带弱阻尼的非线性Schrodinger方程全离散谱格式的动力性质及长时间的稳定性和收敛性

黑龙江大学 硕士学位 带弱阻尼的非线性Schrodinger方程全离散谱的动力性质及 长时间的稳定性和收敛性 姓名：马淑芳 申请学位级别：硕士 专业：基础数学·微分方程数值解 指导教师：张法勇 2003.6.7 中文摘要 本文考虑的是带弱阻尼非线性Schr6dinger方程的周期初值问题√熨 中根据问题的需要，在文[13]假设条件的基础上又做出了两个假设 1i乎擎≥：o，和矿(。)在R+上不变号j1／7’ 本文采用的是全离散Fourier谱格式，并证明离散格式解的存在性和唯 一性． 本文最初是将离散系统置于耗散动力系统结构中，研究了全离散谱 格式解的长时间先验估计及谱格式解的稳定性和收敛性，并证明了离散 系统(踟，，)”在SN上存在吸引集BⅣ．陋这部分我们还证明了在空间上 的离散琴统{(踟，，)“h≥o存在吸引子小。，，并给出了全局吸引子的形 甏y 在文章最后，我们又将离散系统置于非自治系统情形下，给出了全 离散谱格式解的长时阿先验估计及长时间的误差估计．【在这部分，非线 性项B，将由PⅣ，+{代替，并对PⅣr+{做出了两个合理假设．最后 给出了全离散谱格式的稳定性和收敛性定理．下乙／一’ 关键词t非线性Schr6dinger方程： 全离散谱格式· ， 长时简韵稳定牲和收敛牲，，～～ Abstract Abstract Inthispaper，thenonlinearSchrSdingerequationwithweaklydamped． togetherwithappropriateboundaryandperiodicconditionsisconsid- ered．Accordingtotheneedofproblem，wemaketwoassumptionsofg(s) besidestheassumptionconditionsofreferences【13】．weconstructthefull discreteFourierSpectralschemeandprovetheexistenceanduniqueness ofthesolutionoftheSpectralscheme． Firstly，letnsputthediscreteschemeintheframeworkofdissipa- tivedynamicalsystems．weabtainthelong-timeprioriestimateforthe solutionofthediscretesystemandthestabilityandconvergenceofthe Spectralscheme．wealsoprovetheexistenceofanabsorbingsetBⅣin the蹄r．InthissectionweproveattractorAN,fexistenceondiscrete systemes{(踟．，)”)。>0 Atlast，letUSputthediscreteschemeinthenonautonomousecase， weobtainthelong-timeprioriestimateforthesolutionoftheSpectral schemeandthelong-timeerrorestimate．Inthissection，letUSreplace PN}bPN}¨％andfinallyweobtainthestabilityandconvergenceof thediscreteSpectralscheme． Keys：NonlinearSchrSdingerequation FulldiscreteSpectralscheme Long-timestabiljtyandconvergence II— 第1章绪论 第1章 绪论 1．1课题背景和发展状况 近年来，随着无穷维动力系统理论的发展，非线性发展方程大时间问 题的数值计算越来越引起人们的重视．又由于计算机能力的不断提高， 使人们有可能通过数值计算来更多地了解动力系统的现象和行为，因此 选取具有长时间稳定的、收敛性好的计算格式尤为重要，这也是数值分 析中的重要方面．多少年来，人们已经建立了多种数值计算．谱方 法从产生至今已有很长的历史，但由于所需的条件比较苛刻，因此它的 使用一直受到限制，一直到1965年快速Fourier变换(FFT)的出现，给 谱方法带来了发展． 70年代初，出现不少研究谱方法的计算．应用及 计算方法稳定性方面的工作，如Kreiss、Oliger[”、Orszagz【2】等人的 结果．这以后，尤其到了80年代，Quarteroni、Canuto、Pasciak、 Funaro、郭本瑜、Maday等人【3_10】对谱方法从理论上作了系统研究， 对各类投影算子、插值算子等导出了在各种范数意义下的误差估计。并 把这些理论应用到一系列重要的线性和非线性偏微分方程上，取得了令 人满意的结果．与此同时，大tt的实际计算也证明了谱方法确是一种十 分有效的数值方法．现在这一方法也像差分和有限元方法一样，已被广 泛的应用到流体力学、气象、计算物理等领域．谱方法的最大优点是所 谓“无穷阶收敛性”．此外，快速算法的使用可以大大减少计算量． 另外，这些年人们对非线性发展方程的动力学性态也进行了许多研 究工作．例如，对某些耗散的非线性发展方程，象Navier-Stokes方程、 Kurtamoto—Sivashinsky方程等都存在吸引子．系统的渐进性质和系统的 复杂性完全由整体吸引子所确定(详细请参见文112】)．与此同时，这类 系统的有限维逼近也是人们非常关心的问题．在这方面已有许多工作． 例如。J．K．Hale等人在文【101中基于有限元方法研究了某些非线性发 展方程得到了近似吸引子是上半连续的；C．M．EllottandS．Larsson在 黑龙江大学硕士学位论文 文[11]中用有限元方法讨论了Cahn—Hillard方程，证明了近似吸引子收 敛到原始方程的整体吸引子． J．M．Ghidaglia在文[13]中研究了非线性 Schr／Sdinger方程解的长时间的适定性、整体吸引子的存在性等问题．另 外向新民在文[14】中研究了非线性项9(s)带有增长条件的Schr6dinger 方程半离散谱逼近的长时间性态． 1．9本文主要研究内容 在这篇文章中，我们主要分析了带弱阻尼的非线性Schr6dinger方 程的周期初值问题．本文采用的是全离散Fourier谱格式．文章最初是将 离散系统置于耗散动力系统结构中，研究了全离散谱格式的长时间先验 估计及谱格式的稳定性和收敛性，并证明了离散系统(s。)“在S。上 存在吸引集B。N．最后我们又将离散系统置于非自治系统情形下，并给 出了全离散谱格式解的长时间的误差估计． 第2章全雠蕾格式 第2章 全离散谱格式 2．1基本引理 本文考虑带弱阻尼的非线性SchrSdinger方程的周期初值问题． iut+¨。。+g(1u12)u+iTu=，，。∈Q，t>0，(1．1) “(。，t)=u(。+27r，t)，茹∈n，t>0， (1．2) u(x，0)=u0(x)，。∈Q， (1．3) 其中n=【0，2”】，f∈L2(Q)，g(s)(0≤s<+o。)是充分光滑的实值函 数并且满足下面条件 Ⅲlim。掣：0； (14)坠婴：； f1．41o—+十∞ S。 对某些u>0有 lim。sup8-r+学<0’(1．5)oo S” 其中^(s)=sg(s)，C(8)=／g(t)dt，G+(s)=max{G(s)，o)． 在本文中，函数g(s)除了满足上述条件外，我们还做如下假设 。‰掣=o； (1．4)，o-++o。30 ’ 9(s)和∥(s)在R+上不变号． (1．6) 根据以往经验满足上假设条件的g(s)确实是存在的．如 g(s)=ln(1+5)，夕(s)=若鼍(c为常数)· 我们用1l·|l和(·，-)分别代表L2(Q)上的范数和内积，蟛(Q)为 日。(Q)(一>0)的子空间，它是日。(n)中的以2”为周期的周期豳数所 构成的空间．记r为时间方向步长，‘j=jr(J=0，l，2⋯)．G【s，，s。】 表示函数G(s)在s，和s。两点的差商，即 邸一扣{芦 黑龙江大学硕士学位论文 为J后凹的讨论需要，=找们无给出儿个引理． 引理1设u∈琊，则有 ⋯己≤2忆1111“II+剞“112· 证明做辅助函数 ”(。)=“(z)一未i，2”“(z)d。(V。∈[。，2”])． ，2” 因为／ v(x)dx=0，故必存在点f∈【0，2”】，有。(∈)=0，即 J0 吣)=去■㈤缸 又因为 u2(z)=Z。(“2(∞))’dz+(麦iZ2”u(。)dz)2 ≤。√(2ruu。dz+(麦iZ2”钍cz，dz)2 ≤211uIll[¨。¨(去)2哳J|uIl2 ≤211uIltll“z11+剞“112， 所以 1 lI“UL≤2⋯㈧I+割uil2· 引理2【15】设{圹)，{贫)，{鳢)，{h“)是四个非负离散函数，且满 足 —yn—+_l，_一yn≤鲸+1yn+1+g?yn+^n，扎=0，1，2⋯， 并且存在常数a>0，使得当1一r鲸≥a时，有 旷<_yOe坤(三喜劣)唧(rn留-1：) +r萎∥“p(三。塞。s；)eX附。塞。s：)(n=。，·{2‘，．) 第2章全■t请格式 引理3【16】对任意满足条件0≤p≤仃的p，存在常数c，使得 “一尸，uIIp≤CN“一。M一(、咖∈日；(o，27r)) 其中PⅣ：L2(n)_÷&为正交投影算子，它是由内积 (尸Ⅳt‘，妒)=(u，lP)(VIP∈S，) 所确定，S，=span{e：“。l一Ⅳ≤奄SN一1)为次数小于等于N的三 角多项式全体构成的集． 2．2 离散格式解的存在性 对(1．1)一(1．3)构造如下全离散谱格式 i丛e2ulr挚+丛学+R{G【|e‰孵Fh圩】垫学)：PⅣj，(2．1) “0。=已uo． (2．2) 下面证明；在S。中，全离散谱格式(2．1)的解的存在性． 定义映设K：￡2n晶_+L2n晶，它是由下式确定 i(e}7K—e’}7“：)+；Ar(e}7”。。。+e-}7u，n。。)+l鸠{G【Ieh』小寸吲2】垫学)=^w(2．3) 为了证明全离散格式(2．1)解的存在性，只须证明对于所有的关于 参数A(0SA≤1)的映射K的所有不动点是一致有界的． 让ei7％+e-i7un。与下面方程做内积， 冰i7K—e哮“：)+；州沪％一e母“凳一 +；鸠{G【|e{～GI小寸吲。】塑寄塑)：AB， 黑龙江大学碉士学位论文 并取虚邵得 e引％112=e_321TlI“刘2+ArIm(PNf，YN十e一“：)． 由C,auchy不等式和E一不等式得 e}7IIV。112Se一孚7Il“≥112+r(1lfllllV。ll+e一，7IIflIIl蠓[I) ≤e一铀u坩+珈w+五f||2 机⋯；e一等蚓12+云e一芋llfll2， 由此可推出 I|KIl2≤e--y7I|u”+=T㈣2． 这就意味着IIKJ|2关于参数A(05A≤1)一致有界性．因此，离散格 式(2．1)的解存在．我们将在3．2节中证明解的唯一性． 2．3本章小结 本章中给出了几个重要引理，其中引理1是全文的关键，它给出了 ㈣Io。可由㈦I和IIu。Il控制．因此，我们只须研究⋯I和Ilt‘。ll的长时 间性质，同时证明了离散格式解的存在性． 第3章 全^做谴格式的长时间先验估计 第3章 全离散谱格式的长时间先验估计 3．1耗散动力系统中的II牡ⅣII和IIu。。II的先验估计 在本章，我们把带有边界条件(2．2)的全离散谱格式(2．1)置于耗散 动力系统结构中．对于固定的Ⅳ，r，定义算子&，，：&叶&为 u。1=晶，，¨0N(Vu。∈晶)， 则可得到“：=(SN．，)“u0，解的算子族。于是由(3．19)式知，解算子族 {(趴，)”)。≥o就形成了一个晶上的连续半群． 下面对全离散谱格式(2．1)一(2．2)的解做与t无关的先验估计． 引理3．1设U0∈L2(n)，f∈L2(n)，则对(2．1)一(2．2)的解有如下 估计 lIu≥112≤e一1”7trio,2+7-2e,Y7llfll2(1一e一’”’)(r／,=0，l，2···)． 特别地，有 嬲蚓l≤maxm扎7“e。7llfll}=Co， 并且存在一个常数90I尹7-Iei7llfll，使得集合剐={tt≥∈SN⋯u刘≤ 舶)是(晶，，)n在卵生的吸引集． 证明让r(e}7u铲1+e-}7“：)与方程(2．1)两端做￡2内积，并取 虚郝得 e{’lI“≯1112=e-挚7ll-；112+rIm(f，u矿1+e～，’u≥) ≤e-挚7li“一"112+rI(P，f,uVl)I+re-nrI(f，u：)I ≤e-孚7Ilu：：,112+",-IIf)lll,,≯1f|+re一，’IIfllll,,,≥11． 进一步有 (1+狲I“洲2≤e净蚓J2+却u洲2+却州2 +re-1'r·；．e_钏“w+瓦7"e-钏川2， 熏龙江大学硕士学位论文 II“寸1112≤e1IlUn。112+圳列2 ≤e一，(”+1’7lI“；112+击，7Ilfll2(1一e一叫“+¨7)． 上述各式对n=0，1，2，⋯都成立，因此引理3．1成立． 引理3,2在(1．4)’成立的条件下，对VE>0，有 1(G(1ep7纠2)，1)1s8e印7E1jcP。11211妒114+杀e印7Iholl6+C：e2mo妒112， 其中p是任意实数，q是只与￡和g(s)有关的常数． 证明由引理l可知 Ilull!。=／lul6dx≤Ilull乞11．112 墨(2删蚓1+劫“忏删2≤(2㈦j+剂1u惘w ≤(Sit“zIl2+赤wII)11uIl4≤SllutIl2IIuIl4+赤㈣6，(3·1) 而由(1．41，知，对于V￡≥0，存在常数q>0，使得 IG(s)I≤￡．s3+qs(Vs≥o)， (3．2) I(a(Id7IPl2，1)1≤(eld7妒16+口le97妒12，1) ≤忙e6所I妒16-4-G：82所I妒12，1) ≤sd即7lI妒112。+qe2加11垆112 ≤￡妙(8慨11211IPll4+去11妒116)+《e2加Ilvll2． 下面我们证明离散系统(晶，，)n在sⅣ拦存在吸引集． 引理3．3在(1．4)’，(1．5)和(1．6)的条件下。离散格式(2．1)的解u： 有下列先验估计 嵫。雌2(E。十(赤+谚。+i)11uw)e一7 +2(Qc：，7+7q矿’(赤+碰。+1)llfll2)(1一e一”7) +2LI／112， 第3章 全鼻散谴格式●§长时闻先验估计 特别地，有 瓣嵫。112{2(Q切∥’+矽(赤+q。+1)I胪)+211／112)坳 使得集合 ．Bf2{u品∈s0I 11'411，≤p1) 是(sN，，)n在s。旌的吸引集，其中 Q。赤+2ep(q。+％)， Q’2赤+2⋯；t。+％)，驴rnin{鼎32(w+1)Cj，志沙7)’印2肌ni——，而∥’j， 铲IIlin(321)p3，丽1沙7}，旬2mm ，丽∥1j， 式中的q。和咒(i=0，1)分别由(3．2)和(3．5)确定． 证明让e}7u寸1一e-}’“；与方程(2．1)两端做L2内积，并取实部 得 或 e17IIu冀1112一(G(Ie{7u≯112)，1)+2e扣Re(Pzf，“寸1) =e⋯嵫。112一(G(1e一}7“≥h1)+2e一扣Re(P}zf，u：) e引u茹⋯II—e一}7(G(Ie；run，+112)，1)+2Re(P。f，u寸1) =e一17(e一}7II“”N。112一e}7(G(Ie一}7t‘品12)，1)+2Re(PNf，tl≥)．(3．3) 黑龙江大学硕士学位论文 令 E”=Il“舟。J12一e一}7(G(Ie一}7“：12)，1)+2Re(尸Ⅳ，，“：)． 情形l当g(s)>0时，由(3．3)得 E计1+(e}7一1)IIu葛1112 ≤e-‘／vE”+e-}7(G(Iei7“寸112)一G(Ie。}7“寸112)，1)(3．4) 由条件(1．5)和(3．2)知，对VE>0存在一个常数c?>0使得 ^(s)≤uG(5)+Es3+掣5 ≤(u+1)es3+(《+掣)s8≥o (3．5) 根据(1．6)，g(s)在R+上是单调函数．由(3．2)和不等式l+x≤e。V。∈ R 当g(s)在R+上单调递增时，我们推出 (G(Ie}7”≯112)一G(F争u铲1h1) ≤(g(1e}7u矿1瞅e”一e1)阻≯112，1) ≤2"y，-(g(Ie}7u≯1剐ei7“≯1h1) s铆r(∞+1)c|e}7t‘寸116+(嘭+雠)Iei7u寸112，1) ≤2,Tr(w+1)ee研7IIu寸1||各+27r(q+鳄)e17||”芦1112 ≤20'r∽+1)se即(811u茄1旧l“y1旷+赤IItt寸1㈣ +27r(噬+铹)一7Ilt‘≯1|}2 (3．6) 当g(s)在R+上单调递减时，我们推出 (G(1e}7时112)一G(je一}7u寸1n，1) ≤(g(Ie一}’u寸1陬e”一e⋯)lu矿112，1) ≤27re217(夕(Ie一}7¨寸1刚e一}7“矿1阳) ≤2"we即(∽+1)ee-371-It‘铲116+(q+凹)e17h寸112，1) ≤23'r∽+1)eel7(811“麓1㈣Iu矿1旷+赤II“≯1㈣ +2-17(c：+c：)一74u寸1112 (3·7) 一1n一 第3It 全■t谱舣的长时同先验估计 因此在g(s)>0情形下，我们得到 E时1+(e}7一x)llu麓1112 ≤e-’'rE“+27r(q+碟)e}’IIttn。+1112 +27r(u+1)se’孚7(811u茄1112IIu≯1114+石笔II“寸1116)(3．8) 情形2当g(s)≤0时，由(3．1)(3．3)和不等式l+x≤e。≤1+。酽vn∈ R得 E“+1 ≤e-'YrE”一e一孚7(e}7—1)||“‰If2+e-7"r(e～}r—ei7)(G(fe—}r“≥f2)，I) ≤e一17E”一e一；17(e}一1)11““N。112+7re一字7(一c(Ie一}ru：Iz)，1) ≤e一17E“一e一§，7(e}一1)lI“≈。112+7re一挚7(8e一研rsIlu斋。11：IIu0IIt +嘉e卸蚓16+Ce--,7llum (3．9) 在(3．8⋯3．9)中取⋯。=觚n{茄‰，去)，则无蚓s) E州≤e1驴+(丽77-+27re}7(E。+皑))四n≥o 或 E”≤e⋯矿1+(丽77-+27re}7(《。+％))磅 设Q=瓦1再+2e}7(q。+钱)，重复使用不等式(3．10)得 E”≤e17E”1+Q7r四 ≤e-2"YrE”一2+e一17Q7r四+Q7r四 ≤-．'7n-rEo+Q7r(嗜(e一1”一17+⋯+e一17+1) ≤e-'yn'rEo+Qel7四(1一e一1“7)n>0(3．11) 黑龙江大学硬士学位论文 根据引理3．1、引理3．2及En的定义得 f“：zIf2：=E“+e一{7(G(Ie一}7uirl2)，1)——2Re(PNf，un。) ≤e1”E。+Q四e17(1一e⋯7)圳刷2删“斯 +e-p(8e呐刊吼旷四‘嵩+扣即露嵩№划。 +qI。e-,7r忆划2) 进一步有 l“≥。02≤2e-’nrEo十2Q四e，7(1一e一，nr) +2(赤+q。+1)(e⋯’嘲i2+虿I，㈣z(1一。⋯r)) -4-2Hfl[2 ’ ’(3．12) 如果初值u。满足jlt,ott≤R(兄为实数)，那么根据引理3．1存在一 个正常数N=N(R)使得 №划≤po 佗>N(R) !訾竺：翌‘■帐一乱一min{帝‰，蠢)，则无论9(s)符号如何总有 、 ⋯ ” E¨1≤e一1’E“+(瓦"I≯T+27r彬(％+c譬))露n>Ⅳ(固 或 E“se17En--I．{_(赤+2，yre事(《。+％))P：n>Ⅳ(冗)+l(3．13) 设Q’。麦-_+2e等(q。+％)，重复使用不等式(3．i3)得 E“≤e-1rE“一1+Q’"lrp： ≤e-=1rE“’2+e-1'Q’77P02-t-Q’"lrp： ≤g-‘l(n-N-I)7E。Ⅳ+1+0’71碚0—7f_Ⅳ一1)r+⋯+e-·gr+1) ≤e一1(“一。Ⅳ一1)7EⅣ+1+Q'elrp2n>J】v+1 f3．141 第3章 全^做谱格式的长时问先验估计 根据引理3．2和驴的定义得 即 }f“品。112=E”+e-}7(G(1e一}7“斋{2)，1)一2Re(R，，“≥) ≤e一1‘“一Ⅳ一1’7EⅣ+1+Q’p：e17+e-}7(8￡·e一曲7IIu斋。l|2llu嚣lL4 +嘉e却蚓16+《。e⋯蚓12)+2ilfllP。 ≤e叫⋯-1)7EN+I+州扩+；-LIuⅣn。n赤蚓12 +《。ff“品f|2+2[Ifllpon>Ⅳ+1 “爵。112≤2{e-'v(n-N-1)'-EⅣ+1+州∥7+赤蚓f2 +《。l|u≥¨2+21]fNPo}n>Ⅳ+1 那么有 甄懈。雌2(Q97+赤+噬。+1)P：-4-211ftl2(3．15) 引理证完． 根据引理3．1、引理3．3和引理1有 推论3．1如果f∈L2(n)并且初值肛删-≤R，那么存在一个与N 和r无关的常数c(R)使得 supllu训蛩≤c(n) ”>0 ‘ 3．2离散谱格式艉的唯一性 下面我们证明全离散谱格式(2．1)解的唯一性． 设“品和”胥分别是带有初值uo。和”舟的全离散谱格式的两个解 并且初值满足 I|u：1I·sR， Il”舟11，≤R 熏龙江大学礤士学位论文 根据推论3．1有 suplIu：Il毛≤e(R)，sup1luⅣn112。。≤e(R) n>0 ‘ n>0 设￡“=12n。一”品，那么￡“满方程 因为 e}rEn+l—e一}rpZ一下 +互1r(epcn+l+e一}7￡”)+；R删e}7u铲1|2'Ie母u州e}’u≯1+e寸u≥) 一a[IJ7”矿112，Ie—j7”哥12](e}7”铲1+e一}7”爵))=0(3．16) a[IJ7“≯1㈧e一}7“≥阿e{7“≯1+e一}7“：) 一G[1e}’”铲112，le-i7"爵12】(e}7”妒1+e-}7”斋) =alleh寸1㈧e一}7u扪(ei7e州+e一}7矿) +(alle}7u寸112，Ie一}7u；12】一G【Ie}7对112，le-i7”胥12])(ei7”矿1+e--}7”≈) 根据差商的性质 a[1ei7u≯1㈧e一；7u：12卜a[1e}7”矿1㈧e一}7u斋121 =；g’(”)(Ieirun，+112一le}’”妒112) -I-；夕聪)(Ie一-r,／．tn，12一le-}7”爵n 其中q介于Ie≥7u矿112，lei7时1川e一；7％n12三者最大值与最小值之间； ∈介于Ie}7嵴’1川ei7u：川e-i7”斋12三者最大值与最小值之间． 让，-(e17￡n+-+e一}7p)两端与(3．16)做Lz内积，并取虚部得 幡7s州112一扩堍“J12+÷r』m({夕协)(p7“≯112 —1ei7”矿112)+g’(f)(1e—i7“：12一Ie—i7”爵12))e}7”铲1 +e-；7嫡)，ei7￡“+1+e-i7矿)=0． (3．17) 由于g(s)在R，上是充分光滑实值函数，则g，(s)在R+上也为光滑实 第3章 全^徽谴格式的长时阉先验估计 值函数，从而g，(s)在【0，G(R)]上存在最大值．不妨设最大值为M即 M全。sm，鲫&xMs))0<，0(sⅣ，，)o=，． (3．19) 对于每一个n≥o，(s。，)n是有穷维空间s啦s9篙连续算予．根据引 理3．3就存在一个|5．肚的有界吸引集日，．由文[6】中的定理1．1可得 且 黑龙江大学硕士学位论文 定理3．1如果，∈L。(n)那么离敦系统在sp堕有全局吸引子4。 _。=nU(晶，，)“Bfv 3．3本章小结 本章中给出了II“怙和||u№II的长时间先验估计，并证明了离散系 统存在吸引集以及离散格式解的唯一性． 第4章 全囊t谱格式长时问的●定性和收敛性 计 第4章 全离散谱格式长时间的稳定性和收敛性 4．1非自治系统情形下II‰Il和lluN。||的长时间先验估 本苹我们jI苷在非自治系统情形F做全离散谱格式(2．1)一(2．2)的解 的与时间无关的先验估计．在这种情形下我们将用R，n+}代替离散格 式(2．1)的左端项PⅣ，，并且假设存在—个与N和r无关的C。使得 T∑扩+5112)。≤口 (A1) 引理4．1若uo∈L2(n)，且(A1)成立，那么存在一个常数 K。=(11岐lj2+；c-)5使得 驯u112+7re-”驴揶瑶 证明t让Cei7“妒1+e-i7“舶方程(2．1)两端做L2内积，并取虚部得 e刎u妒1||2=e彳--3170uW+Imr(P，fJ+{，u寸1+e—u0) 由Schwarz不等式和1+。≤矿Ⅶ∈R得 e引“妒1l|2 ≤e孚，7}I《112+t}l，’+}I¨I《≯1II+te一，7IIf’+{1111喝Il ≤e钏“坩+珈甜1n扣朋12 +re⋯ie一孙w+西Te一钏∥酽 进一步有 (1+罢)Il“拥2 ≤(1+等)e字7{I“划2+驯，J+耶+等J|¨妒1112 —17— 熏龙江大学礤士学位论文 lIu妒1I|2≤e--"／rilu'。112+引，什邪 IIu妒1112一Ilu0112+,,／re-?rlIu々112≤；ll，，+}112 对j从D到州求和得： 懈n伊一∑㈣12≤iLu。112+=T∑IIf。+邪 i=0 ’j=D 则有 驯”≈112押e”∑i=17㈣2-O 一 其中 “ Q-=(羔+27r(％+％炉+7池 Q2=四十"rC} ．f e-i1’ e}171缸2础nI面i可霹，丽j。 证明t让(ei7u寸1一e-}7“≥)与方程(2．1)两端做三2内积，并取实部得 e171|u慧1||2一(G(Ie}7u≯1n，1)+2e}7Re(PⅣ，n+{，“矿1) =e一1711u≈。||2一(G(Ie-{7“品12)，1)+2e-i7Re(PⅣ，“+÷，“：) 第4章 全鼻t谱格式长时间的●定性和收敛性 或 e}rIl“慧-II。一e一}7(G(|e}7“矿112)，1)+2Re(PNf”¨，“寸1) =e-扣II“蚤。112一e孚7(G(Ie一}7u：12)，1) +2e一，7Re(R，n¨，“≥) (4．1) 令 E”=||t‘兔。酽一e一{7(G(Ie一}7u：12)，1)+2Re(PNI“+}，u；) 则(4．1)式可写为 E”+1+(e}f一1)llu拭1|12+e-}7(G(1e一}7u铲112) 一G(妒“≯1|2)，1)一2Re(PⅣ(，“+}一，时5)，u寸1) =En+(e一孚r—1)8u备。02+2(e一，f一1)ae(P,,I“+}，u：) (4．1)。 情形1当g(s)>0时由(4．1)’得 E“+1+(e}7一1)0嘣112 ≤E”+e一}7(G(Ie}7t‘≯112)一G(1e一}7缸寸112)，1)+(e一挚7—1)lluXv。112 +2Re(R(，”+；一，”+})，“≯1)+2(e一1t一1)Re(PⅣ，”}，“≥) 则由(3．5)一(3．7)可得 E州+(e；7I)II“．忿1l|2 ≤E“+e-吾7{27r(u+1)se研7(8ll“斋≯112jI“寸1If4 +去llu洲6)+21r(《+锷)∥7l孵1n+(e一挚f～1)11un_Ⅳ。112 +2||，”+}一，“+}⋯I“寸1||+27re-'’r11：”+}1111t,；rl 情形2当g(s)≤0时由(4．1)’得 E州≤E”+(e一§"一1)11“Ⅳn。112+2Re(PⅣ(，“+}一，¨})，“矿1) +2(e⋯一1)Re(PNf”¨，“三) 黑龙江大学礞士学位论文 取E=￡。=工11in{丽淼，芸嘉)，则无论g(s)符号如何总能推得取5=5。2蚵“i砭面了可丽，而霹j’则无比g【5J衬号卿1叫思雕琚借 En+-+；1re一挚7llⅡnN。112 ≤E”+南彬112+2-yr(C。I：+％)e。7彬l}2 +211厂”+’^dt洲“≯t11+27re一，7IIf“十{{㈨u品11 ≤扩+(舞+27r(E。+％)e57+r)孵ⅢII +／^‘”2II，tIl2dt+3'zllfn+}I|。+7rIIu≥||2 或 E”≤E“+品蚓12+27r(q：+％)e讯斯斗lu矿r +，‘n+‘Il五112dt+7ril，n一+|【。+1rII“矿1(12 o‘一女 一；7re南7IIu剁2 <．．．． * n 拶+a翥,=S川ill“112+27r(《瑚毋7驴j胪 ^t， n一■ 一1 +／‘“5IIf,112dt+'yrUP+琊+1r∑峨112 —7re-扣氨“御叶t萎u谢 则由上式及E“的定义得 n n一1 懈。112+；7re』217∑嘛。112 ≤E。+372r∥／i-。2+21T(％+G。tte}r-。2+暖+1G；托心 +1r．K：+e一=2r(G(1e-{run。12)，1)一2Re(尸j，”+}，u品) 第4章 全鼻散谐格式长时间的t定性和收敛性 则由引理3．2，佴 ^ n—I 懈。112+；Ⅳ一扣∑嘛。112 ≤E。+(删71．；t一"+27f(q。+铭沪+7黼十诎乙 +e—it(8￡。。一研tII。nN。II：IIu：IIt+—E2瓦e-i3‘一／rIIu≥||e +cet2e--，tIFu驯：)+21tfn+⋯Iu刘 设 则 耻(翥矿+z删。+％)e¨一r坼-TV h● Q2=e≥+7G； 俐12+；"Tre书7∑n--1ll酬2 J=1 ≤E。+Q，+Q：+i五j瓦1万≯万lIu品l|2 +％IIu刘2+2IJ，”+⋯u划 则可推出 s删“删+37Te-}，7∑嘛。旷 n>O 二一， 如。+Q1+Q2+(赤+％+1)瑶+锈) 引理证毕．则根据引理4．1和引理4．2得到 推论4．1在引理4．2的条件下，若初值||“驯1≤R，那么存在—个与^r 和r无关的常数C。(R)，使得 supI『¨：||乙≤G1(月) n三u 设u≥和”裔分别是带有初值u0。和蝎的全离散谱格式(2．1)的两个解， 并且初值满足 IJu驯，≤R IIv品ll,≤R J L* 熏龙江大学碍士学位论文 ；；；；i；；；；；ii；；ii；；；；i；；iI'lI i；；；；；i；；；；；；；i；；；；；；ii 根据引理4．1、引理4．2及推论4．1存在一个与|】v和r无关的常数c。(R) 使得 鬻蚓f毛+r到“m≤C1(矗) 咧⋯蝥+r∑㈣vj．砷2sCl(冗) (4．2)0 n>?_：，- 设￡“=“三一”舟那么￡“满足方程(3．16)并与解的唯一性证明一样最终 可推得 }fe}7￡”+1If2一肚一}7，fI： ≤iM，c27_-y(II”矿1k+懈㈦ 1(311u711I。。+3II”妒1ll。。+Ilun。lI。。+lI”爵11。。)1I￡“+1112 +(3IlUn。1Io。+31Lv斋ll。。-{-11u寸1l|。。+II”铲1II。。)1|E”112) ≤Me即(TIiu≯111蝥+311”矿-II乙+5|lu三II毛 +㈣㈣e州n等e柳删u撇+3蚓I毛+5lIu矿·112 +JJ时1l}2)ll￡”Jj2 取 Y“=0矿忆h“=0 贫=等e217№≯t‰+311”妒-k +5Jlt-≥lJ。+lJ赡JJ。。)， 躬=虿Me研7(7f|“品II。。+3ff噶}f。。 +5lfu≯1||。。+fI”矿1If。。)． 筹4章 全^做请格式长时闻的t定性和收敛性 如果r充分小，那么必存在一个常数a使得VnS0，l—r鳢≥o 于是由引理2和(4．2)得 ㈣j2剑州2exp(圭r∑砖)e。p(r∑g：) ≤II矿lIz。。p(芝兰G(R)e2．．y,r+2MCl(R)e升r)a ’ 于是我们得到下面稳定性定理 定理4·1假设条件(A1)和(A2)成立，并设u≥和嗡是分别带有初始 条件“导和”5{r的全离散谱格式(2．1)的两个解，且初值满足 0u洲，≤R，Il碍I|1≤R 如果时间步长r充分小使得存在一个常数a>0满足 1—2MCt(R)rel7≥o 那么有 K爹一柳|f 规定

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