中考数学开放性问题

中考中的开放性问题                                 重庆  郝廷福       随着新课程改革的不断深入,新课程标准的不断完善。数学试题应设计一定的“开放性问题”是各地中考的必然。在中考数学能力方面主要考查的是：“数感和符号感，空间观念，统计观念，初步的推理能力，以及和解决实际问题的能力等。”     所谓开放性问题的最大特征就是条件和结论具有较大的开放性，即在题目中，让试题的条件、结论或者过程的一个方面或全部不给出惟一性，有待于探究，给考生提供了自主探究和创新学习的空间有利于培养学生的创新意识，因此开放性问题越来越受到中考命题者的青睐，成为全国各地中考数学试题的热点。开放性问题有探究条件、结论、存在、规律、命题变换等类型，其中最常见的是条件探究、结论探究、策略探究即解题方法的探究等。     数学开放性题是指那些条件不完整、结论不确定、解法不限制的数学问题。它的显著特点是正确答案不唯一，常见的题型有：条件开放与探索、结论开放与探索 、解题方法的开放与探索等。 一、 重点考点解读 1.  一个数学问题中，通常包括四个部分，即：已知条件、解题依据、解题方法和结论。如果四部分齐备，称之为封闭性问题；如四部分不齐备，称之为开放性问题。常见的类型包括：归纳型问题、成在型问题、分析型问题、全面探索型问题等。 2.  解开放性的题目时,要先进行观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明；同时，通常要结合以下数学思想方法：分类讨论，数形结合，分析综合，归纳猜想，构建数学模型等。     二、 各地中考考题再现 （一）、选择题： 1、(2007浙江金华)一次函数与的图象如图， 则下列结论①；②；③当时，中，正确的个数是（    ） A．0        B．1        C．2        D．3 2、(2007贵州遵义)如图是2007年5月的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程思想来研究，发现这三个数的和不可能是（    ） A．27        B．36        C．40        D．54 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (第1题)图)图                                                                         (第2题图)                                  3、(2008年广东湛江)如图所示，已知等边三角形ABC的边长为，按图中所示的规律，用个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是（  ） ┅┅                             （第3题图）    Ａ．            Ｂ．            Ｃ．          Ｄ． 4、（2008浙江台州）、课题研究小组对附着在物体表面的三个微生物（课题小组成员把他们分别标号为1，2，3）的生长情况进行观察记录．这三个微生物第一天各自一分为二，产生新的微生物（分别被标号为4，5，6，7，8，9），接下去每天都按照这样的规律变化，即每个微生物一分为二，形成新的微生物（课题组成员用如图所示的图形进行形象的记录）．那么标号为100的微生物会出现在（    ） A．第3天        B．第4天        C．第5天        D．第6天 5、(2008湖北荆门)科技馆为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按 照图中所示的行走，那么该机器人所走的总路程为 (    ) (A) 6米．  (B) 8米．    (C) 12米．  (D)不能确定． 否 B （第4题）图） （二）、填空题： 6、(2007江苏泰州)请写出一个原命题是真命题，逆命题是假命题的命题        。 7、（2007河北）已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A、B、C为顶点的三角形的面积为1 个平方单位，则点C的个数为        个． 8、（2007重庆）将正整数按如图所示规律排列下去．若用有序实数对表示第排 从左到右第个数，如：表示实数9，则表示的实数是        ．   1                第1排   2  3              第2排 4  5  6            第3排 7  8  9  10          第4排 …… 第 8题图 9、（2007牡丹江）如图，已知矩形中，经过对角线的交点，且分别交于，请你添加一个条件：            ，使四边形是菱形． 10、（2008重庆）如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个2×2的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3×3的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4×4的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个，若这样铺成一个10×10的正方形图案，则其中完整的圆共有                            个.                               （ 第10题图） （三）、解答题：   11、（2008浙江杭州）在凸多边形中, 四边形有2条对角线, 五边形有5条对角线, 经过观察、探索、归纳, 你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条? 简单扼要地写出你的思考过程。   12、（2008湖南常德）如图，在梯形ABCD中，若AB//DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形． Ｏ   （1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少（注意：全等看成相似的特例）？ （2） 请你任选一组相似三角形，并给出证明．   三、考题分类解析： （一）条件开放型 例1、（07南京市）已知点位于第二象限，并且，为整数，写出一个符合上述条件的点的坐标：                ． 解析：由已知可得x＜0,y＞0,所以x＞-4,又x为整数，故x=-1、-2、-3。当x=-1时，y可以为1、2、3。当x=-2时，y可以为1、2。当x=-3时，y只能为1。因此符合条件的有六个写出其中的任一个即可。 简评：本题的条件较多，数字之间的关系复杂，所以要以讨论不等式的解为基础，由浅入深地进行探求，它有效地考查了我们的计算、分类、归纳的能力。 例2、 观察下列等式，你会发现什么规律： 1×3＋1＝；2×4＋1＝；3×5＋1＝；4×6＋1＝；……． 将你发现的规律用仅含字母n（n为正整数）的等式表示出来；                                       。 解析：这类题仅要求写出结果，并不要求严格证明．解这类题是以深刻地观察、分析、归纳              其数字内在的规律为基础的，由已知的4个等式发现：等式的左边是含有乘法和加法运算的    两项式，两个加数中一个是1，另一个是两个自然数的乘积，这两个自然数相差2，而等式          的右边是一个自然数的平方，且这个自然数是等式左边相乘两个自然数中间的数。其结果为：     n·（n+2）+1=（n+1）2  。 （例3图） 简评：由于这类题能有效地考查学生观察、分析、归纳数学算式的规律的能力。所以在新课程标准深入贯彻的今天，倍受中考命题者的青睐，多练几道，信心倍增哟。 例3、（2008浙江丽水）如图，正方形中，与分别是、上一点． 在①、②∥、③中，请选择其中一个条件，证明． （1）你选择的条件是    （只需填写序号）； （2）证明： 解析：此题是一个条件开放型试题，①、②、③都可以选择。只是证明方法不同而也。证明略。 简评：解答这类问题往往是把结论反过来当条件用，利用正方形的性质及全等三角形的判定方法构造全等三角形，使问题得以求解。 (二)  结论开放型 例4、（2008浙江义乌）李老师给出了一个函数，甲、乙、丙三位学生分别指出这个函数的一个特征．甲：它的图像经过第一象限；乙：它的图像也经过第二象限；丙：在第一象限内函数值y随x增大而增大．在你学过的函数中，写出一个满足上述特征的函数解析式  ． 解析：由甲、乙两个已知条件可以得出，次函数不是正、反比例函数，所以只能是一次函数或者是二次函数。然后结合函数的图像位置和性质推得若是一次函数，则一次项的系数和常数项都应大于零；若是二次函数，它的开口方向向上、顶点必在二、三象限或y轴的正方向 。故本题答案不唯一，只要形如y=kx+b(k＞0,b＞o);y=a+bx+c(a＞0,b≥0)即可。 简评：对于函数中相关问题的结论的不确定性进行考查是进年来中考的一个亮点，解题时要注意画出符合条件的草图，根据图像的性质特征，数形结合的思想进行猜想、归纳、推理透析出给定条件下可能存在的结论。 例5、（06莆田市）已知矩形ABCD和点P，当点P在边BC上任一位置（如图①所示）时，易证得结论：PA2+PC2=PB2+PD2，请你探究：当P点分别在图②、图③中的位置时，PA2、PB2、PC2和PD2又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图②证明你的结论．     答：对图②的探究结论为__________． 对图③的探究结论为_________． （例4图） 解析：由PA2+PC2=PB2+PD2的特点不难猜想要创造直角三角形，利用勾股定理来解决。因此作辅助线构造直角三角形是关键。结论均为：PA2+PC2=PB2+PD2 证明：如图②过点P作MN⊥AD交AD于点M，交BC于点N．     ∵AD∥BC，MN⊥AD，∴MN⊥BC     在Rt△AMP中，PA2=PM2+MA2     在Rt△BNP中，PB2=PN2+BN2     在Rt△DMP中，PD2=DM2+PM2     在Rt△CNP中，PC2=PN2+NC2     ∴PA2+PC2=PM2+MA2+PN2+NC2     PB2+PD2=PM2+DM2+BN2+PN2     ∵MN⊥AD，MN⊥NC，DC⊥BC．     ∴四边形MNCD是矩形．     ∴MD=NC．     同理  AM=BN．     ∴PM2+MA2+PN2+NC2=PM2+DM2+BN2+PN2．     即PA2+PC2=PB2+PD2． 简评：本题是一道结论开放题，通过阅读题目已知条件及要求，不难探究出正确结论，但是说明理由时，有一定的难度．正确作出辅助线，创造使用勾股的条件，是解决问题的关键． （三）  策路开放型 例6、有一块方角形钢板如下图所示，请你用一条直线将其分为面积相等的两部分（不写作法，保留作图痕迹，在图中直接画出）                           （例6图） 解析：如图中的虚线和直线所示。 例7、（2007哈尔滨）现将三张形状、大小完全相同的平行四边形透明纸片，分别放在方格纸中，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，并且平行四边形纸片的每个顶点与小正方形的顶点重合（如图1、图2、图3）．分别在图1、图2、图3中，经过平行四边形纸片的任意一个顶点画一条裁剪线，沿此裁剪线将平行四边形纸片裁成两部分，并把这两部分重新拼成符合下列要求的几何图形．要求：（1）在左边的平行四边形纸片中画一条裁剪线，然后在右边相对应的方格纸中，按实际大小画出所拼成的符合要求的几何图形；（2）裁成的两部分在拼成几何图形时要互不重叠且不留空隙；（3）所画出的几何图形的各顶点必须与小正方形的顶点重合． 有一个角是135°的三角形                         （例7图） 解析：如例7的图所示，思考：能求出拼成的几何图形的周长吗？ 简评：这是设计操作题，本题不同于一般的计算题，它融阅读理解、方案设计和计算于一身，具有开放性 。解决的问题的方案有很多，有的方案设计需要涉及可行性讨论、尝试反思和优化选择等策略等。 例8、情系灾区.  5月12日我国四川汶川县发生里氏8.0级大地震,地震给四川,甘肃,陕西、重庆等地造成巨大人员伤亡和财产损失.灾难发生后,我校师生和全国人民一道,迅速伸出支援的双手,为灾区人民捐款捐物.为了支援灾区学校灾后重建,我校决定象灾区捐助床架60个,课桌凳100套.现租甲、乙两种货车共8辆将这些物质运往灾区,已知一辆甲货车可装床架5个和课桌凳20套, 一辆乙货车可装床架10个和课桌凳10套.（10分） (1)学校如何安排甲、乙两种货车可一次性把这些物资运到灾区?有几种方案? (2)若甲种货车每辆要付运输费1200元,乙种货车要付运输费1000元,则学校应选择哪 种方案,使运输费最少?最少运费是多少? 解析：(1)  设租用甲种货车x辆，则租用乙种货车就为（8-x）辆。由题意得：       解得      2≤X≤4 由已知可得，X为整数，  X=2或3或4  故共有三种方案 （2）方案一：租用甲种货车2辆，租用乙种货车6辆，所需付运输费8400元。方案二：租用甲种货车3辆，租用乙种货车5辆，所需付运输费8600元。方案三：租用甲种货车4辆，租用乙种货车4辆，所需付运输费8800元。又8400＜8600＜8800所以最少运费是8400元。 答：共有3种方案，学校应选择方案一运输费最少，最低运费是8400元。 简评:决策问题可以用的数学知识为载体的很多,在实际问题中要考虑其现实意义,这需要 我们在对基础知识牢固掌握的同时体现时代精神.这种类型的开放题在中考试卷中一般出现在阅读题、作图题和应用题中。 (四)    综合开放型 例9、将连续的奇数1，3，5，7，9……排成如图所示数表： (1)十字框中的五个数的和与中间一个数有什么关系?    (2)设中间的数为X，用代数式表示十字框中的五个数之和． (3)若将十字框上、下、左、右平移，可框住另外五个数，这五个数还有这种规律吗? (4)十字框中的五个数之和能等于2010吗?若能，请写出这五个数．若不能，请说明理由．                                                            解析:(1) 7+21+23+25+39=115=23×5, 十字框中的五个数的和是中间一个数的5倍。 （2）(X-l)+(X-2)+X+(X+2)+(X+16)=5X （3）这五个数仍有这种规律。由(2)将十字框上、下、左、右平移，框住的五个数的和始终等于中间数的5倍 （4）假设十字框中的五个数的和能等于2010即5X=2010，X=402，            (例9图) 而402不是奇数，所以，十字框中的五个数之和不能等于2010。 简评: 解答此类问题关键在于找到数字的排列规律,并用代数式来表示规律,列方程求解,注意检验“解”是否符合题意和规律。 例10、(2007厦门) 已知四边形，对角线交于点．现给出四个条件： ①；②平分对角线；③；④．请你以其中的三个条件作为命题的题设，以“四边形是菱形”作为命题的结论， （1）写出一个真命题，并证明； C （2）写出一个假命题，并举出一个反例说明． 解析: （1）真命题：如图，已知四边形，对角线，交于点．若，平分对角线，，则四边形是菱形． 证明：，． 垂直平分，．． 四边形是平行四边形．，四边形是菱形． （2）已知四边形，对角线，交于点．若，，，则四边形是菱形． 反例：（如图）作等腰直角三角形，．延长至，至，取．连结，则，，．但是四边形是等腰梯形，不是菱形． 简评：这是一道条件和结论都开放的问题，它的条件和结论都不确定，需要我们去认定条件和结论，然后组成一个新命题并加以证明和判断，解决这类问题要从题中条件的种种变化、组合出发，探究它们所能产生的结果，猜想得出答案。 四、达成测评 （一）选择题： 1、下列计算：①；②；③；④．其中正确的个数是（  ） (A ).    1          （B）.      2          （C）.      3        （D）.        4 2、若方程的解是有理数，则实数不能取下列四个数中的（    ） （A）．        （B）．        （C）．        （D）． 3、下列两个命题：①如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；②如果一个等腰三角形有一个内角是，那么这个等腰三角形一定是等边三角形．则下列结论正确的是（  ） （Ａ）．只有命题①正确        （Ｂ）．只有命题②正确 （Ｃ）．命题①、②都正确        （Ｄ）．命题①、②都不正确 4、 一次函数的图象如图所示，则的 取值范围是（    ） （A）．                （B）．        第5题图 （C）．                （D）． 5、如图:在△ABC中，已知∠C=90°，AC＝60 cm，AB=100 cm，a、b、c…是在△ABC内部的矩形，它们的一个顶点在AB上，一组对边分别在AC上或与AC平行，另一组对边分别在BC上或与BC平行. 若各矩形在AC上的边长相等，矩形a的一边长是72 cm，则这样的矩形a、b、c…的个数是(  ) （A）  6                 （B） 7 （C）  8                 （D）9 6、正方体的表面涂满了颜色，按如图所示将它切成27个大小相等的小立方块，设其中仅有个面（1，2，3）涂有颜色的小立方块的个数为，则、、之间的关系为（  ）  （A）－＋＝1  （B）＋－＝1 （C）＋－＝2  （D）－＋＝2                                                     第6题图 7 7、23，33和43分别可以按如图所示方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，63也能按此规律进行“分裂”，则63“分裂”出的奇数中最大的是（  ）                                                                                                                                                            （A）  41  （B）  39  （C）  31  （D）    29              第7题图 8、如图1，是张老师晚上出门散步时离家的距离与时间之间的函数图象，若用黑点表示张老师家的位置，则张老师散步行走的路线可能是(      )                           第8题图 9、根据如图所示的（1），（2），（3）三个图所表示的规律，依次下去第个图中平行四边形的个数是（    ） （3） 第9 题图   （A）．        （B）．        （C）．        （D）． 10、下列说法正确的有（    ） （1）如图（a），可以利用刻度尺和三角板测量圆形工件的直径； （2）如图（b），可以利用直角曲尺检查工件是否为半圆形； （3）如图（c），两次使用丁字尺（所在直线垂直平分线段）可以找到圆形工件的圆心；（4）如图（d），测倾器零刻度线和铅垂线的夹角，就是从点看点时仰角的度数．                                 第10题图     （ A）．1个        （B）．2个        （C）．3个        （D）．4个 (二)  填空题 11、写出一个比大的负有理数是 ______ ; 比大的负无理数是 __________ . 12、已知在△ABC和△A1B1C1中，AB=A1B1，∠A=∠A1，要使△ABC≌△A1B1C1，还需添加一个 条件，这个条件可以是                . 13、在“”方框中，任意填上“”或“”．能够构成完全平方式的概率是          ． 14、直线a、b被直线c所截，若要a∥b，需增加条件             （填一个即可）．                                                                                                                                       第14题图 15、如图正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为(a＋2b)、宽为(a＋b)的大长方形，则需要C类卡片      张。 （第16题图） 第15题图图 16、如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由点开始按的顺序沿菱形的边循环运动，行走2008厘米后停下，则这只蚂蚁停在        点． 17、定义：是不为1的有理数，我们把称为的差倒数． 如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，……，依此类推，则          ． 18、如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面。根据第1—3个图案的排列规律，第6个图案中白色瓷砖的块数应为＿＿＿＿块.                         第18题图 19、一个函数具有下列性质：①它的图像经过点（-1，1）；②它的图像在二、四象限内； ③在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大．则这个函数的解析式可以为              ． 20、寻找规律．表二、表三分别是从表一中选取的一部分，则a+b的值为               ． 0 1 2 3 … 1 3 5 7 … 2 5 8 11 … 3 7 11 15 … … … … … … 11 14 a 11 13 17 b               表一                    表二          表三                                 第20题图 （三）    解答题 21、在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=DC，AD=2，BC=4，延长BC到E，使CE=AD．       （1）写出图中所有与△DCE全等的三角形，并选择其中一对说明全等的理由； （第21题图）       （2）探究当等腰梯形ABCD的高DF是多少时，对角线AC与BD互相垂直？请回答并说明理由． 22、小军与小玲共同发明了一种“字母棋”，进行比胜负的游戏. 她们用四种字母做成10只棋子，其中A棋1只，B棋2只，C棋3只，D棋4只.     “字母棋”的游戏为：     ①游戏时两人各摸一只棋进行比赛称一轮比赛，先摸者摸出的棋不放回；     ②A棋胜B棋、C棋；B棋胜C棋、D棋；C棋胜D棋；D棋胜A棋；     ③相同棋子不分胜负.     （1）若小玲先摸，问小玲摸到C棋的概率是多少?     （2）已知小玲先摸到了C棋，小军在剩余的9只棋中随机摸一只，问这一轮中小玲胜小军的概率是多少?     （3）已知小玲先摸一只棋，小军在剩余的9只棋中随机摸一只，问这一轮中小玲希望摸到哪种棋胜小军的概率最大?