焦点三角形内心和旁心性质

焦点三角形内心和旁心性质 2012年第1期河北理科教学研究问讨论 焦点三角形内心和旁心性质 云南省广南一中玉邴图663300 圆锥曲线上一点和两焦点组成的三角形 叫焦点三角形.它是一个引人注目的三角形. 椭圆焦点三角形的内心和双曲线焦点三角形 的旁心有如下的重要性质. 定理1P是椭圆十:1(n>6> 0)上除去左右顶点外的任一点,E(一C,0)和 F(C,0)是左,右焦点,e是离心率,则aPEF 肭心圆+南eb12eO一C 0),且该椭圆长轴与原椭圆长轴之比等于原 椭圆离心率e. ?朋F的内心为A(,v),PA 证明:设 交轴于,由三角形内角平分线性质知 IBAIlEBIlFBIlEB{+1FB1 丽同面_T可 2C 故由定比分点公式知== ::.故Yp: yp——yAyP——yA (1). 又因为}=e,所以IPF1= {(c一=.一. 另一方面,由椭圆焦半径公式知 If=a—ex.,与上式比较得=e. 由定比分点公式知XA== =e所以=xa(2). 因为点P在椭圆上,故将(1)和(2)代人 椭圆方程得()一1(-l+.ey)=1.化 简整理得所求轨迹为椭圆+南=\J 1(Y?0)(因为点P不能在轴上,故Y? 0).因此椭圆的长半轴长为c,它是原椭圆的 半焦距,而原椭圆的长半轴长为a,所以两椭 圆长轴长之比等于原椭圆的离心率e. 定理2设P是双曲线一=1( ao >0,b>0)上除去左右顶点外的任一点, E(一c,0)和F(C,0)是左,右焦点,e是离心 率,则APEF的旁心轨迹是双曲线一 南=l(),?0),且该双曲线实轴与原\J 双曲线实轴之比等于原双曲线离心率e. 证明:设PA交轴于B,不妨设旁心 A(,),)是PEF内角平分线和EPF, EFP外角平分线的交点,由三角形内外角 平分线性质知::}: 故=一BA PFaAP. 由IPEJ— JJ一一’…一’ 上式及定比分点公式知:=.三 ::..从而得:(1).由 ye—yA 2012年第1期河北理科教学研究问题讨论 佩 [FBI=, 得『PFI=?(一c)=警一 另一方面,由双曲线的焦半径公式知 lPF『:eP—a,比较两式得口=eP.由 定比分点公式知== 气=e所以=xa(2). 由(1)和(2)得=詈,yP:y.因 为点P在双曲线上,所以()一 去(y):1.化简整理得所求轨迹为双 一 南酌不 能在轴上,故Y?0). 因为此双曲线实半轴长为c,它是原双 曲线的半焦距,而原双曲线的实半轴长为a, 所以两双曲线实轴长之比等于原双曲线的离 心率e. 有了上述两个定理,我们可容易得到下 面的结论. 推论1P是椭圆+=1(口>6> 0)或双曲线一:l(0>0,b>0)上的 一 点,E(一C,0),F(c,0)是两焦点,若椭圆 焦点APEF的内切圆或双曲线焦点APEF 的旁切圆半径为r,则APEF的面积S= r(a+c). 证明:(1)对于椭圆,由定理2的证明得 =),,又因为I),I=r,所以I弦l= fyAJ.:r,故s=1IEFI『l= :,(口+). (2)对于双曲线,由定理2的证明得Y =,又因为ly{=r,所以ll= fy小=r,故s=1lEFIl『= ?:,(0+.). 推论2P是椭圆x+告=1(?>b> 0)或双曲线x一=1(?>0,b>0)上的 一 点,E(一C,0),F(C,0)是两焦点,若椭圆 焦点APEF的内心A或双曲线焦点PEF 的旁心A的纵坐标的绝对值为m,则PEF 的面积S=ITt(aq-c). 证明:设P(,y),则由定理1和定理2 的证明得y尸=半y. 故由题意得If=}l= Lm. 所以Js:1fEFIJf:cm.p. 推论3P是椭圆+=1(0>b> IU ,’ o)或双曲线一=1(0>0,b>0)上的 UU 一 点,E(一C,0),F(c,0)是两焦点,若椭圆 焦点APEF的内切圆或双曲线焦点PEF 的旁切圆圆心A的横坐标为,则 (1)对于椭圆,l船l:a+,『PFl= a—: (2)对于双曲线,IPI:Ia+I, lPFl:la—f. 证明:(1)由定理1的证明知=, 故由椭圆焦半径公式得l船l=a+eN,=a ? 11? m 2012年第1期河北理科教学研究问题讨论 (2)根据定理2的证明,由}:e,得 PF1:(一c):—X—B一8. 另一方面,由双曲线的焦半径公式知 PFI=exP一0,比较两式得B=eP.由 (上接第3页) 例8已知函数厂():l一口l+ ?(>0),欲使,()?专恒成立,求口的 取值范围. 解:欲使f() ? 1恒成立 ,即是 使l一.I?一 {(>0)恒成立, 也.就是府满足什 J g)=口I \ .二0.5 Da9”-2 ,1f,11/J一 2一一X 图1 么样的条件,使得左边的譬()= l一口I的函数图像在右边的()={一二 函数图像上方.如图,由():, 是双曲线,与轴交点是(2,0),在(0,+?) 上单调递增.所以,当且仅当口?2时, I一0l?1一1.恒成立. 故口的取值范围是(一?,2]. ? l2? 定比分点公式知一== =e所以:詈(2). 故由双曲线焦半径公式得fPEf: f.+ef:l.+.f:fn+ lPFI=I?一l=I.一e?l= 10一1. 评注:某些含参不等式恒成立的问题,不 等式两边的式子,函数模型较明显,函数图像 较容易作出的,可以考虑作出函数图像,用函 数图像的直观性解决不等式或方程的恒成立 的问题,也非常容易得到意想不到的效果. 含参不等式恒成立问题形式多样,方法灵 活多变,技巧性较强.这就要求我们要以变应 变,在解题过程中,要根据具体的题设条件,认 真观察题目中不等式的结构特征,从不同的角 度,不同的方向,加以探讨,从而选择适当 转化方法快速而准确地解出.当然除了以上的 方法外,还有许多其它的方法,值得一提的是, 各种方法之间并不是彼此孤立的. 参考文献 1蔡德华.含参数的不等式Ia—f(x)I—g(x)恒成 立问题的一个常见错误解法[J].中学数学教学 参考(上半月?高中),2008(8):32—33 2褚人统.”2009年高考:我的优质训练题”征文选 登[J].中学数学教学参考(上半月?高中),2009 f1/2):55—98 一 口 = P 一 0 = P +. 0 =一 一 +.