物体的重心

物体的重心 黄 河 水 利职业技术学院 课时授课 授 课 日 期 年 月 日 节 年 月 日 节 年 月 日 节 授 课 班 级 课题与主要 物体的重心及形心 内 容 教学目的 了解物体重心坐标的一般公式及均质物体、平面图形的形心坐标公(((与要求 式。学会计算平面组合图形的形心。 ((((教学重、难点 积分法求解形心位置(难点) (((((4-11(a)(b) 布 置 作 业 (((((教 学 内 容 与 方 法 步 骤 附 记 ((((?4 物体的重心 ((一、重心概念 装本节重点((平行力系的合力的大小即为物体的重量，合力的作用点即为物体的重心。 掌握组合((((二、物体重心坐标公式 截面形心(((1、重心坐标的一般公式 的计算 ((((2、均质物体重心(形心)坐标公式 订3、均质薄壳重心(形心)坐标公式 (((((,A,y,Ax(,,iii(x,y, (cc(,A,A(,,ii线(三、物体重心与形心的计算 (((根据物体的具体形状及特征，可用不同的确定其重心及形心的位置。 ((((1、对称法 ((((1)具有一根对称轴的简单物体及图形，其形心必在对称轴上; (((((2)具有两根或两根以上对称轴的物体及图形，其形心在对称轴的交(((点上; (((( (3)中心对称的简单物体及图形，其对称中心便是重心或形心。 2、积分法 dA若将平面图形分割成无穷多个微分面积，在极限情况下用积分公式 3、组合法 工程实际中，有些物体的截面是由若干个简单图形组成的，这种图形 称为组合图形，这些截面称为组合截面。由于简单图形的面积及形心一般是已知的，因此计算组合截面的形心时可以利用这些已知结果。 教学方法教 学 内 容 与手段 ?4 物体的重心 在工程中，物体重心的位置具有重要意义。例如挡土墙、重力坝、起 重机的抗倾覆稳定性问题，都与它们的重心位置有关，高速运转部件的重 心如果不在轴线上，将引起机械的剧烈震动，因此必须了解重心的概念和重心位置的求法。 一、重心概念 在地球表面附近的物体，它的每一部分都受到地球引力的作用，这些平行力系引力汇交于地球的中心，形成一个空间汇交力系，但由于我们所研究的物重心、形体其尺寸与地球的直径相比要小得多，因此可以近似地将物体上这部分力心、重心对系看作是空间平行力系，这个平行力系的合力的大小即为物体的重量，合于物体的力的作用点即为物体的重心。 相对位置二、物体重心坐标公式 的不变性1、重心坐标的一般公式 等概念要将物体分成许多微小部分n份 阐述清楚 各微小部分所受到的地球引力(重力)以表示 ,F,F,,,,FG1G2Gn 各微小部分作用点坐标为 (xyz)(xyz),,,(xyz)111222nnn n 则物体的重量为 F,,F,,F,,GGiGin,1 重心的坐标用(x，y，z)表示，根据空间力系的合力矩定理，对xCCC 轴取矩，则 M(,F),,F，y，,F，y，,,,，,F，y,,F，y,,xGG11G22GnnGii M(F),,F，y,F，y ,xGGcGc F，y,,F，y因 ,ccGii ,F，y,F，y,,GiiGiiy,,则 c F,F,GGi ,F，x,F，x,,GiiGii同理 x,,c F,F,GGi ,F，z,F，z,,GiiGii z,, cF,F,GGi 物体连同坐标轴转90度，而使坐标面oxz成为水平面，由重心的概念 知，此物体重心的位置不变，再对x轴应用合力矩定理求Z。 c 体积为V。假想把物体分割成许多微小体积ΔV，每个微小体积所受的i 重力为ΔF=γΔV，其作用点坐标为(x，y，z)。整个物体所受的重力Giiiii 为F=??F。应用合力矩定理可以推导出物体重心的近似公式 GGi 2、均质物体重心(形心)坐标公式 对于均质物体(常把同一材料制成的物体称为均质物体)，其容重γ为 常量(物体每单位体积的重量)，各微小部分的体积为，,V,V,,,,V12n V整个物体的体积为 则有 ,F,,V,,F,,V,,,,,F,,V,G11C2Gnn F,,F,V, ,GGi ,,V,x,Vx,,iiii得 x,, c,V,,V,,i ,,V,y,Vy,,iiii y,, c,V,,V,,i ,,V,z,Vz,,iiiiz,, c ,V,,V,,i 由上可知:?均质物体重心完全决定于物体的几何形状，而与物体的 重量无关。?由物体的几何形状及尺寸所决定的物体的几何中心，称为形 心，上式也是物体形心的坐标公式。?对于均质物体来说，形心与重心重 合。 3、均质薄壳重心(形心)坐标公式 由于薄壳的厚度远小于其它两个方向尺寸，可忽略厚度不计， ,V,,At,V,,At,,,,V,,At则 112nn ,V,,At ,,ii ,Vx,At,x,Ax,,,iiiiii故形心公式为 x,,,c ,V,At,A,,,ii ,A,y,Vy,At,y,,,iiiii y,,, c,V,At,A,,,ii 三、物体重心与形心的计算 根据物体的具体形状及特征，可用不同的方法确定其重心及形心的位 置。 1、对称法 对于形状比较规则的物体及图形，其重心及形心可根据对称性直接判断。 (1)具有一根对称轴的简单物体及图形，其形心必在对称轴上; (2)具有两根或两根以上对称轴的物体及图形，其形心在对称轴的交 点上; (3)中心对称的简单物体及图形，其对称中心便是重心或形心。 2、积分法 dA若将平面图形分割成无穷多个微分面积，在极限情况下，上式写成: xdAydA,,AA x,y, CCdAdA,, AA 3、组合法 着重说明 工程实际中，有些物体的截面是由若干个简单图形组成的，例如梯形组合法求可以认为是由两个三角形(或一个矩形、一个三角形)组成的，T形截面是形心位置 由两个矩形组成的，这种图形称为组合图形，这些截面称为组合截面。由 于简单图形的面积及形心一般是已知的，因此计算组合截面的形心时可以利用这些已知结果。 n Ax,iiAx，Ax，？？，Axnni1122,1 ,,xCn，，？？，AAAn12A,ii,1 n Ay,iiAyAyAy？？，，，1122,1nniy ,,CnAA？？A，，，12nA,i,1i例1:求图示槽形形心的位置。 解:=0 xC 15，7.5，3.75,10，5，2.5==4.75cm yC15，7.5,10，2.5 说明:1、辅助坐标的建立 2、负面积法 例2、求图示T形形心的位置。 x解:=0 C 10，60，5，40，20，30y,,19.3cmc10，6，40，20 10，60，0，40，20，25y,,14.3cm c10，60，40，20 40，20，20，60，10，45y,,30.7cmc10，60，40，20