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大一高数期末题(附答案)

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大一高数期末题(附答案)大一高数期末题(附答案) 2001级高等数学(上)期末试卷(部分摘抄) xx, 0, ,x,0fx(),在点处的导数为 不存在 ; 一、填空题(每小题3分、共24分)8、函数,,,xx, 0, ,,共25分) 二、计算下列各题(每小题5分2,y,xarcsin(lnx),求y. 111,y,arcsin(lnx),x,arcsin(lnx),[解]: x221,lnx1,lnx x,t 5sinxdx,2tsintdt,,2tdcost,,2(tcost,costdt,,2(tcost,sint),,2(xcosx,sin...
大一高数期末题(附答案)
大一高数期末(附) 2001级高等数学(上)期末试卷(部分摘抄) xx, 0, ,x,0fx(),在点处的导数为 不存在 ; 一、填空题(每小题3分、共24分)8、函数,,,xx, 0, ,,共25分) 二、计算下列各题(每小题5分2,y,xarcsin(lnx),求y. 111,y,arcsin(lnx),x,arcsin(lnx),[解]: x221,lnx1,lnx x,t 5sinxdx,2tsintdt,,2tdcost,,2(tcost,costdt,,2(tcost,sint),,2(xcosx,sinx),C.,,,, 11三、计算下列各题(每小题5分,共25分)1、 (1,x)dx,2,2xdx,1,1,,0 x,2y,4z,7,0,L:五、(7分)求过点P(2,0,-3)且与直线垂直的平面方程. ,3x,5y,2z,1,0, ,,n,1,,2,4n,,,3,5,,2解:平面法向量,平面法向量 ,取所求平,:x,2y,4z,7,0,,:3x,5y,2z,1,0,1212 ,,,ijk,,,,面的法向量n,s,n,n,1,24,{,24,14,11}, 12 35,2 24x,14y,11z,81,0,由点法式方程可得所求平面方程为 即 ,24(x,2),14(y,0),11(z,3),0, 六、(6分)求由曲线及所围图形的面积. y,lnx,y,lnbx,0(b,0) 解:曲线及所围图形为无界区域,其面积为 y,lnx,y,lnbx,0(b,0) bb S,(lnb,lnx)dx,blnb,xlnx,b,b,,00 2002级高等数学(上)期末试题(部分摘抄) d,2b2一、填空题(3分×10=30分)3、设则 ,(x),tsintdt,,,xsinx.x,dx 1arcsinx2f(x)dx,6、设是的一个原函数,则. 7、 0 。 f'(x),,cosxcosx1,2,,x12 ,1*P,1、级数当 时发散. 9,p(n,1)n1, dyxf(x)f(x)y,f(e)e二、试解下列各题(5分×3=15分)2、设,其中可导,求. dxdyxf(x)xf(x)xxf(x)xf(x),,,,,[f(e)]ey,f(e)[e],ef(e)ey,f(x)f(e)e dx dy1cosxcosxdy,,sinxlnx,,y,x(x,0)3、设,求. 解:取对数,两边关于求导得 lny,cosxlnxxydxx 1 cosxcosx故 dy,x(,sinxlnx,)dxx (arcsin)dx1dx三、求积分(5分×4=20分) 2、 ,,,,,c,,2arcsin22x(arcsin)x(arcsin)1x,x 2x,sintdxtdt,xcos13、 ,,,t,C,,,ccot,,2x22ttsincosx,x1 2221111xxx14arctanarctan()[arctanxxdx,xd,x,dx0,,,20002221,x 1111111,,,,,1(1)[arctan],,,dx,,x,x,,,,,,0,2024282828421,x ,22Un(,1)nn,1、[5分]判断级数的收敛性. 解:比值法 ,故级数收敛. lim,lim,0,1六,2Un,,n,,n!nn(,1)n,1n 2003级高等数学(上)期末试卷(部分摘抄) 1,6n,,10,,6nx,一、 填空题:(共10题,每题3分) 1数列,则_ __. limx,10,nnn,,66,n,10,10, 1,f(x)xsin1、是的可去间断点,则常数的取值范围是______. ,,,0x,0,x ffx(1),(1,)2、可导,, 则曲线在点处的切线斜率是__-2____. lim,,1f(x)y,f(x)[1,f(1)]xx,02 ,3、之间的关系是______________. ,y,f(x,,x),f(x),dy,f(x)dx,则,y与dy,y,dy,,(,x) kk,07使公式成立的常数应满足的条件是 . kf(x)dx,kf(x)dx,, ,,,,,,,,,,,9投影Pa,2,b,3,则a,b,6. 10、平行的充要条件是_____. a,b与a,ba//b.rjb 二.(共8题,每题5分) xxarctan11arctan,xx1求lim,因为arctan,,ln(1,)与是,0的等价无穷,原式,lim,0, 1xxx2x,,x,,2xln(1,)x 2,,,,f(x)f(x)f(x),f(x),,,,,,,y,,y,3、存在, 求 y,lnf(x),f(x)_y2f(x)f(x) 22221xx,lnxxx22xtanxdx,xsecxdx,xdx,xtanx,lncosx,,c.4、求. 5、求 edx,exdx,e,c,,,,,22 ,sinx,t1111,222222 6,求(1,sinx)1,xdx?,sinx1,xdx,0,?(1,sinx)1,xdx,21,xdx,2costdt,.,,,,,211100,,, 2 ,,,ijkx,y,1,0,,,的对称式方程. 解:、直线过点,方向向量 故所求的对称7、求s,110,{1,,1,,2},(,1,0,0),x,y,z,1,0,,1,11 1式方程为 x,1,,y,,2 x,2y,2z,08、求到的距离为1的动点轨迹. x,2y,2z,0x,2y,2z,D,08、解法一:由于动点平行于平面,故可设所求的动点轨迹方程为 Dx,2y,2z,0x,2y,2z,3,0又过点,故有动点轨迹方程为 ,1,D,,3(0,0,0)221,2,2 x,2y,2zx,2y,2z,0x,2y,2z,3,0法二:动点到平面,即故动点轨迹方程为 ,1(x,y,z)221,2,2 ax,1e,x,0,,三、设处可导,求 f(x)dxf(x),,在x,0,,2,1,b(x,1),x,0, 2,x,ex,,0,,,,解: fx,fx,b,f,f,a,,fx,lim()lim()1,(0)(0),2,(),,,,,,200,x,x,x,x,(1),0,10111,2x22 f(x)dx,edx,(x,1)dx,e,.,,,,1,1026 x,四、设试问点是否是曲线的拐点,为什么, (0,0)F(x),(2t,x)f(t)dt,f(x),0,y,F(x),0 xxx,,,,解: F(x),(2tf(t)dt,xf(t)dt,F(x),xf(x),f(t)dt,F(x),xf(x),,,,000 ,,,,的拐点. x,0,,F(x),0,,F(x)凹,x,0,,F(x),0,,F(x)凸,故(0,0)是y,F(x), xxb,六、设试证:方程内有且只有一根. F(x),f(t)dt,F(b),0,且F(x),0,f(t)dt,f(t)dt在(a,b),,,axa xbb证明:存在性:令则, G(x),f(t)dt,f(t)dt在(a,b)G(a),,f(t)dt,,F(b),,,axa b2,由零点存在定理,在内有存在零点; G(b),,f(t)dt,F(b),G(a),G(b),,F(b),0G(x)(a,b),a 唯一性:如若在内必有两个零点,由罗尔定理,存在,使得G(x)(a,b),,,,,(,,,)1212 ,,G(x),此与题设矛盾.因此在内仅有一零点. G(,),2f(,),2F(,),0(a,b) 昆明理工大学2004级《高等数学》A(1)试卷 (仅部分摘抄) nxxx[(1)],n,xn32x,2n(,2,1)f(x),lim()y,2x,3x,12x,1一 3函数。5 函数在内单调减少 lim,,enn,2,,n,,n,2,22[(1)],n 3 2,,(,2,1)(5注:y,6(x,x,2),6(x,2)(x,1),在内,) y,0 2y,ln(1,x)在区间上是凸的,在区间上是凹的,拐点 6 曲线(,,,1),(1,,,)(,1,1)(,1,ln2) 222x2(1,x),2x,2x2(1,x),,,y,,y,,注: 222221,x(1,x)(1,x) a[,a,a]g(x),f(x),f(,x),g(,x),f(,x),f(x),,g(x),7 设在上连续,则。(注:奇) g(x)dx,0f(x),,a 1,k,,,,dx(lnx)dx,,,8当时,反常积分收敛。(注:) k,12,k,k221,k(lnx)(lnx) 11,dy(x),222222,,dyy(t)1dydy1,tdyx,ln(1,t),1tdt2t,二2设求和 解; ,,,,,,,,(t,0).,2322tdx2t,dxx(t)2tdx,y,tarctandx4tdx,22dt1t,1,t cosxxdx3 求,解 原式,,xdcotx,,xcotx,cotxdx,,xcotx,dx,,xcotx,lnsinx,c,2,,,sinxsinx 2,22x,2sint,dx,2costdt4 计算 解:令,则时,时; t,0x,0x,2I,x4,xdxt,,02,,,P221222,131,,222224222 4sin4cos16sin(1sin)16(sinsin)16()I,ttdt,t,tdt,t,tdt,,,,,,,,0002422,昆明理工大学2005级《高等数学》A(1)试卷 (仅部分摘抄) 8(2,,,)一.填空题(每题3分,共30分) 5(函数f,,x,2x,x,0,,的单调增加区间为 。 x 5,32xsinx1a_______7(dx,_0__。(奇函数,对称)。 10(当时,级数收敛。10. a,1(a,0),,n421,ax,2x,1n1,,5 11u(10注:0,a,1时,所以,发散;时,所以,发散; lim,lim,1,0,a,1limu,,0,nnn2n,,n,,n,,a1, ,,1111(a,1)(a,1)u,,a,1时,,而级数收敛,所以级数收敛。) n,,nnnna1,a1,aa,n1n1, 二计算(共42分) 2x2,,xx22t2xttedt,,2eedt2edx,,2x,0,22e,,,00lim,21.。原式== l,limlim法则,()limlim22222x2x,0xx2xx,,x0x,x,02x00x1,2t2xee,2xexetedt,0 111222sin,,sin,sin11112xxxye',,(,2sin),(cos),(,),esin2(y,e,求y'。2(解: 22xxxxx dyx,yy,f(x)xy,e3(设函数由方程确定,求。 dx 4 x,yy,ex,y3(解:两边对求导得y,xy',e(1,y') 解得: y,x'x,ye,x 5424(问函数在何处取得最小值。 y,x,,,x,0x 3542(x,27)y',04(解:,令 得驻点 x,,3y',2x,,22xx y',0y',0y(,3),27当时,时,故为极小点,极小值为 x,,3,3,x,0x,,3 11111xtttt6(计算 ;6(解:令,原式:===2 edxx,t,dx,2tdt2tedt2(te,edt),2e,2e,,,,00000 2,x, x,1,三((8分)设 f(x),为了使在连续可导,应取什么值, x,1a,bf(x),,ax,b, x,1, 2f(1,0),limx,1,f(0)三(解: ;f(1,0),limax,b,a,b, 故当 时, a,b,1f(1),1f(x),,x,1x,1 2axb1(1)1,,ax,,a,,1,1xx''f(0)limlim,,,a在 处连续,,,故当x,1(0),lim,lim,2f,,,,,,x11x,,,11xx,1x,1x,1x,1 '''a,2,b,,1f(1),f(1),f(1)时,存在;当 时,在 x,1 处连续可导。 a,2f(x),, ,2n1,xn1,四((8分)求幂级数的收敛区间,并求和函数。 (,1),2n,1n1, 1 u2(n,1),12222n,1 limx xx,1x,1x,,1或x,1解:==,,即时收敛,,即,时,1,x,1 ,,lim1,,,unn,,,n2n,1 [,1,1]发散;收敛半径R,1,当原级数为收敛的交错级数,收敛区间为:。 x,,1 ,,,2n12n1,,,(x)xn1n1n12n2,,,,,设; = s(x),(,1)s(x),(,1)(,1)x,,,2n,12n,1n1n1n1,,, xx111246, ===, s(x),s(x)dx=dx=arctanx 1,x,x,x?22,,21,(,x)1,x1,x00六((4分)设,证明:对于任意有 f"(x),0,f(0),0x,0,x,0f(x,x),f(x),f(x)121212 六(证:不妨设,在区间用拉格朗日中值定理, 0,x,x[0,x],[x,x,x]121212 f(x,x),f(x)f(x,x),f(x)f(x)f(x),f(0)12212211,,f'(,),,f'(,) 12xx,0x,x,xx111222 f"(x),0,f'(x),,因为单调减,所以 ,,(0,x),,(x,x,x),,,,f'(,),f'(,)1122121212 f(x)f(x,x),f(x)1122,,f(x),f(x,x),f(x), f(x),f(x),f(x,x)11221212xx11 5 2006级高等数学(上)试卷 一、填空题:(每小题3分,共30分) xsin2x2x,3,,3f(x),x,0在处连续,应补充定义 . 2、极限. 1、使函数f(0),lim,___e__,,3,,xx3x,, fxhfxh(,),(,)00f'(x)2f'(x)3、 存在,则极限. lim,________00hh,0 2x,x(2,)yex,y,ey,xe4、线在点(1,e)处的切线方程为 . 5、线的拐点是_____. 2e 32,,,1xsinx,1x,dx,___6、用奇偶性计算定积分.。 7、计算反常积分=_____. 1; xedx,,20,121,x 3n,110、级数的敛散性为___.发散. 2,,,,,,,,,,2n xtarctantdt,arctanarctanxxx,0limlimlim二、 计算下列各题:(每小题6分,共42分)1、求极限.原式= ,,2,,,x224x,,,x,,,xx 2x,arctant,dydy,2、求由参数方程确定的函数的导数. y,y(x),,22dx,yt,ln(1,)dx, 2t22dydy21,t2,,2t..;.....,,2(1,t)2、解: 211dxdx221,t1,t 33x,y,3axy,03、设函数由方程确定,求. dyy,y(x) 2ay,x223xdx,3ydy,3a(ydx,xdy),0解:在方程两端求微分得:,dy,dx. 2y,ax322x,,1,x,3.y,2x,6x,18x,7y',6(x,2x,3),6(x,1)(x,3),04、的极值. 4、解:令得, y(3),,47y(,1),17,y'',12(x,1),y''(,1),0,y''(3),0 ,极大值极小值. 25、计算不定积分xcosxdx. , 22222 xcosxdx,xdsinx,xsinx,2xsinxdx,xsinx,2xdcosx,xsinx,2xcosx,2sinx,C,,,, 222eeed(1,lnx)dx,,,21,lnx,2(3,1).6、计算定积分. 6、解:原式= 1,,11x1,lnx1,lnx xx,17、证明:当时,不等式成立. e,ex 6 xxx,1f(x),e,ex,f'(x),e,e,0(x,1) 单调增加, 当时, 成立 即.证明:令f(x)f(x),f(1),0 x当时,不等式成立. x,1e,ex x,2y,3z,42x,y,z,6,08、写出直线的参数方程并求此直线与平面的交点. ,,112 x,2,t,,,8、解:直线的参数方程为代入平面方程解出 , 所求交点为(1,2,2) y,3,t,t,,1,,z,4,2t, ,nxn1,三、(8分)求幂级数的收敛半径、收敛区间与收敛域,并求其和函数. (,1),nn1, ,an,1n,1R,1x,,1x,1解: lim,lim,1,收敛半径,收敛区间为(-1,1)。时,原级数为,发散, 时,原,ann,,n,,,1nnn1, ,,11n1n1n1,,,级数为收敛,故收敛域为;由级数两端积分得: (,1)x,,,1,1,,(1),,n1,xn1n1,, ,nxx1n1, 为所求的和函数 . (,1),dx,ln(1,x),,0n1,xn1, xf(x)五、(4分)设函数在区间[0,1]上连续,且,证明 在区间(0,1)内仅有唯一实根. 2x,f(t)dt,1f(x),1,0 x证明:令,则在区间[0,1]上连续, F(x)F(x),2x,f(t)dt,1,0 1x,(0,1),F(x),0,由零点定理知存在使 F(0),,1,0,F(1),2,f(t)dt,1,1,f(,),000,0 又,在区间[0,1]上是严格单调增加的,从而零点唯一. F'(x),2,f(x),0F(x) 昆明理工大学2007级《高等数学》A(1)试卷 一.填空题(共30分) kxx,1,x,1,x,2,,2y,lim,e,k,,11 则 2 点x,1是函数的第一类间断点中的跳跃间断点 ,,,3,x,x,1x,,x,,, ,dy,f(sinx)cosxdx3 设可导,则 y,f(sinx),f 224 定积分:(由几何意义或变量代换法令x,sint积分可得)。 4,xdx,,,0 3,y,x(0,0)sinx5 曲线的拐点坐标是。6 设是的一个原函数,则xf(x)dx,xcosx,sinx,c f(x), ,6 注:由已知有f(x)dx,sinx,,f(x),cosx,f(x),,sinx, , ,xf(x)dx,xdf(x),xf(x),f(x)dx,xcosx,sinx,c ,,, 7 ,或 xf(x)dx,,xsinxdx,xdcosx,xcosx,cosxdx,xcosx,sinx,c,,,, ,,,,,,,,,,,,,7 设则 a,2i,j,2k,b,4i,j,10k,c,b,,a,c,a,,,3 2228 面上的曲线绕旋转一周所得旋转曲面的方程为 z,xzxozz,x,y ,,nx1(,1)9 正项级数的敛散性为:收敛; 10 幂级数的收敛区间为(0,2) ,,2nn,nn1n1,, 2xxx131,,,3,(,2),二计算下列各题(每题6分,共48分)1计算lim(),原式= lim,lim,,1332,xx,11x,x,11,x1xxx1,1,,3x33dydytx3lnx2x,,2设y,edt,求。解: ,e(x),e(lnx),3xe,1,lnxdxdx xyy,f(x)dy.3设有方程xy,e,e,0确定,求 xx,,eyeyxy,,,,,,,0,,,,解:两边对求导得: yxyeeyydydxxyy,,exex x,eyxy或求微分有,,,,0,, ydxxdyedxedydydxy,ex 322,,,f(x),2x,3xf(x),6x,6x,6x(x,1),f(x),12x,6,6(2x,1)4求得极值。 解:, ,,,,,f(0),0f(1),,1x,0,1由得驻点,而所以,极大值。极小值 f(0),0f(0),,6,0,f(1),6,0, 111xdx.dx.,dx,tan,c5计算不定积分 法1 ,,,x1,cosx21,cosx22cos2 11,cosx1cosx1dx.,dx,dx,ddx,,cotx,,c法2 ,,,,2221,cosxsinx1,cosxsinxsinx 4444111134lnlnln4ln26计算 xdx,xdx,xx,xdx,, lnxdx.1,,,,11122221x 3232202xxxx5292202x(x1)dx原式(xx)dx(xx)dx()()4,,,,,,,,,,,,,7计算 ,10,,,,,110323266P(1,2,4)2x,y,3,y,4z,28求过点且与两平面平行的直线方程。 ,,,s解:所求直线的方向向量垂直于两已知平面的法向量 n,n12 ,,,ijk,,,,,,xy,2z,4,210=,4i,8j,2k//{,2,4,1},所求直线方程为:,, s,n,n12,24101,4 ,2nxe四(9分)利用的幂级数展开式:(1)写出的无穷级数展开式:(2)再用的展开式,求的和。 ee,n!n,1 8 ,,,,,,,2nx1nn,1,1111x解:, ee,,,,,,,2,2e,,,,,,,n!n!n!(n,1)!(n,2)!(n,1)!k!n0n0n1n1n2n1k0,,,,,,, xF(x)11n,nn,五(四分)设可导,为正整数,证明lim,f(0). f(0),0,F(x),tf(x,t)dt,nf(x)2n,0,x02nx n0x11nnx,t,u,F(x),,f(u)du,f(u)du,证明:记 n,,0xnn 01nn,1nf(x)nxnx,t0,F(x)F(x)11f(x)1f(t)f(0)1,n,lim,lim,lim,lim,lim,f(0). 2n2n,12n,1nx,0x,0x,0x,0t,02n2n2nt,02nx2nxxx 2008级高等数学(上)试卷 1(kn,1)(2n,3),2xlim,6,则k,3.一、填空题(每题3分,共30分)1. ,. lim(1,sin2x),e.2n,,x,0n ,3arctancoty,3x,2,0x,arcx,(,)0-2y,x,. 曲线上经过点的切线方程为 . ,. 2 x22,ln(x,x,1),则xf(x)dx,,ln(x,x,1),c.,. 已知的一个原函数为 f(x),2x,1 a,222(x,a,x)dx(a,0为常数),,a.,. ,,a2 y2,2xyt2,7.设由方程所确定,则. ,,y(x)edt,xy,1y,20y2,ex ,,,,,28. 设向量轴垂直,则 . a,(3,5,x),b,(2,1,4);且2a,b与zx, x,0,xdx,ydy*22y,09.经过点且与平面垂直的直线方程是 . . 设u,lnx,y,则du, (0,3,0)10,22z,0,x,y 1,dy2,t222dydydydy11,x,,dxt二、计算下列各题(每题7分,共14分)设求,,,,,. 1.,.,.,2223dxdxdxttdxdxt,y,,t1,,dt xxx2.已知连续,求limf(t)dt, 2.解:原式=lim(f(t)dt,xf(x)),af(a). f(x),,aa,,xa,xaxa 32三、计算下列各题(每题7分,共28分)1.求函数的极值. y,2x,3x 1,3,y,2,2xx,1解: 得驻点及x,0为不可导点, (极大值) (极小值) y(0),0y(1),,1 2sinx,t1x1x2222.x4,xdx,4sin2tdt,(1,cos4t)2dt,2t,sin4t,c,2arcsin,sin4arcsin,c. ,,,2222 9 1111x3,,22222 3.arcsinxdx,[xarcsinx],dx,,[1,x],,,100,,001212221,x 2,z,z232x22设求4.z,uv,u,e,v,x,y,,,x,x,y 2,z,z4x2232224x222224x2222,e[4(x,y),6x(x,y)],,e[24y(x,y),24xy(x,y)],24ye(x,y)(x,y,x),x,x,y 四、计算下列各题(每题9分,共18分) y,2,0,,L:1((1)求过点且与直线垂直的平面方程,(2)求点到直线的距离. MLM(0,,1,1),x,2z,7,0,, ,,,ijk, 解:(1)直线L的方向向量s,010,(2,0,,1),过点且与直线L垂直的平面方程为:M(0,,1,1) 102 2(x,0),0(y,1),1(z,1),0,2x,z,1,0 y,2,0,,,d,MN,1,1,4,6.(2)联立x,2z,7,0,得垂足,所以, N(1,,2,3),,2x,z,1,0, *2.将已知正数分解为三个正数之和,并使它们的倒数之和为最小. a 111x,y,z,a,(x,y,z,0),f(x,y,z),,,.解:设 xyzaxyz,,,,,(,,0)xyz ,2,,,,,0Fxx,,2,,,,,0Fy111a,yF(x,y,z),,,,,(x,y,z,a) , 得,,,.xyz,xyz3,2,,,,,0Fzz,,,,,xyza, 1f(x),,五、(6分)已知连续,,(x),f(xt)dt,lim,A(A为常数)求(1);(3)讨论f(x)f(0),,(0);(2),(x);,(x);,0x,0x在处的连续性. x,0 xf(u)du1,f(x)0,(x),f(xt)dt,(x,0)解:由已知及, lim,A得f(0),0,,(0),0,0xx,0x xf(u)duxx,00,xf(x),f(u)duf(u)du,,f(x)A00x,,,,(x),(x,0),(0),lim,lim,lim(由已知),22x,02x2x,0x,0x,0 xx xf(u)du,f(x)f(x)AA0,,又,lim(x),lim,lim,(由已知及l法则)A,lim,A,,,故,(x)连续.2x2x22x,0x,0x,0x,0x 1 2,[0,1]六、(4分)设在上可微,且 证明:存在,使得. f(x),,(0,1)f(,),,f(,),0f(1),2xf(x)dx,0 10 积分中值定理1,则 证明:设,(1),f(1),,f(,),,(,),,,(0,),,(x),xf(x)11112 ,,, 故在上由罗尔定理得至少有一点使即存在使得 [,,1],(,),0,,,(,,1),(0,1),,(0,1)f(,),,f(,),011 昆明理工大学2009级《高等数学》A(1)试卷 一.填空题(共30分) y,2x,1z,3(1,2,3)x,y,z,13x,2y,3z,22 过点且与两平面和平行的直线方程为 ,,, 10,1 sinx,,x,0,111,2xx(3)极限lim(sin3,sin),. 4已知函数f(x),在x,0连续,则 A,1.,x,xxx22x,,,A,x,0,, 1x,y,e5已知则, 6 曲线过点(0,0)的切线方程为 。 y,exf(2),3,lim[f(2,x),f(2,x)],6.xx,0 212,xsinx2x,1为y,,x,ax7当时,点的极值点。 9积分 a,2,dx,,,,2,11,x ,110已知级数收敛,则的取值范围为 , a,1a,n1,an1, 二计算下列各题(每题6分,共12分) x,y,z,132241x,y,z,L,,LL1已知直线和求经过且与平行的平面方程。 ::,L,,1221,214321 ,,,ijk,,,,,,s解:所求直线的方向向量s,s.n,s,s,214,(,9,14,1)垂直于两已知直线的法向量 故,所求直1212 32,1 线方程为: ,9(x,1),14(y-3,,,z,2,,0,,,9x,14y,z,35 ,x2tdt(arctan)22,,x(arctan),0lim,lim,.2 x2x,,,x,,,4x,12x1, xxxxln(1,),(1,,1,)三(共18分) 1(分母有理化,等价无穷小代替)。 (1)lim,lim,,1x,0x,0x2xx1,,1, yx,y22dy,dx2 设方程arctan,lnx,y确定函数求 解……。 y,y(x),dy.x,yx 2x,2lncott,,dy,.3已知求 ,t,2y,tant,dx,6 ,dy(x)12,sect222,dy3dyy(t)sect1dy1dt2,,,,tant.,,,,,tant解:,,。 t,2222dx,412dxx(t)2dx,2tantcsctdx,2tantcsct6dt 11 x,2ln(1,x),x,0,,f(x),四(共12分)1 设,求(1)的单调区间,(2)求的极值。 f(x)f(x)1,,1,,1,x,0,1,x, x,1,,x.,0,x,1,(,1,1],,,[1,,,),解,令,单增区间单减区间, f(x),,f(0),,1f(x),0,,x,1,,1,,,1,x,02,(1,x), 极小 f(1),1,2ln2. 2,2设的一个原函数是,求 xf(x)dx.f(x)ln(x,1,x), 122,,xf(x)dx,xdf(x),xf(x),f(x)dx,xf(x),ln(x,1,x),cf(x),[ln(x,1,x)],解,又,,,,21,x 12,所以 xf(x)dx,x,ln(x,1,x),c,21,x 3dx五计算下列各题(每题6分,共18分)1 .,122xx,1 ,,,23dxsect1123333x,tant,法1令则 dt.dsint2,,,,,,,,,,,,,22122sint3tantsectsintxx1,444 111311123dxt2333法2令则 ,t,().sin12,,dt,,dt,,,t,,1,,,21113x22211t11xx,,t1,22tt 1d(1,)233dx11233x,,,,(1,),2,.法3 1,,21122231xxx,11,2x 242211,t,,222arctanarctan()5arctan21tdt,tt,dt分部积分,,,2。法1令,则原式= x,tarctanxdx1,,2,21111,t 411,x,,4arctan()5arctan21法2原式= xx,dx分部积分,?,,,1,12,x1 x,,,,,,dxdxde,x,,,.3法1 ,,arctane,.0,xx,,,2x,xx0004e,ee,e1,e ,x,,,,dxde,,x,,法2 ,,,,arctane,.0,,2x,x,x004e,e1,e ,nx六计算下列各题(共10分)1 求幂级数的收敛域及其和函数。 ,nn,2n1, 12 [,2,2)解:………R,2,当时,幂级数发散,当时,幂级数收敛,故收敛域, x,,2x,2 1,,nn1,x1x2,S(0),0,令得,从而S(x),,,Sx,(),,,nnx2,x2n,2n11,,n1,2 x1x,所以 S(x),S(0),dx,,ln(2,x),ln2,ln(2,x)S(x),ln2,ln(2,x)x,[,2,2)0,02,x xxb,2 设且试证方程在内有且仅有一根。 F(x),f(t)dt,F(b),0,f(t)dt,f(t)dt,F(x),0,(a,b),,,aax xbb22证:记由零点定理,至少存在一点,(x),f(t)dt,f(t)dt,,,(a),(b),,(f(t)dt),,F(b),0,,,,axa ,,,使,又单调,故仅有一根。 ,,(a,b),(,),0,(x),2f(x),2F(x),0,,(x) 昆明理工大学2010级《高等数学》A(1)期中试卷(仅部分摘抄) ,,,,,,,,,(1)向量a,(2,,3,1),b,(1,,1,3)满足a,b,c,则(a,c)b,0.一.填空题(40分) ,,,ijk,,,,,,,,,注:c,a,b,2,31,(,8,,5,1),,(a,c),0,(a,c)b,0 1-13 2009,,(n1)(2010n10)(3)设f(x,l),,f(x),则f(x,2l),f(x). 4,2010。 lim2010n,,n 313(x,1),,3xxx1,,11,5limx,lim[1,(x,1)],e, x,1x,1 f(x,3,x),f(x,2,x)00,6f(x),lim,设存在则0,x,x,0 f(x,3,x),f(x)f(x,2,x),f(x)0000,,,,,3lim,2lim,,3f(x),2f(x),,5f(x).0003x2x,x,,,,x,,00 11xy,e上过点(0,0)y,ex7lim(xsin,sinx),1; 8曲线处的切线方程是:. x,0xx xxxx0000(x,e),则切线斜率k,e,切线:y,e,e(x,x),过点(0,0)注:设切点得切点 (1,e);故切线:y,ex.00 f(x),,9设f(x)在x,2处连续,且lim,3,则f(2),. 注 , f(2),0,f(2),3,x,2x,2 xxx,, 10设y,f(e),sin[f(x)],其中f可微,则dy,.{f(e)e,cos[f(x)]f(x)}dx 2x,ax,22已知lim,b.求a,b.二计算(证明下列各题(每题6分,共60分) x,1x,,1 13 22x,(a,b)x,2,bx,ax,2,bx,b解:已知lim,lim,0.x,1x,1x,,1x,,1 2(x,1)(x,2)x,3x,22首先,x,,1时,x,ax,2,0,故a,3,所以:lim,lim,1,b..x,,1x,1x,,1x,1 1,x3设f(x),lim,求f(x)的间断点,并判断间断点的类型。 2n,,n1,x y 1,x,,1,x,1,,1 ,1,x,1,,,11f(x),x,1是第一类跳跃间断点,x , 0,x,,1, ,,10,x,1, , 22,4y,ln(x,a,x),y.求 2212x1x1x,a,x1,y,(1,),(1,),),22222222222222x,a,x2a,xx,a,xa,xx,a,xa,xa,x ydy 5,设y,y(x)由方程f(arctan),xy所确定,其中f(x)可导,求.xdx ,,yyx,yyyx,y1,,,,解:对x求导:f(arctan),,y,xy,:f(arctan),,y,xy,2222xxyxx,y1,2x y23,f(arctan),y,xy,yyyx2332,,,,,f(arctan),yx,f(arctan)y,xy,y,(x,xy)y,y,yxx32,f(arctan),x,(x,xy)x 2t,dydy(x)22,2dydyx,,t,ln(1),2dydy22dt1,tdt设求6.,.; ,解:,,,2t,,,,2(1,t),22dxdx1dx1,y,tarctan,dxdxdx,22dtdt1,t1,t 01x1sinxxsinxxcosx1,,,sinx1limlimlim,,02232sinxsinx,x0sinxxx,6xx0x0,,306xxxxx,7求极限:lim(),lim(1,),e(),e,e,e xx000xx,, cosx1xcosx,sinx,011sinxlnsinx,lnxsinxxxsinxlnlimlimlim,0222sinx0x2x2xx,0xxxx,0x,02:lim(),lime,e(),e,e解法x0 x,0x,0 xcosx,sinxxcosx,sinxcosx,xsinx,cosxsinx1limlimlimlim,,2320x6xxx,0,0,02xsinx2x6xx,06,e,e(),e,e,e.0 118设函数f(x)在期间[0,1]上连续,在期间(0,1)上可导,且f(0),f(),f(),6,f(1),2,证明:在期间(0,1)32 ,内至少存在一点,,使f(,),0. 14 11f(0),f(),f()132解:记m,M分别为f(x)在[0,]上的最大,最小值则:m,,2,M23 1,, 由100页介值定理的推论2,存在,(0,),使得:f(),2,112 ,又f(x)在,(,1)满足罗尔定理的条件,故:存在,,,(,1),(0,1),使得:f(,),0.11 9讨论函数y,secx,cscx在(0,2)上的单调性并作草图,2)讨论方程k,secx,cscx,, 当k取不同值时实根的个数. ,,,,11sinx,cosx337,解:y,,,;y在x,,,无定义;y(),0,y(),0cosxsinxsinxcosx2244 33(sinx,cosx)(1,sinxcosx)11sinxcosxsinx,cosx,,, y,(),(),,,,222222cosxsinxcosxsinxcosxsinxcosxsinx,,5,,y(),y(),0,44 ,,,5,,,5,3,,,,,533 x, (0,)(,)(,,)(,)(,)(,2,), 224224244244 ___, y + + + y 极小 无定 无定 极 无定 ,,,,,, 大 y,sinx1 2 ,32,,,,357 ,2, x, 2 444422, 2,1 y,cosx y,secx,cscx y,k,22时,k,secx,cscx有四个根 22 ,3,22,y,k,22时,k,secx,cscx有二个根 ,,,,357 ,2, , x2 44442 ,22 y,k,,22时,k,secx,cscx有四个根 ; 归纳之有,,22,k,22时,k,secx,cscx有二实根.k,,22时,k,secx,cscx有三实根. k,,22时,k,secx,cscx有四实根.k,22时,k,secx,cscx有四实根 15 g(x),cosx,,x,0,,,,10已知f(x),,其中g(0)存在,g(0),1,问a,b应各为何值时,f(x)在x,0处连续,可导,并求f(0). x,,ax,b,x,0, g(x),cosx0,,f(0,0),b,f(0),f(0,0),lim(),lim(g(x),sinx),g(0) ,x0x,0x,0 ,,fxxbgfa()0,(0);(0),,,,因为在连续故, gxx()cos,bx, fxfgxxbx()(0)()cos,,,0xx,f(0)limlimlim(),,,,2__,xx000,,x,0xx,x,00 ,,,g(x),sinx,b0g(x),g(0),sinx,(g(x)x,0g(0),1),lim(b,g(0),0)(),lim因为在附近连续,且而,,2x02xx,0x,0 ,,,,g(x),g(0)sinxg(0)11,,,,lim,lim,,(因为f(0)存在),a,,a,[g(0),1],.,,2x2x222x,0x,0 昆明理工大学2010级《高等数学》A(1)试卷 (仅部分摘抄) xxx1,2,11,2,1,2一填空题:(40分)3lim,(等价无穷小)lim,lim,,1. xxx,0x,0x,0xx(1,2,1)e,1 1,2x,1,2x,2x4 lim,lim,lim(l法则),,1.xxx,0,0,0xxxe,1(e,1)(1,2x,1)2(e,1)sinx2tdt62,xx6sincos608 llim,(法则)lim,lim,2.3423xx,0x,0x,03,4xxxx,3,4 ,,1dx收敛,则常数kk,1.9 若反常积分的取值范围是 ,k1x ,,an,设正项级数10收敛,则级数的敛散性为收敛。 an,,nn,1n,1 12x,111x2xxx二计算下列各题。2lim[ln(2,1),ln(2)],limln(1,),limln(1,),. xx222x,,x,,x,, 11limx[ln(2x,1),ln(2x)],limx,,法2: 2x2x,,x,, 1,xf(x),lim,求f(x)三计算下列各题。1设的间断点,并判断间断点的类型。 2n,,n1,x 0,x,,1,,,1,x,,1,x,1,f(x),x,1解:易知为间断点,且为第一类间断点。 ,1,x,1,,,0,x,1,, dyxyyxe,xe,ye.2 设函数由方程所确定,求 y,y(x)dx xyxy,ye,ye,exyyyxx,,,,ey,xy,e,xey,ye,ye,y,().解:两边对求导得: xxyyxxe,xe,e 16 2111x11112222 3,xln(x,1)dx,ln(x,1)dx,xln(x,1),dx,xln(x,1),x,x,ln(x,1),C.,,,222x,12422 1144,ee4dx1e22.,(1,2lnx)d(1,2lnx),(1,2lnx),3,1,2.4 1,,102x1,2lnx ,1n四计算下列各题。1判别级数是否收敛,如果收敛,是绝对收敛还是条件收敛。 (,1)ln(1,),n1n, 1ln(1,),u1111nnlim,lim,1知:ln(1,)发散,又ln(1,),ln(1,),limln(1,),0解:由, ,11nnn,1nn,,n,,n,,n,1nn 所以原级数为条件收敛。 1,nu(x)xn,1n,1lim,xlim,1知收敛区间为(,1,1)2求幂级数的收敛域及和函数 解: S(x).,1n,,n,,u(x)nnn,1n ,,n(,1)1当时,发散,当时,收敛,收敛域为, x,1x,,1[,1,1).,,nnn11,n, ,,,nxxxx111,,nn S(x),,xdx,(x)dx,dx,,ln(1,x),x,[,1,1).,,,,,,000n1,x111,,,nnn 五 某房地产公司有50套公寓要出租,当租金定为每月1000元时,公寓会全部租出去(当租金每月增 加50元时,就有一套公寓租不出去,而租出去的房子每月需花费100元的整修维护费(试问房租定为多 少可获得最大收入, x,1000x(50,)解 设房租为每月元,租出去的房子有套,每月总收入为 50 x,1000xf(x),(50,)(x,100),(70,)(x,100) 5050 2,f,90,x,0,x,1800 令:(元)。最大收入为 f(1800),57800.50 xxx,f(x),f(x),(2)f(x),e.六 设可微,且满足等式证明:(1) f(t)dt,x,tf(x,t)dt,f(x),,00 xxxx证明:(1)令 x,t,u,有tf(x,t)dt,(x,u)f(u)du,xf(u)du,uf(u)du.,,,,0000 xxxx即两端对求导有:两端再对求导f(t)dt,x,xf(u)du,uf(u)du.f(x),1,f(u)du,且f(0),1.xx,,,,0000 ,有: f(x),f(x), ,f(x)f(x),f(x)f(x)x,(),,0,?,c,由f(0),1得c,1,即f(x),e.(2)由(1)可得: xxxeee 17
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