大学生社会实践心得体会1500字范文

相似 一.选择题 1.如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD= AB，点E、F分别为AB、AD的中点，则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为（　　） 　 A． B． C． D． 2．如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（） A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1) 3．如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是 () A． B． C． D． 4．如图所示，△ABC中，DE∥BC，若，则下列结论中正确的是（） A． B． C． D． 5．（2015•甘肃武威,第9题3分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（） 　 A． B． C． D． 6.如图，在△ABC中，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D．过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE=CD，连接AE．对于下列结论：①AD=DC；②△CBA∽△CDE；③=；④AE为⊙O的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是（　　） 　 A． ①② B． ①②③ C． ①④ D． ①②④ 7.如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（　　） A． ∠ABP=∠C B． ∠APB=∠ABC C． = D． = 10.如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为l：2，∠OCD=90°，CO=CD.若B(1，0)，则点C[中国^的坐标为() A.(1,2)　B.(1,1)　　　C.(,)　　　D.(2,1) 11.如图，在中，，，，, 则的长为 （A）（B） （C）（D） 12.如图，∥∥，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F．已知，则的值为（） A．B．C．D． 13.如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2这与三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．已知AB=1，BC=3，DE=2，则EF的长为（　　） 　 A． 4 B． 5 C． 6 D． 8 14．如图，在矩形ABCD中，AB=10,BC=5．若点M、N分别是线段ACAB上的两个动点，则BM+MN的最小值为（） A．10B．8C．5D．6 15.若，则的值为（） A．1B．C．D． 16.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC．点D是线段AB上的一点，连结CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF．给出以下四个结论：①；②若点D是AB的中点，则AF=AB；③当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF=DB；④若，则．其中正确的结论序号是（） A．①②B．③④C．①②③D．①②③④ 17.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图： 第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N； 第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F； 第三步，连接DE、DF． 若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（　　） 　 A． 2 B． 4 C． 6 D． 8 考点： 平行线分线段成比例；菱形的判定与性质；作图—基本作图．.分析： 根据已知得出MN是线段AD的垂直平分线，推出AE=DE，AF=DF，求出DE∥AC，DF∥AE，得出四边形AEDF是菱形，根据菱形的性质得出AE=DE=DF=AF，根据平行线分线段成比例定理得出=，代入求出即可．解答： 解：∵根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，∴AE=DE，AF=DF，∴∠EAD=∠EDA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EDA=∠CAD，∴DE∥AC，同理DF∥AE，∴四边形AEDF是菱形，∴AE=DE=DF=AF，∵AF=4，∴AE=DE=DF=AF=4，∵DE∥AC，∴=，∵BD=6，AE=4，CD=3，∴=，∴BE=8，故选D．点评： 本题考查了平行线分线段成比例定理，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能根据定理四边形AEDF是菱形是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例． ……依次顺延 18．（2015•甘肃兰州,第5题，4分）如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2），D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B的坐标为（5，0），则点A的坐标为 A.（2，5）B.（2.5，5）C.（3，5）D.（3，6） 【答案】B 【考点解剖】本题考查了坐标和相似的有关知识 【思路点拔】根据题意：AO:CO=BO:DO=5:2，而位似中心恰好是坐标原点O，所以点A的横、纵坐标都是点C横、纵坐标的2.5倍，因此选B。 【题目星级】★★★ 19．（2015•安徽省,第9题，4分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是[（）] A．2B．3C．5D．6 考点：菱形的性质；矩形的性质．. 分析：连接EF交AC于O，由四边形EGFH是菱形，得到EF⊥AC，OE=OF，由于四边形ABCD是矩形，得到∠B=∠D=90°，AB∥CD，通过△CFO≌△AOE，得到AO=CO，求出AO=AC=2，根据△AOE∽△ABC，即可得到结果． 解答：解；连接EF交AC于O， ∵四边形EGFH是菱形， ∴EF⊥AC，OE=OF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=∠D=90°，AB∥CD， ∴∠ACD=∠CAB， 在△CFO与△AOE中，， ∴△CFO≌△AOE， ∴AO=CO， ∵AC==4， ∴AO=AC=2， ∵∠CAB=∠CAB，∠AOE=∠B=90°， ∴△AOE∽△ABC， ∴， ∴， ∴AE=5． 故选C． 点评：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用定理是解题的关键． 20.（2015山东济宁，10，3分）将一副三角尺（在中，∠ACB=，∠B=；在中，∠EDF=，∠E=）如图摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C.将绕点D顺时针方向旋转角，交AC于点M，交BC于点N，则的值为() A.　　　B.　　　　C.　　　　　D. 【答案】C 【解析】 试题分析：由题意知D为Rt△ABC的斜边上的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CD=AD=BD=AB，再由∠B=60°可知△BCD是等边三角形，因此可得∠DCP=30°，且可求∠DPC=60°，因此tan30°=.根据旋转变换的性质，可知∠PDM=∠CDN，因此可知△PDM∽△CDN，再由相似三角形的性质可得，因此是一个定值. 故选C 考点：直角三角形斜边上的中线，相似三角形，旋转变换 二.填空题 1．(2015·贵州六盘水，第14题4分)已知，则的值为2[www.zz*~ste&^p.@com][来#%源@:~中教^网] ． 考点：比例的性质．. 分析：根据比例的性质，可用a示b、c，根据分式的性质，可得答案． 解答：解：由比例的性质，得 c=a，b=A． ===． 故答案为：． 点评：本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出a表示b、c是解题关键，又利用了分式的性质． 2．(2015·河南，第10题3分)如图，△ABC中，点D、E分别在边AB，BC上，DE//AC，ECDBA第10题 若DB=4，DA=2，BE=3，则EC=. 【解析】本题考查平行线分线段成比例定理.∵DE∥AC，∴， ∴EC=. 3．（2015•广东梅州,第14题5分）已知：△ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，若以A，E，F为顶点的三角形与△ABC相似，则需要增加的一个条件是AF=AC或∠AFE=∠ABC．（写出一个即可） 考点： 相似三角形的判定．专题： 开放型．分析： 根据相似三角形对应边成比例或相似三角形的对应角相等进行解答；由于没有确定三角形相似的对应角，故应分类讨论．解答： 解：分两种情况：①∵△AEF∽△ABC，∴AE：AB=AF：AC，即1：2=AF：AC，∴AF=AC；②∵△AFE∽△ACB，∴∠AFE=∠ABC．∴要使以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则AF=AC或∠AFE=∠ABC．故答案为：AF=AC或∠AFE=∠ABC．点评： 本题很简单，考查了相似三角形的性质，在解答此类题目时要找出对应的角和边． 4．（2015•广东佛山,第13题3分）如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，AC=10．四边形BDEF是△ABC的内接正方形（点D、E、F在三角形的边上）．则此正方形的面积是25． 考点： 相似三角形的判定与性质；正方形的性质．分析： 由已知可得到△AFE∽△ABC，根据相似三角形的边对应成比例即可求得EF的长，进而根据正方形的面积公式即可求得．解答： 解：∵在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，∵AB=BC，AC=10．∴2AB2=200，∴AB=BC=10，设EF=x，则AF=10﹣x∵EF∥BC，∴△AFE∽△ABC∴=，即=，∴x=5，∴EF=5，∴此正方形的面积为5×5=25．故答案为25．点评： 主要考查了正方形基本性质和比例线段的运用．解题的关键是准确的找到相似三角形并根据其相似比列方程求解． 5．(2015·河南，第22题10分)如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE.将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α. （1）问题发现 ①当时，； ②当时， （2）拓展探究 试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明. （3）问题解决 当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长. ECDBA（图1）EDBAC（图2）（备用图）CBA （1）【分析】①根据题意可得DE是三角形ABC的中位线和BD的长，根据中位线的性质和勾股定理求得AE的长即可求解；②根据旋转180°的特性，结合①，分别得到AC、CE、BC和CD的长即可求解. 解：①；……………………………………………………（1分） ②.……………………………………………………（2分） 【解法提示】①当α=0°，如解图①，∵BC=2AB=8，∴AB=4，∵点D，E分别是边BC，AC的中点，∴DE=,AE=EC,，∵∠B=90°，∴,∴AE=CE=,∴；②当α=180度，如解图②，由旋转性质可得CE=,CD=2，∵AC=，BC=8，∴. （2）【分析】在由解图①中，由平行线分线段成比例得到，再观察图②中△EDC绕点C的旋转过程，结合旋转的性质得到任然成立，从而求得△ACE∽ △BCD，利用其性质，结合题干求得AC的长即可得到结论. 第22题解图③ (3)【分析】 解：………………………………………………………………………（10分） 【解法提示】当△EDC在BC上方，且A，D，E三点共线时，四边形ABCD为矩形， ∴BD=AC=；当△EDC在BC下方，且A，E，D三点共线时，△ADC为直角三角形，由勾股定理可求得AD=8，∴AE=6，根据=可求得BD=. 图④图⑤ 第22题解图 6．(2015·黑龙江绥化，第21题分)在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,点P在AB上。若将△DAP沿DP折叠，使点A落在矩形对角线上的处，则AP的长为__________． 考点：翻折变换（折叠问题）．． 专题：分类讨论． 分析：分两种情况探讨：点A落在矩形对角线BD上，点A落在矩形对角线AC上，在直角三角形中利用勾股定理列出方程，通过解方程可得答案． 解答： 解：①点A落在矩形对角线BD上，如图1， ∵AB=4，BC=3， ∴BD=5， 根据折叠的性质，AD=A′D=3，AP=A′P，∠A=∠PA′D=90° ∴BA′=2， 设AP=x，则BP=4﹣x， ∵BP2=BA′2+PA′2， ∴（4﹣x）2=x2+22， 解得：x=， ∴AP=； ②点A落在矩形对角线AC上，如图2， 根据折叠的性质可知DP⊥AC， ∴△DAP∽△ABC， ∴， ∴AP===． 故答案为：或． 　　　　　　　　　　　　 点评：本题考查了折叠问题、勾股定理，矩形的性质以及三角形相似的判定与性质；解题中，找准相等的量是正确解答题目的关键． 7.（2015•浙江金华，第14题4分）如图，直线是一组等距离的平行线，过直线上的点A作两条射线，分别与直线，相交于点B，E，C，F.若BC=2，则EF的长是▲ 【答案】5. 【考点】平行线分线段成比例的性质；相似三角形的判定和性质. 【分析】∵直线是一组等距离的平行线，∴，即. 又∵∥，∴.∴. ∵BC=2，∴. 8.（2015•浙江湖州，第16题4分）已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3(如图所示)，以此类推…，若A1C1=2，且点A，D2，D3，…，D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是__________________________ 【答案】. 考点：正方形的性质；相似三角形的判定及性质；规律探究题. 9.（2015•浙江嘉兴，第12题5分）右图是百度地图的一部分（比例尺1:4000000）.按图可估测杭州在嘉兴的南偏西____▲____度方向上，到嘉兴的实际距离约为____▲____. 考点：比例线段；方向角．. 分析：先根据方向角得到杭州在嘉兴的方位，再量出杭州到嘉兴的图上距离，再根据比例尺的定义即可求解．解答： 解：测量可知杭州在嘉兴的南偏西45度方向上， 杭州到嘉兴的图上距离是4cm， 4×4000000=16000000cm=160km． 故答案为：45，160km． 点评：考查了方向角和比例尺的定义，比例尺=图上距离：实际距离． 10.（2015•江苏泰州,第14题3分）如图，△中，D为BC上一点，∠BAD=∠C,AB=6，BD=4，则CD的长为_________. 【答案】5. 考点：相似三角形的判定与性质. 11.（2015•山东临沂,第18题3分）如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，则_________. （第18题图） 【答案】2 【解析】 试题分析：如图，连接ED，由BD，CE分别是边AC，AB上的中线可知BD是△ABC的中位线，因此可得ED=BC，ED∥BC，由平行线可证得△OED∽△COD，因此可得=2. 考点：三角形的中位线，相似三角形的性质与判定 12.（2015湖北荆州第16题3分）如图，矩形ABCD中，OA在x轴上，OC在y轴上，且OA=2，AB=5，把△ABC沿着AC对折得到△AB′C，AB′交y轴于D点，则B′ 点的坐标为　（，）　． 考点： 翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质． 分析： 作B′E⊥x轴，设OD=x，在Rt△AOD中，根据勾股定理列方程，再由△ADO∽△AB′E，求出B′E和OE． 解答： 解：作B′E⊥x轴， 易证AD=CD， 设OD=x，AD=5﹣x， 在Rt△AOD中，根据勾股定理列方程得：22+x2=（5﹣x）2， 解得：x=2.1， ∴AD=2.9， ∵OD∥B′E， ∴△ADO∽△AB′E， ∴， ∴， 解得：B′E=， AE=， ∴OE=﹣2=． ∴B′（，）． 故答案为：（，）． 点评： 本题主要考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，根据勾股定理列方程求出OD是解决问题的关键． 13．（2015•广东省,第13题，4分）若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是▲. 【答案】4：9. 【考点】相似三角形的性质. 【分析】∵两个相似三角形的周长比为2：3，∴这两个相似三角形的相似比2：3. 又∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，∴这两个相似三角形的它们的面积比是4：9. (2015山东青岛，第12题,3分)如图，平面直角坐标系的原点O是正方形ABCD的中心，顶点A，B的坐标分别为（1,1）、（－1,1）， 把正方形ABCD绕原点O逆时针旋转45°得到正方形A′B′C′D′则正方形ABCD与正方形A′B′C′D′重叠部分形成的正八边形的边长为_____________________． 【答案】2－2 【解析】 试题分析：如图所示：根据题意可得A′D′，=AB=2，A′0=OD′=，OM=1，根据△FMD′∽△A′OD′，则，即，则FD′=2－，则A′E=FD′=2－ ∴EF=2－(2－)－(2－)=2－2，即正八边形的边长为2－2. 考点：相似三角形的应用 14.（2015•四川凉山州,第17题4分）在▱ABCD中，M，N是AD边上的三等分点，连接BD，MC相交于O点，则S△MOD：S△COB=． 【答案】或． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质． 15.（2015•四川成都,第23题4分）已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1＝60°，对角线A1C1，B1D1相交于点O．以点O为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系．以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2B2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，An，则点An的坐标为____________． B2yB1C2C3A2A3A1OC1D1D2x 【答案】：（3n－1，0） 【解析】：由题意，点A1的坐标为（1，0）， 点A2的坐标为（3，0），即（32－1，0） 点A3的坐标为（9，0），即（33－1，0） 点A4的坐标为（27，0），即（34－1，0） ……… ∴点An的坐标为（3n－1，0） 16、（2015•四川自贡,第14题4分）一副三角板叠放如图，则△与△的面积之比为. 考点：直角三角形的性质、等腰三角形、相似三角形的性质和判定等. 分析：本题抓住一副三角板叠放的特点可知△与△是相似三角形，而 相似三角形的面积之比是其相似比的平方.抓住在直角三角板△容易 求出的值，而直角三角板△的,所以△与△ 的相似比可以通过求得. 略解：根据如图所示三角板叠放可知∴△∽△∴ 在直角三角板△中∵∴ 又在直角三角板△的∴∴. 故应填1:3. 17、（2015•四川自贡,第15题4分）如图，将线段放在边长为1的小正方形网格，点 点均落在格点上，请用无刻度直尺在线段上画出点， 使,并保留作图痕迹. 考点：矩形、正方形的性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定. 分析：本题根据勾股定理可求出在网格中的，由于网格线中的对边平行，所以找点较容易，只需连接一对角线与的交点就满足（见图）；根据的是平行线所截得相似三角形的对应边成比例,所以，则. 略解：见图作法. 18.（2015•浙江杭州,第16题4分）如图，在四边形纸片ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠A=∠C=90°，∠B=150°，将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则CD=_______________________________ 【答案】或. 【考点】剪纸问题；多边形内角和定理；轴对称的性质；菱形、矩形的判定和性质；含30度角直角三角形的性质；相似三角形的判定和性质；分类思想和方程思想的应用. 【分析】∵四边形纸片ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=150°，∴∠C=30°. 如答图，根据题意对折、裁剪、铺平后可有两种情况得到平行四边形： 如答图1，剪痕BM、BN，过点N作NH⊥BM于点H， 易证四边形BMDN是菱形，且∠MBN=∠C=30°. 设BN=DN=，则NH=. 根据题意，得，∴BN=DN=2，NH=1. 易证四边形BHNC是矩形，∴BC=NH=1.∴在中，CN=. ∴CD=. 如答图2，剪痕AE、CE，过点B作BH⊥CE于点H， 易证四边形BAEC是菱形，且∠BCH=30°. 设BC=CE=，则BH=. 根据题意，得，∴BC=CE=2，BH=1. 在中，CH=，∴EH=. 易证，∴，即. ∴. 综上所述，CD=或. 19．（2015•广东梅州,第12题，3分）已知：△ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，若以A，E，F为顶点的三角形与△ABC相似，则需要增加的一个条件是　　．（写出一个即可） 考点：相似三角形的判定．. 专题：开放型． 分析：根据相似三角形对应边成比例或相似三角形的对应角相等进行解答；由于没有确定三角形相似的对应角，故应分类讨论． 解答：解：分两种情况： ①∵△AEF∽△ABC， ∴AE：AB=AF：AC， 即1：2=AF：AC， ∴AF=AC； ②∵△AFE∽△ACB， ∴∠AFE=∠ABC． ∴要使以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则AF=AC或∠AFE=∠ABC． 故答案为：AF=AC或∠AFE=∠ABC． 点评：本题很简单，考查了相似三角形的性质，在解答此类题目时要找出对应的角和边． 20．（2015•甘肃兰州,第17题，4分）如果（），且，那么=_____ 【答案】3 【考点解剖】本题考查比例的基本性质 【解答过程】因为，且，所以， 而，即，所以。 【一题多解】因为，所以，，， 而，即， 因为，所以。 【题目星级】★★★ 21.（2015山东省德州市，17，4分）如图1，四边形ABCD中，AB∥CD,AD=DC=CB=a，∠A=60°.取AB的中点A1，连接A1C,再分别取A1C,BC的中点D1，C1,连接D1C1,得到四边形A1BC1D1,如图2;同样方法操作得到四边形A2BC2D2,如图3;…，如此进行下去，则四边形AnBCnDn的面积为. 【答案】 考点：是三角形的面积公式；三角形的中位线定理，相似三角形的判定及性质； 三.解答题 1.（2015山东省德州市，23，10分） (1)问题 如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°. 求证：AD·BC=AP·BP. (2)探究 如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由. (3)应用 请利用(1)(2)获得的经验解决问题： 如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5.点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A.设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，求t的值. 【答案】（1）见解析；（2）t的值为1秒或5秒. 考点：相似三角形的判定及性质；切线的性质及判定；圆的有关性质 2．（2015•安徽省,第23题，14分）如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC． (1)求证：AD＝BC； (2)求证：△AGD∽△EGF； AABBEECDCDFFGG第23题图1第23题图2(3)如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求的值． 考点：相似形综合题．. 分析：（1）由线段垂直平分线的性质得出GA=GB，GD=GC，由SAS证明△AGD≌△BGC，得出对应边相等即可； （2）先证出∠AGB=∠DGC，由，证出△AGB∽△DGC，得出比例式，再证出∠AGD=∠EGF，即可得出△AGD∽△EGF； （3）延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，则AH⊥BH，由△AGD≌△BGC，得出∠GAD=∠GBC，再求出∠AGE=∠AHB=90°，得出∠AGE=∠AGB=45°，求出，由△AGD∽△EGF，即可得出的值． 解答： （1）证明：∵GE是AB的垂直平分线， ∴GA=GB， 同理：GD=GC， 在△AGD和△BGC中， ， ∴△AGD≌△BGC（SAS）， ∴AD=BC； （2）证明：∵∠AGD=∠BGC， ∴∠AGB=∠DGC， 在△AGB和△DGC中，， ∴△AGB∽△DGC， ∴， 又∵∠AGE=∠DGF， ∴∠AGD=∠EGF， ∴△AGD∽△EGF； （3）解：延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，如图所示： 则AH⊥BH， ∵△AGD≌△BGC， ∴∠GAD=∠GBC， 在△GAM和△HBM中，∠GAD=∠GBC，∠GMA=∠HMB， ∴∠AGE=∠AHB=90°， ∴∠AGE=∠AGB=45°， ∴， 又∵△AGD∽△EGF， ∴==． 点评：本题是相似形综合题目，考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要通过作辅助线综合运用（1）（2）的结论和三角函数才能得出结果． 3．（2015·山东威海，第22题9分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E． （1）求证：BE=CE； （2）若BD=2，BE=3，求AC的长． 考点： 相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理．.专题： 证明题．分析： （1）连结AE，如图，根据圆周角定理，由AC为⊙O的直径得到∠AEC=90°，然后利用等腰三角形的性质即可得到BE=CE；（2）连结DE，如图，证明△BED∽△BAC，然后利用相似比可计算出AB的长，从而得到AC的长．解答： （1）证明：连结AE，如图，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC=90°，∴AE⊥BC，而AB=AC，∴BE=CE；（2）连结DE，如图，∵BE=CE=3，∴BC=6，∵∠BED=∠BAC，而∠DBE=∠CBA，∴△BED∽△BAC，∴=，即=，∴BA=9，∴AC=BA=9．点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和圆周角定理．4．（2015•四川广安，第25题9分）如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA、AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D． （1）求证：PA是⊙O的切线； （2）若=，且OC=4，求PA的长和tanD的值． 考点： 切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．.分析： （1）连接OB，先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP是线段AB的垂直平分线，进而可得：PA=PB，然后证明△PAO≌△PBO，进而可得∠PBO=∠PAO，然后根据切线的性质可得∠PBO=90°，进而可得：∠PAO=90°，进而可证：PA是⊙O的切线；（2）连接BE，由=，且OC=4，可求AC，OA的值，然后根据射影定理可求PC的值，从而可求OP的值，然后根据勾股定理可求AP的值；由AC=BC，AO=OE，可得OC是△ABE的中位线，进而可得BE∥OP，BE=2OC=8，进而可证△DBE∽△DPO，进而可得：，从而求出BD的值，进而即可求出tanD的值．解答： （1）证明：连接OB，则OA=OB，∵OP⊥AB，∴AC=BC，∴OP是AB的垂直平分线，∴PA=PB，在△PAO和△PBO中，∵，∴△PAO≌△PBO（SSS）∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，∵PB为⊙O的切线，B为切点，∴∠PBO=90°，∴∠PAO=90°，即PA⊥OA，∴PA是⊙O的切线；（2）连接BE，∵=，且OC=4，∴AC=6，∴AB=12，在Rt△ACO中，由勾股定理得：AO==2，∴AE=2OA=4，OB=OA=2，在Rt△APO中，∵AC⊥OP，∴AC2=OC•PC，解得：PC=9，∴OP=PC+OC=13，在Rt△APO中，由勾股定理得：AP==3，∴PB=PA=3，∵AC=BC，OA=OE，∴OC=BE，OC∥BE，∴BE=2OC=8，BE∥OP，∴△DBE∽△DPO，∴，即，解得：BD=，在Rt△OBD中，tanD===．点评： 本题考查了切线的判定与性质以及相似三角形的判定和性质；能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中，是解答此题的关键．要证某线是圆的切线，对于切线的判定：已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． 6．(2015·黑龙江绥化，第28题分)如图1，在正方形ABCD中，延长BC至M,使BM=DN,连接MN交BD延长线于点E． (1)求证：BD+2DE=BM． (2)如图2，连接BN交AD于点F，连接MF交BD于点G．若AF:FD=1:2,且CM=2，则线段DG=_______． 考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．． 分析：（1）过点M作MP⊥BC交BD的延长线于点P，首先证明△DEN≌△PEM，得到DE=PE，由△BMP是等腰直角三角形可知BP=BM，即可得到结论； （2）由AF：FD=1：2，可知DF：BC=2：3，由△BCN∽△FDN，可求出BC=2，再由△DFG∽△BMG即可求出DG的长． 解答：（1）证明：过点M作MP⊥BC交BD的延长线于点P， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD=90°，∠DBC=∠BDC=45°， ∴PM∥CN， ∴∠N=∠EMP，∠BDC=∠MPB=45°， ∴BM=PM， ∵BM=DN，