4.函数的拐点问题

4．函数的拐点问题 1．若关于x的不等式(x－1)(x2－bx－2)≥0对一切x∈(0，＋∞)成立，则实数a的取值集合为 ． 解法一：当x＝1时，b∈R； 当x＞1时，x2－bx－2≥0，即b≤x－ ． 因为函数f(x)＝x－ 在(0，＋∞)上是单调增函数，所以， 当x＞1时，b≤f(1)＝－1； 当0＜x＜1时，x2－bx－2≤0，即b≥x－ ，所以，b≥f(1)＝－1； 综上，b＝－1． 解法二：函数y＝x－1与函数y＝x2－bx－2图象在第一象限的部分横坐标相同的点始终在x轴的同侧， 所以函数y＝x2－bx－2的图象经过函数y＝x－1图象与x轴的交点(1，0)， 所以1－b－2＝0，解得b＝－1． 此时，原不等式为(x－1)(x2＋x－2)≥0，即(x－1)2(x＋2)≥0， 满足对一切x∈(0，＋∞)成立． 所以    b＝－1． 解法三：当x＝1时，b∈R； 当x＞0，且x≠1时，不等式(x－1)(x2－bx－2)≥0，即(x－1)( x－ －b)≥0． 所以，函数y＝x－1与y＝x－ －b的图象在第一象限的部分横坐标相同的点始终在x轴的同侧． 由1－2－b＝0，得b＝－1． 综上，b＝－1． 解法四：因为函数x2－bx－2的判别式△＝b2＋8＞0，所以存在x1，x2∈R(其中x1＜x2)，使得 x2－bx－2＝(x－x1)(x－x2)． 若x1，x2都不为1，则(x－1)(x－x1)(x－x2)在x＝1的两侧函数值异号，不满足条件， 所以x1，x2中有一个为1，所以b＝－1． 此时(x－1)(x2－bx－2)＝(x－1)2(x＋2)≥0，满足条件． 2．如果关于x的不等式(a|x|－1)(x2－a|x|－2)≥0对一切的x∈R成立，那么实数a的取值集合为 ． 解法一：显然a＞0． 当|x|≥ 时，a≤|x|－ 恒成立，即a≤ －2a，得0＜a≤ ； 当|x|≤ 时，a≥|x|－ 恒成立，即a≥ －2a，得a≥ ． 综上，a＝ ． 解法二：函数y＝1与函数y＝x2－2图象在函数y＝a|x|图象的同侧，即函数y＝a|x|的图象经过函数y＝1与y＝x2－2图象的交点．x2－2＝1，得x＝± ，所以a＝ ． 解法三：当|x|＝0时，a∈R； 当|x|≠0时，(a－ )(a－|x|＋ )≤0． 令t＝|x|，即函数y＝ 与y＝t－ 的图象在第一象限的部分横坐标相同的点始终在直线y＝a的同侧． 由 ＝t－ ，得t＝ ，故a＝ ． 3．设函数f(x)＝ m(x－1)2－2x＋3＋lnx，m＞0．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝f(x)在点P(1，1)处的切线l与该曲线有且只有一个公共点，求m的值． 解 由f(x)＝ m(x－1)2－2x＋3＋lnx，得f'(x)＝mx－m－2＋ ，x＞0，所以f'(1)＝－1， 所以曲线y＝f(x)在点P(1，1)处的切线l的方程为y＝－x＋2．…………………… 6分 曲线y＝f(x)在点P(1，1)处的切线l与该曲线有且只有一个公共点，即关于x的方程f(x)＝－x＋2有且仅有唯一解，即关于x的方程 m(x－1)2－x＋1＋lnx＝0有且仅有唯一解． 令g(x)＝ m(x－1)2－x＋1＋lnx，则 g'(x)＝m(x－1)－1＋ ＝ ＝ ，x＞0． …………… 8分 因为m＞0，所以，当x＝1或 时，g'(x)＝0． ①若0＜m＜1，则 当0＜x＜1或x＞ 时，g'(x)＞0；当1＜x＜ 时，g'(x)＜0， 所以函数g(x)在区间(0，1]和[ ，＋∞)上为增函数，在区间[1， ]上为减函数． 因为g(1)＝0，所以g( )＜0． 又当x＞1＋ 时， m(x－1)2－x＋1＝ (x－1)[m(x－1)－2]＞0，lnx＞0，从而g(x)＞0，所以曲线y＝g(x)与x轴有两个公共点，不满足题意． ②若m＝1，则g'(x)≥0，当且仅当x＝1时，g'(x)＝0，所以g(x)在区间(0，＋∞)上为增函数，且g(1)＝0，满足题意． ③若m＞1，则 当0＜x＜ 或x＞1时，g'(x)＞0；当 ＜x＜1时，g'(x)＜0， 所以函数g(x)在区间(0， ]和[1，＋∞)上均为增函数，在区间[ ，1]上为减函数． 因为g(1)＝0，所以g( )＞0． 又当0＜x＜min{ ，e }时， m(x－1)2－x＋1＜ m(x－1)2＋1＜1＋ m，且lnx＜－ m－1，从而g(x)＜0，所以曲线y＝g(x)与x轴有两个公共点，不满足题意． 综上，实数m的值为m＝1． 4．定义：对于定义在集合D上的函数y＝f(x)，设其在在平面直角坐标系xOy中的图象在x＝x0处的切线方程为l:y＝g(x)，当x∈D，且x≠x0 时，若 ＜0恒成立，则称x0为函数y＝f(x)的“拐点”． 设函数f(x)＝－ x2＋ x－2lnx，试问函数y＝f(x)是否存在“拐点”?若存在，请求出 “拐点”；若不存在，说明理由． 解  由f(x)＝－ x2＋ x－2lnx，得f'(x)＝－ x＋ － ，x＞0． 设函数y＝f(x)存在“拐点”x0，则x0＞0． 因为f'(x0)＝－ x0＋ － ，f(x0)＝－ x ＋ x0－2lnx0，所以，函数y＝f(x)图象在点x＝x0处的切线方程为 y＝(－ x0＋ － )(x－x0)－ x ＋ x0－2lnx0，x0＞0． 令g(x)＝(－ x0＋ － )(x－x0)－ x02＋ x0－2lnx0，x0＞0， F(x)＝f(x)－g(x)，x＞0， 则    F(x0)＝0，且 F'(x)＝f'(x)－g'(x)＝－ x＋ － －(－ x0＋ － )＝－ (x－x0)－( － )＝－ (x－x0)(x－ )． 若0＜x0＜2，则 ＞x0，所以函数F(x)在区间[x0， ]上单调递增， 从而，在区间(x0， ]上，有F(x)＞F(x0)＝0，所以 ＞0． 因此，函数y＝f(x)在区间(0，2)和上不存在“拐点”； 若x0＞2，则0＜ ＜x0，所以函数F(x)在区间[ ，x0]上单调递增， 从而，在区间[ ，x0)上，有F(x)＜F(x0)＝0，所以 ＞0． 因此，函数y＝f(x)在区间(2，＋∞)上不存在“拐点”．………………13分 若x0＝2，则F'(x)＝－ ≤0，所以函数F(x)在区间(0，＋∞)上单调递减． 所以，当x＞2时，F(x)＜F(2)＝0，从而 ＜0；当0＜x＜2时，F(x)＞F(2)＝0，从而 ＜0． 因此，x＝2为函数y＝f(x)的“拐点”． 综上，函数y＝f(x)存在存在唯一的“拐点”2．