矩阵的初等变换与初等矩阵

《线性代数》下页结束返回5.1初等变换交换第i行与第j行记为rirj.r2r4定义1对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.(1)交换矩阵的某两行(列)；(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)；(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.例如下页《线性代数》下页结束返回交换第i列与第j列记为cicj.c1c3例如下页5.1初等变换定义1对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.(1)交换矩阵的某两行(列)；(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)；(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.《线性代数》下页结束返回用数k乘以第i行记为kri.4r2例如下页5.1初等变换定义1对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.(1)交换矩阵的某两行(列)；(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)；(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.《线性代数》下页结束返回用数k乘以第i列记为kci.4c3例如下页5.1初等变换定义1对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.(1)交换矩阵的某两行(列)；(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)；(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.《线性代数》下页结束返回第i行的k倍加到第j行记为rj+kri.r3-3r1例如下页5.1初等变换定义1对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.(1)交换矩阵的某两行(列)；(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)；(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.《线性代数》下页结束返回第i列的k倍加到第j列记为cj+kci.c3+c1例如下页5.1初等变换定义1对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.(1)交换矩阵的某两行(列)；(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)；(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.《线性代数》下页结束返回化成下述形式它称为矩阵A的标准形（1的个数可以是零）.下页《线性代数》下页结束返回下页2101000041-16r2↔r1r2-2r11/4c3c4+c1c4-3c2例如：c4-6c3《线性代数》下页结束返回定义2对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵（或初等方阵）.初等矩阵有下列三种：E(i,j)、E(i(k))、E(j,i(k)).=E(2,4)例如，下面是几个4阶初等矩阵：r2r4=E(2,4)c2c4下页5.2初等矩阵《线性代数》下页结束返回=E(3(4))4r3=E(3(4))4c3下页定义2对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵（或初等方阵）.初等矩阵有下列三种：E(i,j)、E(i(k))、E(j,i(k)).5.2初等矩阵例如，下面是几个4阶初等矩阵：《线性代数》下页结束返回=E(2,4(k))r2+kr4=ET(2,4(k))c2+kc4下页定义2对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵（或初等方阵）.初等矩阵有下列三种：E(i,j)、E(i(k))、E(j,i(k)).5.2初等矩阵例如，下面是几个4阶初等矩阵：《线性代数》下页结束返回初等矩阵都是可逆的，且它们的逆矩阵仍是初等矩阵.初等矩阵的可逆性E(j,i(k))-1=E(j,i(-k)).E(i(k))-1=E(i(k-1))；E(i,j)-1=E(i,j)；这是因为，初等矩阵的行列式及逆矩阵分别为:下页|E(j,i(k))|=1.|E(i(k))|=k(k≠0)；|E(i,j)|=-1；《线性代数》下页结束返回E(1,2)A=与交换A的第一行(列)与第二行(列)所得结果相同.AE(1,2)=下页定理1设A是一个mn矩阵，对A施行一次初等行变换相当于用相应的m阶初等矩阵乘矩阵A；对A施行一次初等列变换相当于用矩阵A乘相应的n阶初等矩阵的转置矩阵.《线性代数》下页结束返回与第三行(列)的2倍加到第一行(列)所得结果相同.E(1,3(2))A=AET(1,3(2))=下页定理1设A是一个mn矩阵，对A施行一次初等行变换相当于用相应的m阶初等矩阵乘矩阵A；对A施行一次初等列变换相当于用矩阵A乘相应的n阶初等矩阵的转置矩阵.《线性代数》下页结束返回练习：下页《线性代数》下页结束返回练习：下页《线性代数》下页结束返回5.3求逆矩阵的初等变换方法定理2若n阶矩阵A可逆，则可以通过行初等变换将A化为单位矩阵.证：因为A可逆,即|A|≠0，所以A的第一列不全为0,不妨设a11≠0.将A的第一行元素乘以1/a11,再将变换后的第一行的(-ai1)倍加到第i行，i=2,3,…,n,使第一列其他元素全化为零，得如下形式矩阵B1:由定理1知，其中Fi是对应初等矩阵.一直进行下去，最终把A化成了单位矩阵E.同理可得B2:下页即B2的第二行第二列元素化为1,第二列的其它元素全化为零.《线性代数》下页结束返回推论方阵A可逆的充分必要条件是A可以表示为有限个初等矩阵的乘积.下页证（必要性）假设A可逆，由定理2，A经有限次初等行变换可化为单位阵E,即存在初等矩阵使而是初等矩阵.（充分性）如果A可表示为有限个初等矩阵的乘积，因为初等矩阵都是可逆的，而可逆矩阵的乘积仍然可逆的，所以A是可逆矩阵.《线性代数》下页结束返回就是说，当通过初等行变换将矩阵A变成E时，经过同样的变换把E变成了A-1.于是有利用初等行变换求逆矩阵的方法(要求：熟练掌握)构造一个n×2n矩阵(A|E)，对矩阵(A|E)作初等行变换，当左部A变成单位矩阵E时，右部单位矩阵E则变成A-1.即下页即若,则而由,即《线性代数》下页结束返回例1(法2)．求矩阵解：r2-2r1r3+3r1r3-2r2r2+r3r1-0.5r3，(A│E)=r30.5下页《线性代数》下页结束返回解：例2下页