西安工业大学高数试题及答案

西安工业大学高数试及 高等数学(?)期末参考答案 一、填空题(每小题3分，共30分) ,,,ijk,,,,(0,,2,,1)1.已知，则 . 1,12,a,(1,,1,2),b,(0,,1,2)a，b, 0,12 (1,1,1)3x，6y,2z，14,02.点到平面的距离为 . 3 (3,0,,1)3x,7y，5z,12,0且与平面平行的平面方程为 3.过点 3x,7y，5z,4,0 . ,z2y,,4.已知，则 . ,z,f(xy,2x，e)yf，2f12,x 432ttt,,5.曲线x,y,z,在相应于处的法平面方程为 t,1432 111 . (x,)，(y,)，(z,),0432 111ydxf(x,y)dydyf(x,y)dy6.交换积分的积分次序为 . ,,,,x000 222222z,x，y(0,z,1)x，y,2dxdy,zdS,,7.设,:，则. ,,,,322,x，y,1 ,,,,,,P,Q,R222，，,8.设向量，则 A,(x,yz)i，(y,zx)j，(z,xy)kdivA,,x,y,z 2(x，y，z). f(x)f(x),x(,,,x,,)9.设函数以2,为周期，且，其Fourier级数为 ,,a20，(acosnx，bsinnx),1，则 . xsin2xdx,b,,nn2,02,n1, n,1(1),1nxf(x),10.函数的麦克劳林级数为 . ,n222，x0n, 22二、(8分)求函数的极值，并指出是极大值还是极小值. f(x,y),x，xy，y，x,y,1 f(x,y),2y，x,1解: ， ， f(x,y),2x，y，1yx 1 f(x,y),02x，y，1,0,,x(,1,1)令 即 ，得驻点.由于 ,,,f(x,y),02y，x,1,0y,, ， ， ， B,f(x,y),1C,f(x,y),2A,f(x,y),2xyyyxx 且 2(B,AC),1,2，2,,3,0，, A,2,0x,,1y,1 (,1,1)则为极小值点，极小值为 f(,1,1),,2. ,n(n，1)x三、(8分)求级数的收敛域及它的和函数. ,n0, ,annn，1(n，1)(,1)R,1解:由于 ，则，当时，级数均x,,1lim||,lim||,1,n,,n,,an，1n,0n (,1,1)发散，所以收敛域为.设 ,ns(x),(n，1)x， ,n0, 则 ,,xxxnn1，s(t)dt,[(n，1)tdt],x,， ,,,,001,xn0n0,,于是 ,xdx1,,,,s(t),s(t)dt,, . ,,,,2,0,,dx1,x(1,x),, 4232222L四、(8分)计算，其中是抛物线(5x，3xy,y)dx，(3xy,3xy，y)dyy,x,L (0,0)(1,1)上自点到点的一段弧. 423222解:，在xoy面偏导数连续，P(x,y),5x，3xy,yQ(x,y),3xy,3xy，y 且 ,P,Q2,,6xy,3y， ,y,x (0,0),(1,0),(1,1)则曲线积分与路径无关，取折线段，则 2 423222 (5x，3xy,y)dx，(3xy,3xy，y)dy,L 114223222,(5x，3x,0,0)dx，(3，1,y,3，1,y，y)dy ,,00 3111,1，(,1，),. 236 五、(8分)计算曲面积分，其中是由,I,x(y,z)dydz，(z,x)dzdx，(x,y)dxdy,,, 22z,0,z,3柱面，平面所围立体面的外侧. x，y,1 22P(x,y,z),x(y,z),Q(x,y,z),z,x,R(x,y,z),x,y解:在柱面，x，y,1 z,0,z,3所围立体,上偏导数连续，则由高斯有 平面 I,x(y,z)dydz，(z,x)dzdx，(x,y)dxdy,,, ,P,Q,R,(，，)dv,(y,z)dv ,,,,,,,x,y,z,, (第一个积分为，想想为什么,) 0,ydv,zdv,,,,,,,, 339201. ,,zdzdxdy,,z,,dz,,,,,,,002Dz 六、(8分)求下列方程的通解: y,xy,yln1. x yyyy,,,,y,u，xu,y,lnxy,yln解:，方程为齐次微分方程;设，则，u,xxxx dudx,代入得 ， u(lnu,1)x 11两端积分 d(lnu,1),dx,,lnu,1x ln(lnu,1),lnx，lnC即 或 lnu,Cx，1 yCx，1将代回得 u,y,xex 2x,,,2.. y，4y，3y,e 解:方程为二阶非齐次线性微分方程，对应齐次线性微分方程的特征方程 22xr，4r，3,0,,2的特征根为;中不是特征方程的根，则f(x),er,,1,r,,312 3 1*2x特解形式为，代入得，在由解的结构得方程的通解为 y,AeA,15 1,x,3x2x,，， yCeCee1215 u，uu,unnnnw,v,七、(10分)设，，证明: nn22 ,, uv1.若级数绝对收敛，则级数收敛; ,,nnn,1n,1 ,,,11u|u|u证:由于绝对收敛，即收敛，则也收敛，又，v,|u|，u,,,nnnnnn22n,1n,1n,1 , v由性质知收敛. ,nn,1 ,, uw2.若级数条件收敛，则级数发散. ,,nnn,1n,1 ,,u,unnwuw, 证:(反证)假设收敛，已知收敛，由，即|u|,2w，u,,nnnnnn2n,1n,1 ,,, |u|uw及性质知收敛，即绝对收敛，与已知条件矛盾.所以发散. ,,,nnnn,1n,1n,1 22,z,1八、(10分)一均匀物体是由抛物面及平面所围成. z,x，y,1.求的体积; 22,解:在面投影域，则所围体积为 xoyD:x，y,1 22 V,[1,(x，y)]dxdy,,D 21,2,d,(1,r)rdr ,,00 11,2() . ,,,,242 ,2.求的质心. (0,0,z),解:由于是均匀物体及几何体关于yoz面、面对称，则质心坐标应为; xoz 而 ,2,11,zdv,,,,,drdrzdz2,,,200r3,,,,,z， ,V3,dv,,,,,2 4 2所以质心坐标为. (0,0,)3 2222九、(10分)设表示不超过,,D,(x,y)|x，y,2,x,0,y,0,[1，x，y]2222的最大整数，计算二重积分. 1，x，yxy[1，x，y]dxdy,,D 22解:设 ， D,{(x,y)|x，y,1,x,0,y,0}1 22, D,{(x,y)|1,x，y,2,x,0,y,0}2 22则,且当时，，当时，[1，x，y],1D,D，D(x,y),D(x,y),D1212 22，所以 [1，x，y],2 22 xy[1，x，y]dxdy,,D 2222, xy[1，x，y]dxdy，xy[1，x，y]dxdy,,,,DD12 ,xydxdy，2xydxdy,,,,DD12 ,,4123322 ,d,rsin,cos,dr，2d,rsin,cos,dr,,,,0001 113,，2，, 888 5