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泛函分析(夏道行)第六章习题

2011-10-18 4页 doc 124KB 295阅读

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泛函分析(夏道行)第六章习题第六章(第一部分:1—10) 第六章习题第一部分01-17 1.​ 设M是线性赋范空间X的闭子空间,若对任意的f X *,f(M) = 0蕴涵 f( X ) = 0,则M = X. [证明] 若不然M是X的真闭子空间,由Hann-Banach定理, 存在f X *,使f(M) = 0,并且|| f || = 1,这与题目的假设相矛盾. 2.​ 设X是线性赋范空间,M是X的子集,x0 X,且x0 .证明x0cl(span M)的充分必要条件为:对任意的f X *,f(M) = 0蕴涵f(x0) = 0. [证明] (必要性) 对...
泛函分析(夏道行)第六章习题
第六章(第一部分:1—10) 第六章习第一部分01-17 1.​ 设M是线性赋范空间X的闭子空间,若对任意的f X *,f(M) = 0蕴涵 f( X ) = 0,则M = X. [证明] 若不然M是X的真闭子空间,由Hann-Banach定理, 存在f X *,使f(M) = 0,并且|| f || = 1,这与题目的假设相矛盾. 2.​ 设X是线性赋范空间,M是X的子集,x0 X,且x0 .证明x0cl(span M)的充分必要条件为:对任意的f X *,f(M) = 0蕴涵f(x0) = 0. [证明] (必要性) 对任意的f X *,由f(M) = 0及f是线性的, 可推出f(span M) = 0;而f又是连续的,所以又可进一步得到f(cl(span M)) = 0; 所以对x0 cl(span M),有f(x0) = 0. (充分性)若x0 cl(span M),由Hann-Banach定理,存在f X *,使得 f(cl(span M)) = 0,但f(x0) = || x0 || 0,这与题目的假设相矛盾. 3.​ 设X是线性赋范空间,x1, x2, ..., xn是X中n个线性无关的元素,a1, a2, ..., an是n个数,M > 0.证明:存在满足条件:f(xk) = ak,k = 1, 2, ..., n,且|| f || M的有界线性泛函f的充要条件为: 对于任意的n个数c1, c2, ..., cn都有 . [证明]  () 对于任意的n个数c1, c2, ..., cn,令 . 由于| f (x)| M || x ||,以及f(xk) = ak,k = 1, 2, ..., n, 得到 . () 考虑X的线性子空间S = Span{ x1, x2, ..., xn }, 对于任意的n个数c1, c2, ..., cn,在S上定义 . 则g是S上的有界线性泛函,满足条件g(xk) = ak,k = 1, 2, ..., n,且|| g || M. 由Hann-Banach定理,存在X上的有界线性泛函f使f |S = g,且|| f || = || g ||. 事实上,此f即为满足条件的泛函. [第4题到第9题只需要直接验证,它们应该是“集合论”而非“泛函分析”中的题目.此处略去] 10.​ 设X是Banach空间.证明X自反的充要条件为X *自反. [证明] 必要性:设X自反,即X上的典则映射J : X X **,满足J (X) = X **. 为证明X *自反,我们要证明X *上的典则映射J* : X * X ***为满射. x ***X ***,令x * = x *** ◦ J.容易看出x * : X 是 上的线性泛函. 由于| x *(x) | = | x *** (J (x)) | || x *** || · || J || · || x ||,所以x * X *. 注意到J (X) = X **,故x **X **,存在xX使得J (x) = x **. 则(J* x *) x ** = x **( x *) = x * ( x) = (x *** ◦ J ) ( x) = x *** ( J ( x)) = x *** (x **), 所以J* x * = x ***,即J*为满射,故X *自反. 充分性:设X *自反,即X *上的典则映射J* : X * X ***满足J* (X *) = X ***. 假若X不自反,即J (X) X **. 则由于X是Banach空间,且X上的典则映射J : X X **是保范的线性单射, 容易看出J (X)是X **的真闭子空间. 由Hann-Banach定理,存在x ***X ***,使得x ***( J (X)) = 0,|| x *** || = 1. 由于J* (X *) = X ***,存在x * X *,使得J* x * = x ***. 显然对xX有x * ( x) = (J (x)) x * = x ***(J (x)) = 0, 所以x * = ,这与|| x * || = || J* x * || = || x *** || = 1相矛盾. 11.​ 设X为线性赋范空间,X *可分.证明X可分. [证明] 由于X *可分,不妨设X *\{ }中子集F = { f1, f2, ...}在X *中稠密, 令gi = fi /|| fi ||,用S *示X *中的单位球面. 对f S *, > 0,存在某fiF,使得|| fi f || < min { /4, 1/2}. 则| (|| fi || 1) | = | (|| fi || || f ||) | || fi f || < 1/2,故|| fi || > 1/2.对应的gi满足 || gi f || = || ( fi /|| fi || f ) || || ( fi /|| fi || f /|| fi ||) || + || ( f /|| fi || f ) || = || fi f || /|| fi || + | 1/|| fi || 1 | · || f || = || fi f || /|| fi || + | 1/|| fi || 1 | = || fi f || /|| fi || + | (1 1/|| fi ||) | / || fi || 2 || fi f || /|| fi || < 4 || fi f || < . 所以S *中的可数集G = { g1, g2, ...}在S *中稠密. 对任意i,由于|| gi || = sup{ | gi (x) | | || x || = 1 }, 故存在X的单位球面S中的点xi,使得| gi (xi) | > 1/2. 记A = { x1, x2, ...}.注意到A是可数的, 故它的所有的有限的有理系数线性组合构成的集合也是可数的, 并把这个可数集合记为B, 容易看出B在span(A)中稠密,因而B也在cl(span(A))中稠密. 下面证明cl(span(A)) = X. 若不然,存在xX \ cl(span(A)).则由Hann-Banach定理知 存在f S *,使得f(cl(span(A))) = 0. 而G = { g1, g2, ...}在S *中稠密,故存在gi S *,使|| gi f || < 1/2. 这就得到下面的矛盾: 1/2 < | gi (xi) | = | gi (xi) f(xi) | || gi f || · || xi || = || gi f || < 1/2. 故cl(span(A)) = X.因此X有可数稠子集B,所以X可分. 12.​ 设H为复Hilbert空间, .证明: , , , ,, . [证明] 对任意的 , .          .         . . 因为 ,故 ,所以 . 因为 ,故 ,所以 . 13.​ 设H为Hilbert空间,A, B为H上的两个线性算子,对于任意的x, yH有 < Ax, y > = < x, By >.证明:A为有界线性算子. [证明] 对xS = { xH | || x || = 1 },考虑fx : H ,fx(y) = < By, x >. 由于| fx(y) | = | < By, x > | = | | || y || · || Ax ||, 故fx为H上的有界线性泛函,且|| fx || || Ax ||. 因fx(y) = < By, x > = ,故fx(Ax) = < Ax, Ax > = || Ax ||2. 所以,|| Ax ||2 = | fx(Ax) | || fx || · || Ax ||, 故|| Ax || || fx ||.所以|| fx || = || Ax ||. 有界线性泛函族{ fx | xS }在H的每一点y处, | fx(y) | = | < By, x > | || By || · || x || = || By ||, 由共鸣定理知存在M > 0,使得xS有|| fx || M. 即xS有|| Ax || M.所以A为有界线性算子. 14.​ 设 为 上的有界线性算子,对于 , ,其中 , .又设 ,而 .证明: . [证明]          , 而 ,故 , , 所以 , . 15.​ 设X为Banach空间,Y为线性赋范空间,Tn B(X, Y),n = 1, 2, ...,且 sup {|| Tn || } = +.证明:存在x0 X使得sup {|| Tn x0 || } = +. [证明] 这只是共鸣定理的逆否命题. 16.​ 举例说明:在共鸣定理中,X的完备性是不可缺少的. [例] 考虑m空间的子空间X = { x = ( i ) | 只有有限个 i不为0}. Tn : X ,Tn(x) = n n,x = ( i )X. 显然Tn是线性算子,可以证明Tn有界,且|| Tn || = n. 显然{|| Tn || }无界,但对x = ( i )X,{ Tn(x) }有界. 17.​ 设S : ℓ2 ℓ2为S(1, 2, ... ) = (3, 4, ... ),Tn = Sn.求sup { || Tnx || },|| Tn ||,以及sup { || Tn || }. [解] 显然Tn(1, 2, ... ) = (2n+1, 2n+2, ... ), 故sup { || Tnx || } = sup { || (2n+1, 2n+2, ... ) || } = || x ||. 因|| Tnx || = || (2n+1, 2n+2, ... ) || || x ||.故|| Tn || 1. 若取x使得其第2n+1个坐标为1而其余皆为0, 则|| x || = 1,且|| Tnx || = 1,故|| Tn || 1. 所以|| Tn || = 1.sup { || Tn || } = 1.
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