2011-2012学年高三数学(文理科)秋期期中考试题(含答案)

南阳市一中2011年秋期期中考试 高三数学试题 命题人：徐香丽 一、选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．设集合 ，则下列关系中正确是 A．A=B    B．     C．     D． 2．已知 等于 A．           B．7        C．         D．-7 3. 下列选项叙述错误的是                                          A. 命题“若 ，则 ”的逆否命题是“若 ，则 ” B.若命题P： ，则 ： C.若 为真命题，则 ， 均为真命题 D. “ ”是“ ”的充分不必要条件 4.设 ，则                               A.     B.     C.       D. 5．函数的 图像如图1所示,则函数 的图像大致是 A．            B．            C．            D． 6．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外， =16， ，则 A．8            B．4         C．2          D．1 7．已知a是函数 的零点，若 的值满足    A．     B．     C．     D． 的符号不能确定 8．各项都是正数的等比数列{ }的公比q ≠ 1，且 ， ， 成等差数列，则 的值为                A．           B．     C． 　    D． 或 9．若函数 K*s^5#u的定义域被分成了四个不同K*s^5#u的单调区间，则实数 K*s^5#u的取值范围是                                                    　 A．     B．   　C．   D. 10．若实数x，y满足 则 的取值范围是 A．         B．         C．[3，11]        D． 11．已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，      ，若有穷数列 （ ）的前 项和等于 ，则n等于                                                          A．4      B．5         C．6        D． 7 12．如果函数f(x)在区间D上满足，对区间D上的任意x1,x2,…,xn,有： 则称f(x)在区间D为凸函数，已知y =sinx在区间（0， ）上是凸函数;在ΔABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为 A．         B．           C.       D. 二、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分) 13．（文科）已知 ，若 的零点个数不为 ，则 的最小值为      13．（理科） ＝        ． 14. 曲线 在点（0，1）处的切线方程为            ； 15. 如图，在△ABC中， = 。 16．设函数 ，若 为奇函数， 则当 时， 的最大值为    　               三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分10分） 已知命题 ：方程 在 上有且仅有一解；命题 ：存在实数 使不等式 成立，若命题“ ”是真命题，求 的取值范围. 18．（本小题满分12分） 已知点M ，N (a∈R，a是常数)，且 ，(O是坐标原点) . （1）求y关于x的函数关系式y=f(x)及单调递增区间； （2）若方程 在 上有两个不同的实根，求 的取值范围. 19．（本小题满分12分） 已知数列 的通项公式 ，已知数列 的通项公式 ，求数列 的前n项和 20．（本小题满分12分） 某地某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似地为半径是R的圆面．该圆面的内接四边形ABCD是原棚户建筑用地，测量可知边界AB= AD= 4万米，BC=6万米，CD=2万米．请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径R的值； 21. （本小题满分12分） 某地发生特大地震和海啸，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质后，决定往水中投放一种药剂来净化水质。已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该 药剂在水中释放的浓度y（毫克/升）满足 . 当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水口释放的浓度不低于4（毫克/升）且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化。 （ ）如果投放的药剂质量为m=4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？ （ ）如果投放的药剂质量为m，为了使在7天（从投 放药剂算起包括7天）之内的自来水达到最佳净化，试确定该投放的药剂质量m的值。 22.（文科）（本小题满分12分） 已知函数 （1）确定y=f(x)在 上的单调性。 （2）设 上有极值，求a的取值范围。 22. （理科）（本小题满分12分）设函数 （1）当 时，求 的最大值； （2）令 ，（0 ≤3），其图象上任意一点 处切线的斜率 ≤ 恒成立，求实数 的取值范围； （3）当 ， ，方程 有唯一实数解，求正数 的值. 南阳市一中2011年秋期期中考试 高三数学试题参考答案 一、选择题：  D A C D D    C C B A A    B C 二、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分) 13. 文科1 理科3    14.   ;  15 ；  16.  三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说 明,证明过程或演算步骤. 17.解：由 ，得 ， ∴ ,                        ………………………………2分 又方程 在 上有且仅有一解， ∴ .                          ………………………………4分 ∵存在实数 满足不等式 ∴ 解得           ……………………6分 ∵命题“ ”是真命题，∴  命题p是假命题、命题q是真命题. ∴ 的取值范围为                  …………10分 18．解（1）依题意可知： …………（3分） 由 得： 所以函数 的单调递增区间为 ……（6分） （2） , ，方程 即 ， 令 ， 方程 的根的个数也即函数 与 图象交点的个数, 作图像可知，方程有两个实根需满足 或 ，所以， 或   的取值范围是         ……………………  （12分） 19.解： …………（4分） 记 ①  ……………………  （6分） ② ①-②得 （10分） ……………………（12分） 20．（本小题满分12分）解：因为四边形ABCD内接于圆，所以∠ABC +∠ADC = 180°，连接AC，由余弦定理：AC2 = 42 + 62 – 2×4×6×cos∠ABC = 42 + 22 – 2×2×4 cos∠ADC．所以cos∠ABC = ，∵∠ABC∈(0， )，故∠ABC = 60°． S四边形ABCD = ×4×6×sin60°+ ×2×4×sin120° = 8 （万平方米）．                      ……………………    （6分） 在△ABC中，由余弦定理：AC2 = AB2 + BC 2– 2AB·BC·cos∠ABC = 16 + 36 – 2×4×6× ．    AC = ．        ……………  （8分） 由正弦定理 ， ∴ ∴ （万米）．  …………………… （12分） 21.解：（1）当m=4时，         ------------------------2分 当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）时称为有效净化 ∴当 时， ，得 当 时， ，解得 故自来 水达到有效净化一共可持续8天                    ------------------------6分 （2）为了使在7天（从投放药剂算起包括7天）之内的自来水达到最佳净化 即前4天和后3天的自来水达到最佳净 化 ∴当 时， 在 恒成立，得 在 恒成立，∴           ------------------------9分 当 时， 在 恒成立，同理得 ，则   即投放的药剂质量m的值为                                 ------------------12分 22.（文科）解：（1） 设 则 （2）由 若 若 上有极值的主要条件是 在（0，2）上有零点。 解得 综上： 22．（理科）解：（1）依题意，知 的定义域为（0，+∞），当 时， ，   …（2分） 令 =0，解得 .（∵ ）当 时， ，此时 单调递增；当 时， ，此时 单调递减，当 时， .因为 有唯一解，所以 的极大值为 ，此即为最大值 …（4分） （2） ， ，则有 ≤ ，在 上恒成立，所以 ≥ ， 当 时， 取得最大值 ，所以 ≥     ……… ………（8分） （3）因为方程 有唯一实数解，所以 有唯一实数解， 设 ，则 .令 ， .因为 ， ，所以 （舍去）， ， 当 时， ， 在（0， ）上单调递减， 当 时， ， 在（ ，+∞）单调递增 当 时， =0， 取最小值 . 则   即 所以 ，因为 ，所以 （*） 设函数 ，因为当 时， 是增函数，所以 至多有一解.因为 ，所以方程（*）的解为 ，即 ，解得 . ……… ……………… ……………… …………12分