2009天津高考理科数学真题解析版

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学理（天津卷，解析版）参考公式：。如果事件A，B互相排斥，那么P（AUB）=P（A）+P(B)。。棱柱的体积公式V=sh。其中S表示棱柱的底面积，h表示棱柱的高1、选择：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）i是虚数单位，=（A）1+2i（B）-1-2i（C）1-2i（D）-1+2i【考点定位】本小考查复数的运算，基础题。解析：，故选择D。（2）设变量x，y满足约束条件：.则目标函数z=2x+3y的最小值为（A）6（B）7（C）8（D）23【考点定位】本小考查简单的线性规划，基础题。解析：画出不等式表示的可行域，如右图，让目标函数表示直线在可行域上平移，知在点B自目标函数取到最小值，解方程组得，所以，故选择B。（3）命题“存在R，EMBEDEquation.DSMT40”的否定是（A）不存在R,>0（B）存在R,EMBEDEquation.DSMT40（C）对任意的R,EMBEDEquation.DSMT40（D）对任意的R,>0【考点定位】本小考查四种命题的改写，基础题。解析：由题否定即“不存在，使”，故选择D。（4）设函数则A在区间内均有零点。B在区间内均无零点。C在区间内有零点，在区间内无零点。D在区间内无零点，在区间内有零点。【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。解析：由题得，令得；令得；得，故知函数在区间上为减函数，在区间为增函数，在点处有极小值；又，故选择D。（5）阅读右图的程序框图，则输出的S=A26B35C40D57【考点定位】本小考查框架图运算，基础题。解：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，故选择C。(6）设若的最小值为A8B4C1D【考点定位】本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力。【解析】因为，所以，，当且仅当即时“=”成立，故选择C（7）已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度【考点定位】本小题考查诱导公式、函数图象的变换，基础题。解析：由题知，所以，故选择A。（8）已知函数若则实数的取值范围是ABCD【考点定位】本小题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。解析：由题知在上是增函数，由题得，解得，故选择C。（9）．设抛物线=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，=2，则BCF与ACF的面积之比=（A）（B）（C）（D）【考点定位】本小题考查抛物线的性质、三点共线的坐标关系，和综合运算数学的能力，中档题。解析：由题知，又由A、B、M三点共线有即，故，∴，故选择A。（10）,若关于x的不等式＞的解集中的整数恰有3个，则（A）（B）（C）（D）【考点定位】本小题考查解一元二次不等式，解析：由题得不等式＞即，它的解应在两根之间，故有，不等式的解集为或。若不等式的解集为，又由得，故，即二．填空题：（6小题，每题4分，共24分）（11）某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的抽取一个容量为120的样本。已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取____名学生。【考点定位】本小题考查分层抽样，基础题。解析：C专业的学生有，由分层抽样原理，应抽取名。（12）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则_______【考点定位】本小题考查三视图、三棱柱的体积，基础题。解析：知此几何体是三棱柱，其高为3，底面是底边长为2，底边上的高为的等腰三角形，所以有。(13)设直线的参数方程为（t为参数），直线的方程为y=3x+4则与的距离为_______【考点定位】本小题考查参数方程化为普通方程、两条平行线间的距离，基础题。解析：由题直线的普通方程为，故它与与的距离为。(14)若圆与圆（a>0）的公共弦的长为，则___________。【考点定位】本小题考查圆与圆的位置关系，基础题。解析：由知的半径为，由图可知解之得(15)在四边形ABCD中，==（1，1），，则四边形ABCD的面积是【考点定位】本小题考查向量的几何运算，基础题。解析：由题知四边形ABCD是菱形，其边长为，且对角线BD等于边长的倍，所以，故，。（16）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个（用数字作答）【考点定位】本小题考查排列实际问题，基础题。解析：个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：种；个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：种，所以共有个。三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）在⊿ABC中，BC=，AC=3，sinC=2sinA(I)求AB的值：(II)求sin的值本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。满分12分。（Ⅰ）解：在△ABC中，根据正弦定理，于是AB=（Ⅱ）解：在△ABC中，根据余弦定理，得cosA=于是sinA=从而sin2A=2sinAcosA=,cos2A=cos2A-sin2A=所以sin(2A-)=sin2Acos-cos2Asin=（18）（本小题满分12分）在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。从这10件产品中任取3件，求：（I）取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；（II）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。本小题主要考查古典概型及计算公式、离散型随机变量的分布列和数学期望、互斥事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分12分。（Ⅰ）解：由于从10件产品中任取3件的结果为，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X=k)=,k=0,1,2,3.所以随机变量X的分布列是 X 0 1 2 3 P X的数学期望EX=（Ⅱ）解：设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1“恰好取出2件一等品“为事件A2，”恰好取出3件一等品”为事件A3由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A=A1∪A2∪A3而P(A2)=P(X=2)=,P(A3)=P(X=3)=,所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=++=（19）（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD,AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD(I)求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II)证明平面AMD平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力。满分12分.方法一：（Ⅰ）解：由题设知，BF//CE，所以∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角。设P为AD的中点，连结EP，PC。因为FEAP，所以FAEP，同理ABPC。又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD。而PC，AD都在平面ABCD内,故EP⊥PC，EP⊥AD。由AB⊥AD，可得PC⊥AD设FA=a，则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=，故∠CED=60°。所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°（II）证明：因为（III）由（I）可得，方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，点为坐标原点。设依题意得EMBEDEquation.3（I）所以异面直线与所成的角的大小为.（II）证明：，（III）又由题设，平面的一个法向量为（20）（本小题满分12分）已知函数其中（1）当时，求曲线处的切线的斜率；（2）当时，求函数的单调区间与极值。本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。（I）解：（II）以下分两种情况讨论。（1）＞，则＜.当变化时，的变化情况如下表： + 0 — 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗（2）＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表： + 0 — 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗（21）（本小题满分14分）以知椭圆的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交与两点，且。（1）求椭圆的离心率；（2）求直线AB的斜率；（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线上有一点在EMBEDEquation.DSMT4的外接圆上，求的值本小题主要考查椭圆的方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力，满分14分（I）解：由//且，得，从而整理，得，故离心率（II）解：由（I）得，所以椭圆的方程可写为设直线AB的方程为，即.由已知设，则它们的坐标满足方程组消去y整理，得.依题意，而①②由题设知，点B为线段AE的中点，所以③联立①③解得EMBEDEquation.DSMT4，将代入②中，解得.(III)解法一：由（II）可知当时，得，由已知得.线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为.直线的方程为，于是点H（m，n）的坐标满足方程组，由解得故当时，同理可得.解法二：由（II）可知当时，得,由已知得由椭圆的对称性可知B，，C三点共线，因为点H（m，n）在的外接圆上，且，所以四边形为等腰梯形.由直线的方程为,知点H的坐标为.因为，所以，解得m=c（舍），或.则，所以.当时同理可得（22）（本小题满分14分）已知等差数列{}的公差为d（d0），等比数列{}的公比为q（q>1）。设=+…..+,=-+…..+(-1,nEMBEDEquation.DSMT4(I)若==1，d=2，q=3，求的值；(II)若=1，证明（1-q）-（1+q）=，nEMBEDEquation.DSMT4；(Ⅲ)若正数n满足2nq，设的两个不同的排列，，证明。本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算能力，推理论证能力及综合和解决问题的能力的能力，满分14分。（Ⅰ）解：由题设，可得所以，（Ⅱ）证明：由题设可得则①②1式减去②式，得1式加上②式，得③2式两边同乘q，得所以，(Ⅲ)证明：因为所以（1）若，取i=n（2）若，取i满足且由（1）,(2)及题设知，且1当时，得即，…，又所以因此2当同理可得，因此综上，_1306503600.unknown_1306505633.unknown_1306611720.unknown_1306613672.unknown_1306615751.unknown_1306615943.unknown_1306616082.unknown_1306616188.unknown_1306616013.unknown_1306615853.unknown_1306614538.unknown_1306614832.unknown_1306615061.unknown_1306615390.unknown_1306615690.unknown_1306615242.unknown_1306614852.unknown_1306614767.unknown_1306614277.unknown_1306614511.unknown_1306614261.unknown_1306613253.unknown_1306613483.unknown_1306613491.unknown_1306613391.unknown_1306613422.unknown_1306612960.unknown_1306613163.unknown_1306612897.unknown_1306611100.unknown_1306611569.unknown_1306611651.unknown_1306611706.unknown_1306611630.unknown_1306611279.unknown_1306611541.unknown_1306611203.unknown_1306507157.unknown_1306507210.unknown_1306510851.unknown_1306610940.unknown_1306507180.unknown_1306505798.unknown_1306507148.unknown_1306505652.unknown_1306504888.unknown_1306505063.unknown_1306505282.unknown_1306505416.unknown_1306505436.unknown_1306505305.unknown_1306505092.unknown_1306505222.unknown_1306505087.unknown_1306504988.unknown_1306505030.unknown_1306505054.unknown_1306505016.unknown_1306504918.unknown_1306504982.unknown_1306504908.unknown_1306503982.unknown_1306504084.unknown_1306504369.unknown_1306504677.unknown_1306504163.unknown_1306504018.unknown_1306504036.unknown_1306503995.unknown_1306503905.unknown_1306503959.unknown_1306503977.unknown_1306503952.unknown_1306503845.unknown_1306503891.unknown_1306503759.unknown_1306241211.unknown_1306244839.unknown_1306245365.unknown_1306247999.unknown_1306503289.unknown_1306503460.unknown_1306503481.unknown_1306503433.unknown_1306248167.unknown_1306248207.unknown_1306248326.unknown_1306502637.unknown_1306248325.unknown_1306248177.unknown_1306248056.unknown_1306248084.unknown_1306248112.unknown_1306248095.unknown_1306248058.unknown_1306248019.unknown_1306248029.unknown_1306248054.unknown_1306248008.unknown_1306245651.unknown_1306246152.unknown_1306247969.unknown_1306247983.unknown_1306247991.unknown_1306247823.unknown_1306247955.unknown_1306246257.unknown_1306247723.unknown_1306246158.unknown_1306245744.unknown_1306245808.unknown_1306245854.unknown_1306245895.unknown_1306245984.unknown_1306245845.unknown_1306245786.unknown_1306245680.unknown_1306245691.unknown_1306245667.unknown_1306245414.unknown_1306245614.unknown_1306245634.unknown_1306245538.unknown_1306245607.unknown_1306245579.unknown_1306245503.unknown_1306245455.unknown_1306245399.unknown_1306245408.unknown_1306245382.unknown_1306245015.unknown_1306245228.unknown_1306245361.unknown_1306245362.unknown_1306245270.unknown_1306245360.unknown_1306245235.unknown_1306245070.unknown_1306245118.unknown_1306245218.unknown_1306245219.unknown_1306245205.unknown_1306245152.unknown_1306245081.unknown_1306245117.unknown_1306245044.unknown_1306245058.unknown_1306245024.unknown_1306245027.unknown_1306244904.unknown_1306244984.unknown_1306244992.unknown_1306244947.unknown_1306244968.unknown_1306244934.unknown_1306244874.unknown_1306244894.unknown_1306244854.unknown_1306244852.unknown_1306243545.unknown_1306244206.unknown_1306244568.unknown_1306244709.unknown_1306244769.unknown_1306244812.unknown_1306244790.unknown_1306244718.unknown_1306244588.unknown_1306244639.unknown_1306244664.unknown_1306244601.unknown_1306244617.unknown_1306244583.unknown_1306244581.unknown_1306244464.unknown_1306244497.unknown_1306244515.unknown_1306244551.unknown_1306244487.unknown_1306244242.unknown_1306244393.unknown_1306244453.unknown_1306244353.unknown_1306243773.unknown_1306243971.unknown_1306244102.unknown_1306244184.unknown_1306244193.unknown_1306244183.unknown_1306244073.unknown_1306243859.unknown_1306243902.unknown_1306243913.unknown_1306243960.unknown_1306243889.unknown_1306243821.unknown_1306243858.unknown_1306243803.unknown_1306243668.unknown_1306243710.unknown_1306243725.unknown_1306243763.unknown_1306243696.unknown_1306243709.unknown_1306243689.unknown_1306243609.unknown_1306243613.unknown_1306243661.unknown_1306243580.unknown_1306243603.unknown_1306243608.unknown_1306243587.unknown_1306243565.unknown_1306242954.unknown_1306243239.unknown_1306243458.unknown_1306243514.unknown_1306243521.unknown_1306243524.unknown_1306243538.unknown_1306243517.unknown_1306243492.unknown_1306243367.unknown_1306243409.unknown_1306243375.unknown_1306243292.unknown_1306243299.unknown_1306243018.unknown_1306243087.unknown_1306243201.unknown_1306243202.unknown_1306243077.unknown_1306242984.unknown_1306242994.unknown_1306243013.unknown_1306242965.unknown_1306242962.unknown_1306241641.unknown_1306242563.unknown_1306242573.unknown_1306242700.unknown_1306242842.unknown_1306242901.unknown_1306242805.unknown_1306242640.unknown_1306242572.unknown_1306242152.unknown_1306242218.unknown_1306242335.unknown_1306242185.unknown_1306241669.unknown_1306241375.unknown_1306241622.unknown_1306241421.unknown_1306241228.unknown_1306241296.unknown_1306241227.unknown_1306050572.unknown_1306051429.unknown_1306074993.unknown_1306075149.unknown_1306240990.unknown_1306241102.unknown_1306241181.unknown_1306076438.unknown_1306240854.unknown_1306076237.unknown_1306075121.unknown_1306075138.unknown_1306075100.unknown_1306051573.unknown_1306051734.unknown_1306051929.unknown_1306052221.unknown_1306052225.unknown_1306051936.unknown_1306052172.unknown_1306051818.unknown_1306051842.unknown_1306051874.unknown_1306051785.unknown_1306051628.unknown_1306051691.unknown_1306051702.unknown_1306051616.unknown_1306051508.unknown_1306051563.unknown_1306051519.unknown_1306051472.unknown_1306051060.unknown_1306051308.unknown_1306051365.unknown_1306051397.unknown_1306051399.unknown_1306051381.unknown_1306051346.unknown_1306051343.unknown_1306051127.unknown_1306051203.unknown_1306051293.unknown_1306051204.unknown_1306051150.unknown_1306051188.unknown_1306051090.unknown_1306051101.unknown_1306050761.unknown_1306050852.unknown_1306050898.unknown_1306051059.unknown_1306050780.unknown_1306050618.unknown_1306050646.unknown_1306050600.unknown_1306049821.unknown_1306050163.unknown_1306050263.unknown_1306050359.unknown_1306050549.unknown_1306050272.unknown_1306050228.unknown_1306050241.unknown_1306050197.unknown_1306050054.unknown_1306050079.unknown_1306050153.unknown_1306050061.unknown_1306050074.unknown_1306049861.unknown_1306050022.unknown_1306050040.unknown_1306049873.unknown_1306049835.unknown_1306049854.unknown_1306049826.unknown_1306049329.unknown_1306049694.unknown_1306049710.unknown_1306049743.unknown_1306049784.unknown_1306049695.unknown_1306049563.unknown_1306049626.unknown_1306049661.unknown_1306049647.unknown_1306049603.unknown_1306049380.unknown_1306049516.unknown_1306049539.unknown_1306049399.unknown_1306049361.unknown_1306048791.unknown_1306049035.unknown_1306049137.unknown_1306049242.unknown_1306049284.unknown_1306049316.unknown_1306049243.unknown_1306049153.unknown_1306049116.unknown_1306048865.unknown_1306048989.unknown_1306048842.unknown_1305359330.unknown_1306048719.unknown_1306048770.unknown_1306048702.unknown_1305358537.unknown_1305359056.unknown_1305358507.unknown_1305358515.unknown