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2007 年中华人民共和国普通高等学校
联合招收华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试
数 学
本试卷共 10 页,满分 150 分,考试用时 120 分钟.
三 题
号
一 二
2
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
6
2
7
总
分
考生注意:这份试卷共三个大题,所有考生做第一、二题,在第三(21、22、23)题中任选两题;报考理
工农医类的考生做第三(24、25)题,报考文史类的考生做第三(26、27)题.
一、选择题:本大题共 12 小题;每小题 5 分,共 60 分.在每小题给
出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母
填在题后括号内.
(1)设集合 { }2| 2 0M x x x= − − < { }2, | 2 0 ,N x x x= + − < 则M N∩ = ( )
(A) 2{ | 2 0}x x x+ − < (B) 2{ |x x -1<0}
(C) 2{ |x x —4<0} (D) 2{ | 2}x x x− −
(2)若 2 ,aπ π≤ ≤ 且 sin sin 3 0,a a < 则a满足( )
(A) 4
3
aπ π< < (B) 5 2
3
aπ π< <
(C) 4 5
3 3
aπ π< < (D) 4
3
aπ π< < 或 5 2
3
aπ π< <
(3)已知平面向量 ( 2, )a x= − 与向量 ( 3,2)b = − 垂直,则 ( )
得 分 评卷人
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(A)3 (B)2 (C) -2 (D) -3
(4) 复数
2
2
(1 3 )
( 3 )
iz
i
−= + 的虚部是
(A) 0 (B) -i (C) i (D) -1
(5) 等差数列{ }na 的前 n项和为 nS ,公差为 2,则 2lim nx
n
S
a→∞
=
(A) 1
4
(B) 1
2
(C)1 (D)2
(6)若函数 1xy e= − 的图像按向量 a=(1,1)平移后,与 (f x)的反函数图像重合,
则函数 (f x)=( )
(A) ln 1x + (B) ln( 1)x + (C) ln 1x − (D) ln( 1)x −
(7)设 x、y 满足的约束条件
2 6
2
0, 0
x y
y
x y
+ ≤⎧⎪ ≤⎨⎪ ≥ ≥⎩
则目标函数 z x y= + 的最大值( )
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
(8)圆 2 2 2 2 4x y mx ny+ − − = − 与圆 2 2 1x y+ = 相切,则 2 2m n+ 的值是( )
(A) 5
2
(B) 9
4
(C)4 (D) 25
4
(9)用 0、1、2、3、4 组成没有重复数字的 5 位数,其中的奇数共有( )
(A)60 个 (B)48 个 (C)36 个 (D)24 个
(10)对于直线 ,m n和平面 ,α β ,m α⊥ 的一个充分条件是 ( )
(A) , ,m n n β β α⊥ ⊥ ⊥ (B) , ,m n nβ β α⊥ ⊥ ⊥
(C) , //m n n α⊥ (D) / / ,m β β α⊥
(11)如图所示,椭圆中心在坐标原点,F 为左焦点,B
为左顶点,A,C 为短轴端点,已知CF AB⊥ ,椭圆的离心
率为 ( )
(A) 3 5
2
+ (B) 5 1
2
+
(C) 5 1
2
− (D) 3 5
2
−
B
D
F
C
B
D
F
C
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(12) 已知 ( )f x 是 R 上的可导函数,下列陈述中正确的是
(A)若 '( )f x 是偶函数则 ( )f x 是偶函数 (B)若 '( )f x 是偶函数则 ( )f x 是奇函数
(C)若 '( )f x 是奇函数则 ( )f x 是奇函数 (D)若 '( )f x 是奇函数则 ( )f x 是偶函数
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二.填空题,本大题共 8 小题 4 分,共 32 分.把
填在题中的的
横线上.
(13)二项式 61( )
2
x
x
+ 展开式中的常数项是__________.
(14)空间向量 ( , , )a b cα = ,若 | | 1α = ,则 a b c+ + 的最大值是__________.
(15)在空间直角坐标系o xyz− 中,若原点到平面3 2 1x y az− + = 的距离是 1
7
,则 a的值为
________.
(16)设直线的 l斜率为 k,在 y轴上的截距为 b ( 0)b ≠ ,若以原点为极点,以 x轴正方向为
极轴,则 l的极坐标方程为 _______ρ = .
(17)等比数列{ }na 的前 n项和为 nS ,已知 1 2 18a a+ = , 3 4 2a a+ = 则 lim nx S→∞ _______.
(18) 函数 3 23 3y x ax bx= + + 在区间[-1 , 1]单调减少,且 0a > ,则 2a b+ 的最大值为_______.
(19) 若以 2 5 6x x− + 除多项式 ( )f x 得余式 2 5x − ,则 (3) _____f = .
(20) 若 ABCΔ 的内角 A,B 所对的边分别是 ,a b,已知 cos cos 2,b A a B+ = , 1a b− = ,且 60C °∠ =
则 _____a = .
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三.解答题:在 21、22、23 题三个题目中人选两题作答,在第 24、25、26、27 这四个题目
中按考生报考专业的类别完成两题.
(21) (本题满分 14 分)
设函数 3 2( ) 3f x x x ax b= + + + ,实数 ,a b是常数.
(I)若曲线 ( )y f x= 的任意切线斜率都不小于 2− ,则 ,a b的取值范围如何?
(II)证明曲线 ( )y f x= 是中心对称图形;并求出对称中心的坐标.
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(22)(本题满分 14 分)
设 1( ) 1 2 (0 )
2
f x x x x= − < < ,证明 1( ) ( )
2
xf x f −≤
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(23)(本题满分 14 分)
如图,在四面体 ABCD中,已知 8,AB CD= = 10,AD BC= = 12,AC BD= =
, , ,E F G H 分别是 , , ,AB CD AC BD的中点.
(I)求EF的长
(II)证明 ,EF GH 互相垂直平分
得 分 评卷人
E
D
G
H
F
C
A
B
E
D
G
H
F
C
A
E
D
G
H
F
C
A
E
D
G
H
F
C
A
B
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(24)(本题满分 15 分,文史类考生不做)
对某种产品的抽检
如下:从每批 10 件产品中随机抽取 2 件,逐一检查,如果未发现
次品,则该产品抽检通过,现有一批 10 件产品,
(I)若其中有 1 件次品,求该批产品通过抽检的概率;
(II)若该批产品通过抽检的概率不低于 50%,其中次品最多有几件?
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(25)(本题满分 15 分.文史类考生不做)
设抛物线 2 2y px= 与过焦点 F 、斜率为 k的直线交于 ,( ), ( , )A A B BA x y B x y 两点,且
0, 0Ap y> <
(I)用 p和 k
示 AOBΔ 的面积;
(II)证明 2
4 1tan 1
3
BOA
k
∠ = − +
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B
A
F
B
A
F
B
A
F
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(26)(本题满分 15 分,理工农医类考生不做)
对某种产品的抽检规则如下:从一批 10 件产品中随机抽取 2 件,逐一检查,如果未发现
次品,则该批产品抽检通过,现有一批 10 件产品,
(I)若其中有 1 件次品,求该产品通过抽检的概率
(II)若该批产品通过抽检的概率为 1
3
,其中次品有几件?
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(27)(本题满分 15 分,报考理工农医类类考生不做)
设抛物线 2 4y x= 与过焦点F 、斜率为 k的直线交于 ,( ), ( , )A A B BA x y B x y 两点,且 0Ay <
(I)用 k表示 AOBΔ 的面积;
(II)证明 2
4 1tan 1
3
BOA
k
∠ = − + .
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B
A
F