示范教案(4.3_简单线性规划的应用)

中鸿智业 4.3 简单线性规划的应用 整体 教学分析 本节内容在教材中有着重要的地位与作用.线性规划是利用数学为工具,来研究一定的人、财、物、时、空等资源在一定条件下,如何精打细算巧安排,用最少的资源,取得最大的经济效益.它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支,并能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问.中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分,但这部分内容体现了数学的工具性、应用性,同时也渗透了化归、数形结合的数学思想,为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法——数学建模法.通过这部分内容的学习,可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用,培养学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力. 把实际问题转化为线性规划问题,并给出解答是本节的重点也是难点.对许多学生来说,解数学应用题的最常见的困难是不会将实际问题转化成数学问题,即不会建模.所以把实际问题转化为线性规划问题作为本节的难点.对学生而言,解决应用问题的障碍主要有三类:①不能正确理解题意,弄不清各元素之间的关系;②不能分清问题的主次关系,因而抓不住问题的本质,无法建立数学模型;③孤立地考虑单个的问题情境,不能多方联想,形成正迁移.针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素,将本节设计为计算机辅助教学,充分利用现代化教学工具,从而将实际问题鲜活直观地展现在学生面前,以利于理解. 实际教学中注意的问题是:用图解法解决线性规划问题时,分析题目的已知条件,找出约束条件和目标函数是关键.可先将题目中的量分类、列出,理清头绪,然后列出不等式组(方程组)寻求约束条件,并就题目所述找到目标函数.另外若实际问题要求的最优解是整数解,而我们利用图解法得到的解为非整数解,则应作适当调整,其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据,在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点,不要在用图解法所得到的近似解附近寻找.如果可行域中的整点数目很少,采用逐个试验法也是很有效的办法.教学上可适当采用多媒体和投影仪等辅助教学,以增加课堂容量,增强直观性,进而提高课堂效率. 三维目标 1.通过本节学习,进一步了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行域及最优解等基本概念,了解线性规划的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题. 2.通过本节学习,培养学生观察、联想以及作图能力,渗透化归、数形结合的数学思想,提高学生建模能力和解决实际问题的能力. 3.结合教学内容,培养学生学习数学的兴趣和应用数学的意识,激励学生勇于创新. 重点难点 教学重点:线性规划在实际生活中的应用,培养学生应用数学的意识. 教学难点:把实际问题转化为数学问题,即数学建模是本节的教学难点. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.(直接导入)上节课我们探究了用线性规划解决求函数最值问题,这节课我们进一步探究有关线性规划的有关问题,看看用线性规划能解决哪些实际问题.教师出示多媒体课件,提出问题,由此引入新课. 思路2.(复习导入)生产实际中有许多问题都可归结为线性规划问题,其中有两类重要实际问题:一是给定数量的人力、物力资源,问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大,收到的效益最大;二是给定一项任务,问怎样统筹安排能使完成这项任务耗费的人力、物力资源最小. 推进新课 新知探究 提出问题 ①回忆我们从前解决实际问题的方法、步骤,在线性条件约束下,如何求目标函数的最值、最优解? ②前两节我们解决了可行域中整点问题,训练了求可行域中最优解问题,请思考最优解的个数有可能为无数个吗? 活动:教师与学生一起回忆上节课利用线性规划求函数的最值、最优解的方法.在确定最优解时,首先要赋予因变量的几何意义,然后利用图形的直观来确定最优解; 在确定最优解时,用直线的斜率来定位. 关于可行域中的整点求法,是以与线性目标函数的直线的距离为依据,在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点.如果可行域中的整点数目很少,采用逐个试验法也是很有效的办法. 下面我们来探究最优解问题以及线性规划在实际生活中的应用,体会利用线性规划的方法解决实际问题的过程. 讨论结果:①②略. 应用示例 例1 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐.甲种原料每10 g含5单位蛋白质和10单位铁质,售价3元;乙种原料每10 g含7单位蛋白质和4单位铁质,售价2元.若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质.试问:应如何使用甲、乙原料,才能既满足营养,又使费用最省? 活动:本例中各种数据较多,这也是线性规划模型的特点,教师引导学生用表格的形式将各种数据分类,则问题就变得一目了然,思路清晰了,如下表: 原料/10 g 蛋白质/单位 铁质/单位 甲 5 10 乙 7 4 费用 3 2 设甲、乙两种原料分别用10x g和10y g,则需要的费用为z=3x+2y;病人每餐至少需要35单位蛋白质,可表示为5x+7y≥35;同理,对铁质的要求可以表示为10x+4y≥40,这样,问题成为在约束条件 下,求目标函数z=3x+2y的最小值. 解:设甲、乙两种原料分别用10x g和10y g,总费用为z,那么 目标函数为z=3x+2y, 作出可行域如图1. 图1 把z=3x+2y变形为y=- x+ ,得到斜率为- .在y轴上的截距为 ,随z变化的一组平行直线. 由图可知,当直线y=- x+ 经过可行域上的点A时,截距 最小,即z最小. 由 ,得A( ,3), ∴zmin=3× +2×3=14.4. 答:甲种原料使用 ×10=28(g),乙种原料使用3×10=30(g)时,费用最省. 点评:解决此问题的关键是将问题的文字语言转换成数学语言,此题通过表格将数据进行整理,使问题难度大大降低,要通过本例让学生形成这一思维习惯. 例3 某工厂,若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10 000元，若生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5 000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？ 解:设生产x车皮甲种肥料，y车皮乙种肥料，能够产生的利润z万元.目标函数z=x+0.5y,可行域如图2. 图2 把z=x+0.5y变形为y=-2x+2z,得到斜率为-2，在y轴上截距为2z,随z变化的一组平行直线.由图可以看出，当直线y=-2x+2z经过可行域上的点M时，截距2z最大，即z最大. 解方程组 得点M(2,2),因此当x=2,y=2时，z=x+0.5y取最大值，最大值为3. 由此可见，生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生最大的利润，最大利润为3万元. 变式训练 (2007山东卷)某公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元.甲、乙电视台的收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟.假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大?最大收益是多少万元？ 活动:这是高考中继江苏卷线性规划大题后第二个线性规划大题,教师引导学生按前面的方法列出表格,则各量之间的关系即一目了然.本题难度不大,可由学生自己解决.列表如下: 甲 乙 合计 时间 x分钟 y分钟 300 收费 500元/分钟 200元/分钟 9万元 解:设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元. 由题意得 目标函数为z=3 000x+2 000y. 二元一次不等式组等价于 图3 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图4. 图4 作直线l:3 000x+2 000y=0,即3x+2y=0. 平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值. 联立 解得x=100,y=200. ∴点M的坐标为(100，200). ∴zmax=3 000x+2 000y=700 000(元). 答:该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元. 例3 某家具厂有方木料90 m3,五合板600 m2,准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3、五合板2 m2;生产每个书橱需要方木料0.2 m3、五合板1 m2.出售一张书桌可获利润80元,出售一个书橱可获利润120元,如果只安排生产书桌,可获利润多少?如果只安排生产书橱,可获利润多少?怎样安排生产可使所得利润最大? 活动:教师引导学生建立目标函数,根据已知条件列出不等式组找出可行域. 解:(1)设只生产书桌x张,可获得利润z元, 则 ∴当x=300时,zmax=80×300=24 000(元), 即如果只安排生产书桌,最多可生产300张书桌,获得利润24 000元. (2)设只生产书橱y张,可获利润z元, 则 ∴当y=450时,zmax=120×450=54 000(元), 即如果只安排生产书橱,最多可生产450个,获得利润54 000元. (3)设生产书桌x张,书橱y个,利润总额为z元. 则 x+2y≤900,2x+y≤600,x≥0,y≥0, z=80x+120y, 可行域如图4. 由图4可知:当直线y=- x+ 经过可行域上的点M时,截距 最大,即z最大,解方程组 得M的坐标为(100,400). ∴zmax=80x+120y=80×100+120×400=56 000(元). 因此,生产书桌100张、书橱400个,可使所得利润最大,最大利润为56 000元. 例4 某厂生产一种产品,其成本为27 元/kg,售价为50元/kg.生产中,每千克产品产生0.3 m3的污水,污水有两种排放方式: 方式一:直接排入河流. 方式二:经厂内污水处理站处理后排入河流,但受污水处理站技术水平的限制,污水处理率只有85%.污水处理站最大处理能力是0.9 m3/h,处理污水的成本是5元/m3. 另外,环保部门对排入河流的污水收费标准是17.6元/m3,且允许该厂排入河流中污水的最大量是0.225 m3/h.那么,该厂应选择怎样的生产与排污,可使其每时净收益最大? 活动:为了解决问题,首先,要搞清楚是什么因素决定净收益.净收益=售出产品的收入-生产费用,其中生产费用包括生产成本、污水处理费、排污费等. 设该厂生产的产量为x kg/h,直接排入河流的污水为y m3/h,每小时净收益为z元,则 (1)售出产品的收入为50x元/m3; (2)产品成本为27x元/m3; (3)污水产生量为0.3x m3/h,污水处理量为(0.3x-y) m3/h,污水处理费为5(0.3x-y) 元/m3; (4)污水未处理率为1-0.85=0.15,所以污水处理厂处理后的污水排放量为0.15(0.3x-y) m3/h,环保部门要征收的排污费为17.6［0.15(0.3x-y)+y］元/m3; (5)z=50x-27x-5(0.3x-y)-17.6［0.15(0.3x-y)+y］ =20.708x-9.96y. 需要考虑的约束条件是 (1)污水处理能力是有限的,即0≤0.3x-y≤0.9; (2)允许排入河流的污水量也是有限的,即 y+(1-0.85)(0.3x-y)≤0.225. 解:根据题意,本问题可归纳为:在约束条件 下,求目标函数z=20.708x-9.96y的最大值. 作出可行域,如图5,令z=0作直线l0:20.708x-9.96y=0,由图形可以看出,平移直线l0,在可行域中的顶点A处,z取得最大值. 图5 解方程组 得A(3.3,0.09). 故该厂生产该产品3.3 kg/h，直接排入河流的污水为0.09 m3/h时，可使每小时净收益最大，最大值为20.708×3.3-9.96×0.9=67.44(元). 答:该厂应安排生产该产品3.3 kg/h,直接排入河流的污水为0.09 m3/h时,其每小时净收益最大. 知能训练 课本本节练习. 课堂小结 1.我们用线性规划解决了哪两类实际问题？ 2.教师点拨学生:你能用精练的几个字来说明利用线性规划解决实际问题的方法与步骤吗？在教师引导下让学生总结归纳出: (1)找:找出实际问题中的约束条件及目标函数; (2)画:画出线性约束条件所表示的可行域; (3)移:在线性目标函数所表示的一组平行线中,利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线; (4)求:通过解方程组求出最优解;(5)答:作出答案,即可用5个字来概括:找、画、移、求、答. 作业 1.课本习题3-4 B组2、3. 2.阅读本章小结建议. 设计感想 1.本设计注重学生的操作练习.通过学生积极参与,动手操作,培养创造性思维、增强创新意识,使认知在练习中加深,兴趣在练习中勃发,情感在练习中陶冶,质量在练习中提高,目标在练习中实现. 2.本教案注重了学生的能力训练.通过本节的学习,向学生渗透数形结合的思想,深化对知识的理解和掌握,体验发现的快乐,增强创新意识,培养学生应用数学的意识. 3.本教案设计强化使用现代化教学手段.充分发挥多媒体教学的优势,利用计算机作为辅助工具,更清楚地展示区域问题,有利于发现区域问题的异同点,将信息技术和数学课程有机地结合起来,有利于突出重点,突破难点,有利于教学目标的实现.