质点组的角动量变化定理角动量守恒一质点组的角动量变化（可编辑）

质点组的角动量变化定理角动量守恒一质点组的角动量变化（可编辑） 质点组的角动量变化定理角动量守恒一质点组的角动 量变化 理学院 物理系 陈 强 第5章 角动量变化定理与角动量守恒 ?5-3.质点组的角动量变化定理角动量守恒 一.质点组的角动量变化定理 m 1.一对内力的力矩之和为零 i Fr r i ? i j r r r m jf 和f f 如图示,一对内力 f ij ji ij r f ij i ji r r r r r r r j M + M r × f + r × f i j i ij j ji F r j r r O r ?r × f i j ij 0 r r ? M dt + M dt 0 i j 一对内力的角冲量之和为零 19 1理学院 物理系 陈 强 第5章 角动量变化定理与角动量守恒 2.质点组的角动量变化定理 r r L L质点组角动量: 对同一点 ? i i r r r d L d d L i ( L ) ? ? i dt dt dt i i r r r r (M + M ) M + M ? i i 外 外 内 内 i r r r r M M r × F 式中: 外 ? i 外 ? i i i i r r r rM M r × f 内 ? i 内 ? i ? ij i i j ? i 因为一对内力的力矩之和为零 r r M M 0 ? ? 内 i 内 20 i 2理学院 物理系 陈 强 第5章 角动量变化定理与角动量守恒 r r r r d L M 和L 都对同一点 于是有: M 外 外 dt ——质点组的角动量变化定理微分形式 质 点 组 所 受 的 合 外 力 矩 等 于 它 的 角 动 量对时间的变 化率。 r r r r r t L 2 2 Mdt dL LL ΔL 2 1 ?? t L 1 1 ——质点组的角动量变化定理积分形式 质点组角动量的增量等于作用于质点组的角冲量。 21 3理学院 物理系 陈 强 第5章 角动量变化定理与角动量守恒 二.质点组的角动量守恒定律 1.质点组的角动量守恒条件 由质点系的动量 矩 定 理,若对于某点而言,质点系所受 的外力矩之和为零, 则质点系对该点的 动量矩 不随时 间改变,即: r r r 若 M 0 , 则 L C 外 ——质点组的角动量守恒定律 r M 0 ??质点组的角动量守恒条件 外 22 4理学院 物理系 陈 强 第5章 角动量变化定理与角动量守恒 r r F 2.合外力为零时合外力矩与参考点无关 1 m F 1 2 参考点O , 合外力矩 r r m r r r ′ r r 2 1 r r M M r × F 1 ? i ? i i r i i 2 r r ′ r 参考点O ′ , 合外力矩 2 r O 3 r r r r m r 3 ′ ′ ′ M M r × F ? ? i i i r R r i i ′ r r r r r r 3 r r r r O ′ F 3 ′ ′ ′ M - M r × Fr × F rr × F ? i i ? i i ? i i i i i i r r r r R × F R × F ? i ? i i i r r r F 0 ′ 当 M M ? i i 23 合外力为零时合外力矩与参考点无关 5理学院 物理系 陈 强 第5章 角动量变化定理与角动量守恒 R 例:如图, 理想轻滑轮, 轻绳, T T 2 1 m m , 从静止开始, O 1 2 m m υ′ 2 1 υ′ 问哪个猴先到? 1 2 m g m g 解: m , m 系统合外力矩为 m m 1 2 1 1 2 2 零, 对O角动量守恒 设右边 绳对地 速度为V, 方向向上′ ′ υ , υ 为m ,m 对绳的速度,有 1 2 1 2 ′ ′ m υ ?V Rm υ +V R 0 1 1 2 2 ′ ′ 解得 V υυ 2 1 2 ′ ′ υ υ υ + υ 2 1 2 1 2 24 6理学院 物理系 陈 强 第5章 角动量变化定理与角动量守恒 小结:动量与角动量的比较 r r r r r p m v 角动量 动量 ? L r × p i i ? i i i i 矢量 矢量 与固定点有关 与固定点无关 与内力矩无关 与内力无关 r r r 守恒条件 r × F 0 守恒条件 F 0 ? ? i i i i i 25 7理学院 物理系 陈 强 第5章 角动量变化定理与角动量守恒 ?5-4.有心运动 一 质 点在有心力场中的运动方程 1 有心力 方向始终指向或背向一个固定中心的力, 有心力: 固定中心叫力心。 有心力场: 有心力存在的空间。 有心力的大小仅与参考点P到力心 中心对称有心力: O的距离r有关,即 r r F Fr e r 可以证明,这类有心力必定是 保守力 。 26 8理学院 物理系 陈 强 第5章 角动量变化定理与角动量守恒 r r r r Fe Fr Fr r r r r bb b rr r r F? dr F r ? dr F r dr ?? ? r aa r a 这里,被积函数只是r的函数,积分值仅与起点位置和 终点位置有关,而与积分路径无关。 r r r r rr rr 11 1 2 r?drr ?dr+dr?rd r?rdrrdr 22 2 27 9理学院 物理系 陈 强 第5章 角动量变化定理与角动量守恒 2 运动方程 在有心力场中运动的质量为m的质点,其运动方程为 r r & & mr Fr e r 一般而言,这是一个三维的运动方程。 3 二维平面运动与运动方程 由于质点所受的力始终指向或背向力心,当质点 在初始时刻的速度v 给定后,质点以后就只能在 0 初速度v 和初始位矢r所构成的平面内运动,所 0 以, 有心力场中质点的运动必定在一个平面上, 是二维的。 28 10理学院 物理系 陈 强 第5章 角动量变化定理与角动量守恒 二 角 动量守恒和机械能守恒 1 有心力场中运动的质点的特点 角动量守恒: 由于有心力对力心O的力矩为零,所 以在有心力场中运动的质点对 力心O 的角动量守恒; 机械能守恒: 由于有心力是保守力,所以在有心力 场中运动的质点的机械能也守恒。 在处理有心力场中质点运动的问时,灵活运用这 两个守恒定律是极其重要的。 29 11理学院 物理系 陈 强 第5章 角动量变化定理与角动量守恒 2 二维平面运动与角动量守恒 r r r L r × m v 由于角动量守恒,即它在空间固定不变,根据矢 量积的性质就可以得出结论,r只能在垂直于L 并 通过原点的平面内运动。 30 12理学院 物理系 陈 强 第5章 角动量变化定理与角动量守恒 [ 例] 试利用角动量守恒定律,证明关于行星运动的开普 勒第二定律:任一行星和太阳之间的联线,在相等的 时间内扫过的面积相等,即掠面速度不变。 [证明] 行星对太阳O的角动量 的大小为 r r L r × p r m v sin θ r r r p v 其中 θ 是径矢 r 与行星的动量 或速度 之间的夹角。 Δs Δt 用 示时间 内行星所走过的弧长,则有 Δ s L lim r m sin θ Δ t ? 0 Δ t 31 13理学院 物理系 陈 强 第5章 角动量变化定理与角动量守恒 r 若用 表示从O到速度矢 ? r 量v 的垂直距离,则有 r sin θ Δs r Δs 2 ΔS ? 其中 ΔS 是时间 Δt 内行星与太阳间的联线所扫过的面 积。于是,行星对太阳O的角动量的化为 ΔS dS L lim 2m 2 m 其中dS/dt 称为掠面速度. Δ t ? 0 Δt dt 由于万有引力是有心力,它对力心O的力矩总是等于 零,所以角动量守恒,L 常量,亦即 dS L 常量 ??开普勒第二定律 32 dt 2m 14理学院 物理系 陈 强 第5章 角动量变化定理与角动量守恒 质点角动量变化定理和角动量守恒定律的适用条 件?为什么? 条件:惯性参考系中的固定参考点 1。推导角动量定理时用到了牛顿第二定律; 2。力距和角动量是对参考点定义的物理量,相应的 物理规律是对参考点的规律; 3。推导角动量定理过程中,还用到了dr/dtv, 只有 参考点固定不动时,dr/dt 才是质点速度。 33 15理学院 物理系 陈 强 m表示人的质心 分析荡秋千原理: 第5章 角动量变化定理与角动量守恒 O ? 1?2: 人迅速蹲下,使有效 ′ 摆长 由 变 为l ; Om l θ′ θ l ′ ? 2?3: 对 (人+ 地球)系统, l ′ l 5 ? 只有重力作功,机械能守恒: m v ′ ? 1 1 ? 2 4 3 mv mgl1cos θ (1) ? 2 2 ? v ? 3?4: 人 对O , M 0 , 外 ′ ′ m v l m v l 角动量守恒: (2) ? 4?5: 对 (人+ 地球)系统, 机械能守恒: 1 2 ′ ′ ′ mv mgl 1cos θ (3) 34 2 16理学院 物理系 陈 强 第5章 角动量变化定理与角动量守恒 (1)、(2 )、(3)联立解得: O 3 ′ 1cos θ l 1 3 θ′ 1cos θ ′ l θ l ′ l ′ l 5 ? m v ′ ′ ?cos θ cos θ , ? 1 ? 4 3 ′ θ θ 。 ? 2 ? v 即人越摆越高。 思考 人越摆越高,能量从哪儿来? 35 17