聚点·内点·界点

聚点·内点·界点 一、邻域 x,,,若，，则V(x,,),y,R:d(x,y),,称为的邻域. x,R,,0 x若,,并且有,使,则称为的一个邻域. x,R,,0V(x,,),EE,RE定理1.7.1 是其每一点的邻域. V(x,,) ,,,证明：若，则.取.则对任何,,,0V(x,,)d(x,y),d(x,y)y, ,由距离所满足的三角不等式知 z,V(y,,) d(z,x),d(z,y)，d(x,y),,，d(x,y),, 即.由此.由定义是的邻域. V(x,,)V(y,,)V(x,,)V(x,,)z,,y二、内点、聚点、孤立点 设,. x,RE,R xx若是的邻域，则称是的内点；的内点全体称为的内核，EEEE 0xx记为；若的任一邻域与有非空交，则称为的附着点；，的EEEE 附着点全体称为的闭包，记为. EE xx,,(V,x):E,若对的任何邻域V都有φ，则称为的聚点；的EE ,xx聚点全体称为的导集，记为；若x,E但不是的聚点，则称EEE 为的孤立点. E ,x,,,x,x定理1.7.2 x的充分必要条件是有中点列，使且EEnnx,x. n 证明：充分性由聚点定义立即可知. ,x,现证必要性.首先证明：若,,,0，则对，V(x,,)中必含有的EE ,,0V(x,,)无穷多个点.事实上，如果对某个，只含有的有限多个E00 ,,,,min|x,x|,|x,x|,？,|x,x|x,x点，k,1,2,？,n，令，则12nk ,x,，，,,V(x,,),x:E,φ，与矛盾. E 1,,，，,,x,V(x,,),x,x,x,？,x:E其次，设x,E，取，则有使nnn12n,1nn x,xx,x且. nn ,E,E:E容易证明，对任何，. E,R x,E,,xx,x定理1.7.3 的充分必要条件是有中点列，使. Enn x,E证明：充分性由闭包的定义是显然的.现证必要性.因，则对 ,x,x,x,,,0x,Ex,EV(x,,):E,，φ，若，则取；若，则，由En 定理1.7.2得证. 0,E,[0,1]例题1.7.1 设[0,1]是中全体有理点.则在中，φ，E,ER ,E,E:E,[0,1]. 20,如果在R中考察点集，那么、E、E分别是怎样的点集？ EE 00,,定理1.7.4 (i)设，则，A,B，A,B； A,BA,B ,,,(A:B),A:B(ii) ,,，由(i)知A,(A:B)，同理A,A:B证明：只证(ii)式.因 ,,,,,,B,(A:B)，从而A:B,(A:B).另一方面，设x,(A:B)，则由定理 ,,,1.7.2，存在中点列,,，使且.若，则；x,xx,Axx,xx,A:BA:Bnnn ,若,,，则中至多有有限多个点属于，其余无限个点属于，x,AxABn ,,,,,,,,,即.故.这样又有(A:B),A:B.所以(A:B),A:B. x,Bx,A:B A:B,A:B例题1.7.2 A,A:B证明：因A,A:B，B,A:B，由定理1.7.4(i)得， B,A:BA:B,A:B，从而. ,,,(A:B),A:B另一方面，由定理1.7.4(ii)式知，，又由闭包定义A:B,A:BA:B,A:B得.所以. ,下面的定理告诉我们，在什么情况下φ. E, 定理1.7.5 (Bolzano-Weierstrass)中任一有界无限点集至少有一R 个聚点. 证明方法与数学中相同.