八年级数学上册小结

第十一章　全等三角形　小结 第十一章　全等三角形　小结 一、全等形 能够完全重合的两个图形叫做全等形。 二、全等三角形 １、概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 注意： （１）两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。 （２）“能够完全重合”是指在一定的叠放下，可以完全重合，不是胡乱摆放都能重合。 ２、全等三角形的符号表示、读法 △ＡＢＣ与△Ａ′Ｂ′Ｃ′全等记作△ＡＢＣ≌△Ａ′Ｂ′Ｃ′，“≌”读作“全等于”。 注意： （１）计两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上，这样对应的两个字母为端点的线段是对应边；对应的三个字母表示的角是对应角（若用一个字母表示一个角亦是如此）。 （２）对应角夹的边是对应边，对应边的夹角是对应角。 （３）对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边、两个角的关系，而对边、对角是指同一个三角形的边和角的位置关系，对边是与角相对的边，对角是与边相对的角。 ３、全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等。 ４、三角形全等的识别方法 （１）三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”和“ＳＳＳ”。 （２）两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”和“ＳＡＳ”。 （３）两角和他们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”和“ＡＳＡ”。 （４）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”和“ＡＡＳ”。 （５）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”和“ＨＬ”。 注意： ＳＳＡ、ＡＡＡ不能识别两个三角形全等，识别两个三角形全等时，必须有边的参与，如果有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角。 ５、三角形全等的证明思路 　　　　　　　　　找夹角——ＳＡＳ （１）已知两边　　找直角——ＨＬ 　　　　　　　　　找另一边——ＳＳＳ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　找边的对角——ＡＡＳ （２）已知一边一角　　边为角的邻边　　找夹角的另一边——ＳＡＳ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　找夹边的另一角——ＡＳＡ 　　　　　　　　　　　边为角的对边——找任意一角——ＡＡＳ （３）已知两角　　找夹边——ＡＳＡ 　　　　　　　　　找任意一边——ＡＡＳ ６、全等变换 一个图形与另一个图形的形状一样，大小相等，只是位置不同，我们称这个图形是另一个图形的全等变换，三种基本全等变换：（１）旋转；（２）翻折；（３）平移。 三、角平分线的性质定理及逆定理 １、性质定理：角平分线上的点到角的两边距离相等。 注意：（１）定理作用：a.证明线段相等；b.为证明三角形全等准备条件。 （２）点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度。 ２、逆定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角平分线上。 ３、三角形的内心 利用角的平分线的性质定理可以导出：三角形的三个内角的角平分线交于一点Ｉ，此点叫做三角形的内心，它到三边的距离相等。 说明：（１）三角形三条角平分线交于一点，这个点到三边的距离相等。 　　 （２）三角形两个外角的角平分线也交于一点，这个点到三边所在的直线的距离相等。 　　 （３）三角形外角角平分线的交点共有３个，所以到三角形三边所在的直线的距离相等的点共有４个。 第十二章　轴对称　小结 一、轴对称图形的概念： 如果一个图形沿着某一条直线对折，对折的两部分能完全重合，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴。这时，我们就说这个图形关于这条直线（或轴）对称。 如：正方形、长方形、圆形一定是轴对称图形；三角形、四边形、梯形不一定是轴对称图形；平行四边形一定不是轴对称图形。 注意： （１）一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，如正方形有４条对称轴、长方形有２条对称轴、圆形有无数条对称轴、正三角形有３条对称轴、正n边形有n条对称轴。 （２）轴对称图形需要注意的重点：①一个图形； ②沿一条直线折叠，对折的两部分能完全重合（即重合到自身上）。 二、轴对称的概念： 　　把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够和另一个图形完全重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。两个图形中经过翻折之后互相重合的点叫做对应点，也叫做对称点。 注意：（１）两个图形成轴对称和轴对称图形的概念，前提不一样，前者是两个图形，后者是一个图形。 　　（２）成轴对称的两个图形不仅大小、形状一样而且与位置有关。 三、轴对称的性质： １、关于某条直线对称的图形是全等形； ２、如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ３、两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上； ４、如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么，这两个图形关于这条直线对称。 注意：（１）全等的图形不一定是轴对称的，轴对称的图形一定是全等的。 （２）性质４的作用是判定两个图形是否关于某直线对称，它是作对对称图形的主要依据。 四、轴对称作（画）图： １、画图形的对称轴 （１）观察分析图形，找出轴对称图形的任意一组对称点； （２）连结对称点； （３）画出以对称点为端点的线段的垂直平分线。 ２、如果一个图形关于某直线对称，那么对称点之间的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴。 注意： 对于（１）来说，对称点要找准，特别是较复杂的轴对称图形，要认真地观察、分析，必要时要动手操作实践一下；对于对称轴有两条或两条以上的图形，要从各个角度找对称点，对于（２）是找一个轴对称图形的对称轴的方法。 ３、画某点关于某直线的对称点的方法 （１）过已知点作已知直线的（对称轴）的垂线，标出垂足； （２）在这条直线的另一侧从垂足出发截取相等的线段，那个截点就是这点关于该直线的对称点。 ４、画已知图形关于某直线的对称图形 （１）画出图形的某些点关于这条直线的对称点； （２）把这些对称点顺次连结起来，就形成了一个符合条件的对称图形。 注意： “某些点”是指能确定图形形状和大小及位置的关键点。如果是多边形， “某些点”就是指所有的顶点；如果是线段，“某些点”就是指线段的两个端点；如果是直角，“某些点”就是指角的顶点与角两边上每一边一个任意点，其余类推。 五、轴对称和轴对称图形之间的区别与联系： 轴对称 轴对称图形 区别 ①指两个图形而言； ②指两个图形的一种形状与位置关系。 ①对一个图形而言； ②指一个图形的特殊形状。 联系 ①都有一条直线，都要沿这条直线折叠重合； ②把两个成轴对称的图形看成一个整体，就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形沿对称轴分成两部分，这两部分关于这条直线成轴对称。 六、轴对称几何图形的对称轴： 名称 是否是轴对称图形 对称轴有几条 对称轴的位置 线段 是 ２条 垂直平分线或线段所在的直线 角 是 １条 角平分线所在的直线 长方形 是 ２条 对边中线所在的直线 正方形 是 ４条 对边中线所在的直线和对角线所在的直线 圆 是 无数条 直径所在的直线 平行四边形 不是 ０条 七、轴对称变换的概念： 由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换。 八、轴对称变换的有关知识点： 规律：对称轴方向、位置发生变化，得到的图形的方向、位置也发生变化； 性质：１、由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大 小完全相同； 　　 ２、新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线l的对称点； 　　 ３、连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分； 　　 ４、成轴对称的两个图形中的任何一个可以看做由另一个图形经过轴对称变换后得到的； 　　 ５、一个轴对称图形也可以看做以它的一部分为基础，经轴对称变换扩展而成的。 九、线段垂直平分线的概念： １、垂直于一条线段，并平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线； ２、线段的垂直平分线可以看做和线段两个端点距离相等的所有点的集合。 十、线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等。 注意： １、“线段垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等”的作用是：证明两条线段相等； ２、若ＣＤ垂直平分线段ＡＢ，可得到： ① △ＡＢＣ是等腰三角形； ② ＣＯ是△ＡＢＣ底边ＡＢ上的高和中线，也是顶角∠ＢＣＡ的平分线； ③ 不仅ＡＣ＝ＣＢ，取ＣＤ上任意一点Ｐ都有ＰＡ＝ＰＢ。 十一、线段垂直平分线的性质定理的逆定理： 和线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 注意： （１）“和线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。”的作用是：判定一点在线段的垂直平分线上； （２）等腰三角形的顶点在底边的垂直平分线上； （３）如果两点到一条线段的两个端点的距离相等，那么，这两点所在直线是该线段的垂直平分线。 十二、三角形三边垂直平分线的性质： 三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三个顶点的距离相等。 注意：（１）“三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三个顶点的距离相等。”的作用是：证明线段相等； （２）三角形两边的垂直平分线的交点必在第三边的垂直平分线上； （３）证明三线共点，可先找到两直线交点，再证明第三条直线也过这一点即可； （４）锐角三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，直角三角形三边垂直平分线的交点恰是斜 边中点，钝角三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部； （５）此定理给出了作一个点到三个不共线的点距离相等的作图方法，只需顺次连结这三点组成一个三角形，作这个三角形的两边的垂直平分线，交点即为所求。 十三、等腰三角形的概念、性质、判定： 1、概念： 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，在等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边， 两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角，顶角是直角的等腰三角形叫做直角等腰三角形， 三条边都相等的三角形叫做等边三角形。 2、性质： （１）等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在直 线是对称轴； （２）等腰三角形的两底角相等（简写为“等边对等角”）； （３）等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称“三线合一”）。 （４）等腰三角形的两边相等，即两腰相等。 3、判定：（１）有两边相等的三角形叫做等腰三角形； 　　（２）如果一个三角形有两个角相等，那么，这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。 注意： （１）等腰三角形的判定和性质的关系：等腰三角形的定义既体现了等腰三角形的性质，也可以作为 判定，等腰三角形的性质定理“等边对等角”和等腰三角形的判定定理“等角对等边”互为逆 定理； （２）“等角对等边”在同一三角形内证两条边相等的应用极为广泛，往往通过计算三角形各角的度 数得角相等，则可得边相等； （３）底角为顶角２倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形。 十四、等边三角形的定义、性质、判定： 1、​ 定义： 三条边相等的三角形叫做等边三角形。 注意： （１）由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形，也就是说等腰三角形包括等边三角形，因而等边三角形具有等腰三角形的一切性质； （２）等边三角形有三条对称轴，故三边上均有“三线合一”的性质，其三条中线交于一点，称其为 “中心”。 2、性质： 等边三角形的三边都相等，三个内角都相等，并且每一个内角都等于６０°，每一个外角都等于１２０°。 3、判定：（１）三条边都相等的三角形是等边三角形； 　　（２）三个角都相等的三角形是等边三角形； 　　（３）有一个内角是６０°的等腰三角形是等边三角形； 　　（４）任意一腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形。 　　 注意：（１）四个判定定理的前提不同，判定（１）和判定（２）是在三角形的条件下，判定（３）和判定（４）是在等腰三角形的条件下； （２）计算出三角形的各个内角的度数都相等（或都为６０°），然后根据“等角对等边”可说明一个三角形是等边三角形。 十五、含３０°角的直角三角形的性质： 如果在直角三角形中有一个锐角为３０°，那么３０°角所对的直角边等于斜边的一半。 注意： 性质是由等边三角形的性质得出的，它的主要作用是能解决直角三角形中的有关线段长度、线段关系、角的度数等的计算问题，特别在以后的学习中应用更广泛。 第十三章　实数　小结 一、平方根、算术平方根的概念及其性质 １、算术平方根的概念及其性质 （１）一般地，如果一个正数 的平方等于a，即 2= a，那么这个正数 叫做a的算术平方根，a的算术平方根记为 ，读作“根号a”，a叫做被开方数。　 （２）一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根仍为0；负数没有算术平方根，也就是说，当式子 有意义时，a一定表示一个非负数。 ２、平方根的概念及其性质 （１） 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根，这就是说，如果x²=a，那么 叫做a的平方根。 正数a的正的平方根表示为“² ”或“ ”，其中a叫做被开放数；“² ”中的2叫做根指数（一般可省去不写）；“² ”或“ ”读作“二次根号a”或“根号a”；正数a的负的平方根表示为“－² ”或“－ ”；正数a的平方根表示为± ，读作“正、负根号a”。 （２） 一个正数的平方根有两个且它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 ３、开平方运算 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。 注意：（１）被开方数a是非负数（非负数即指正数和零）； （２）平方运算与开平方运算是互为逆运算的关系。 ４、平方根（或算术平方根）的几个公式 （１）式子± 有意义的条件为ａ≥０。 （２）ａ表示ａ的算术平方根，ａ是非负数，即　ａ≥０。 　　　　　　　　　　　ａ　 ａ≥０ （３）　ａ²＝︱ａ︱＝ ０　　ａ＝０ 　　　　　　　　　　　－ａ　ａ＜０ （４）√（　ａ）²＝ａ（ａ≥０），（－　ａ）²＝ａ（ａ≥０）。 二、立方根的概念及其性质 １、如果一个数ｘ的立方等于ａ，即ｘ³＝ａ，那么就称这个数ｘ为ａ的立方根（或三次方根）。 ａ的立方根（或三次方根）表示为³　ａ，其中ａ为被开方数，“³　”符号中的３为根指数（这个数不能省略）；³　ａ读作“三次根号ａ”或“ａ的立方根”。 ２、任意数都有立方根，正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；零的立方根仍为零。 ３、有关立方根的补充说明和两个公式 （１）在³　ａ中，被开方数ａ可为正数、零，也可为负数。即³　ａ的正负与ａ一致。 （２）³　－ａ=－³　ａ （３）(³　a) ³=³　a³＝ａ ４、开立方运算 求一个数ａ的立方根的运算叫做开立方运算。开立方运算与立方运算是互为逆运算的关系。 三、实数的有关性质 （１）实数ａ的相反数为－ａ，零的相反数是其本身，若ａ与ｂ互为相反数，则ａ＋ｂ＝０；反之亦然。 （２）实数ａ的倒数为１/ａ（ａ≠０）。若ａ与ｂ互为倒数，则ａｂ＝１；反之亦然。 （３）实数ａ的绝对值表示为︱ａ︱，正实数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负实数的绝对值是 它的相反数。 　　　　　 　　ａ　 ａ≥０ 即︱ａ︱＝　　０　　ａ＝０ 　　　　　 　　－ａ　ａ＜０ （４）实数与数轴上的点是一一对应的关系，数轴上每一个点都表示一个实数；反过来，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。 已知实数ａ、ｂ在数轴上对应的点分别为Ａ、Ｂ，则有︱ａ︱、︱ｂ︱分别表示点Ａ、点Ｂ到原点的距离；︱ａ－ｂ︱表示点Ａ到点Ｂ的距离，这正是绝对值的几何意义。 在数轴上，右边点对应的实数比左边点对应的实数大；正实数大于一切负实数，０大于一切负实数，正实数都大于０；两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即对于负数ａ、ｂ，有 ︱ａ︱＜︱ｂ︱＝ａ＞ｂ。 四、实数的概念及其分类 实数是有理数和无理数的统称，有如下分类： （１）按定义分类 　　　　　　　　　整数　　 实数　　有理数　　分数　　有限小数和无限循环小数 　　　　无理数：即无限不循环小数 （２）按正负分类 　　　　　　　　　　　　　　 正整数 　　　　 　　正有理数　正分数 正实数 　　　　　　　　　 正无理数 实数　　 零 　　　　　　　　　　　　　　　负整数 　　　　负实数　　负有理数　　负分数 　　　　　　　　　负无理数 五、实数的运算 　　 在实数范围内，可进行加、减、乘、除、乘方、开方运算和它们之间的混合运算；有理数范围内的运算律、运算法则在实数范围内仍适用，且满足运算律。 　 　交换律：ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ，ａｂ＝ｂａ 　 　结合律：（ａ＋ｂ）＋ｃ＝ａ＋（ｂ＋ｃ），（ａｂ）ｃ＝ａ（ｂｃ） 　　 分配率：ａ（ｂ＋ｃ）＝ａｂ＋ａｃ 六、实数的大小比较 　　①数轴比较法； 　　②代数比较法； ③差值比较法； ④商值比较法； ⑤倒数比较法：若1/a＞1/b,a＞0,b＞0,则a＜b； ⑥平方比较法：ａ＞０，ｂ＞０，ａ²＞ｂ²，则ａ＞ｂ； ⑦开方比较法：若a＞0，b＞0，　ａ＞　ｂ，则ａ＞ｂ； 七、非负数的性质 （１）已知实数ａ，则ａ²≥0，︱ａ︱≥0，ａ²　≥0（ｎ为正整数）。 （２）任意非负数的算术平方根和偶次方根还是非负数，即　ａ≥0，²　　ａ≥0（ｎ为正整数）。 （３）若两个非负数的和为０，那么这两个数一定都为０，常见以下几种形式： 　　　　　　　　　　　ａ＝０， 若ａ²＋ｂ²＝０，则　ｂ＝０，反之亦然。 　　　　　　　　　　　　　　ａ＝０， 若︱ａ︱＋︱ｂ︱＝０，则　ｂ＝０，反之亦然。 　　　　　　　　　　　　ａ＝０， 若　ａ＋　ｂ＝０，则　ｂ＝０，反之亦然。 ａ＝０， 若²　ａ＋²　ｂ＝０，则　ｂ＝０，反之亦然。 可推广位：ｎ个非负实数之和为０，则这ｎ个非负实数一定都为零。 第十四章　一次函数　小结 一、函数的有关概念 （１）变量与常量 　 　在某一变化过程中，可以取不同的量叫做常量，保持不变的量叫做常量。 注意：变量和常量往往是相对而言的，在不同研究过程中，常量和变量的身份是可以相互转换的。 　　（２）函数与自变量 　 　一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如ｘ和ｙ，对于ｘ的每一个值，ｙ都有唯一的值与之对应，我们就说ｘ是自变量，ｙ是因变量，此时也称ｙ是ｘ的函数。 　　注意：函数体现的是一个变化的过程，在这一变化过程中，要着重把握以下三点： 　　（１）只能有两个变量。 　　（２）一个变量的数值随着另一个变量的数值变化而变化。 （３）对于自变量的每一个确定的值，函数都有唯一的值与之对应。 二、函数的表示方法 函数的表示方法有三种：解析法、列表法和图像法。 （１）解析法： 两个变量之间的关系，有时可以用一个含有这两个变量的等式表示，这种表示方法叫做解析式。用解析式表示一个函数关系时，因变量ｙ放在等式的左边，自变量ｘ的代数式放在右边，其实质是用ｘ的代数式表示ｙ。 注意：解析法简单明了，能准确地反应整个变化过程中自变量与因变量的关系，但不直观，且有的函数关系不一定能用解析法表示出来。 （２）列表法： 把自变量ｘ的一系列值和函数ｙ的对应值列成一个表来表示函数关系的方法叫做列表法。 注意：列表法优点是一目了然，使用方便，但其列出的对应值是有限的而且从表中不易看出自变量和函数之间的对应规律。 （３）图像法： 用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 注意：图像法形象直观，是研究函数的一种很重要的方法。 　　　在解决问题时，我们常常综合运用三种方法来表示函数。 三、函数自变量取值范围及函数值 　 　函数自变量的取值范围是指函数有意义的自变量的取值的全体。求自变量的取值范围通常从两个方面考虑：一是要使函数的解析式有意义；二是符合客观实际。下面给出一些简单函数解析式中自变 量范围的确定方法。 　　（１）当函数的解析式是整式时，自变量取任意实数（即全体实数）。 　　（２）当函数的解析式是分式时，自变量取值是使分母不为零的任意实数。 　　（３）当函数的解析式是开平方的无理式时，自变量值是使被开放的式子为非负的实数。 　　（４）当函数解析式中自变量出现在零次幂或负整数次幂的底数中时，自变量值取值是使底数不为零的实数。 　　 对于自变量在取值范围内的一个值，如当ｘ＝ａ时，函数有唯一确定的对应值，这个值就是当 ｘ＝ａ时的函数值。 　　注意：若已知函数解析式及自变量的值求函数值，其实质就是求关于自变量ｘ的代数式的值。 　　　　　若已知函数解析式及函数值求自变量的值，其实质就是解关于自变量ｘ的方程。 四、函数的图像 （１）函数图像的意义 　一般来说，函数的图像是由直角坐标系中的一系列点组成。图像上每一点的坐标（ｘ，ｙ）代表了函数的一对对应值，他的横坐标ｘ表示自变量的某一个值，纵坐标ｙ表示与它对应的函数值。 （２）函数图像的画法 　 　在直角坐标系中，如果描出以自变量的值为横坐标、相应函数值为纵坐标的点，那么所有这样的点组成的图形叫做这个函数的图像。 　　 知道了函数解析式要画出函数的图像，一般经历以下三步： 　　①列表： 取自变量的一些值，计算出对应的函数值，由这一系列的对应值得到一系列的有序实数对。 ②描点： 在直角坐标系中，描出这些有序实数对的对应点。 ③连线： 用平滑的曲线依次把这些点连起来，即可得到这个函数的图像。 五、数学思想方法 （１）数形结合思想 本章中比较广泛地应用数形结合的思想来研究问题。数形结合，直观形象，由数思形，由形思数，两者巧妙结合，为分析问题和解决问题创造了有利条件，帮助我们去分析和解决问题。 （２）函数思想 研究一个实际问题时，首先从问题中抽象出特定的函数关系，然后利用函数的性质得出结论，最后把结论应用到实际问题中去，从而得到实际问题的研究结果。将实际问题数学化，通过建立函数模型，利用函数性质解决实际问题。 （３）转化思想 将复杂问题转化为简单问题，将未知转化为已知，将抽象转化为具体，这是数学中常用的思想方法。 六、一次函数（正比例函数）的概念 解析式是用自变量的一次整式表示的函数，我们称之为一次函数。一次函数的一般形式为 ｙ＝ｋｘ＋ｂ，其中ｋ、ｂ为常数，ｋ≠０，特别地，当ｋ＝０时，一次函数ｙ＝ｋｘ（常数 ｋ≠０）也叫做正比例函数。 注意： （１）如果一个函数是一次函数，则含有自变量ｘ的式子是一次的，系数ｋ不等于０，而ｂ可以为任意实数。 （２）自变量ｘ的取值范围是任意实数。 （３）ｋ≠０这个条件不可忽略。 （４）正比例函数与一次函数之间的关系： ① 正比例函数是特殊的一次函数，即一次函数包含正比例函数。 ② 一次函数不一定是正比例函数，在一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）中，当ｂ＝０时， ｙ是ｘ的正比例函数；当ｂ≠０时ｙ不是ｘ的正比例函数。 七、一次函数的图像 （１）一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）的图像是一条直线，通常也称为直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ，一方面，一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图像可以用描点法画出；另一方面，由于两点确定一条直线，故画一次函数的图像时，只要先描出两点，再连成直线就可以了，为了方便，常用图像与坐标轴的两个交点（０，ｂ）和（－　　，０） （２）正比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）的图像是经过原点（０，０）的一条直线，通常画正比例函数 ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）的图像只需取一点（１，ｋ），然后过原点和这一点画直线。 八、对一次函数的ｙ＝ｋｘ＋ｂ中的系数ｋ、ｂ的理解 （１）直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ中ｋ表示直线向上的方向与ｘ轴正方向夹角的大小程度，即直线的倾斜程度；ｂ是直线与ｙ轴交点的纵坐标，ｂ＞０时，直线与ｙ轴交于正半轴上；ｂ＝０时，直线过原点，是正比例函数；ｂ＜０时，直线与ｙ轴交于正半轴上；ｂ＝０时，直线过原点，是正比例函数；ｂ＜０时，直线与ｙ轴交于负半轴上。 （２）两直线ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ１（ｋ１≠０）与ｙ＝ｋ２ｘ＋ｂ２（ｋ２≠０）的位置关系。 　　　①当ｋ１＝ｋ２，ｂ１≠ｂ２时，两直线平行。 　　　②当ｋ１＝ｋ２，ｂ１＝ｂ２时，两直线重合。 注意： （１）当ｋ＞０时，直线必经过一、三象限；ｋ＜０时，直线必经过二、四象限。当ｂ＞０时，直线与ｙ轴正半轴相交，故必过一、二象限；ｂ＝０时，直线过原点；ｂ＜０时，直线与ｙ轴负半轴相交，故直线过三、四象限。 （２）ｙ随ｘ的增大而增大，还是ｙ随ｘ的增大而减小，只取决于ｋ的符号，与ｂ无关。 九、一次函数解析式的确定 （１）根据数学规律、关系确定函数解析式 ① 对于探索一系数、图形个数等规律时，其关键是找出问题的两个变量之间存在的数量关系。 ② 对于几何图形中的两个量的关系，要能够结合几何图形的性质确定两个变量的关系。 ③ 对于实际问题中的两个量之间的关系，要分析出各个量之间存在的数量关系，并能正确用含一个量的代数式表示另一个量，同时注意自变量的取值范围。 （２）待定系数法确定函数解析式 先设出函数解析式，再根据已知条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出函数解析式的方法，叫做待定系数法，待定系数法是求函数解析式最常用的方法，其一般步骤是： ①设一次函数解析式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）。 ②将函数图像所经过的任意两点的坐标带入ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）。 ③解此二元一次方程组，得待定系数k、b的值。 ④确定函数解析式。 注意： （１）在正比例函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０，且为常数）中，只有一个待定系数ｋ，确定正比例函数关系式只需一个条件。 　　（２）在一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ、ｂ为常数，且ｋ≠０）中，有两个待定系数ｋ和ｂ，因此确定一次函数关系式需要两个条件。 十、一次函数与方程（组）及不等式之间的关系 （１）一次函数与一元一次方程 　 　 直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ与ｘ轴交点的横坐标，就是一元一次方程ｋｘ＋ｂ＝０的解。 求直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ与ｘ轴的交点，可令ｙ＝０得方程ｋｘ＋ｂ＝０，解方程得ｘ＝－　　，－　　是直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ与ｘ轴交点的横坐标。反之，由函数的图像也能求出对应的一元一次方程的解。 （２）一次函数与二元一次方程（组） 　　 一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ图像上任意一点的坐标都是二元一次方程ｋｘ－ｙ＋ｂ＝０的解；以二元一次方程ｋｘ－ｙ＋ｂ＝０的解为坐标的点都在一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图像上。 两条直线ｌ１：ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ１（ｋ１≠０）与ｌ２：ｙ＝ｋ２ｘ＋ｂ２（ｋ２≠０）的交点的横、纵坐标就是方程组　　ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ１ 　　　　　　　　　　 ｙ＝ｋ２ｘ＋ｂ２ 注意：若ｋ１＝ｋ２，ｂ１≠ｂ２，则两直线平行，无交点，所以方程组无解；若ｋ１＝ｋ２，ｂ１＝ｂ２，则两直线重合，通常不研究此类情况。 （３）二元一次方程组的图像解法 画出方程组对应的两个一次函数的图像，找出它们的交点，这个交点的坐标就是二元一次方程组的解，这种解方程组的方法叫做二元一次方程组的图像解法。 （４）一次函数与一元一次不等式 使一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的函数值ｙ大于０的自变量的所有值，就是一元一次不等式ｋｘ＋ｂ＞０的解集，同样使一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的函数值ｙ小于０的自变量的所有值，就是一元一次不等式 ｋｘ＋ｂ＜０的解集。 第十五章　整式的乘除与因式分解　小结 一、同底数幂的乘法： 同底数幂的乘法法则： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即ａ　·ａ　＝ａ　（ｍ、ｎ都是正整数）。 注意：（１）这一运算性质可推广到三个或三个以上同底数幂相乘，即ａ·ａ·ａ＝ａ（ｍ、ｎ、ｐ都是正整数）。 　　　（２）运算性质可以逆运用，即ａ　＝ａ　·ａ　。 　　　（３）幂的底数ａ可以是单项式，也可以是多项式。 二、幂的乘方与积的乘方： １、幂的乘方法则： 幂的乘方，底数不变，指数相乘，即（ａ　）　＝ａ　（ｍ、ｎ都是正整数）。 注意：（１）不要把幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质混淆。幂的乘方运算，是转化为指数的乘法运算（底数不变）；同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算（底数不变）。 （２）此性质可以逆运用，即ａ　＝（ａ　）　＝（ａ　）。 ２、积的乘方法则： 　 　积的乘方，等于各因数乘方的积，即（ａｂ）　＝ａ　ｂ　（ｎ为正整数）。 注意：（１）这一运算性质可推广到三个或三个以上的因数的积的乘方，即（ａｂｃ）　＝ａ·ｂ·ｃ　（ｎ为正整数）。 　　　（２）此性质可以逆运用，即ａ　·ｂ　＝（ａｂ）　。 三、同底数幂的除法： 同底数幂的除法法则： 同底数幂相除，底数不变，指数相减，即ａ÷ａ＝ａ（ａ≠0，ｍ、ｎ为正整数，且ｍ＞ｎ）。 注意：此性质可以逆运用，即ａ＝ａ÷ａ　。 四、零指数幂与负整数指数幂： 　 　 在ａ　÷ａ　＝ａ　中，当ｍ＝ｎ时，ａ　÷ａ　＝ａ　＝１（ａ≠０） 　　 当ｍ＜ｎ时，规定ａ　÷ａ　＝ａ　　＝　　。 （１）零指数幂的意义： 　　 任何不等于零的数的零次幂都等于１，即ａ　＝１（ａ≠０）。 （２）负整数指数幂的意义： 　 　任何不等于零的数的－ｎ（ｎ为正整数）次幂，等于这个数的ｎ次幂的倒数，即 ａ＝（ａ≠0，ｎ为正整数）。 注意：（１）在这两个幂的意义中，强调底数ａ都不等于零，否则无意义。 　　 （２）学习零指数幂与负整数指数幂后，正整数指数幂的运算性质推广到整数指的幂。 五、科学计数法： 　　 利用科学计数法表示绝对值较大的数，即表示成ａ×１０　的形式，ｎ为正整数，１≤｜ａ｜＜１０。对于一些绝对值较小的数，我们可以仿照绝对值较大数的计法，用１０的负整数次幂表示，而将原式写成ａ×１０　的形式，其中ｎ为正整数，１≤｜ａ｜＜１０，这也称为科学计数法。 六、单项式与单项式相乘： 单项式与单项式相乘的法则： 　　 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 七、单项式与多项式相乘： 单项式与多项式相乘的法则： 　　 单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即。 注意：单项式乘多项式实际上是用分配率向单项式相乘转化。 八、多项式与多项式相乘： 多项式与多项式相乘的法则： 　　 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即（ａ＋ｂ）（ｍ＋ｎ）＝ａｍ＋ｂｍ＋ａｎ＋ｂｎ。 九、平方差公式： （１）内容： （ａ＋ｂ）·（ａ－ｂ）＝ａ²－ｂ² （２）意义： 　 　两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 （３）特征： 　　① 左边是两个二项式相乘，这两项中有一项相同，另一项互为相反数； ② 右边是乘式中两项的平方差； ③ 公式中的ａ和ｂ可以使有理数，也可以是单项式或多项式。 （４）几何意义： 　　 平方差公式的几何意义也就是图形变换过程中面积相等的表达式。 （５）拓展： ① 立方和公式： （ａ＋ｂ）（ａ²－ａｂ＋ｂ²）＝ａ³＋ｂ³； ② 立方差公式： （ａ－ｂ）（ａ²＋ａｂ＋ｂ²）＝ａ³－ｂ³。 ③（ａ－ｂ）（ａ　＋ａ　ｂ＋ａ　ｂ²＋…＋ａ²ｂ　＋ａｂ　＋ｂ　）＝ａ　－ｂ　。 十、完全平方公式： （１）内容： 　　 （ａ＋ｂ）²＝ａ²＋ｂ²＋２ａｂ； 　　 （ａ－ｂ）²＝ａ²＋ｂ²－２ａｂ。 （２）意义： 　　两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们积的２倍。 两数差的平方，等于它们的平方和，减去它们积的２倍。 （３）特征： 　　① 左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的２倍，可简记为“首平方，尾平方，积的２倍在中央。” ② 公式中的ａ、ｂ可以是单项式，也可以是多项式。 （４）几何意义： （５）推广： 　　①（ａ＋ｂ＋ｃ）²＝ａ²＋ｂ²＋ｃ²＋２ａｂ＋２ｂｃ＋２ｃａ； 　　②（ａ＋ｂ）³＝ａ³＋ｂ³＋３ａ²ｂ＋３ａｂ²； ③（ａ－ｂ）³＝ａ³－ｂ³－３ａ²ｂ＋３ａｂ²。 十一、单项式与单项式相除： 单项式与单项式相除的法则： 单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 注意：（１）两个单项式相除，只要将系数及同底数幂分别相除即可。 （２）只在被除式里含有的字母不不要漏掉。 十二、多项式与单项式相除： 多项式与单项式相除的法则： 　　 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，即（ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ＋ｄｍ）÷ｍ＝ａｍ÷ｍ＋÷ｂｍ÷ｍ＋ｃｍ÷ｍ＋ｄｍ÷ｍ。 　注意：这个法则的使用范围必须是多项式除以单项式，反之，单项式除以多项式是不能这样计算的。 十三、整式的混合运算： 　　 关键是注意运算顺序，先乘方，在乘除，后加减，有括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号，先做括号里的。 十四、因式分解的意义： 　　 把一个多项式化为几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式，即多项式化为几个整式的积。 注意：（１）因式分解的要求： 　 ①结果一定是积的形式，分解的对象是多项式； 　 ②每个因式必须是整式； 　 ③各因式要分解到不能分解为止。 （２）因式分解与整式乘法的关系： 　　 是两种不同的变形过程，即互逆关系。 十五、因式分解的方法： １、提公因式法分解因式： ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ＝ｍ（ａ＋ｂ＋ｃ），这个变形就是提公因式法分解因式。 这里的ｍ可以代表单项式，也可以代表多项式，ｍ称为公因式。 确定公因式方法： 系数：取多项式各项系数的最大公约数。 字母（或多项式因式）：取各项都含有的字母（或多项式因式）的最低次幂。 ２、利用公式法分解因式： ① 平方差公式：ａ²－ｂ²＝（ａ＋ｂ）·（ａ－ｂ）。 ② 完全平方公式：ａ²＋ｂ²＋２ａｂ＝（ａ＋ｂ）²； 　　　　　　　　　 　ａ²＋ｂ²－２ａｂ＝（ａ－ｂ）²。 ③ 立方和与立方差公式：ａ³＋ｂ³＝（ａ＋ｂ）（ａ²－ａｂ＋ｂ²）； 　　　　　　　　　　　　　 ａ³－ｂ³＝（ａ－ｂ）（ａ²＋ａｂ＋ｂ²）。 注意：（１）公式中的字母ａ、ｂ可代表一个数、一个单项式或一个多项式。 （２）选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式应考虑平方差或立方和、立方差公式；若多项式是三项式，可考虑用完全平方公式。 ３、分组分解法： ①将多项式的项适当的分组后，组与组之间能提公因式或运用公式分解。 ②适用范围：适合四项以上的多项式的分解。 分组的标准为：分组后能提公因式或分组后能运用公式。 ４、其他方法： ①十字相乘法：ｘ²＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）。 ②求根公式法：若ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）的两根是ｘ１、ｘ２，ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝ａ （ｘ－ｘ１）（ｘ－ｘ２）。 十六、因式分解的一般步骤及注意问题： １、对多项式各项有公因式时，应先提供因式。 ２、多项式各项没有公因式时，如果是二项式就考虑是否符合平方差公式；如果是三项式就考虑是否符合完全平方公式或二次三项式的因式分解；如果是四项或四项以上的多项式，通常采用分组分解法。 分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止。 十七、添括号法则： 　　 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。