数学期望和方差

数学期望和方差 练习四 1,设离散型随机变量X具有概率分布律: X 0 1 2 3 ,2 ,1 p 0,1 0,2 0,2 0,3 0,1 0,1 k 2试求E(X)～ E(X，5)～ E(|X|), 2. 设随机变量X的分布律为 X -2 0 2 p 0.4 0.3 0.3 k 22求E(X),E(X),E(3X，5). 3. 设随机变量(X，Y)的分布律为 X 1 2 3 Y -1 0.2 0.1 0.0 0 0.1 0.0 0.3 1 0.1 0.1 0.1 (1)求E(X),E(Y). (2)设Z=Y/X，求E(Z). 2Z,(X,Y)(3)设，求E(Z). 4.一工厂生产的某种设备的寿命X(以年计)服从指数分布，概率密度为 1,,x/4e,x0,,,f(x),4, ,0,x0.,, 工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换(若工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元(试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望( 5 .设在某一规定的时间间隔里(某电气设备用于最大负荷的时间X(以min计)是一个随机变量，其概率密度为 1,,0,,1500,xx2,1500,,1,(,3000),1500,,3000,xx,2 f(x)= 求E(X). 1500, ,0,其他. ,, ,x,,e,x0,,f(x)6. 设随机变量X的概率密度为 ,,0,x0., ,2x求(i)Y=2X;(ii)的数学期望。 Y,e 7. 设随机变量(X,Y)的概率密度为 2,12,0,,,1,yyx(,),fxy, 0,其他., 22E(X),E(Y),E(XY),E(X，Y).求 25X8. 设电压(以V计)X~N(0,9)，将电压施加于一检波器其输出电压为Y,， 求输出电压Y的均值( 9. 设随机变量的概率密度分别为 X,X12 ,2x,4x,,,,2e,x0,4e,x0, ,,f(x)f(x),, 12,,0,x0,0,x0.,, 2(1)求 E(X，X),E(2X,3X).1212 (2)又设相互独立，求 X,XE(XX).1212 10. 将n只球(1~n号)随机地放进n个盒子(1~n号)中去，一个盒子装有一 只球。若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对。记X为总的配对数， 求E(X). 11. 设长方形的高(以m计)X~U(0,2)，已知长方形的周长(以m计)为20.求 长方形面积A的数学期望和方差。 X,X,X,X12.(1)设随机变量相互独立，且有 1234 1E(X),i,D(X),5,i,i,1,2,3,4.设Y,2X,X，3X,X.求E(Y),D(Y). ii12342(2)设随机变量X，Y相互独立，且 22的分布，并求概率X~N(720,30),Y~N(640,25),求Z,2X，Y,Z,X,Y12 P{X>Y},P{X+Y>1400}. 13. 设随机变量(X，Y)的分布律为 Y -1 0 1 X -1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8 验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的。 14. 设随机变量(X，Y)具有概率密度 1,|y|,x,0,x,1,, f(x,y),, 0,其他., 求E(X), E(Y), Cov(X,Y). 15. 设随机变量(X，Y)具有概率密度 1,(x，y),0,x,2,0,y,2,,f(x,y),8 , ,0,其他., 求E(X),E(Y),Cov(X,Y)，，D(X+Y). ,XY 16,设已知三个随机变量X～ Y～ Z中～ E(X),1～ E(Y),2～ E(Z),3～ D(X),9～ D(Y),4～ 111,,,D(Z),1～ ～ ～ , ,,,,XYXZYZ342 (1)求E(X，Y，Z), (2)D(X，Y，Z), (3)D(X,2Y，3Z), 17,设随机变量X具有概率密度 ,0x,0,, f(x),x0,x,1,,x,Aex,1, (1)求常数A, (2)求X的数学期望, 18,设随机变量X的概率密度为 ,x,,xex0,f(x), ,0x,0, ,3X求E(3X)～ E(,2X，5)～ E(e), 19,求第1中X的方差D(X), 1 20,设随机变量(X～ Y)具有联合概率密度 -1 1 1,,|x|，|y|,1f(x,y),～ 2,-1 ,0其他, 试求(1)X的边缘密度, (2) Y的边缘密度, (3)E(X)～ D(X), (4)E(Y)～ D(Y), (5)X与Y是 否不相关,(6)X与Y是否相互独立, 参考解答 1.解 0.4～ 7.2～ 1.2. ，2，3,6. 16. 解 (1)E(X，Y，Z),E(X)，E(Y)，E(Z),1 (2) D(X，Y，Z),D(X)，D(Y)，D(Z) ，2,D(X)D(Y)，2,D(X)D(Z)，2,D(Y)D(Z) XYXZYZ 111 . ,9，4，1，2，，9，4，2，(,)，9，1，2，，4，1,19234 (3)D(X,2Y，3Z),D(X)，4D(Y)，9D(Z) ,4D(X)D(Y)，6D(X)D(Z),12D(Y)D(Z),,, XYXZYZ 111 ,9，4，4，9，1，4，，9，4，6，(,)，9，1,12，，4，1,10234 ，,1，,1e,x,11()17. 解(1)由～ 得, A,,fxdx,xdx，Aedx,，Ae,,,,,0122 1，,，,4e2x,()() (2)解 EX,xfxdx,xdx，xedx,,,,01,,23 ，,，,2x,E(X),xf(x)dx,xedx,2 18. 解 因为～ 所以 ,,0,, E(3X),3E(X),3，2,6～ E(,2X，5),,2E(X)，5,,2，2，5,1. ，,，,，,13334Xxxxx,,,,, ()()Ee,efxdx,e,xedx,xedx,,,,00,,16 2222222 19,解E(X),(,2)，0.1，(,1)，0.2，0，0.2，1，0.3，2，0.1，3，0.1 ,2.2～ 22 D(X),E(X),[E(X)],2.04. 1,,,|x|，|y|,1f(x,y), 20. 解 , 2, ,0,其它, (1)当|x|,1时～ f(x～ y),0～ 所以f(x),0, X ,1,|x|1 当,1,x,1时～ ～ ()(,)fx,fxydy,dyX,,,,,(1,|x|)2 1,|x|,当|x|,1,所以, f(x),,X0,其它, 1,|y|,当|y|,1, (2)同理得, f(y),,Y0,其它, ,1E(X),xf(x)dx,x(1,|x|)dx,0 (3)～ X,,,,,1 ,1122 , ()[()]()(1||)DX,x,EXfxdx,x,xdx,X,,,,,16 1 (4)由对称性知E(Y),0～ . D(Y),6 ,,,x11||1E(XY),xyf(x,y)dxdy (5) ～ ,[xydy]dx,0,,,,,,,,,,,x1(1||)2 所以cov(X～ Y),0～ X和Y不相关. (6)因为f(x～ y),f(x),f(y)～ 所以X与Y不相互独立, XY