计算星期几

计算星期几 要知道几十天以后的某一天是星期几，这是不难的，因为只要计算一下被7除的余数就可以了。但是，如果要知道几十年以后的某一天是星期几，那就比较困难了，因为在这段时间里有闰年，而且，每个月所含的天数也不一样。在这一节，我们要给出一个公式，可以方便地解决这个问题。 按现行的公历历法，每年有365天，若这一年是闰年，则有366天，二月有二十九天。闰年是这样确定的:公元年份数不被100整除但被4整除，或者年份数被400整除。 如果某一年是闰年，这一年的二月比正常年份的二月多一天，这样，从这一年的三月一日开始，星期数都受到这闰月的影响，同时，这一年的一月和二月里的星期数却不受影响。这样，就使得同一年里的计算有些不方便。所以，为了计算方便，我们把三月一日作为计算星期数的基点。 1600年以来，全世界大部分地区使用现行的公历历法。因此，我们考虑一个从1600年起使用的计算星期几的公式。 以下，我们使用记号: N = 100c ， y示年份，其中0 , y , 99; m表示月份，m = 1表示三月，m = 2表示四月，？ ？，m = 12表示二月; d(m)表示第N年m月1日的星期数。 N 假设d(1)是已知的，我们首先计算d(1)，即第N年3月1日的星期数。1600N 我们知道:如果没有闰月，一年有365天，因为 365 , 1 (mod 7)， 所以，每过一个正常年，星期数就增加1;每过一个闰年，星期数就增加2。 以r表示从1600年到N年的闰年数，我们得到 d(1) , d(1) ， N – 1600 ， r (mod 7)。 (1) N1600 由闰年的确定，我们有 100c，y,1600100c，y,1600100c，y,1600r,,， [][][]4100400 yy100c，y ,25c，[],400,c,[]，16，[],44100400 yy100c，y (2) ,[]，24c,[]，[],388。4100400 设c = 4q ， s，0 , s , 3，那么，由于0 , y , 99，100s ， y < 400，所以 y100s，y[],0，[]= 0， 100400 因此，由式(2)得到 y400q，100s，y r,[]，24c，[],3884400 y ,[]，24c，q,3884 yc , (3) ,[]，24c，[],38844 d(1),d(1)，N,1600，r N1600 yc ,d(1)，100c，y,1600，[]，24c，[],388160044 yc (4) (1)2[][](mod7)。,d,c，y，，160044 为了确定d(1)的数值，我们把一个已知的数据代人式(4)，例如，我们知1600 道1998年3月1日是星期日，即d(1) , 0 (mod 7)，代人式(4)，得到 1998 9819[]，[]0 , d(1) , 2,19 ， 98 ，, d(1) ， 4 (mod 7)， 1600160044 所以d(1) , 3，即1600年的3月1日是星期三。将这个数值代人式(4)，得到 1600 yc，[][]d(1) , 3 , 2c ， y ，(mod 7)。 (5) N44 现在，我们已经能够计算N年的3月1日是星期几。剩下的问题是如何计算这一年的m月k日是星期几。 我们先计算d(m)，即N年m月1日的星期数。容易知道: N 3 月是31天，所以 d(2) , d(1) ， 3 (mod 7)， NN 4 月是30天，所以 d(3) , d(1) ， 5 (mod 7)， NN 5 月是31天，所以 d(4) , d(1) ， 8 (mod 7)， NN 6 月是30天，所以 d(5) , d(1) ， 10 (mod 7)， NN 7 月是31天，所以 d(6) , d(1) ， 13 (mod 7)， NN 8 月是31天，所以 d(7) , d(1) ， 16 (mod 7)， NN 9 月是30天，所以 d(8) , d(1) ， 18 (mod 7)， NN 10月是31天，所以 d(9) , d(1) ， 21 (mod 7)， NN 11月是30天，所以d(10) , d(1) ， 23 (mod 7)， NN 12月是31天，所以d(11) , d(1) ， 26 (mod 7)， NN 1 月是31天，所以d(12) , d(1) ， 29 (mod 7)。 NN 现在，计算N年m月k日的星期数已经是很容易的事了。但是，我们希望找一个更简单的公式。从上面的数字可以看出，从3月1日到2月1日的11个月中，星期数“增加”了29天，平均每月“增加”2.6天，因此，我们来找一个形如[2.6m , a]的公式，其中m是月份，a是某个适当的数。经过验证，发现函数 f(m) = [2.6m , 0.2] , 2满足这些条件: f(1) = 0，f(2) = 3，f(3) = 5，f(4) = 8，？，f(12) = 29。 利用这个函数，我们得到N年m月1日的星期数是 d(m) , d(1) ， {[2.6m , 0.2] , 2 }(mod 7)。 NN 因此，N年m月k日的星期数W(N, m, k)是 W(N, m, k) = d(m) + k , 1 , d(1) ， [2.6m , 0.2] ， k – 3 (mod 7)， NN 由式(5)，得到 ycW(N, m, k) , k , 2c ， y ，，[][]， [2.6m , 0.2] (mod 7)。 (6) 44 利用上式我们就能较容易地计算出任意给定的N年m月k日的星期数的星期数W(N, m, k)了。 问:1976年8月6日是星期几, 例1 解 将N = 1976，c = 19，y = 76，m = 6，k = 6代入式(6)，得到 7619W(1976, 6, 6) , 6 – 38 ， 76 ，[]，[]， [2.6,6 – 0.2] , 5 (mod 7)， 44 即1976年8月6日是星期五。 例2 问:1978年2月24日是星期几, 解 将N = 1977，c = 19，y = 77，m = 12，k = 24代入式(6)，得到 7719) , 24 – 38 ， 77 ，[]，[]， [2.6,12 – 0.2] , 5 (mod 7)， W(1977,12,2444 即1978年2月24日是星期五。 注意，由例2我们看到，一月和二月分别是作为上一年的十一月和十二月。 习 题 一 1. 问:1948年2月14日是星期几, 问:1999年10月1日是星期几, 2.