222 1000 CBA DD CBA DCzByAx d       50．求下列点到直线的距离： 1）（-1，-3，5）到 3 1 3 1 2 1       zyx ； 解： )3,3,2(),5,3,1(),1,1,1( 10  VPP 11 2091    V VPP d O 2）（0，2，4）到 1 5 3 2 2      zyx 。 解： )1,3,2(),4,2,0(),5,2,0( 10  VPP       ??????????，????????！ ? www.khdaw.com kh da w. co m kh da w. co m ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n ?????：www.hackshp.cn ??????????，??????！ www.hackshp.cn 29 14 1829 14 13 91    V VPP d O 51．求下列各对直线之间的距离： 1） 1 1 2 3 4 1 1 1 2 2 2           zyxzyx 和 ； 解： )1,3,2(),1,2,0( 1 1 2 2 2 111       VP zyx ：L )1,2,4(),1,3,1( 1 1 2 3 4 1 222        VP zyx ：L  1260)2,5,0( 2121 ，，VV，PP  5 5 21 2121     VV PPVV d 2） 21 1 2 1 0 1 1 1 1 zyxzyx         和 。 解： )0,1,1(),1,1,0( 0 1 1 1 1 111       VP zyx ：L )2,1,2(),0,1,1( 21 1 2 1 222     VP zyx ：L  322)1,0,1( 2121 ，，VV，PP  17 17 21 2121     VV PPVV d 52．判断下列各对直线的位置关系（相交、平行或不共面）： 1） 3 53 2 6 1 , 1 2 3 1 3 1           zyxzyx 。 解： )1,2,1(),1,3,3(), 3 5 ,6,0(),2,1,1( 2121  VVPP 222121  PPVV ∴两直线不共面。 2）           .01 ,01 ;01 ,0 yx zx zy zyx 解： )1,1,1(),1,1,0(),0,0,1(),0,1,1( 2121  VVPP 32121  PPVV ∴两直线不共面。 3） 0 1 1 1 1 , 1 1 11 1          zyxzyx 。       ??????????，????????！ ? www.khdaw.com kh da w. co m kh da w. co m ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n ?????：www.hackshp.cn ??????????，??????！ www.hackshp.cn 30 解： )0,1,1(),1,1,1(),1,1,0(),1,0,1( 2121  VVPP 02121  PPVV ∴两直线共面且相交 4）           .0542 ,02 ;0332 ,02 zy zyx yx zyx 解： )1,2,3(),1,2,3( 21  VV ∴两直线平行。 53．设平面 0:  DCzByAx 与联结两点 ),,( 1111 zyxM 和 ),,( 2222 zyxM 不在π上的 线段相交于 M，且 21 MMkMM  ，证明： DCzByAx DCzByAx k    222 111 . 证明：由题可知： 2 1 MM MM k  设点 M1，M2 在平面π上的垂足为 1 2 1 1 ,MM ，则： 222 2221 22 222 1111 11 , CBA DCzByAx MM CBA DCzByAx MM       而： k MM MM MM MM  1 22 1 1 2 1 DCzByAx DCzByAx DCzByAx DCzByAx k       222 111 122 111 故： DCzByAx DCzByAx k    222 111 54．将坐标系统 X 轴右旋  3 2 ，再沿 X 轴平移至五个单位距离，求坐标变换公式。 解：设点 P 原来的坐标为（x, y, z），旋转平移后的坐标为（x1, y1, z1） )1,0,0(),0,1,0(),0,0,1( 321  eee 旋转平移后的坐标分别为： ) 2 1 , 2 3 ,0(), 2 3 , 2 1 ,0(),0,0,1( 13 1 2 1 1  eee 1 3 11 2 11 1 1 3211 11 ezeyexezeyexPOOP  ) 2 1 2 3 () 2 3 2 1 ( 32 1 32 11 1 1 321 eezeeyexezeyex        ??????????，????????！ ? www.khdaw.com kh da w. co m kh da w. co m ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n ?????：www.hackshp.cn ??????????，??????！ www.hackshp.cn 31 即： 3 11 2 11 1 1 321 ) 2 1 2 3 () 2 3 2 1 ( ezyezyexezeyex               11 11 1 2 1 2 3 2 3 2 1 zyz zyy xx 再沿 x 轴平移 5 个单位：             11 11 1 2 1 2 3 2 3 2 1 5 zyz zyy xx 故：坐标变换公式为：             11 11 1 2 1 2 3 2 3 2 1 5 zyz zyy xx 55．将坐标系统方向（1,1,1）右旋 3  ，原点不动。求坐标变换公式。 解： )1,0,0(),0,1,0(),0,0,1( 321  eee 绕（1,1,1）旋转后为： ) 3 2 , 6 31 , 6 31 (), 6 31 , 3 2 , 6 31 (), 6 31 , 6 31 , 3 2 ( 13 1 2 1 1       eee 又： 21 1 321 11 3 11 2 11 1 1 3 2 6 31 () 6 31 6 31 3 2 ( eeyeeexezeyex        ) 3 2 6 31 6 31 () 6 31 321 1 3 eeeze        = 2 111 1 111 ) 6 31 3 2 6 31 () 6 31 6 31 3 2 ezyxezyx         3 11 ) 3 2 6 31 6 31 ( ezyx      而：坐标原点不动       ??????????，????????！ ? www.khdaw.com kh da w. co m kh da w. co m ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n ?????：www.hackshp.cn ??????????，??????！ www.hackshp.cn 32 ∴坐标变换公式为：                        111 111 111 3 2 6 31 6 31 6 31 3 2 6 31 6 31 6 31 3 2 zyxz zyxy zyxx       ??????????，????????！ ? www.khdaw.com kh da w. co m kh da w. co m ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n ?????：www.hackshp.cn ??????????，??????！ www.hackshp.cn 33 第三章 二次曲面 1．求下列球面的中心和半径： 1） 06412222  zyxzyx ； 解：原方程化为： 49)3()2()6( 222  zyx ，则球面中心（6,-2,3），半径 R=7 2） 022642222  zyxzyx ； 解：原方程化为： 36)3()2()1( 222  zyx ，则球面中心（1,-2,3），半径 R=6 3） 08222  xzyx 。 解：原方程化为： 16)4( 222  zyx ，则球面中心（-4,0,0），半径 R=4 2．求下列圆的中心和半径： 1）      012 0246412222 zyx zyxzyx 解：球面方程为： 25)3()2()6( 222  zyx ，则球面心 0（6,-2,3），半径 R=5 球心 O 到平面 a:2x+y+z+1=0 的距离 6 3 7 112 13262 222    d Rd  ∴平面 a 与球不相交 故只能形成虚圆。 2）      0 2222 DCzByAx Rzyx 解：球心 O（0，0，0），半径为 R，则： 球心 O 到平面的距离 222222 CBA D CBA DOCOBOA d      要能形成圆，则球面必须与平面相交，即： dR  设球 O 到平面上的垂足为 1000 1 ),,,( OzyxO 则 为球面与平面相交所形成的圆的圆心，即 1OO 平面，又设： CtzBtyAtx  000 ,, ，则： 222 222 0 CBA D tDtCtBtA    ，即： 222222222222 1 ,,,( CBA CD CBA BD CBA BD CBA DA O               ??????????，????????！ ? www.khdaw.com kh da w. co m kh da w. co m ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n ?????：www.hackshp.cn ??????????，??????！ www.hackshp.cn 34 设圆的半径为 r，则：r= )( 222 2 2 dR CBA D R    ∴圆的中心 ),,( 222222222 CBA CD CBA BD CBA AD       ， 半径 r= )( 222 2 2 dR CBA D R    3．求下列球面的方程： 1）过点（1，-1，1），（1，2，-1），（2，3，0）和坐标原点； 解：设球面方程为： 0222  DCzByAxzyx ，则：                          0 2 3 2 2 7 01332 062 03 0 D C B A DBA DCBA DCBA D ∴所求球面方程为： 0 2 3 2 2 7222  zyxzyx 2）过点（1，2，5），与三个坐标平面相切； 解：设球面方程为： 2222 )()()( aazayax  ，则： 53)5()2()1( 2222 或 aaaaa ∴所求球面方程为： 25)5()5()5(9)3()3()3( 222222  zyxzyx 或 3）过点（2，-4，3），且包含圆： 0,522  zyx 。 解：由题可知球心在 z 轴，设球心坐标为（0，0，C），则：球的半径为：R2=C2+5 设球的方程为： 5)( 2222  cczyx ，则：4+16+（3-c）2=c2+5 ∴c=4 ∴所求球的方程为： 21)4( 222  zyx 4．求半径为、对称轴为 32 zy x  的圆柱面的方程。 解：法一：设点（x, y, z）为圆柱面上任意一点，则该点到对称轴的距离为： 222 )2()3()23( 14 1 yxxzzyd        ??????????，????????！ ? www.khdaw.com kh da w. co m kh da w. co m ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n ?????：www.hackshp.cn ??????????，??????！ www.hackshp.cn 35 ∵d=2 ∴ 2)2()3()23( 14 1 222  yxxzzy 即： 56)23()3()2( 222  zyzxyx ∴所球圆柱面的方程为： 56)23()3()2( 222  zyzxyx 法二：∵对称轴方程为 32 zy x  ∴对称轴过原点（0，0，0） 设 ),,( zyxM 为圆柱面上任意一点，再在对称轴上取一点 ),,( 0000 zyxM 使得 0MM 对称轴，由题意有： 420 2 0 2 0 22222 0 2 0 2 0 2  zyxzyxROMMMOMMO 0MM 对称轴 03)(2)(1)( 000  zzyyxx 0M 在对称轴上 t zy x  32 00 0 消去参数得圆柱面方程为： 056)32()(14 2222  zyxzyx 5．设圆柱面的对称轴为直线： tztytx 23,21,  ，且知点 M（1，-2，1）在这个 圆柱面上，求这个圆柱面的方程。 解：法一：圆柱面的对称轴： 2 3 2 1      zy x 点 M 到对称轴的距离为： 3 65 d 设点（x, y, z）为圆柱面上的任意一点，则： 3 65 3 )]1()0(2[)]0(2)3[()]3(2)1(2[ 222   yxxzzy 即： 65)2(4)32()12( 222  zyzxyx ∴所球圆柱面的方程为： 65)2(4)32()12( 222  zyzxyx 法二：设圆柱面的对称轴为 2 3 2 1 :      zy xl 即 M（1，-2，1）到 l 的距离： 3 65 d ，l 过点 A（0，1，-3） 设点 P（x, y, z）为圆柱面上的任意一点，则： ),,( 0000 zyxM 为对称轴上一点，使得：       ??????????，????????！ ? www.khdaw.com kh da w. co m kh da w. co m ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n ?????：www.hackshp.cn ??????????，??????！ www.hackshp.cn 36 PM0 在同一纬圆上，且 M0为该纬圆的圆心，依题意有： 2 0 2 0 2 0 2222 0 22 0 2 0 2 )3()1( 9 65 )3()1(  zyxzyxAMdAMPMPA 0PM 0)2()(2)(1)( 000  zzyyxx 0M 在 l 上 t zy x       2 3 2 1 00 0 消去数得圆柱方程为： 065)822(])3()1([9 2222  zyxzyx 6．求顶点为（1，2，3），轴与平面 2x+2y-z+1=0 垂直、母线和轴夹角为 6  的圆柱面的方程。 解：设顶点 A（1，2，3），在圆锥面上任取一点 M（x, y, z），则过点 A，M 的直线 l 的 方向数为（x-1, y-2, z-3）因轴与平面 2x+2y-z+1=0 垂直，则轴的方向数为（2，2，-1），即轴 的方向余弦为（ 3 1 , 3 2 , 3 2  ），直线 l 的方向余弦为 ) )3()2()1( 3 , )3()2()1( 2 , )3()2()1( 1 ( 222222222       zyx z zyx y zyx x 因直线 l 与轴的夹角为 6  ，则： 3 2 )3()2()1( 2 3 2 )3()2()1( 1 6 cos 222222        zyx y zyx x ) 3 1 ( )3()2()1( 3 222     zyx z 整理即得圆锥面方程为： 0)322(4])3()2()1[(27 2222  zyxzyx 7．求顶点为（1，2，4），轴与平面 022  zyx 垂直且经过点（3，2，1）的圆锥面的 方程。 解：设 M（1，2，4），P0（3，2，1）， 0MP =（2，0，-3）轴的方向数为： r （2,2,1) rMP与 的夹角为： 133 1 cos  设点 P（x, y, z）是圆锥面上的任意一点，则： )4,2,1(  zyxMP 以： rMP rMP  cos 即： 3)4()2()1( )4()2(2)1(2 133 1 222    zyx zyx ∴所求圆锥面的方程为： 0)1022(13)4()2()1( 2222  zyxzyx       ??????????，????????！ ? www.khdaw.com kh da w. co m kh da w. co m ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n ?????：www.hackshp.cn ??????????，??????！ www.hackshp.cn 37 8．给定球面 020442222  zyxzyx ，求 1）过点（1，5，2）的切平面的方程； 解：球面方程为： 29)2()2()1( 222  zyx 平面的法向量为：（2，3，4） ∴所求平面方程为： 0)2(4)5(3)1(2  zyx 2）以（2，6，10）为顶点的切锥面的方程。 解：球心 0（-1，2，-2），半径 R= 29 ，切锥面顶点 P（2，6，10） 轴的方向数为： )12,4,3(OPr 轴与母线夹角的余弦为： 13OP 13 352 cos 22    OP ROP  设点 M（x, y, z）为切锥面上的点，则： 13)10()6()2( )10(12)6(4)2(3 13 352 222    zyx zyx 故：所求方程为： 0)1501243()10()6(140)2(140 2222  zyxzyx 9．已知圆柱面的三条母线为 ,11,11, zyxzyxzyx  求这圆柱面的方 程。 解：法一：由题知圆柱面的轴线的方向数为（1，1，1）， 设点 A（x1, y1, z1）在轴线上，则：       2 11 2 11 2 11 2 11 2 11 2 11 2 11 2 11 2 11 2 11 2 11 2 11 )11()1()1()()()( )1()11()1()()()( yxxzzyyxxzzy yxxzzyyxxzzy )1,1,(1,1 1111111  xxxAxyxz 令 x1=1，则：A（1，0，2） 轴线方程为：x-1=y=z-2 母线与轴线间的距离为： 2d ，设点 P（x, y, z）为圆柱面上的任意一点，则： 2 3 )1()12()2( 222   yxxzzy 即 6)2()1()1( 222  zyzxyx 故：所求圆柱面的方程为： 6)2()1()1( 222  zyzxyx       ??????????，????????！ ? www.khdaw.com kh da w. co m kh da w. co m ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n ?????：www.hackshp.cn ??????????，??????！ www.hackshp.cn 38 法二：因三条母线 zyxlzyxlzyxl  11:,11:,: 321 ，分别过定 点 A1（0，0，0），A2（1，-1，0），A3（1，-1，0），设过 A1，A2，A3后平面   01  zByAx为 则有：         0 0 0 DBA DCA D 则：A=B=C，D=0 即平面 0 zyx：的方程为 ，则圆柱面的准线为平面 321 ,, lll与 相交所形成 的圆，设圆的方程为：      0 0 222 DCzByAxzyx zyx ∵A1（0，0，0），A2（-1，0，1），A3（1，-1，0）在圆上，则有                  0 4 2 0011 0001 0 D CB CA DBA DCA D ∵C 是任意的 ∴取 C=0，则：A=2，B=4，C=0，D=0 故准线方程为：      042 0 222 yxzyx zyx 设 M0（x0, y0, z0）是准线上的任意一点，M（x, y, z）为相应母线上一点，则有：         )1,1,1(),,( 042 0 000 00 2 0 2 0 2 0 000 tzzyyxx yxzyx zyx 消去参数，得圆柱面方程： 033222  zyyzxzxyzyx 10．求柱面的方程： 1）准线为：      0 22 x zy 母线平行于 X 轴； 解：母线的方向数为（1，0，0） 设 P（x, y, z）是柱面上的点，M（x, y, z）是准线上的点且使 MP 为一条母线，则： 过 M 的母线方程为：          0 2 001 1 1 2 1111 x zyzzyyxx 且 * 再设 t yyxx     01 11 ，则：x1=x-t, y1=y, z1=z 代入*得：y 2 =2z ∴所求柱面的方程为：y2=2z       ??????????，????????！ ? www.khdaw.com kh da w. co m kh da w. co m ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n ?????：www.hackshp.cn ??????????，??????！ www.hackshp.cn 39 2）准线为：      0 4 z xy 母线平行于向量（1，-1，1）。 解：设 P（x, y, z）是柱面上的点，M（x1, y1, z1）是准线上的点且使 MP 为一条母线， 则： 过 M 的母线方程为：           0 4 111 1 11111 z yxzzyyxx 且 * 再设 t zzyyxx         111 111 ，则：x1=x-t, y1=y+t, z1=z-t 代入*得： 4))(( 0 4))((       zyzx tz tytx 故：所求柱面方程为： 4))((  zyzx 11．求顶点（4，0，-3）准线为        0 ,1 925 22 z yx 的锥面的方程。 解：设点 M（x1, y1, z1）是准线上的一点，P（4，0，-3）是顶点，则： PM 为一条母线：             0 1 925 3 3 4 4 1 2 1 2 1 111 z yx z z y y x x 且 * 令 1 111 3 3 4 4 t z z y y x x       ，则： 3 3 ,,4 4 111      t z z t y y t x x 代入*得：             03 3 0)3(2525)43(1 9 )( 25 )4 4 ( 222 22 t z zyzxt y t x 故：所求锥面方程为： 0)3(2525)43( 222  zyzx 12．求旋转面的方程： 1） 2 1 1 1 1 1 1 1          zzyx 绕 2 1 11     zyx 旋转； 解：轴 2 1 11     zyx 过点 A（0，0，1），设 M0（x0, y0, z0）为直线 2 1 1 1 1      zyx 上 一点，M（x, y, z）为旋转面上任意一点，使 M0，M 在同一纬圆上，则： 2 0 2 0 2 0 222 0 )1()1(  zyxzyxAMMA       ??????????，????????！ ? www.khdaw.com kh da w. co m kh da w. co m ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n ?????：www.hackshp.cn ??????????，??????！ www.hackshp.cn 40 0MM 轴 02)()1()(1)( 000  zzyyxx 0M 在直线 t zyxzyx               2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 000 ∴消去参数，得旋转面方程： )12(4)42(])1([6 2222  zyxzyxzyx 2） 1 1 12    zyx 绕 2 1 11     zyx 旋转； 解：轴 2 1 11     zyx 过点 A（0，0，1），设 M0（x0, y0, z0）为 1 1 12    zyx 上一点， P（x, y, z）为旋转面上任意一点，且 M0，P 在同一纬圆上，则： 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 000 )()()()1( zzyyxxzyxAMAM  点 M0 在 1 1 12    zyx 上， t zyx     1 1 12 000 PM0 旋转轴 02)()1()(1)( 000  zzyyxx 由上可得旋转面方程为： 2222 )1()22()4423()22(6  yxzxzyxzyx 3） 33 1 zy x    绕 z 轴旋转； 解：因 z 轴为旋转轴，则旋转轴过 A（0，0，1），设 M0 为直线 33 1 zy x    上一点， M（x, y, z）为旋转面上一点，且 M，M0 在同一纬圆上，有： 2222 0 2 0 2 00 )1()1(  zyxzyxMAAM M0 为直线上一点 t zy x    33 1 000 z=z0 由上可得，旋转面方程为：10z2+6z+9=9（x2+y2） 4） 33 1 zy x    绕 212   zyx 旋转； 解：旋转轴 212   zyx 过 A（0，0，1），设 M0（x0, y0, z0）为 33 1 zy x    上一点， M（x, y, z）为旋转面上一点，且 M0，M 在同一纬圆上，则有： 2222 0 2 0 2 00 zyxzyxMAAM  M0 在 33 1 zy x    上 t zy x    33 1 000 旋转轴0MM 0)()2()(1)(2 000  zzyyxx 由以上得旋转面方程：       ??????????，????????！ ? www.khdaw.com kh da w. co m kh da w. co m ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n ?????：www.hackshp.cn ??????????，??????！ www.hackshp.cn 41   77)22(14)222(1949 2222  zyxzyxzyx 5）圆      0 )( 222 y rzRx )0(  rR 绕 Z 轴； 解：设 M0（x0, y0, z0）为圆上一点，M（x, y, z）是旋转面上任意一点，且 M0与 M 共纬 圆，则由圆绕 z 轴旋转有：            0 2 0 2 0 2 0 222 0 22 0 2 0 0 )( zz zyxzyx y rzRx 由上可得旋转面方程： 22222 )( rzRyx  6）空间曲线       122 2 yx xz 绕 Z 轴。 解：因 z 轴为旋转轴，记 A（0，0，1）为 z 轴上一点，设 M0（x0, y0, z0）是曲线上一点， M（x, y, z）为旋转面上的一点，且 M，M0在同一纬圆上，则有：            0 2222 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 00 )1()1( 1 zz zyxzyx yx xz 由上得，旋转面方程： 122  yx 13．画出下列曲面的简图： 1） ;1644 222  zyx 2） 819 22  zy ； 3） ;044 222  zyx 4） 1 94 22  z yx ； 5） xyz 2 ； 6） ;42 222  zyx 7） xyz  8） ;623 222  zyx 9） ;12 222  zyxyx 10） 2 yxxyz 14．适当选取坐标系，求下列轨迹的方程，并画图： 1）到两定点距离之比等于常数的点的轨迹；       ??????????，????????！ ? www.khdaw.com kh da w. co m kh da w. co m ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n ?????：www.hackshp.cn ??????????，??????！ www.hackshp.cn 42 解：选取合适的坐标条，使两定点 A（a，0，0），B（-a，0，0），则 P（x, y, z）为空间 内一点，则设  0( k）kk PB PA 为常数 即： 0)1(2))(1( )( )( 222222 222 222    kaxazyxkk zyax zyax 当 k=1 时，轨迹为平面 x=0 当 k≠1 时，轨迹为以点（ 0,0, 1 )1( 2 2 k ka   ）为球心， 21 2 k ak  为半径的球面。 2）到两定点距离之和等于常数的点的轨迹； 解：选取合适的坐标条，使两定点 A（a，0，0），B（-a，0，0），则 P（x, y, z）为空间 内一点， ∵  0kkPBPA  ∴ )0()()( 222222 kkzyaxzyax  即： )0(444)164( 2222222222 kakkzkykxak  ∴轨迹方程为： )0(444)164( 2222222222 kakkzkykxak  3）到两定点距离之差等于常数的点的轨迹； 解：选取合适的坐标条，使两定点 A（a，0，0），B（-a，0，0），设 P（x, y, z）为任意 一点， ∵ kPBPA  ∴ kzyaxzyax  222222 )()( 即： 044416)416( 22422222222  akkzkykxakxka 当 k=0 时，轨迹方程为：x=0 当 k≠1 时，轨迹方程为： 044416)416( 22422222222  akkzkykxakxka 4）到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹； 解：以定点 O 为坐标原点，建立空间直线坐标条，设定平面为 Ax+By+Cz+D=0，设 P （x, y, z）为任意一点，由已知可得： K CBA DCzByAx zyx     222 222 ，即： 22222222 )())(( DCzByAxkzyxCBA  ∴轨迹方程为： 22222222 )())(( DCzByAxkzyxCBA  5）求与二给定直线等距离的点轨迹的方程，已知二直线之间的距离为 a，夹角为 a（取 公垂线为 z 轴，中点为原点，X 轴与二直线成等角）。       ??????????，????????！ ? www.khdaw.com kh da w. co m kh da w. co m ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n ?????：www.hackshp.cn ??????????，??????！ www.hackshp.cn 43 解：以两直线的公垂线为 z 轴，公垂线中点为原点，x 轴与二直线成等角建立坐标条设 两直线分别为 l1, l2,l1 与 z 轴交点 A（0，0， 2 a ），l2 与 z 轴交点 B（0，0，- 2 a ），l1, l2,与 x 轴 夹角都为 2 a ，l1, l2 与 z 轴夹角都为 2  ，由方向余弦公式 1coscoscos 222  r ，可知： 2 sin 2 cos1cos 222    ，则： 2 sincos 2    ，因 l1与 l2 异面，则 l1 与 l2的方向余 弦不相等，即： l1 的方向余弦为（ 0, 2 sin, 2 cos  ），l2的方向余弦为（ 0, 2 sin, 2 cos   ）或 l1 的方向余弦为（ 0, 2 sin, 2 cos   ），l2的方向余弦为（ 0, 2 sin, 2 cos   ）则： l1 的方程为： 0 2 2 sin 2 cos a z a y a x   ，l2 的方程为： 0 2 2 sin 2 cos a z a y a x     ，设 p （x, y, z）为满足条件的一点，则有： 0sin 0, 2 sin, 2 (cos )0, 2 sin, 2 (cos) 2 ,,( 0, 2 sin, 2 cos )0, 2 sin, 2 (cos) 2 ,,(      axyaz aa aaa zyx aa aaa zyx 当 l1 的方向余弦为（ 0, 2 sin, 2 cos a   ），则同理有： 0sin 0, 2 sin, 2 (cos )0, 2 sin, 2 (cos) 2 ,,( 0, 2 sin, 2 cos )0, 2 sin, 2 (cos) 2 ,,(       axyaz aa aaa zyx aa aaa zyx 综上：轨迹方程为： 0sin22222  ayxza 15．已知椭球面的轴与坐标轴重合，且通过椭圆        1 169 0 22 yx z 及点 )23,2,1(M ，求这个椭球面的方程。 解：由题可设椭球面的方程为： 1 169 2 222  c zyx 又过点 M（1,2, 23），则有： 1 23 16 4 9 1 2  c 362 c 故：所求椭球圆的方程为： 1 36169 222  zyx       ??????????，????????！ ? www.khdaw.com kh da w. co m kh da w. co m ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n ?????：www.hackshp.cn ??????????，??????！ www.hackshp.cn 44 16．已知椭圆抛物面的顶点为原点，对称面为 XZ 和 YZ 平面，且过点（ 3 22 ,2,1 ）和（ 1,1, 3 1  ）， 求这个椭圆抛物面的方程。 解：由题可设椭圆抛物面的方程为： 2 2 2 2 b y a x z  ，则：                  3 6 1 19 1 1 41 3 22 2 2 22 22 b a ba ba ∴所求椭圆抛物面的方程为： 22 3 1 6 yxz  17．求直线族 011 2       zyx 所成的曲面。 解：由 011 2       zyx 得： 0 0 01 11 2 2 2                    zyx z yx zy yx     ∴所求曲面的方程为： 02  zyx 18．求下列三条直线同时相交的直线所产生的曲面： 5 2 4 1 3 2,1 , ,1                 zyx zy x zy x 解：先写出通过直线 l1 和 l2 的两个平面来的方程： 0)1(:  xzy  （1） 0)1(:  xzy  （2） 直线 l3上的动点坐标为： tztytx 52,31,32  （3） 分别将（3）代入（1）得： 13 1    t t  ，代入（2）得： 1 13    t t  于是得线来： 1 0)1( 1 3 0)1( 13 1 222               zyx x t t zy x t t zy ∴所求曲面的方程为： 1222  zyx 19．求下列曲线在各坐标面上投影的方程，画出简图：       ??????????，????????！ ? www.khdaw.com kh da w. co m kh da w. co m ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n ?????：www.hackshp.cn ??????????，??????！ www.hackshp.cn 45 1）        02 1 41216 222 x zyx 解：在 YOZ 平面上的投影：        0 4 3 412 22 x zy 在 XOZ 平面上的投影：      0 2 y x 在 XOY 平面上的投影：（2，3，0），（2，-3，0） 2）       012 0 2 222 zx zyx 解：在 YOZ 平面上的投影：      0 01853 2246 x yzzz 在 XOZ 平面上的投影：      0 012 2 y zx 在 XOY 平面上的投影：      0 01223 z xyx 3）       44 164 22 222 zyx zyx 解：在 YOZ 平面上的投影：      0 0123 22 x zy 在 XOZ 平面上的投影：      0 03 22 y zx 在 XOY 平面上的投影：      0 422 z yx 4）         22 22 4 1 3 4 1 4 yxx yxz 解：在 YOZ 平面上的投影：      0 02482 x zy 在 XOZ 平面上的投影：      0 022 y zx 在 XOY 平面上的投影：      0 088 22 z yx 20．用不等式表出下列曲面所围成的区域，并作简图： 1） ;0,4,2 2222  zxyxxyx       ??????????，????????！ ? www.khdaw.com kh da w. co m kh da w. co m ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n ?????：www.hackshp.cn ??????????，??????！ www.hackshp.cn 46 解：        0 22 40 z y x   2） ;1,1 2222  zyyx 解：         0 22 1 z y x  3） 12,4 22222  zyxzyx 解：          320 32 32 z y x       ??????????，????????！ ? www.khdaw.com kh da w. co m kh da w. co m ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n ?????：www.hackshp.cn ??????????，??????！ www.hackshp.cn 47 第四章 正交变换和仿射变换 1．求出把点（2，3，0）变成点（0，-1，1）的平移α的公式。α把曲面 1222  zyx 和 01882  yxy 变成什么曲面？ 解：∵a1=0-2=-2，a2=-1-3=-4，a3=1-0=1， )1,4,2( a 设该平移的 a 后的点为（x, y, z），则平移前的点为：（x+2, y+4, z-1） ∴ a 把曲面 1222  zyx 变成曲面 1)1()4()2( 222  zyx a 把曲面 01882  yxy 变成曲面 016)4(8)4( 2  yxy 2．求出绕 Y 轴左旋 4  的旋转 的公式， 把曲面 2522  zx 和 02 22  zxzxzx 变成什么曲面？ 解：旋转 ：                        11 1 11 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 zxz yy zxx zxz yy zxx  把曲面 2522  zx 变成曲面： 50)()( 22  zxzx  把曲面 02 22  zxzxzx 变成曲面： 02 2  zx 3．求前两题中变换乘积 和 的公式。 解： 的公式：            2 2 2 2 2 4 23 2 2 2 2 1 1 1 zxz yy zxx  的公式：            1 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 1 1 1 zxz yy zxx 4．设α,σ,τ是三个变换，证明  )()(  证明：设点 P 为任意一点，则： )))((()))(())(( ppp         ??????????，????????！ ? www.khdaw.com kh da w. co m kh da w. co m ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n ?????：www.hackshp.cn ??????????，??????！ www.hackshp.cn 48 )))((()()( pp   故：  )()(  5．设α,σ是两个变换，证明 111)(    证明：∵    11111 )())(( 又  1))(( 111)(    6．求出把点（0，0，0），（0，1，0），（0，0，1）分别变成点（0，0，0），（0，0，1），（1， 0，0）的旋转。 解：由题可设旋转公式为：         zayaxaz zayaxay zayaxax 333231 1 232221 1 131211 1 将（0，1，0），（0，0，1）代入得：a12=0，a22=0，a32=1，a13=1，a23=0，a33=0 而： 0,11 01 00 10 3121312121 33 22 11  aaaaa a a a 又： 0110 11 222 11  aa 故：旋转公式为：         yz xy zx 7．求出对于平面 0 DCzByAx 的反射公式。 解：设点（x, y, z）传平面反射后的点为（ zyx  ,, ），则：                  C zz B yy A xx DC zz B yy A xx 0 222 即得：                        )222( ))(222( ))(222( 222 222 222 222 222 222 z C BAC ByAxD CBA C z zy B CAB AxD CBA B y zByx A CBA D CBA A x 8．证明：分别对于两个平行平面的两个反射的乘积是一个平移。 9．证明：分别对于两个相交平面的两个反射的乘积是一个旋转。       ??????????，????????！ ? www.khdaw.com kh da w. co m kh da w. co m ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n ?????：www.hackshp.cn ??????????，??????！ www.hackshp.cn 49 10．证明：相似变换：         kzz kkyy kxx )0(, , 保持角度不变。 11．证明：在仿射变换下，两个不动点的边线上的每个点都不动。 证明：设在仿射变换下，点 A，B 的对应点分别为 A'，B'在直线 AB 上任取一点 x,设 x 的对应点为 x'，由题设知： A'≡A， B'≡B 再由结合性知 A，B，X， x' 共线 ∵（ABX）=（ABX'） ∴ X = X' 即：直线 AB 上每个点都是不动点。即证。       ??????????，????????！ ? www.khdaw.com kh da w. co m kh da w. co m ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n ?????：www.hackshp.cn ??????????，??????！ www.hackshp.cn