3.1 变化率与导数、导数的计算

nullnull§3.1 变化率与导数、导数的计算第三编 导数及其应用要点梳理 1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率 函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为 ， 若Δx=x2-x1,Δy=f（x2）-f（x1），则平均变化率可表示为 .基础知识 自主学习null2.函数y=f（x）在x=x0处的导数 （1）定义 称函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率 = 为函数y=f（x）在x=x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x=x0， 即f′(x0)= = . （2）几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f（x）上点 处的 .相应地，切线方程为 .(x0,f(x0))切线的斜率y-y0=f′(x0)(x-x0)null3.函数f(x)的导函数 称函数f′(x)= 为f（x）的导函 数，导函数有时也记作y′. 4.基本初等函数的导数公式 cos x0-sin xaxln a(a＞0)nxn-1nullex5.导数运算法则 （1）［f（x）±g(x)］′= ; (2)［f(x)·g(x)］′= ; (3) ′= (g(x)≠0). 6.复合函数的导数 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的 导数间的关系为y ′ = ，即y对x的 导数等于 的导数与 的导数的乘积. (a＞0,且a≠1)f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)+f(x)g′(x)y′·u′y对uu对xxuxnull基础自测 1.在曲线y=x2+1的图象上取一点（1，2）及附近一点 （1+Δx，2+Δy），则 为 （ ） A.Δx+ +2 B.Δx- -2 C.Δx+2 D.2+Δx- 解析 ∵Δy=（1+Δx）2+1-12-1=(Δx)2+2Δx, ∴ =Δx+2.Cnull2.设正弦函数y=sin x在x=0和x= 附近的平均变化率为k1,k2,则k1,k2的大小关系为 （ ） A.k1＞k2 B.k1＜k2 C.k1=k2 D.不确定 解析 ∵y=sin x,∴y′=(sin x)′=cos x, k1=cos 0=1，k2=cos =0，∴k1＞k2.Anull3.曲线y=x3-3x2+1在点（1，-1）处的切线方程为 （ ） A.y=3x-4 B.y=-3x+2 C.y=-4x+3 D.y=4x-5 解析 由y′=3x2-6x在点（1，-1）的值为-3，故切线方程为y+1=-3(x-1)，即y=-3x+2.Bnull4.若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf′(x)＞-f(x)恒成立，且常数a,b满足a＞b,则下列不等式一定成立的是 （ ） A.af(b)＞bf(a) B.af(a)＞bf(b) C.af(a)＜bf(b) D.af(b)＜bf(a) 解析 令g(x)=xf(x),∴g′(x)=xf′(x)+f(x)＞0. ∴g(x)在R上为增函数，∵a＞b, ∴g（a)＞g(b),即af(a)＞bf(b).Bnull5.设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是[0， ]，则点P横坐标的取值范围为 （ ） A. B.［-1，0］ C.［0，1］ D. 解析 ∵y=x2+2x+3，∴y′=2x+2. ∵曲线在点P(x0,y0)处切线倾斜角的取值范围是 [0, ], ∴曲线在点P处的切线斜率0≤k≤1. ∴0≤2x0+2≤1,∴-1≤x0≤ .Anull型一 利用导数的定义求函数的导数 【例1】求函数y= 在x0到x0+Δx之间的平均变化 率. 紧扣定义 进行 计算. 解思维启迪题型分类 深度剖析null探究提高 求函数 f（x）平均变化率的步骤： ①求函数值的增量Δf = f（x2）- f（x1）； ②计算平均变化率 解这类题目仅仅是简单套用公式，解答过程相对简 单，只要注意运算过程就可以了.null知能迁移1 利用导数定义，求函数 在x=1处 的导数. 解 方法一 （导数定义法）null方法二 （导函数的函数值法）null题型二 导数的运算 【例2】求下列函数的导数. （1）y=2x3+x-6； （2）y= ； （3）y=(x+1)(x+2)(x+3)； （4）y=-sin (1-2cos2 ）； （5） . 如式子能化简的，可先化简，再利用导数公式和运算法则求导.思维启迪null解 （1）y′=6x2+1.(3)方法一 y=(x2+3x+2)(x+3) =x3+6x2+11x+6， ∴y′=3x2+12x+11.null方法二 y′=［(x+1)(x+2)］′(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)′ =［(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′］(x+3)+(x+1)(x+2) =(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2) =(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2) =3x2+12x+11.nullnull 求函数的导数要准确地把函数分割为基本 函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法 则求导数.在求导过程中，要仔细函数解析式的 结构特征，紧扣求导法则，联系基本函数求导公式. 对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形，如 （3）小题;对于比较复杂的函数，如果直接套用求导 法则，会使求导过程繁琐冗长，且易出错，此时，可 将解析式进行合理变形，转化为较易求导的结构形 式，再求导数，如（2）、（4）、（5）都是如此.但 必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误.探究提高null知能迁移2 求下列函数的导数. （1）y=5x2-4x+1；(2)y=(2x2-1)(3x+1)； （3）y= . 解 (1)y′=(5x2-4x+1)′ =(5x2)′-(4x)′+(1)′=10x-4. (2)∵y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1, ∴y′=(6x3+2x2-3x-1)′ =(6x3)′+2(x2)′-(3x)′-(1)′ =18x2+4x-3.null【例3】求下列复合函数的导数. (1)y=(2x-3)5; (2)y= ; (3)y=sin2（2x+ ）; (4)y=ln(2x+5).null思维启迪 先正确地分析函数是由哪些基本函数经过 怎样的顺序复合而成;求导时,可设出中间变量,注意 要逐层求导不能遗漏,每一步对谁求导,不能混淆. 解 (1)设u=2x-3,则y=(2x-3)5由y=u5与u=2x-3 复合而成, ∴y′=f′(u)·u′(x)=(u5)′(2x-3)′=5u4·2 =10u4=10(2x-3)4. （2）设u=3-x, 则y= 由y=u 与u=3-x复合而成.null 由复合函数的定义可知，中间变量的选择 应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析 函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内， 一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基 本函数，逐步确定复合过程.探究提高(3)设y=u2,u=sin v,v=2x+ , （4）设y=ln u,u=2x+5,则null知能迁移3 求下列复合函数的导数. (1)y= ; (2)y=x ; (3) 解 (1)y′=-3(1-3x)-4(1-3x)′= . null题型三 导数的几何意义 【例4】 （12分）已知曲线方程为y=x2, （1）求过A（2，4）点且与曲线相切的直线方程； （2）求过B（3，5）点且与曲线相切的直线方程. （1）A在曲线上,即求在A点的切线方程. （2）B不在曲线上，设出切点求切线方程. 解 （1）∵A在曲线y=x2上, ∴过A与曲线y=x2相切的直线只有一条，且A为切点. 2分 ∵由y=x2,得y′=2x,∴y′|x=2=4, 4分 因此所求直线的方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0. 6分 思维启迪null（2）方法一 设过B（3，5）与曲线y=x2相切的直线 方程为y-5=k(x-3),即y=kx+5-3k, 8分 y=kx+5-3k, y=x2 得x2-kx+3k-5=0,Δ=k2-4(3k-5)=0. 整理得:(k-2)(k-10)=0,∴k=2或k=10. 10分 所求的直线方程为2x-y-1=0,10x-y-25=0. 12分 方法二 设切点P的坐标为(x0,y0), 由y=x2得y′=2x,∴ x=x0=2x0, 8分 由已知kPA=2x0,即 =2x0. 又y0= 代入上式整理得:x0=1或x0=5, 10分 ∴切点坐标为(1,1),(5,25), ∴所求直线方程为2x-y-1=0,10x-y-25=0. 12分由null探究提高 （1）解决此类问题一定要分清“在某点 处的切线”，还是“过某点的切线”的问法. （2）解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点 坐标为P（x0，y0），然后求其切线斜率k=f′(x0), 写出其切线方程.而“在某点处的切线”就是指“某 点”为切点. （3）曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当 曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且 只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确.null知能迁移4 已知曲线 . (1)求曲线在x=2处的切线方程； (2)求曲线过点（2，4）的切线方程. 解 （1）∵y′=x2, ∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=y′|x=2=4. ∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0.null（2）设曲线 与过点P（2，4）的切线 相切于点 ， 则切线的斜率k=y′|x=x = . ∴切线方程为y- 即0null∵点P（2，4）在切线上，∴4= 即 ∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2, 故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.null方法与技巧 1.在对导数的概念进行理解时，特别要注意f′(x0)与(f(x0))′是不一样的，f′(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值，不一定为0；而(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′=0. 2.对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.思想方法 感悟提高null3.复合函数的求导方法 求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法 则，将问题转化为基本函数的导数解决. （1）分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量； （2）分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量的关系； （3）根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数； （4）复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程.null失误与防范 1.利用导数定义求导数时，要注意到x与Δx的区别，这里的x是常量，Δx是变量. 2.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆. 3.求曲线切线时，要分清点P处的切线与过P点的切 线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者. 4.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别.null一、选择题 1.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位 移为 ，那么速度为零的时刻是 （ ） A.0秒 B.1秒末 C.2秒末 D.1秒末和2秒末 解析 ∵ ∴v=s′（t）=t2-3t+2， 令v=0，得t1=1,t2=2.D定时检测null2.若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点，则点P到直线y=x-2的最小距离为（ ） A.1 B. C. D. 解析 过点P作y=x-2的平行直线,且与曲线y=x2-lnx 相切，设P（x0,x -ln x0）,则k=y′|x=x0=2x0- ∴2x0- =1,∴x0=1或x0= (舍去). ∴P(1,1),∴Bnull3.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直，则l的 方程为 （ ） A.4x-y-3=0 B.x+4y-5=0 C.4x-y+3=0 D.x+4y+3=0 解析 y′=4x3=4,得x=1,即切点为（1，1），所以过该点的切线方程为y-1=4(x-1),整理得4x-y-3=0.Anull4.曲线y=ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角 形的面积为 （ ） A. B.2e2 C.e2 D. 解析 ∵点（2，e2）在曲线上， ∴切线的斜率k=y′|x=2=ex|x=2=e2, ∴切线的方程为y-e2=e2(x-2). 即e2x-y-e2=0. 与两坐标轴的交点坐标为（0，-e2），（1，0）， ∴S△=D null5.（2009·全国Ⅰ理，9）已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切，则a的值为 （ ） A.1 B.2 C.-1 D.-2 解析 设直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)的切点为（x0,y0）,则y0=1+x0,y0=ln(x0+a),又y′= ∴ 即x0+a=1.又y0=ln(x0+a), ∴y0=0,∴x0=-1,∴a=2.Bnull6.（2009·安徽文，9）设函数 其中 ，则导数f′(1)的取值范围是 （ ） A.［-2，2］ B.［ ， ］ C.［ ，2］ D.［ ，2］ 解析 由已知f′(x)=sin ·x2+ cos ·x,Dnull二、填空题 7.如图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B,C的坐标分别为（0，4）,（2，0）,（6， 4），则f（f（0））= ； . （用数字作答）null解析 由A（0，4），B（2，0）可得线段AB所在直 线的方程为f(x)=-2x+4 (0≤x≤2).同理BC所在直线 的方程为f(x)=x-2 (2＜x≤6). -2x+4(0≤x≤2), x-2(2＜x≤6), 所以f(0)=4,f(4)=2. f′(1)=-2. 答案 2 -2所以f(x)=null8.（2009·福建理，14）若曲线f(x)=ax5+ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是 . 解析 ∵f′(x)=5ax4+ ,x∈(0,+∞), ∴由题知5ax4+ =0在（0，+∞）上有解. 即a=- 在（0，+∞）上有解. ∵x∈(0,+∞),∴ ∈(-∞,0). ∴a∈(-∞,0).(-∞,0)null9.（2009·江苏，9）在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y=x3-10x+3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为 . 解析 设P（x0,y0）(x0＜0),由题意知 =2,∴ =4.∴x0=-2,∴y0=15. ∴P点的坐标为（-2，15）.（-2，15）null三、解答题 10.求曲线f(x)=x3-3x2+2x过原点的切线方程. 解 f′(x)=3x2-6x+2.设切线的斜率为k. （1）当切点是原点时k=f′(0)=2, 所以所求曲线的切线方程为y=2x. （2）当切点不是原点时，设切点是（x0,y0）， 则有y0= ① 又k= ② 由①②得 ∴所求曲线的切线方程为null11.设t≠0,点P（t，0）是函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx2+c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.试用t表示a,b,c. 解 因为函数f(x),g(x)的图象都过点（t,0）, 所以f(t)=0,即t3+at=0. 因为t≠0,所以a=-t2. g(t)=0，即bt2+c=0,所以c=ab. 又因为f(x),g(x)在点（t,0）处有相同的切线， 所以f′(t)=g′(t). 而f′(x)=3x2+a,g′(x)=2bx,所以3t2+a=2bt. 将a=-t2代入上式得b=t.因此c=ab=-t3. 故a=-t2,b=t,c=-t3.null12.设有抛物线C：y=-x2+ x-4,通过原点O作C的切 线y=kx,使切点P在第一象限. （1）求k的值； （2）过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交 点Q的坐标. 解 （1）设点P的坐标为（x1,y1）,则y1=kx1.① ② ①代入②得 ∵P为切点,∴Δ=null(2)过P点作切线的垂线,其方程为y=-2x+5. ③ 将③代入抛物线方程得x2- x+9=0. 设Q点的坐标为(x2,y2),则2x2=9,∴x2= ,y2=-4. ∴Q点的坐标为（ ,-4）. 当k= 时,x1=-2,y1=-17. 当k= 时,x1=2,y1=1. ∵P在第一象限,∴所求的斜率k= . 返回