[word doc]巧用三角形三边关系定理求线段的取值范围

[word doc]巧用三角形三边关系定理求线段的取值范围 巧用三角形三边关系定理求线段的取值范 围 数理化学习(版 (2)因为E点在抛物线上, 所以,n=4一4×6+5=一3. 因为直线Y=kx+b过点c(o,5), E(4,,3), 所以』65,解得:一2,b:?5. L4+b=,3. 设直线Y=一2x+5与轴的交点为D, 当=0时,,2x+5=0,解得=?. 所以D点的坐标为(?,0).. , 二 既以S=SDc+SBDE = 告×(5一寻)×5+下1×(5一?)×3 = 10. (3)因为抛物线的顶点(3,一4)既在抛 物线的对称轴上又在抛物线上,所以点(3, 一 4)为所求满足条件的点. (4)除P.点外,在抛物线上还存在其它的 点P使得?尸为等腰三角形. 主主一/所以分另0以A,B———?—-{『_—+为圆心半径长为4画\I\ 圆,分别与抛物线交于r一喜,P3,图l6P,JP,除去B,A两个… 巧用三角彤兰边关系j宅理求线段 的取值范围 江苏省江阴市第二中学(214400)陆芝英 三角形的三边关系定理为:三角形任意两 边之和大于第三边(或任意两边之差小于第三 边).简单记为:两边之差(取绝对值)<第三 边<两边之和.它是三角形中最基本的定理之 一 ,在初中数学中有着广泛的应用.巧用三边关 系定理求线段的取值范围是常见的型,在学 习过程中学生往往感到困难,无从下手,现举例 说明, ? 】O? 一 ,已知两边,求三角形第三边的取值范围 例1若三角形的两边长分别为6,7,则第 三边长0的取值范围是一 析解:根据三角形三边关系定理,有7—6 <n<7+6,故.的取值范围是l<口<13. 二,已知两边.求三角形第三边中线的取值 范围 例2三角形两边长为3,5,则第三边中线 2010年第11期 d的取值范围是多少? 析解:设法将AB,AD, AC三条线段集中到同一三 角形中是解决问题的关键 所在.如图1,延长AD至点 E,使DE=AD=d,连结 BE.易证明?ADC aEDB,从而得到BE=3, 这样就把已知条件集中在 AABE中了,由三角形三 条边的关系定理得到d的 取值范围. 图1 如图1,AABC中,AB=5,AC=3,AD是 BC的中线,且AD=延长AD至点E,使DE= AD=d,连结BE.则AE:2d. 因为AD是中线,所以BD=CD, 在aADC和aEDB中, rBD=CD(已证) {LEDB=AADC(对顶角相等) ED=AD(作图) 所以aADCAEDB, 所以EB=AC=3. 在AABE中, . ABBE>AE I(三角形两边之和大于第三条边)jB, BE<AE, (三角形两边之差小于第三边) 即f+:>2d,解之,得1<d<4.【5— 3<2d.. 一 般地:三角形的两边长分别为a,b(a> b),则第三边上的中线P的取值范围是: {一(n—b)<P<?(口+6). 这道题把证明三角形 全等与三角形的三边关系 的知识点综合在一起,需 要运用”倍长中线”的方 法,是一道典型的题目. (当然,也可通过取 BD.C 图2 AB中点F,连DF,如图2,利用三角形中位线定 理求得DF:1.5,AF=2.5,在AADF中直接 求得1<d<4) 三,已知三角形两边上的高lt;竽+, 所以<1<5 , 19即<h<12 . 一 般地:已知三角形两边上的高h.,h,则 第三边上的高线h取值范围是: … 格 四,已知等腰三角形周长求腰长的取值范 围 例4已知等腰AABC的周长为l0,求腰 长的取值范围. 析解:设一腰长为,则底边为lO一2,则 2x>10—2(三角形两边之和大于第三边),故 >?.—<10—2x(三角形两边之差小于第 三边),故<5,则?<<5. ,f , , \ \ \ 数理化学习(初中版 五,已知平行四边形两对角线长求一边的 取值范围 例5如图3,在平行四 边形ABCD中,已知对角线 AC和BD相交于点0,BD= D 10,AC:6,求/iB的取值范BC 围?图3 析解:由平行四边形性 质得, AO=3,BO=5, 在AABO中,5—3<AB<5+3, 即2<AB<8. 六,已知平行四边形一边与一对角线长,求 另一对角线的取值范围 例6如图4,在平行四 边形ABCD中,已知对角线 AC和BD相交于点0,AB= 8,AC:6,求对角线8D的BC 取值范围?图4 析解:由平行四边形性 质僻,AO:3,又AB=8,在AABO中,8—3< BO<8+3. 即5<5’0<ll,而BD=2BO, 故10<BD<22. 七,已知梯形的两底和一腰长,求另一腰的 取值范围 例7如图5,梯形 ABCD的上底AB=3.下底 CD=8,腰AD=4,求另一 ? 12? 八,已知梯形的两腰长,求两底中点连线的 取值范围. 例8如图6,在梯 彤ABCD.ADfBC. E,分别是AD,BC的中 点,AB=a,DC=b(a> b),连接EF,求EF的取 值范围. AED BGFHC 图6 析解:过点分别作AB,CD的平行线,交 BC于点G,H,可得 AE:BG,ED=HC,G,=FH, 所以EF为?GEH的中线,由例2结论知, 11 ?(0一b)<EF<1(n+b).二二 九.已知任意四边形的一组对边长,求另一 组对边中点连线的取值范围 例9已知:如图7. 任意四边形中,,?分别 是AD,BC的中点,AB=a, DC:b(a<b). 求:MN的取值范围. 析解:连BD取BJD的图7 中点G,连MG,NG,则MG, NG分别为AABD和ABDC的中位线, MG:B:口, NG=?c=?6, 在AMNG中,由三角形三边关系定理得. ?(b一0)<MN<?(?+6). 评注i在求线段的取值范围的题目中,蕴含 了较多的数学技巧,牵涉到不少辅助线的作法, 如倍长中线法,取中点法,平移腰长法等,需要 同学们在学习过程中慢慢体会.但解决问题的 关键是将不在同一三角形中的三条线段集中在 某一三角形中,然后利用三角形三边关系定理 解决. (初二)