2011高考数学专题11：二次方程根的分布

2011高考数学专11：二次方程根的分布 二次方程根的分布 2ax，bx，c,01、一元二次方程根的分布情况 22xx,xx,设方程的不等两根为且，相应的二次函数为，方程axbxca，，,,00fxaxbxc,，，,0，，，，1212 x的根即为二次函数图象与轴的交点，它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件) 表一:两根与0的大小比较即根的正负情况 分两个负根即两根都小于0 两个正根即两根都大于0 一正根一负根即一个根小于0， 布 情 一个大于0 xx,,0,0xx,,0,0xx,,0，，，，，，121212况 大 致 图 象 ) a,0 ) ,,0,,0,,得,,出bb,, ,,0,,0 ，，f0,0 的,,2a2a结,,论 f00,f00,,,，，，，,, 大 致 图 象 ) a,0 ) ,,0,,0,,得,,出bb,, ,,0,,0 ，，f0,0的,,2a2a结,,论 f00,f00,,,，，，，,, 综 合,,0,,0,,结,,论bb,,),,0,,0 ，，a,f0,0 ,,不2a2a,,讨af,,00af,,00,,，，，，,,论a ) 1 表二:两根与的大小比较 k kkk分两根都小于即 即 ，一个大于即 两根都大于一个根小于k布 情 x,k,x,kx,k,x,kx,k,x况 121212 大 致 图 象k)kka,0 ) ,,0,,0,,得,,出bb,,,,k,,k ，，fk,0 的,,2a2a结,,论 fk,0fk,0,,，，，，,,大 致 图 象 ) a,0 ) ,,0,,0,,得,,出bb,,,,k,,k ，，fk,0 的,,2a2a结,,论 fk,0fk,0,,，，，，,,综 合,,0,,0,,结,,论bb,,),,k,,k ，，a,fk,0 ,,不2a2a,,讨afk,,0afk,,0,,，，，，论,,a ) 2 表三:根在区间上的分布 分，，，，，，两根有且仅有一根在m,n内 一根在m,n内，另一根在p,q布，，两根都在内 m,n情内， m,n,p,q(图象有两种情况，只画了一种) 况 大 致 图 象 ) a,0 ) ,,0,,fm0,，， ,,得fm,0fn,0，，，，,fmfn,0，，，，,,,出或 ,,,fn,0 ，，，，fm,fn,0 ，，的fpfq,0fp,0,，，，，，，,,,结,,bfq,0论，， ,mn,,,,2a,,大 致 图 象 ) a,0 ) ,,0,,,fm0，，,得fm,0，，,,fn,0，，出fmfn,0,，，，，,,,fn,0 或 ，，，，fm,fn,0 ，，的,,,fpfq,0fp,0，，，，，，,结,,,b论 ,,mn,,,fq,0，，,2a,,综 合 结，，，，fmfn,0论,,) ，，，，fm,fn,0 —————— ,不,，，，，fpfq,0讨,论a ) xmxn,,,，，m,n根在区间上的分布还有一种情况:两根分别在区间外，即在区间两侧，(图形分别如下)12 需满足的条件是 3 fm,0fm,0,,，，，，,,(1)时，; (2)时， a,0a,0,,fn,0fn,0，，，，,,,, 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明: ，，m,n(1)两根有且仅有一根在内有以下特殊情况: mn 若或，则此时f(m),f(n),0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为或，1:fm,0fn,0，，，， 2，，m,n可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间内，从而可以求出参数的值。如方程mxmx,，，,220，， 222在区间上有一根，因为，所以，另一根为，由13,,1,3f10,mxmxxmx,，，,,,2212，，，，，，，，，，mm2得即为所求; ,,m23 ，，m,n 方程有且只有一根，且这个根在区间内，即，此时由可以求出参数的值，然后再将参数2:,,0,,0 的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程2mf(,3),f(0),0有且一根在区间内，求的取值范围。:?由即xmxm,，，,4260,3,0，， 1532得出;?由即得出或m,，当,,,,3m141530mm，，,164260mm,，,,,0m,,1，，，，，，214 33时，根，即满足题意;当m,时，根，故m,不满足题意;x,,,,23,0x,,,33,0m,,1m,,1，，，，22 15综上分析，得出或 ,,,,3mm,,114 4 ,,m,n2、二次函数在闭区间上的最大、最小值问题 2，，，，fx,ax，bx，c,0a,0设，则二次函数在闭区间,,上的最大、最小值有如下的分布情况: m,n bbbb 即 m,n,,,,m,,,n,,m,n,,m,n2a2a2a2a 图 象 ，，，，，，,,fx,maxfn,fm最maxfx,fm，，，，，，，，fx,fnmaxmax大 、 最b,,小，，，，，，，，，，fx,fnfx,fmfx,f,,,minminmin值2a ,, 对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论: ,,,,bbb,,,,(1)若,,，则，; ,,m,nfx,minfm,f,,fnfx,maxfm,f,,fn，，，，，，，，，，，，,,,,,,,,maxmin2a2a2a,,,,,,,, b，，，，，，,,，，，，，，,,fx,maxfm,fnfx,minfm,fn(2)若,,，则， ,,m,nmaxmin2a 另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开对称轴越远，则对应的函数值越大;反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开对称轴轴越远，则对应的函数值越小。 5