金融数学简介

null金融数学简介金融数学简介理学院 统计与金融数学系 陈萍 Prob123@mail.njust.edu.cnnull参考书 [1] 叶中行，林建忠，数理金融，科学出版社， 1998 [2] 张尧庭 金融市场的统计分析 [3]Jnhn, 期权，期货和其它衍生产品, ，华夏 出版社，1999 [4] 王燕，应用时间序列分析，中国人民大学出 版社,2001引言引言 金融数学是数学与金融学的交叉。它是在两次华尔街革命的基础上产生和发展起来的，其核心问是不确定环境下的最优投资策略的选择理论、资产的定价理论及金融风险控制理论。今天我们将简述金融数学的主要内容，并展望其进一步发展的前沿课题及前景。 简单地说，金融数学就是用数学的方法解决金融问题。在金融数学的发展史上，一些诺贝尔经济学奖的获奖工作，对金融数学的研究起着决定性的作用。可以说，金融数学的主流研究方向就是以这些获奖工作为基础的。诺贝尔经济奖简介（1） 1990年诺贝尔经济奖授予H.Markowitz，W.Sharpe 和M.Miller，奖励他们在金融经济学中的先驱工作—— H.Markowitz 的投资组合理论、 W.Sharpe的 资本资产定价理论 M.Miller 的公司财务理论。诺贝尔经济奖简介（1）注nullH.Markowitz 在《资产组合选择》一文中，第一次从风险资产的收益率和风险之间的关系出发，讨论了不确定经济环境中最优资产组合的选择问题。 其主要成就是将大量的不同资产的投资组合选择的复杂的多维问题，简化为平衡两个因素，即投资组合的期望回报及其方差，最终化为一个概念清晰的、简单的二次规划问题，即均值－方差分析；并且给出了最优投资组合问题的实际计算方法。nullW.Sharpe 的资本资产定价理论，在较强的市场假设下，给出了Markowitz 均值方差模型的均衡版本，即资本资产定价模型。（CAPM）[2] 其主要贡献是在有价证券理论方面对不确定条件下金融决策的分析，以及资本市场理论方面关于以不确定性为特征的金融市场的实证性均衡理论。马克维茨的分析方法进一步发展为著名的"资本资产定价模型"，用来说明在金融市场上如何建立反映风险和潜在收益有价证券价格。诺贝尔经济奖简介（2） 1997年诺贝尔经济奖授予R.Merton和M.Schole, 以奖励他们和F.Black在确定衍生证券价值方法方面的贡献，也就是关于期权定价的著名的Black-Sholes公式。诺贝尔经济奖简介（2）null 1973年，M.Scholes与已故的经济学家F.Black发表《期权定价和公司债务》一文，给出了期权定价的Black-Sholes公式。指出期权价格仅依赖于股票价格的波动量、无风险利率、期权到期时间、执行价格、股票时价. 其主要贡献是提出用标的股票和无风险资产构造的投资组合的收益来复制期权的收益。这一复制法则的重要性在于，它告诉人们可以利用已存在的证券来复制符合于某种投资目的的新的证券品种，这成为金融机构设计新的金融产品的思想方法。注null1973年R.Merton在《经济和管理科学杂志》上发表了《理性期权定价理论的文章》 ，对Black-Sholes公式的假定条件做了进一步削弱，在许多重要方面都对Black-Sholes的研究做了推广． Merton对Black-Sholes原用的分析方法进行了改进，以股价变动的跳跃过程而不是扩散过程为出发点，也就是认为股价变动是不连续的，可以从一个价格跳到另一个价格而不经历其间的价格．这样推导出的公式更加现实．诺贝尔经济奖简介（3）2003年度诺贝尔经济学奖授予 Robert F.Engle和 Clive Granger。 令Engle 摘取桂冠的是他于1982年提出的ARCH模型。 Granger 因为时间序列的协整分析方法而获奖,他的贡献将用于研究财富与消费、汇率与物价水平、以及短期与长期利率之间的关系。诺贝尔经济奖简介（3）null 对收益率的建模研究一直在计量经济学中占据很重要的位置。显然对于一阶矩的刻画是比较容易的,所以人们将注意力都放在了对二阶矩的建模上,也就是对收益率波动的计量建模。为了寻求对股票市场价格波动行为更为准确的描述和分析方法,许多金融学家尝试了不同的模型。其中, Engle于1982年提出的ARCH模型,被认为是最集中反映了方差变化特点而被广泛应用于金融数据时间序列分析的模型。起初恩格尔提出ARCH 模型是用来分析英国通货膨胀, 但后来它在验证金融市场有效性, 资产定价、债务、利率、汇率、银行风险评估等方面均得到广泛的运用。null20世纪70年代以前计量经济学的建模方法都是以经济变量平稳这一假设条件为基础。但在实际中,许多经济指标的时间序列都是非平稳的,并不具有固定的期望值,并且呈现出明显的趋势性和周期性。经济变量表现出的非平稳性使传统建模遇到了前所未有的困难。格兰杰注意到某些经济变量之间似乎不会存在任何均衡关系,但若干个非平稳经济时间序列的某种线性组合却有可能是平稳序列。提出了协整的概念及其方法。所谓协整,是指多个非平稳经济变量的某种线性组合是平稳的。目前,协整分析已成为处理非平稳金融、经济变量相依关系的行之有效的方法。 本文主要介绍本文主要介绍金融市场,期货与套期保值 投资组合理论 衍生证券的定价理论 二杈树模型 Black-Sholes模型 金融时间序列分析简介 ARCH模型及其应用 时间序列的协整分析1.金融市场,期货与套期保值1.金融市场,期货与套期保值金融市场是指以金融资产为交易对象而形成的供求关系及其机制的总和. 这里金融资产是指一切代表未来收益或资产合法要求权的凭证,亦称金融工具或证券.(如债券,存单,股票,各种权证等) 金融市场可从多个角度进行分类,如: 按标的物划分为货币市场、资本市场、外汇市场和黄金市场; 按中介特征划分为直接金融市场与间接金融市场; 按交割方式划分为现货市场与衍生市场等.衍生产品衍生产品衍生产品（derivative security,也称衍生证券，衍生工具）是一种金融工具(financial instrument ，其价值依附于其它更基本的标的（ underlying）变量。 典型的衍生产品有： 远期（Forward ），期货（Futures） ， 互换（Swaps） ，期权（ Options）。 null … 期货和约: 期货合约指由期货交易所统一制订的、规定在将来某一特定的时间和地点交割一定数量和质量实物商品或金融商品的化合约。 期货交易，是指交易双方在期货交易所买卖期货合约的交易行为。 　期货交易是在现货交易基础上 发展起来的、通过在期货交易所内成交标准化期货合约的一种新型交易方式。 null 买入期货称“买空”或称“多头”，亦即多头交易; 卖出期货称“卖空”或称“空头”，亦即空头交易。 　　开始买入期货合约或卖出期货合约的交易行为称为“开仓”,交易者手中持有合约称为“持仓”，交易者了结手中的合约进行反向交易的行为称“平仓”或“对冲”。 如果到了交割月份，交易者手中的合约仍未对冲，那么，持空头合约者就要备好实货准备提出交割，持多头合约者就要备好资金准备接受实物。 一般情况下，大多数合约都在到期前以对冲方式了结，只有极少数要进行实货交割。 null商品期货交易的特点: 　　一、 以小博大：只需交纳 2-20% 的履约保证金就可控制 100% 的虚拟资金。 　　二、 交易便利：由于期货合约中主要因素如商品质量、交货地点等都已标准化，合约的互换性和流通性较高。 　　三、 信息公开，交易效率高：期货交易通过公开竞价的方式使交易者在平等的条件下公平竞争。同时，期货交易有固定的场所、程序和规则，运作高效。 　　四、 期货交易可以双向操作，简便、灵活：交纳保证金後即可买进或卖出期货合约，且只需用少数几个指令在数秒或数分钟内即可达成交易。当行情处于有利价位时再以相反的方向平仓或补仓出场。 　　五、 合约的履约有保证：期货交易达成后，须通过结算部门结算、确认，无须担心交易的履约问题。 ---保证金制度，盯市. （以下举例说明）null 假定某投资者于2007年6月3日（星期一）打算购买两张纽约商品交易所（COMEX）2007年12月份的黄金期货合约（合约的规模为100盎司） 。设当前的期货价格为每盎司黄金$400. 经纪人将要求投资者将保证金存在保证金（margin account)帐户中. 投资者在最初开仓交易时必须存入的资金量被称为初始保证金(initial margin). 数量由经济人决定。（这里假定为每一合约$2000.） 在每天交易结束时，保证金帐户要进行调整，以反映该投资者的盈亏。这就是所谓的盯市(marking to market)操作。null注 投资者有权提走保证金帐户中超过初始保证金的那部分资金。为了确保保证金帐户在任何情况下都不会为负，设置了维持保证金(maintenance margin)，数额通常低于初始保证金。（这里假定为每一合约$1500.） 如果保证金帐户的余额低于维持保证金，投资者就会收到保证金催付(margin call)，要求在指定期限内将保证金帐户内的资金补足到初始保证金的水平。这一追加的资金称为变动保证金（variation margin). 如果投资者不能提供变动保证金，经济人将出售该和约来平仓。null期货的套期保值 期货的套期保值 一．套期保值的基本原理 　　期货套期保值是指把期货市场当作转移价格风险的场所，利用期货合约作为将来在现货市场上买卖商品的临时替代物，对其现在买进准备以后售出商品或对将来需要买进商品的价格进行保险的交易活动。 …二．套期保值的方法 二．套期保值的方法 　　1. 生产者的卖期保值： 企业作为社会商品的供应者，为保证其生产出来将要向市场出售商品的合理的经济利润，以防止正式出售时价格的可能下跌而遭受损失，可采用卖期保值的交易方式来减小价格风险。 　　2. 经营者卖期保值：对于经营者来说，他所面临的市场风险是商品收购后尚未转售出去时，商品价格下跌.为回避此类市场风险，经营者可采用卖期保值方式来进行价格保险。 　　3. 加工者的综合套期保值：对于加工者来说，市场风险来自买和卖两个方面。他既担心原材料价格上涨，又担心成品价格下跌。他可以利用期货市场进行综合套期保值，即对购进的原材料进行买期保值，对其产品进行卖期保值。 国外相关期货交易所 国外相关期货交易所 美国芝加哥期货交易所(CBOT) 美国芝加哥商品交易所(CME) 伦敦国际金融期货及期权交易所(LIFFE) 英国伦敦金属交易所(LME) 德国期货交易所(RE) 法国期货期权交易所(MATIF) 日本东京谷物交易所(TGE) 香港期货交易所(HKFE)null参考文献 [1] 期货公司保证金水平的定量设置与动态调整 [2] 期货交易与实物交割关系实证研究与交易头寸控制模型 [3] 期货价格收益率与波动性的实证研究 [4] 无偏估计--价格发现与期货市场效率--期货与现货价格关系2.投资组合理论简介2.投资组合理论简介 在投资活动中，人们发现，投资者手中持有多种不同风险的证券，可以减轻风险带来的损失，对于投资若干种不同风险与收益的证券形成的证券组称为证券投资组合。 证券投资组合的原则是，组合期望收益愈大愈好，组合标准差愈小愈好，但在同一证券市场中，一般情形是一种证券的平均收益越大，风险也越大，因而最优投资组合应为一个条件极值问题的解，即对一定的期望收益率，选择资产组合使其总风险最小。nullMarkowitz 提出的证券组合均值方差问题，是证券组合理论的基本问题，可描述为有约束的线性规划问题解上述问题可得最优资产组合w*的表达式，且最优资产组合的方差为其中注null在方差-均值坐标系下，它是抛物线。注null可证：任一最小方差资产组合wp都可唯一地表示为其中称为全局最小方差资产组合。称为全局可分散化资产组合。这就是著名的两基金分离定理。注两基金分离定理说明,所有可以考虑的投资组合wp组成的空间不会超过2维.null上述结论还可推广到具有无风险资产的均值-方差模型，此时模型为最小方差资产组合的方差为在均方差-均值坐标系下，它是公共交点为（0，r）的两条射线，其斜率为null两基金分离定理的表现形式为：所有最小方差资产组合都是无风险资产和不含任何无风险资产的所谓“切点”资产组合的组合。3.资本资产定价模型3.资本资产定价模型资本资产定价模型（CAPM）是在理想的资本市场中,根据两基金分离定理建立的。它的基本结论是 …假设市场上可以获得无风险资产，当市场达到均衡时，任意资产的超额收益率与风险资产的市场资产组合超额收益率成正比，即有关系式其中称为资产X的市场beta系数, 表示资产X所面临的风险系数。注nullXM为市场资产组合——设市场上有n种风险资产，一种无风险资产。每种资产的价格为pi，i=0,1,…,n, 如果市场上有K位投资者，且在某一时刻，第k位投资者持有第i种资产的数量为Nik，若记则称为该时刻的投资者市场资产组合。可以证明，当市场达到均衡时，切点资产组合wt就是市场资产组合。注nullCAPM在资产定价中的应用一 证券市场线 对任意风险资产的投资组合Xx，由点 所形成的轨迹称为证券市场线。…注null二 资产定价公式CAPM可以用于确定未来价值的概率分布已知的风险资产在当前的价值。 设市场上第j种资产期终风险收益为Pe，当前价格为P0，其收益率可证其中参考文献参考文献[1] 均值方差模型对中小股民的借鉴作用 [2] 不同借贷利率的投资组合的有效前沿 [3] CAPM在上海股票市场的实证研究 [4] 套利定价理论及实例 [5] 套利定价理论下的政券组合投资 [6] 套利定价理论的实证研究3. 衍生证券的定价理论 一. 二杈树模型3. 衍生证券的定价理论 一. 二杈树模型 二杈树模型是金融衍生证券定价问题中常用的一种股票价格模型。考虑这种模型有以下2个原因。 1。该模型构造简单，且是实际模型的一种很好的逼近 2。可通过这种简单的模型阐明金融中的重要概念——套期保值，风险中性测度等。无套利假设是所有研究的前提——称某个市场有套利机会，如果存在一种投资组合，使资产值Yt满足Y0=0,注null考虑简单欧式看涨期权的定价问题：以敲定价K>0于时刻1兑现，期权持有者的收益为 V0=?注null设期权价格V0,若将价值V0的资产在市场投资，在0时刻购买0 股股票，剩余的资金（可能是负的）存（借贷）款，则到1时刻资金价值为，这一价值应该与期权在1时刻的价值相等，即解上述联立方程可得*注null称为套期保值比。注意若取则*式可形式地写作称为风险中性概率测度（或等价鞅测度）。欧式期权的定价可以简洁地表示成“风险中性测度下，期权到期价值的数学期望”。null多期二杈树模型…,…期权价值注二. Black-Sholes模型二. Black-Sholes模型 当考虑股票价格随时间连续变动情形时，Black-Scholes给出了市场的如下描述： 仅考虑一个简单的证券市场。市场中仅有一种债券和一种股票。设债券在t时刻的价格P0(t)，股票在t时刻的价格P(t).满足方程：null 考虑T时刻到期的欧式期权，假定到期时，期权的内在价值为V(T)=g(P(T));设V(t,x)表示在t时刻股票价格为x时，期权的价值, 利用Ito公式可得到如下Black-Scholes方程(5.2)终端条件解偏微分方程(5.2) 可得欧式看涨期权的价格为式中Black-Scholes公式三. 衍生证券定价问题的进一步研究方向三. 衍生证券定价问题的进一步研究方向放宽理想市场假设（如有卖空限制，交易费等） 对新型衍生证券进行定价 模型改进（如随机利率，随机波动率，跳过程等） 不完备市场模型 四. 期权定价技术的应用 四. 期权定价技术的应用 期权定价理论虽然源于对金融期权的估值，但其主旨为降低不确定性所必须付出的成本问题，而不确定性是所有经济活动的本质特征。这决定了期权定价技术(以下简称0PT)的应用绝不仅仅局限于对以金融资产为标的资产的期权。许多现实问题在分析的过程中常常可以把核心问题归结为期权定价问题来处理，即归结为确定期权价值的5个因素：执行价格、现货价格、到期时间、波动率和无风险利率的分析计算。注null目前期权定价理论主要应用于 1．金融衍生证券的定价 2．保险的定价 3．政府政策与行为 4．个人／家庭决策 5．投资决策 参考文献参考文献[1] 障碍期权定价 [2] 有交易成本的期权定价研究 [3] 几何平均亚式期权的定价方法 [4] CEV过程下回顾期权的定价研究 [5] 期货期权的多维Black-scholes模型4. 金融时间序列简介4. 金融时间序列简介 按照时间的顺序把随机事件变化发展的过程记录下来就构成了一个时间序列。 时间序列分析就是对时间序列进行观察、研究，寻找出序列值之间相关关系的统计规律，并拟合出适当的数学模型来描述这种规律，进而利用这个拟合模型预测序列未来的走势。 典型的时间序列模型有：AR模型,MA模型,ARMA模型，ARIMA模型， ARCH模型,GARCH模型等。一. ARIMA序列ARIMA序列建模一般有如下几个步骤：1. 数据预处理—通过差分消除趋势项与周期项，得到平稳的差分序列；（平稳性检验，白噪声检验） 2. 对平稳的非白噪声序列拟合ARMA模型 1）利用样本自相关系数（ACF）和样本偏相关系数（PACF）选择模型及阶数； 2）估计模型中的未知参数； 3. 对残差序列进行检验，确定模型的有效性； 4. 利用拟合模型，预测序列的将来走势。一. ARIMA序列null使用ARIMA模型拟合非平稳时间序列时，对残差有一个重要的假定，即残差序列{εt}为零均值白噪声序列。换言之， {εt}要满足如下三个条件：方差齐性：如果方差齐性不满足，即 这种情况被称为异方差。忽视异方差会导致残差的方差被严重低估，继而参数显著性检验容易犯纳伪错误，这使得参数的显著性检验失去意义。 为解决异方差的问题，Engle 提出了ARCH模型。二. ARCH模型及其应用设随机序列{Yt}满足其中 为弱白噪声，满足鞅差条件且设其中 为强白噪声。(6.1)(6.2)考虑Engle最初的ARCH(1)模型二. ARCH模型及其应用null(6.3)给出了模型的预测公式，(6.4)则表明模型具有时变性的波动率。 实证分析表明时变性波动率更能描述真实的股票行情变化，反映外部冲击对股市造成的影响，便于进行风险评价。由(6.1)-(6.2)式易得，过程相邻时刻的条件均值与方差分别为(6.3)(6.4)三. 广义ARCH模型 ARCH(q)模型（Engle 1982) GARCH(p,q)模型(Bollerslev 1986)三. 广义ARCH模型GARCH模型拟合步骤 GARCH-M 模型(Engle, Lilien, Robbins 1987)满足GARCH模型注1. 回归拟合 2. 残差自相关性检验 3. 异方差自相关性检验 4. ARCH模型定阶 5. 参数估计 6. 正态性检验GARCH模型拟合步骤null参考文献 [2] Engle Robert F. Autoregression conditional heteroskedasticity with estimates of the variance of U.K.inflation, Econometrica,1982,50(4):987_1008 [3] Christain G ARCH Models and Financial Applications Springer,1997 [4] T. Bollerslev. Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity, Journal of Econometrics 31, 307- 327, (1986).四. 时间序列的协整分析四. 时间序列的协整分析 传统的多元时间序列分析要求所研究的每个序列都是平稳的，这非常苛刻，严重限制了多元时间序列的运用和发展。1987年Granger提出了协整（cointegration)的概念。在协整理论下，并不要求响应序列和输入序列自身平稳，只要求它们的回归残差序列平稳。 协整概念的提出大大拓宽了多元时间序列分析的研究领域，协整分析成为处理非平稳时间序列相依关系的行之有效的方法。协整的概念协整的概念假定自变量序列为 ，响应变量序列为 ，构造回归模型 假定回归残差序列 平稳，我们称响应序列 与自变量序列 之间具有协整关系。 协整检验协整检验假设条件 原假设：多元非平稳序列之间不存在协整关系 备择假设：多元非平稳序列之间存在协整关系 检验步骤 建立响应序列与输入序列之间的回归模型 对回归残差序列进行平稳性检验 参考文献[1]非线性GARCH模型在股市活动预测中的应用 [2]股市波动的非线性GARCH预测模型 [3]股市波动性研究EGARCH-M模型的应用 [4]股市收益率GARCH模型族的实证研究 [5]利用回归-GARCH模型对沪深股市的分析 [6]中国小麦期货市场效率的协整检验 [7]对我国期货市场量价关系的实证分析参考文献