建模
本文是一个对传染病的研究问题。通过把一般把传染病流行范围内的人群分成
三类:S类,易感者(Susceptible),指未得病者,但缺乏免疫能力,与感染者接触后容易受
到感染;I类,感病者(Infective),指染上传染病的人,它可以传播给S类成员;R类,移
出者(Removal),指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。建立数学模型用极限和微积分等数
学方法对传染病传播规律进行研究。
传染病 极限和微积分
〔Infectious Diseases〕是由各种病原体引起的能在人与人、动物与动物或人与动物之间相互传播的一类疾病。病原体中大部分是微生物,小部分为寄生虫,
寄生虫引起者又称寄生虫病。有些传染病,防疫部门必须及时掌握其发病情况,及时
采取对策,因此发现后应按规定时间及时向当地防疫部门报告,称为法定传染病。中
国目前的法定传染病有甲、乙、丙3类,共37种
医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病,天花在世界范围内被消灭,
鼠疫、霍乱等传染病得到控制。但是仍然有一些传染病暴发或流行,危害人们的健康和生
命。在发展中国家,传染病的流行仍十分严重;即使在发达国家,一些常见的传染病也未
绝迹,而新的传染病还会出现,如爱滋病(AIDS)等。有些传染病传染很快,导致很高的致残率,危害极大,因而对传染病在人群中传染过程的定量研究具有重要的现实意义。
传染病流行过程的研究与其他学科有所不同,不能通过在人群中实验的方式获得科学
数据。事实上,在人群中作传染病实验是极不人道的。所以有关传染病的数据、资料只能
从已有的传染病流行的报告中获取。这些数据往往不够全面,难以根据这些数据来准确地
确定某些参数,只能大概估计其范围。基于上述原因,利用数学建模与计算机仿真便成为
研究传染病流行过程的有效途径之一。
上世纪初,瘟疫还经常在世界的某些地区流行,被传染的人数与哪些因素有关?如何
预报传染病高潮的到来?为什么同一地区一种传染病每次流行时,被传染的人数大致不
变?
社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播,而最直
接的因素是:传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能
力、免疫能力等,在建立模型时不可能考虑所有因素,只能抓住关键的因素,采用合理
的假设,进行简化。
1
徐世音 传染病模型
我们把传染病流行范围内的人群分成三类:S类,易感者(Susceptible),指未得病者,但缺乏免疫能力,与感病者接触后容易受到感染;I类,感病者(Infective),指染上传染病的人,它可以传播给S类成员;R类,移出者(Removal),指被隔离,或因病愈而具有免疫力的人。
SI模型1
SI模型是指易感者被传染后变为感病者且经久不愈,不考虑移出者,人员流动图为:
S?I。
假设
1.每个病人在单位时间内传染的人数为常数k0。
2.一人得病后,经久不愈,人在传染期内不会死亡。
iit() 记时刻t的得病人数为0,t,开始时有个传染病人,则在时间内增加的病人数为
ittitkitt()()(),,,,,0
于是得:
dit(),,kit(),0dt,
,ii(0),,0
kt0itie(),0其解为:。
分析与解释:这个结果与传染病初期比较吻合,但它
明病人人数将按指数规律无限增加,
显然与实际不符。事实上,一个地区的总人数大致可视为常数(不考虑传染病传播时期出
k生和迁移的人数),在传染病传播期间,一个病人单位时间内能传染的人数0则是在改变
kk00的。在初期,较大,随着病人的增多,健康者减少,被传染机会也将减少,于是就会
变小。
记时刻st()t的健康者人数为,假设
itstn()(),,1.总人数为常数n,且。
2
数学建模
k2.单位时间内一个病人能传染的人数与当时健康者人数成正比,比例系数为(传染强度)。
3.一人得病后,经久不愈,人在传染期内不会死亡。 可得方程:
dit()dit(),,,kstit()(),,ksni(),,dtdt,,
,,ii(0),ii(0),00,,,即
nit(),n,knte1(1),,i解得:0。
nln(1),idi0t,1分析:可以解得dtkn的极大值点为:。这可以表示传染病高峰时刻。随着病人
k0的增多,健康者减少,被传染机会也将减少,于是就会变小。
t当传染强度1kt,,增加时,将变小,即传染高峰来得快,这与实际情况吻合。但当时,
itn(),,这意味着最终人人都将被传染,显然与实际不符。 假设
1.单位时间内正常人被传染的比率为常数r。
2.一人得病后,经久不愈,人在传染期内不会死亡。
dit(),,,rni(),dt,i,rt0()[1(1)],,,itne,我们得方程:ii(0),0,n,解得:,这表明最终每个人都要传染上疾病。
我们假设,宣传运动的开展将使得传染上疾病的人数减少,减少的速度与总人数成正
tt,,0比,这个比例常数取决于宣传强度。若从0开始,开展一场持续的宣传运动,宣传
a强度为,则所得的数学模型为:
di,,,,,rnianHtt()(),0dt,
,ii(0),,0
3
徐世音 传染病模型
1tt,,0Htt(),,,00tt,,0其中:为Heaviside函数。
ian,,rtt(),rt00()[1(1)]()[1],,,,,,itneHtte0求得:nr
alim()(1),,,itnnt,,,r,这表明持续的宣传是起作用的,最终会使发病率减少。
如果宣传运动是短暂进行的,这在日常生活中是常见的,例如仅仅是听一个报告,或
tttt,,,,街头散发传单等,即在mm12m等个时刻进行次宣传,宣传强度分别为aaa,,,12m,则模型变为:
mdi,,,,,rnintt()(),j,,jdt,1,
,ii(0),0,
mrtt,,()rtrt,,jitienenaHtte()[1](),,,,,jj0,j,1解得:
lim()itn,t,,,
这表明短暂的宣传是不起作用的,最终还是所有的人都染上了疾病。 SIS模型是指易感者被传染后变为感病者,感病者可以被治愈,但不会产生免疫力,所以
仍为易感者。人员流动图为:S?I?S。
有些传染病如伤风、痢疾等愈后的免疫力很底,可以假定无免疫性。于是痊愈的病人
仍然可以再次感染疾病,也就是说痊愈的感染者将再次进入易感者的人群。
假定:
1.总人数为常数
itstn()(),,n,且。
2.单位时间内一个病人能传染的人数与当时健康者人数成正比,比例系数为k(传染强度)。
3.感病者以固定的比率h痊愈,而重新成为易感者。
我们可得模型:
4
数学建模
dit(),,,kitsthit()()(),dt,
,ii(0),0,
i10ithnk,,ithnk(),,()kk11()hnkt,,,ekt,()0nkhinkh,,i0可解得:或
nknknkh,,1lim(),1it,lim()0it,t,,分析:t,,hhk时,;时,。这里出现了传染病学中非常重
nk,1要的阈值概念,或者说门槛(threshhold)现象,即h是一个门槛,这与实际很符合,
即人口越多,传染率越高,从得病到治愈时间越长,传染病越容易流行。 SIR模型是指易感者被传染后变为感病者,感病者可以被治愈,并会产生免疫力,变为移
出者。人员流动图为:S?I?R。
大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力,所以病愈的人
既非易感者,也非感病者,因此他们将被移出传染系统,我们称之为移出者,记为R类。 假设:
1.总人数为常数itstrtn()()(),,,n,且;
2.单位时间内一个病人能传染的人数与当时健康者人数成正比,比例系数为k(传染强度)。 3.单位时间内病愈免疫的人数与当时的病人人数成正比,比例系数为l,称为恢复系数。
可得方程:
di,,,ksiliii(0)0,,,,0,dt,,ss(0)0,,,0ds,,,ksi,rr(0)0,,,0dt,,取初值:
sdil,isn,,,,ln,,,1,lim()0it,s分析:由以上方程组得:t,,0dssk,所以,容易得出;s,,s,,it()it()00而当时,单调下降趋于零;时,先单调上升到最高峰,然后再单调下
,,降趋于零。所以这里仍然出现了门槛现象:是一个门槛。从的意义可知,应该降低传
染率,提高恢复率,即提高卫生医疗水平。
5
徐世音 传染病模型
sss(),,,00,ln0,,,snss,,2,0,ssn,,00t,,令可得;,假定,可得:,所以若记
s,,,,ss,,2,,,,,00,,当时,,这也就解释了本文开头的问题,即同一地区一种传染病每次流行时,被传染的人数大致不变.
通过模型1-5的分析可得看出传染病的传播过程,传播高峰
期影响因素。传染病的特点是有病原体,有传染性和流行性,感染后常有免疫性。有
些传染病还有季节性或地方性。传染病的分类尚未统一,有人按病原体分类,有人按
传播途径分类。传染病的预防应采取以切断主要传播环节为主导的综合
。传染病
的传播和流行必须具备3个环节,即传染源(能排出病原体的人和/或动物)、传播
途径(病原体传染他人的途径)及易感者(对该种传染病无免疫力者)。若能完全切
断其中的一个环节,即可防止该种传染病的发生和流行。各种传染病的薄弱环节各不
相同。在预防中应充分利用。除主导环节外对其他环节也应采取措施,只有这样才能
更好地预防各种传染病。
由于生物性的致病原于人体外可存活的时间不一,存在人体内的位置、活动方式都
有不同,都影响了一个感染症如何传染的过程。为了生存和繁衍,这类病原性的微生
物必须具备可传染的性质,每一种传染性的病原通常都有特定的传播方式,例如透过
呼吸的路径,某些细菌或病毒可以引起宿主呼吸道表面黏膜层的型态变化,刺激神经
反射而引起咳嗽或喷嚏等症状,藉此重回空气等待下一个宿主将其入,但也有部分微
生物则是引起消化系统异常,像是腹泻或呕吐,并随着排出物散布在各处。透过这些
方式,复制的病原随患者的活动范围可大量散播。
空气传染,有些病原体在空气中可以自由散布,直径通常为5微米,能够长时间浮游于空气中,做长距离的移动,主要藉由呼吸系统感染,有时亦与飞沫传染混称。
飞沫传染,飞沫传染是许多感染原的主要传播途径,藉由患者咳嗽、打喷嚏、说
话时,喷出温暖而潮湿之液滴,病原附着其上,随空气扰动飘散短时间、短距离地在
风中漂浮,由下一位宿主因呼吸、张口或偶然碰触到眼睛表面时黏附,造成新的宿主
受到感染。例如:细菌性脑膜炎、水痘、普通感冒、流行性感冒、腮腺炎、结核、麻
疹、德国麻疹、百日咳等等。由于飞沫质、量均小,难以承载较重之病原,因此寄生
虫感染几乎不由此途径传染其它个体。
粪口传染,常见于发展中国家卫生系统尚未健全、教育倡导不周的情况下,未处理
之废水或受病原沾染物,直接排放于环境中,可能污损饮水、食物或碰触口、鼻黏膜
之器具,以及如厕后清洁不完全,藉由饮食过程可导致食入者感染,主要病原可为病
毒、细菌、寄生虫,如霍乱、A型肝炎、小儿麻痹、轮状病毒、弓型虫感染症(T. gondii),
于已开发国家也可能发生。有时,某些生物因体表组织构造不足以保护个体,可能因
接触患者之排泄物而受到感染,正常情况下在人类族群中不会发生这种特例。
接触传染,经由直接碰触而传染的方式称为接触传染,这类疾病除了直接触摸、
亲吻患者,也可以透过共享牙刷、毛巾、刮胡刀、餐具、衣物等贴身器材,或是因患
者接触后,在环境留下病原达到传播的目的。因此此类传染病较常发生在学校、军队
等物品可能不慎共享的场所。例如:真菌感染的香港脚、细菌感染的脓包症(Impetigo)、
病毒在表皮引起增生的疣,而梅毒的情况特殊,通常是健康个体接触感染者的硬性下
疳(chancre)所致。
此外还有性传染疾,垂直传染 ,血液传染。
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数学建模
被传染的人数是由多种因数造成的,它与当地人数都关,当地人数即人口越多,传
染率越高,从得病到治愈时间越长,传染病越容易流行。随着病人的增多,健康者减少,
被传染机会也将减少。当传染强度增加时,传染高峰来得快。而同一地区一种传染病每次
流行时,被传染的人数也会大致不变。
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