见“万”就胡

20 数学通报 2009年第48卷第10期 不缺点对称结构遍和牌的唯一性 ——“齐民友问题"的部分解决及推广 王雪芹杨之 (北京师大二附中 100088)(天津宝坻华苑1—1—302301800) 1“齐民友问题” 1997年11月，“全国第四届波利亚数学教育 思想与数学教育改革学术研讨会”在武汉召开，会 上，数学家齐民友先生提出一个“好玩”的、妙趣横 生的问题： 一手麻将牌，见万就和(h0)，问是什么牌? 由于未查出处，暂称为齐民友问题，并特指这 手牌的唯一性问题．[13 我们知道[2]，通常的麻将牌，包括1至9万、 条、饼(筒)，东西南北中发白各4张，共136张(有 的还加上“混儿”等副牌，这里不考虑)．打麻将一 般是4个人围方桌而坐，每个人开始抓到的一手 (副)牌有13张，中间可通过“抓进一打出”、“吃 进一打出”、“碰一打出”，一张一张地进行调整，但 总保持13张．一直调整到再来(抓到或别人打出) 一张恰当的牌(这时共14张)就和(h6)为止，最后 这张牌，就叫和牌． 所谓“和”是指：在14张牌中，有一对相同的 (叫做将牌)，其余12张要构成4个“连”，而“连” 或是三张相同牌(叫做横连，如3张1万，3张白 板)，或三张花色相同的连续牌(如二、三、四万或 五、六、七条)．比如，若一手牌如图1所示： 园园园囡圜囡回回国园园囡囡 图1 那么它的和牌是四、七饼，若一手牌如图2所示． 圉圉国园园园囡囡园圜囡国囡 图2 则和牌为一、四、七条． 现在的问题是：如牌中无混JL(可当任何牌的 牌)，那么这手见万就和(称为遍和)的牌是什么? 齐先生当时在会上讲，“这手牌我们已经构造 出来了，并且猜想：结果是唯一的，但未能证明．” 我们考虑，首先，既然1，2，3，⋯，9万都能和， 那么大约1至9万都有，如各1张，那么已是9 张．其次，还余的4张是什么?应该还是万，由于 对称性，经反复实验，猜想有如下一手牌(图3)： 园园园园园园园园园园园园园 圈3 这确是符合题意(见万就和)的一手牌，检验 如下(就用数码表示牌)： 来1万，配成：111，123，456，789，99． 来2万，配成：111，22，345，678，999． 来3万，配成：11，123，345，678，999． 来4万，配成：111，234，456，789，99． 来5万，配成：111，234，55，678，999． 若来的牌是6，7，8，9万，由于对称陛，可类似配牌． 可见，图3所示的，由一、九万各3张，二至八 万各1张组成的一手牌，确是遍和牌． 2唯一性的证明 如果称1万与9万，2万与8万，3万与7万， 4万与6万，为(关于5万的)对称牌，且1至9万 每种都有(称为不缺点)，那么有 定理 由1万、9万各3张，2至8万各一张 组成的一手牌(如图3所示)，是唯一的一手不缺 点对称结构的遍和牌． 证明 前已证过：它确是遍和牌．现证唯一 性．设i万有z。张(1--1，2，⋯，9)．那么 ．271+z2+⋯+z9=13(1≤五≤3)(1) 由于对称性，有zl=z9，z2=z8'X3=z7，z‘ 一z。，则方程(1)化为 2x1+2x2+2x3+2x4+z5=13(2) 可见，z。必为奇数．由1≤Xs≤3知，z。一1或3． 1)当z5=3时，(2)化为zl+z2+z3+z4= 5．由于1≤zi≤3，知zl，z2，z3，z‘中，恰有一个为 万方数据 2009年第48卷第10期 数学通报 21 2，其余的为1． (D如zl=2，则z9=2，z2=z3=毛一z6=X7 =z。=1，这手牌为 1 1 2345 556 78 99 易见，来2万不能和． ②如zz=ze一2，则这手牌为 l 2 23 455 56 788 9 来1万不能和． ③如z3一z，一2，这手牌为 1 2 33 455 56 778 9 来1万不能和． ④如函一X。一2，这手牌为 1 2 34455 56 67 89 来1万不能和． 可见，上。一3时，不可能构成遍和牌． ‘ 一2)当X5—1时，(2)化为z1+z2+z3+X4= 6，由于1≤z：≤3，可见有两种情况(i)z。，z：，z。， z4中，一个为3，三个为1；(ii)X1，z2，X3，z。中两 个为1，两个为2． (i)①z1—3，则z9=3，则z2=z3=⋯一z8— 1，这手牌为 1 1 1 2 34567899 9 这正是图3所示的一手牌，这是遍和的． ②z。一z。一3(其他z。都是1)，牌为 1 22 2 3456 7 888 9 来1万不能和． ③z3=z7=3，④z4=z。一3．构成的一手牌来 1万均不能和． (ii)①z1=z2=2，则z8一z。一2，这手牌为 1 1 2 23456 78 899 可知，来1万不能和，同样可证： ②z1229223227=2； ③z15295X422652} ④z2。z8。z322752； ⑤z2。z822422622 ⑥z3。z7224。z652． 时，这手牌，当来1万时不能和．定理证毕． 3几点注记 1)如果再能证明：缺1—9万中任何一张或结 构非对称(如有1张2万有2张8万)或有非万花 色的牌，这手牌必不遍和，“唯一性”即全部解决． 2)这个证明用的是就事论事的、讨论的方法， 是因为未能建立一个恰当的数学模型之故，而建 模的主要困难是“一手牌是可和牌”这一性质，难 于找到恰当的已知数学对象来描述． 3)麻将牌的一种推广，如果麻将牌主牌仍是 三种花色，每种牌由1，2，3，⋯，3k(k≥1，k∈N)点 的各4张，及适当的副牌构成，那么一手牌就应是 K一3k+4张，牌的总数≥36k+48，传统的麻将是 k=3的情形． 那么可以猜想：由1和3正各3张，2，3，⋯，3壶 一1各一张构成的一手牌，仍是唯一的遍和牌，那 么就有如下的证明思路：如能建立由k到k+1时 遍和牌的递推关系，因为k一1和2时遍和牌的存 在唯一性是容易证明的，那么一般情况下遍和牌 的存在唯一性，即可用数学归纳法加以证明． 4)大数学家陈省身曾为青少年题辞：数学好 玩!这揭示了包括数学在内的一切人造事物，由 关注实用到兼而关注审美、娱乐、赏玩和文化价值 的深刻的发展规律．我国古代环类、棋牌类玩具， 属于组合、拓扑、数论类，很值得研究、玩赏．本文 就是这类的“好玩的数学”的研究． ◆考文献 1杨世明编著．中学数学思维方法丛·转化与化归．郑州：大 象出版社，2000 2洪年，耀庭编著．中国游戏大全．济南：济南出版社，1990 (上接第19页) 的道理就透彻，对教材就能正确理解、准确把握． 教材对教学的影响，不是“束缚”，而是“引领”；不 是“可有可无”，而是“必不可少”． ●考文献 1 章建跃．有效改进课堂教学[刀．数学通报，2008，12 2朱占奎．“加密“拓展”思维链[J]．中学数学教学参考，2009，4 3王秀彩．如何“用教材教”?EJ]．中学数学教学参考，2009，5 4毛浙东．谈数学教师的教材。再加工”EJ]．中学数学教学参考， 2009，5 5陈柏良．课堂教学要呈现“数学本质”EJ]．中学数学教学参考， 2006．1—2 万方数据 不缺点对称结构遍和牌的唯一性——"齐民友问题"的部分解 决及推广 作者： 王雪芹， 杨之 作者单位： 王雪芹(北京师大二附中,100088)， 杨之(天津宝坻华苑1-1-302,301800) 刊名： 数学通报 英文刊名： BULLETIN DES SCIENCES MATHEMATICS 年，卷(期)： 2009，48(10) 被引用次数： 0次 参考文献(2条) 1.杨世明 中学数学思维方法丛书·转化与化归 2000 2.洪年.耀庭 中国游戏大全 1990 本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_sxtb200910006.aspx 授权使用：重庆大学(cqdx)，授权号：2a21b262-c5de-4fd6-9467-9d9e0147bd65，下载时间：2010年6月23日