刘维尔的发现

在前面在前面“有趣的图形数”和“求连续自然数立方和的公式”两篇文章中，曾经用不同推出了求连续自然数立方和的公式： 刘维尔和发现 前面，在“连续自然数立方和公式探源”一文中，用非常简单的方法推出了求连续自然数立方和的公式： 13＋23＋33＋…＋n3＝[n(n＋1)/2]2 它的左端，是从1到n的连续自然数的立方和，右端，是从1到n的连续自然数之和的平方。简单地说就是：连续自然数的立方和等于连续自然数之和的平方。 无独有偶，法国数学家刘维尔，发现了自然数一个深层次的奇妙性质，与这个公式有惊人的相似之处。不过，这个发现如果用数学术语来表达，实在是太绕嘴了，还是举例说明为好。 比如，自然数9，它有1、3、9这3个因数。这3个因数又有各自的因数： 9的因数1，有1这“1”个因数； 9的因数3，有1、3这“2”个因数； 9的因数9，有1、3、9这“3”个因数。 给9的这些“孙子辈儿的”因数个数打上引号，是因为下面要说的就是它们。 用这3个数“1”、“2”、“3”列两个算式： 13＋23＋33＝1＋8＋27＝36， (1＋2＋3)2＝36， 于是，13＋23＋33＝(1＋2＋3)2。 你看，形式上跟“求连续自然数立方和的公式”一模一样。这就是刘维尔的绝妙发现。 再比如，自然数6，它有1、2、3、6这4个因数。这4个因数又有各自的因数： 1有1这“1”个因数； 2有1、2这“2”个因数； 3有1、3这“2”个因数； 6有1、2、3、6这“4”个因数。 用这4个数“1”、“2”、“2”、“4”列两个算式： 　　13＋23＋23＋43＝1＋8＋8＋64＝81， 　　(1＋2＋2＋4)2＝92＝81， 　　于是，13＋23＋23＋43＝(1＋2＋2＋4)2。 再次验证了刘维尔的发现。 再比如，自然数24，它有1、2、3、4、6、8、12、24这8个因数。这8个因数又有各自的因数： 1有1这“1”个因数； 2有1、2这“2”个因数； 3有1、3这“2”个因数； 4有1、2、4这“3”个因数； 6有1、2、3、6这“4”个因数； 8有1、2、4、8这“4”个因数； 12有1、2、3、4、6、12这“6”个因数； 24有1、2、3、4、6、8、12、24这“8”个因数。 用这8个数“1”、“2”、“2”、“3”、“4”、“4”、“6”、“8”列两个算式： 13＋23＋23＋33＋43＋43＋63＋83＝1＋8＋8＋27＋64＋64＋216＋512＝900， (1＋2＋2＋3＋4＋4＋6＋8)2＝302＝900， 于是，13＋23＋23＋33＋43＋43＋63＋83＝(1＋2＋2＋3＋4＋4＋6＋8)2。 又一次验证了刘维尔的发现。 自然数里的奥秘实在是太多了，往往会给人带来绝对意想不到的惊喜。刘维尔的发现触及这个神秘世界的深处。这件事再次向人们展示：人的认识能力是无限的。关键要看你有没有兴趣，有没有毅力，当然也少不了命运之神对你的眷顾。