直线及圆的参数方程

直线及圆的参数方程 教学重点和难点: 直线参数方程及圆的参数方程的基本形式，对直线标准参数方程中参数t的理解，非标准参数方程如何化为标准方程并求出倾角，并应用直线参数方程解决有关问题。 例题分析: 例1(下列各式中，哪一个是直线的三角式方程，试述理由，若是点角式参数方程时，写出始点和倾角，若不是，化为点角式参数方程。 (1)(t为参数);(2)(t为参数);(3)(t为参数) 解:(1)始点(-2，3)，倾角为π是点角式参数方程。 22 (2)不是点角式参数方程，不满足为点角式参数方程的必要条件，即a+b=1。 但是形如(t为参数)的可化为参数方程的标准式即(t为参数) (3)(t为参数)不是点角式参数方程，令t'=-t，得， ? 直线始点为(-2，2)，倾角为。 例2(写出过点A(1，-2)，倾角为45?的直线l的点角式参数方程，若l与l:x+2y-4=0112 相交于B。 (1)求|AB|; (2)求点B的坐标。 1 解:设l的参数方程为: 1 (I)(t为参数) 把(I)代入l方程，1+t+2(-2+t)-4=0 2 解出t=(II)， ? |AB|=|t-0|= 把(II)代入(I)得:B(, )。 小结:从此例可看出应用三角式参数方程求距离很简捷。 例3(求椭圆=1中斜率为2的平行弦中点的轨迹。 解:(1)用普通方程解决，设弦中点P(x, y)，弦的两端点A(x, y), B(x, y) 001122 由已知得: (1)-(2): =0， ? .........(6) 2 将(5)代入(6)，? 2=, ?x+3y=0,轨迹为含在椭圆内的一条线段。 00 )参数方程解题设弦中点P(x,y)，弦的倾角为a， 法(200 ? 平行弦的直线参数方程为:(t为参数)(1) 22 将(1)代入2x+3y-6=0中，整理后得: 22222 (2cosα+3sinα)t+2(2xcosα+3ysinα)t+2x+3y-6=0, 000 ? t+t= 12 ? P为弦中点，?t+t=0，即2xcosα+3ysinα=0，又tgα=2, ?2x+6y=0, 120000 ?P点轨迹是方程为x+3y=0在椭圆=1内的一条线段。 小结:此例用普通方程及参数方程对比解决，体会参数t的几何意义，其中t+t=0对点角式方程而言具有普遍的12意义，常用于解决弦中点问题。 2 例4(设M，N是抛物线y=2px(p>0)的对称轴上两点，且它们关于顶点O对称，过M，N作两条平行线，分别交抛物线于P，P，Q，Q，求证:|MP|?|MP|=|NQ|?|NQ|。 12121212 证明:由已知可设M(a,0), N(-a, 0)(a>0) 则直线MP，NQ的参数方程为: 11 (1)和(2)其中t是参数，α是倾斜角。 2 把(1)(2)分别代入y=2px中，由韦达定理可得:|MP|?|MP|=， |NQ|?|NQ|=，?1212|MP|?|MP|=|NQ|?|NQ| 1212 评述:此例中应用了点角式参数方程中t的几何意义，即|t|,|t|为相应点到定点M的距离，据此证明了关于线段的12 等式问题。 例5(椭圆长轴|AA|=6，焦距|FF|=4，过椭圆焦点F引直线交椭圆于M，N12121 两点，设?FFM=α， 21 α?[0,π)，若|MN|等于短轴时，求α。 3 2 解:?a=3, c=2,b=1, F(-2,0)，?椭圆方程+y=1。 1 法(1)设MN所在直线参数方程为....(1)(t为参数) 222 将(1)代入+y=1得:(1+8sinα)t-4tcosα-1=0 ? t+t=, t?t=,2b=2。 1212 2 ?|t-t|=, 12 22 ? =2, ?sinα=, ?α?[0,π)，? sinα=, ? α=或π。 (法二)设MN方程:y=k(x+2) x+x=......(1),x?x=.........(2) 1212 22 ? |MN|=|x-x|....... 又|x-x|=(x+x)-4xx......(3) 12121212 2 将(1),(2)代入(3)，将(3)代入(I)解得:k=(下略) 2 另; ?e=, M(x,y), N(x,y)由第二定义:|MF|=ex+a, |MF|=ex+a 1122211 2 ? |MN|=e(x+x)+2a=(x+x)+6, ? 2=?+6, ? k=(下略)。 1212 4 评述:利用直线参数方程，常常解决弦长的问题，对比普通方程的弦长公式可知，形式上要简捷，运算上也将更加简化，减少运算的出错可能。 22 例6(过M(-1,0)的直线l交双曲线x-y=10于A，B两点，且|MA|=3|MB|，求直线l的方程。 分析:?|MA|=3|MB|，若设普通方程，则两线段间的上述关系表述很繁琐，条件不利于应用。设直线参数方程点角式，直接利用参数t的几何意义表达|MA|=3|MB|，可以很方便的代入式子中去应用。 222 解:设直线MA的参数方程为(t为参数)?(-1+tcosα)-tsinα-10=0 222 (cosα-sinα)t-2tcosα-9=0， ?有 t+t=, t?t= 1212 又 |MA|=3|MB|， ?t=?3t。 12 当t=?3t时，?4t=, 3=, 122 ? t=, ?3=, 2 22 解得:cosα=，sinα=, tgα=?，? l: y=?(x+1)。 当t=3t时，同理可求l:y=(x+1)。 12 本周小结: 直线参数方程点角式问题，应注重从下面几点讲解。<1>会判断方程是否为点角式参数方程;<2>若参数方程为 会化为点角式，并会求出倾角，一定要注意倾角的范围。<3>会应用它解决弦长问题，弦的中点线分弦成定比问题，点在直线上位置等常见问题。 参考练习: 1(直线:(t为参数)的倾斜角是( ) A、20? B、70? C、110? D、160? 5 2(直线(t是参数)与圆(α为参数)相交所得弦长为( ) A、(3-) B、 C、 D、(3+) 22 3(圆x+y=8内有一点P(-1,2)，AB为过P0且倾角为α的弦。 0 (1)当α=π，求|AB|;(2)当弦A'B'被点P平分时，写出直线A'B'的方程。 0 参考

答案

八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案

: 1.C 2.B 22 3.解:设直线AB方程为:(1)(t为参数)把(1)代入x+y=8,整理得: 2 t-2(cosα-2sinα)t-3=0..........(2) ?直线与圆相交，?(2)有实根，则由韦达定理:t+t=2(cosα-sinα), t?t=-3, 1212 2222 (1)当α=π时，|AB|=|t-t|=(t+t)-4tt=[2(cosπ-sinπ)]-4×(-3)=30 121212 ? |AB|=。 (2)弦A'B'被点P平分 ? cosα-2sinα)=0tgα=，即k=, 0 ? A'B'方程为:y-2=(x+1)，即x-2y+5=0。 在线测试 选择题 1(直线(t为参数)的倾斜角是( ) A、20? B、70? C、110? D、160? 6 2(曲线的参数方程为(0?t?5)，则曲线是( ) A、线段 B、双曲线的一支 C、圆弧 D、射线 3(椭圆的两个焦点坐标是( ) A、(-3,5), (-3,-3) B、(3,3),(3,-5) C、(1,1),(-7,1) D、(7,-1),(-1,-1) 2-y=0表示同一曲线的方程是( ) 4(下列参数方程(t为参数)与普通方程x A、 B、 C、 D、 5(曲线的参数方程是(t是参数，t?0)，它的普通方程是( ) 2 A、(x-1)(y-1)=1 B、y= C、y=-1 D、y=+1 答案与解析 答案:1、C 2、A 3、B 4、D 5、B 解析: 1(本题考查三角变换及直线的参数方程。 解:由直线方程知此直线过定点(3，0)，那么它的斜率k===-ctg20?=tg(90?+20?)=tg110?。因此直线的倾斜角为110?。故应选C。 2(本小题考查化参数方程为普通方程的方法，及解不等式的知识。 解:消去参数t，得x-3y-5=0。因为0?t?5，所以2?x?77，-1?y?24。因此是一条线段，故选A。 3(本小题考查参数方程和椭圆方程的知识，以及坐标轴平移。 解:原方程消参得=1，是中心为(3，-1)，焦点在x=3这条直线上的椭圆，c=4，?焦点坐标为(3，3)及(3，-5)，所以选B。 4(本小题考查参数方程和三角函数式的恒等变形 22 解:选项A中x?0，与x-y=0中x的取值范围不符;B中，-1?x?1，与x-y=0中的x范围不符; 22222 C中，y==ctgt=，不能化成x-y=0;D中，y==tgt=x，即x-y=0，故选D。 7 5(本题考查参数方程的知识。 解:由参数方程得消去t，得=1-y， y=1-=。故选B 参数方程、极坐标知识小结 一、求轨迹的参数方程 (1)对于曲线的参数方程应注意以下两点:一是参数方程中参数的变化范围是有限制的;二是给出一个t，解出唯一对应的x, y的值，因而得出唯一的对应点。 (2)可供选择的参数较多，如角度、时间、点的坐标、位移、直线斜率等。 二、普通方程与参数方程的互化 1(注意方程等价性 在曲线的普通方程与参数方程的互化中应注意方程的等价性(通过参数的取值范围推出x、y的取值范围。 2(消去参数，把参数方程化为普通方程 化曲线的参数方程为普通方程可用代数消元法和三角消元法，如果参数方程中不含三角函数式，或者参数方程中虽含三角函数式，但三角函数中不含参数，用代入等代数方法消去参数;如果三角函数式含参数，可用三角函数关系消去参数。当然问题不是绝对的，有的题目既可以用代数方法又可用三角方法。 3(普通方程化参数方程 由普通方程化为参数方程，应注意恰当地选择参数，一般在与运动有关的问题中往往选时间为参数，与旋转有关的某些曲线中往往选角度为参数。参数选择得不同，所得方程也不同。因此，同一条曲线的参数方程不是唯一的。注意 应用参数方程及参数的几何意义解题，有时可使解法简便。 三、求轨迹的极坐标方程 1(直接法 建立极坐标方程常常可以在一个三角形中实现。也就是说，建立起这个三角形中的边角关系，就是建立了极坐标方程。 2(转移法 如果已知某直线的极坐标方程，求受该直线制约的动点轨迹方程时，常使用转移法，利用已知的极坐标方程推出所求的极坐标的方程。 3(参数法 在建立曲线的极坐标方程时也可运用参数法，先适当地选取参数t，建立动点的坐标ρ、θ与t的关系: 8 (t为参数) 这就是动点轨迹的参数方程。再消去参数t，就得到极坐标方程。 注意 在求曲线的极坐标方程时，要特别注意点的极坐标(ρ, θ)取值范围。因为在极坐标系中，平面上所有点的 0，0?θ?2π，则除极点外，平面内的点和它的极坐标集合与极坐标之间不是”一一对应的;一般情况下，如果限制ρ, 之间便可以一一对应。但是这样的限制对于研究曲线的极坐标方程有时有妨碍。如限制0?θ?2π，那么螺线ρ=aθ只表示动点M的轨迹的一部分，这时螺线只剩下圈了，这显然是不合适的。 四、极坐标方程与直角坐标方程互化 1(极坐标方程与直角坐标方程互化时要注意以下两点: ?在一般情况下ρ取正值，θ取最小正角; ?由tanθ=求θ时，因为在(0,2π)中满足条件的θ的值有两个，这必须由原来的点所在的象限来确定θ的值。 2(化直角坐标方程为极坐标方程应注意所得方程之间的关系。例如所求极坐标方程为ρ=0及ρ=2asinθ。因为ρ=0包含于ρ=2asinθ，所以最后答案方程为ρ=2asinθ即可。 3(化极坐标方程为直角坐标方程时注意方程变形时的等价性。 五、极坐标系中点的对称性 若点P(ρ,θ), 则点P关于极轴的对称点是(ρ,-θ)或(-ρ, π-θ);关于极垂线的对称点为(ρ,π-θ)或 (-ρ,-θ);关于极点的对称点是(ρ,π+θ)或(-ρ,θ)。

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