线性代数公式大全

【MeiWei_81重点借鉴文档】 1、行列式 1. 行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、和的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为； 3. 代数余子式和余子式的关系： 4. 设行列式： 将上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则； 将顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，则； 将主对角线翻转后（转置），所得行列式为，则； 将主副角线翻转后，所得行列式为，则； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积； ③、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积； ④、和：副对角元素的乘积； ⑤、拉普拉斯展开式：、 ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式； 7. 证明的方法： ①、； ②、反证法； ③、构造齐次方程组，证明其有非零解； ④、利用秩，证明； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 8. 是阶可逆矩阵： （是非奇异矩阵）； （是满秩矩阵） 的行（列）向量组线性无关； 齐次方程组有非零解； ，总有唯一解； 与等价； 可表示成若干个初等矩阵的乘积； 的特征值全不为0； 是正定矩阵； 的行（列）向量组是的一组基； 是中某两组基的过渡矩阵； 9. 对于阶矩阵：无条件恒成立； 10. 11. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 12. 关于分块矩阵的重要结论，其中均、可逆： 若，则： Ⅰ、； Ⅱ、； ②、；（主对角分块） ③、；（副对角分块） ④、；（拉普拉斯） ⑤、；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组 13. 一个矩阵，总可经过初等变换化为形，其标准形是唯一确定的：； 等价类：所有与等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵、，若； 14. 行最简形矩阵： ①、只能通过初等行变换获得； ②、每行首个非0元素必须为1； ③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0； 15. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换） 1、 若，则可逆，且； ②、对矩阵做初等行变化，当变为时，就变成，即：； ③、求解线形方程组：对于个未知数个方程，如果，则可逆，且； 16. 初等矩阵和对角矩阵的概念： ①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵； ②、，左乘矩阵，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素； ③、对调两行或两列，符号，且，例如：； ④、倍乘某行或某列，符号，且，例如：； ⑤、倍加某行或某列，符号,且，如：； 17. 矩阵秩的基本性质： ①、； ②、； ③、若，则； ④、若、可逆，则；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、；（※） ⑥、；（※） ⑦、；（※） ⑧、如果是矩阵，是矩阵，且，则：（※） Ⅰ、的列向量全部是齐次方程组解（转置运算后的结论）； Ⅱ、 ⑨、若、均为阶方阵，则； 18. 三种特殊矩阵的方幂： ①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律； ②、型如的矩阵：利用二项展开式； 二项展开式：； 注：Ⅰ、展开后有项； Ⅱ、 Ⅲ、组合的性质：； ③、利用特征值和相似对角化： 19. 伴随矩阵： ①、伴随矩阵的秩：； ②、伴随矩阵的特征值：； ③、、 20. 关于矩阵秩的描述： ①、，中有阶子式不为0，阶子式全部为0；（两句话） ②、，中有阶子式全部为0； ③、，中有阶子式不为0； 21. 线性方程组：，其中为矩阵，则： ①、与方程的个数相同，即方程组有个方程； ②、与方程组得未知数个数相同，方程组为元方程； 22. 线性方程组的求解： ①、对增广矩阵进行初等行变换（只能使用初等行变换）； ②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得； 23. 由个未知数个方程的方程组构成元线性方程： ①、； ②、（向量方程，为矩阵，个方程，个未知数） ③、（全部按列分块，其中）； ④、（线性表出） ⑤、有解的充要条件：（为未知数的个数或维数） 4、向量组的线性相关性 24. 个维列向量所组成的向量组：构成矩阵； 个维行向量所组成的向量组：构成矩阵； 含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应； 25. ①、向量组的线性相关、无关 有、无非零解；（齐次线性方程组） ②、向量的线性表出 是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 是否有解；（矩阵方程） 26. 矩阵与行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组和同解；(例14) 27. ；(例15) 28. 维向量线性相关的几何意义： ①、线性相关 ； ②、线性相关 坐标成比例或共线（平行）； ③、线性相关 共面； 29. 线性相关与无关的两套定理： 若线性相关，则必线性相关； 若线性无关，则必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶） 若维向量组的每个向量上添上个分量，构成维向量组： 若线性无关，则也线性无关；反之若线性相关，则也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定； 30. 向量组（个数为）能由向量组（个数为）线性表示，且线性无关，则(二版定理7)； 向量组能由向量组线性表示，则；（定理3） 向量组能由向量组线性表示 有解； （定理2） 向量组能由向量组等价（定理2推论） 31. 方阵可逆存在有限个初等矩阵，使； ①、矩阵行等价：（左乘，可逆）与同解 ②、矩阵列等价：（右乘，可逆）； ③、矩阵等价：（、可逆）； 32. 对于矩阵与： ①、若与行等价，则与的行秩相等； ②、若与行等价，则与同解，且与的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵的行秩等于列秩； 33. 若，则： ①、的列向量组能由的列向量组线性表示，为系数矩阵； ②、的行向量组能由的行向量组线性表示，为系数矩阵；（转置） 34. 齐次方程组的解一定是的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明； ①、 只有零解只有零解； ②、 有非零解一定存在非零解； 35. 设向量组可由向量组线性表示为：（题19结论） （） 其中为，且线性无关，则组线性无关；（与的列向量组具有相同线性相关性） （必要性：；充分性：反证法） 注：当时，为方阵，可当作定理使用； 36. ①、对矩阵，存在， 、的列向量线性无关；（） ②、对矩阵，存在， 、的行向量线性无关； 37. 线性相关 存在一组不全为0的数，使得成立；（定义） 有非零解，即有非零解； ，系数矩阵的秩小于未知数的个数； 38. 设的矩阵的秩为，则元齐次线性方程组的解集的秩为：； 39. 若为的一个解，为的一个基础解系，则线性无关；（题33结论） 5、相似矩阵和二次型 40. 正交矩阵或（定义），性质： ①、的列向量都是单位向量，且两两正交，即； ②、若为正交矩阵，则也为正交阵，且； ③、若、正交阵，则也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 41. 施密特正交化： ； ; 42. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； 对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 43. ①、与等价 经过初等变换得到； ，、可逆； ，、同型； ②、与 ，其中可逆； 与有相同的正、负惯性指数； ③、与相似 ； 44. 相似一定合同、合同未必相似； 若为正交矩阵，则，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 45. 为对称阵，则为二次型矩阵； 46. 元二次型为正定： 的正惯性指数为； 与合同，即存在可逆矩阵，使； 的所有特征值均为正数； 的各阶顺序主子式均大于0； ；(必要条件) PAGE 【MeiWei_81重点借鉴文档】