圆周率的历史

圆周率的历史 学院:数学与系统科学学院 专业:数学与应用数学 学号:11304103 姓名:刘杨 浅谈圆周率简史 摘要: ,圆周率，一般以来表示，是一个在数学及物理学普遍存在的数学常数。它的定义为圆形之周长与直径之比。它也等于圆形之面积与半径平方之比。是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关 ,键。分析学上，可定义为是最小的使得。 x,0sin0x, 正文: , 2012年5月2日数学简史2常用的近以值包括疏率:22/7 及密 ,率: 355/113。这两项均由祖冲之给出。约等于(精确到小数点后第100位) 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70680 2012年5月2日数学简史3古希腊欧几里得的《几何原本》(约公 元前3世纪初)中提到圆周率是常数，中国古算《周髀算经》(约公元前2世纪)中有「径一而周三」的记载，也认为圆周率是常数。历史上曾采用过圆周率的多种近似值 ，早期大都是通过实验而 ,得到的结果，如古埃及纸草书(约公元前 1700)中取=(4/3)^4?3.1604 。 2012年5月2日数学简史4第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他在《圆的度量》(公元 前3世纪)中用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，从正六边形开始，逐次加 ,倍计算到正96边形，得到(3+(10/71)) < < (3+(1/7)) ，开创了圆周 率计算的几何方法(亦称古典方法，或阿基米德方法)，得出精确到 ,小数点后两位的值。 2012年5月2日数学简史5中国数学家刘徽在注释《九章算术》 ,时(公元263年)只用圆内接正多边形就求得的近似值，也得出精 ,确到两位小数的值，他的方法被后人称为割圆术，其中有求极限的思想。 2012年5月2日数学简史6南北朝时代的数学家祖冲之利用割 ,圆术进一步得出精确到小数点后7位的值(公元 466年)，给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得到两个近似分数值，密率355/113和约率22/7，这一纪录在世界上保持了一千年之久。为纪念祖冲之对中国圆周率发展的贡献，将这一推算值用他的名字被命名为“祖冲之圆周率”， 简称“祖率”。 2012年5月2日数学简史7其中的密率在西方直到1573才由德国人奥托得到，1625年发表于荷兰工程师安托尼斯的著作中，欧洲称之为安托尼斯率。阿拉伯数学家卡西在15世纪初求得圆周率17位精确小数值，打破祖冲之保持近千年的纪录。德国数学家柯伦于1596年将π值算到20位小数值，后投入毕生精力，于1610年算到小数后35位数，该数值被用他的名字称为鲁道夫数。 ,2012年5月2日数学简史8除的数值计算外，它的性质探讨也 ,吸引了众多数学家。1761年瑞士数学家兰伯特第一个证明是无理 2数。1794年法 国数学家勒让德又证明了也是无理数。到1882年, ,德国数学家林德曼首次证明了是超越数，由此否定了困惑人们两千 ,多年的「化圆为方」尺规作图问题。 还有人对的特征及与其它数 e,字的联系进行研究。如1929年苏联数学家格尔丰德证明了是超越数等等。 2012年5月2日数学简史9在历史上, 有不少数学家都对圆周率作出过研究, 圆周率作出过研究,当中著名的有阿基米德、托勒密、张衡、 的有阿基米德、祖冲之等。他们在自己的国家用各自的方法, 辛辛苦苦地去计算圆周率的值。下面,就是世上各个地方对圆周率的研究 成果。 2012年5月2日数学简史10研究圆周率历史的几个阶段承起 ,2012年5月2日转数学简史接11起巴比伦〕〔巴比伦〕= 25/8 = 3.125 【起】即为圆周率的起源，那究竟是谁先发现它,古巴比伦人从计算周界发现:一块出土于1936年的黏土块上记载，在古巴比伦时期 (约公元前1900-1600年) ，巴比伦人相信六边形的周界为0;57,36 (以底数 60 计，亦即 = 96/100 = 24/25) 乘以它的外接圆的周界:六边形周界= 24/25 ′其外接圆周界= 24/25 ′ π ′直径，由此，得出相信是最古老的圆周率的近似值。 2012年5月2日数学简史12承【承】是承继安提丰和布赖森的「穷举法」而发展的一个时期:以「多边形」找寻圆周率的值 2012年5月2日数学简史13古希腊西那库斯的阿基米德(Archimedes of Syracuse，公元前 287 - 212年)，是第一个有系统地找出圆周率的近似值和圆周率的上下限的数学家。他采用了安提丰和布赖森的「穷举法」，但他的研究重点则在多边形的周界。阿基米德 在《圆的度量》(The Measurement of the Circle)中，提出三个有关圆 ,的定理。即:3.14084... < < 3.14285... 2012年5月2日数学简史14刘徽是独立开创以多边形面积迫近圆面积的穷举法,「割圆术」来找出圆周率的值的。最后，刘徽更求 ,得正3072边形的面积，从而得出:= 3927/1250 = 3.1416 即π的值准确至小数后三个位，后人称为「徽率」。 2012年5月2日数学简史15祖冲之运用了刘徽的「割圆术」及他无比的耐性与坚持(当时并没有算盘等计算工具，只能靠小竹子帮 ,助计算，但他实质的计算方法则无从确定)，算到: 3.1415926 < < ,3.1415927他还发现了「约率」:祖冲之更取= 22/7(= 3.14...)作为 ,「约率」: = 355/113(= 3.1415929)作为「密率」，以表示圆周率的近似值。「祖率」:是圆周率的值准确至小数后7个位，后称3.1415926。 2012年5月2日 数学简史16转【转】是寻求圆周率的一个转折点。圆周率的计算有了新的突破以解析表达式表示及求出圆周率的值。 2012年5月2日 数学简史 17 接「接」是紧接着以上发现的很多计算圆周率值的公式所延伸的一个时期:随着科技的突飞猛进，计算机的发明，令圆周率的计算速度有了新的突破。 2012年5月2日 数学简史 18 圆周率的研究方法古人计算圆周率，一般是用割圆法。即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。 Archimedes用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度;刘徽用正3072边形得到5位 精度; Ludolph Van Ceulen用正262边形得到了35位精度。这种基于几何的算法计算量大，速度慢，吃力不讨好。随着数学的发展，数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式。下面挑选一些经典的常用公式加以介绍。除了这些经典公式外，还有很多其它公式和由这些经典公式衍生出来的公式，就不一一列举了。 2012年5月2日 数学简史 19 1、 Machin公式:这个公式由英国天文学教授John Machin于1706年发现。 他利用这个公式计算到了100位的圆周率。Machin公式 每计算一项可以得1.4位的十进制精度。因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数，所以可以很容易地在计算机上编程实现。 2012年5月2日 数学简史 20 2、 Ramanujan公式:1914年，印度数学家Srinivasa Ramanujan在他的论文里发表了一系列共14条圆周率的计算公式，这是其中之一。这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度。1985年Gosper用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位。 2012年5月2日 数学简史 21 3、AGM(Arithmetic-Geometric Mean) 算法: Gauss-Legendre公式: 初值: 重复计算: 最后计算: 2012年5月2日 数学简史 22 4、Borwein四次迭代式: 初值: 重复计算: 最后计算: 这个公式由Jonathan Borwein和Peter Borwein 于1985年发表，它四次收敛于圆周率。 2012年5月2日 数学简史 23 5、 Bailey-Borwein-Plouffe算法:这个公式简称BBP公式，由David Bailey, Peter Borwein和Simon Plouffe于1995年共同发表。它打破了传统的圆周率的算法，可以计算圆周率的任意第n位，而不用计算前面的n-1位。这为圆周率的分布式计算提供了可行性。1997年，Fabrice Bellard 找到了一个比BBP快40,的公式: 2012年5月2日 数学简史 24圆周率的最新计算纪录由两位日本人Daisuke Takahashi和Yasumasa Kanada所创造。他们在日本东京大学的IT中心，以Gauss-Legendre算法编写程序，利用一台每秒可执行一万亿次浮点运算的超级计算机，从日本时间1999年9月18日19:00:52起，计算了37小时21分04秒，得到了圆周率的206,158,430,208(3*236)位十进制精度，之后和他们于1999年6月27日以Borwein四次迭代式计算了46 小时得到的结果相比，发现最后45位小数有差异， 因此他们取小数点后206,158,430,000位的值为本次计算结果。这一结果打破了他们于1999年4月创造的68,719,470,000位的世界纪录。 人类追寻圆周率的历史至今已有四千多年，每一次都会有所新的进步，人类从来没有停止这个脚步。我们也要有这样的精神，追逐发展的脚步，了解历史，并将数学史的内容传承。