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计算圆周率的数值实验

2011-10-21 1页 pdf 33KB 32阅读

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计算圆周率的数值实验 计算圆周率的数值实验 (2006-9-6) 对于圆周率π 的计算一直是数学家感兴趣的事,在我国古代,祖冲之曾计算出了当时 最好的结果。阿基米德也曾利用圆的外接正多边形逼近圆,从而得到π 的近似值。 用正多边形逼近圆,利用周长或面积近似值计算圆周率。考虑半径为 R=0.5 的圆内接 正多边形周长问题。由于正 n边形边长为 n2 2sin πln 5.02 1 = 所以正 n边形周长为 n πnLn sin= )2/cos( )/sin( 2 n nn n π ππ =sin2...
计算圆周率的数值实验
计算圆周率的数值实验 (2006-9-6) 对于圆周率π 的计算一直是数学家感兴趣的事,在我国古代,祖冲之曾计算出了当时 最好的结果。阿基米德也曾利用圆的外接正多边形逼近圆,从而得到π 的近似值。 用正多边形逼近圆,利用周长或面积近似值计算圆周率。考虑半径为 R=0.5 的圆内接 正多边形周长问题。由于正 n边形边长为 n2 2sin πln 5.02 1 = 所以正 n边形周长为 n πnLn sin= )2/cos( )/sin( 2 n nn n π ππ =sin22 nL n = 所以有递推公式 )2/cos(/2 nLL nn π= , 2/))/cos(1()2/cos( nn ππ += 当 n=3时,计算初值 2/33)3/sin(33 == πL , 2/1)3/cos( =π 考虑 192边的正多边形和 384边的正多边形计算。利用初值使用递推公式得数据 边数 近似值 误差 192 3.141452472285462e+000 1.401813043311329e-004 384 3.141557607911858e+000 3.504567793566338e-005 3.141592653120656e+000 4.691371735532357e-010 最后一行数据利用了组合外推公式: 3 4ˆ 192384 384 LL L −= 获得更高的精度。MATLAB程序如下 n=3;c=1/2; L=3*sqrt(3)/2; while n<384 c=sqrt((1+c)/2); L1=L/c; L2=(4*L1-L)/3; L0=L;L=L1; n=2*n; end format long e error0=abs(L0-pi); error1=abs(L1-pi); error2=abs(L2-pi); [L0,error0;L1,error1;L2,error2] 练习:进一步应用组合外推公式 15 ˆˆ16~ 192384 384 LL L −= 计算,观察数据结果和误差。
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