实验九：反应扩散方程数值求解实验

nullnull实验九： 反应扩散方程数值求解实验实验目的： 了解求解反应扩散方程的一些基本数值方 法。 了解数值方法的稳定性及其重要作用。null许多化学反应问题可化为求解下面的反应扩散方程（组）的初边值问题：其中 u 是x, y, z, t的未知函数，通常示物质的浓度或温度，d 是扩散系数，可依赖于x, y, z, u，f 是生成项，可依赖于x, y, z, t, u。null先考虑空间一维的反应扩散方程初边值问题： 我们可以先对求解区域离散化，建立其均匀 网格。设空间步长为h , 时间步长为τ，令：表示的近似计算值。（1）null记利用我们可得向前差分格式：其中null这是一个显式格式，误差为O(τ+h2)。计算过程 为：由初始条件先递推计算，再由已算出的计算如此类推，就可以算出所需要的近似值。但是，此格式是条件稳定的，当时舍入误差导致的解的误差一般不会急剧增长 （此时格式是稳定的），否则，误差可能会急剧 增长（此时格式是不稳定的） 。null例1：数值求解反应扩散方程初边值问题：取h=0.1，取τ分别为0.1,0.01,0.005,0.001, 用显式差分格式计算到t=1, 并与精确解作比较。null若数值求解问题（1）时，用，其余近似公式不变，则可得到向后差分格式：这是一个隐式格式，误差为O(τ+h2)。null计算过程为：由初始条件先计算，此时需求解满足的代数方程组，如此类推，就可以算出所需要的近似值。 此格式一般是无条件稳定的，即无论步长怎么 取，舍入误差导致的解的误差都不会急剧增长， 能被有效控制。 对于高维的反应扩散方程组的初边值问题， 可类似地推出向前和向后差分格式。解出后再通过解方程组求null例2：用向后差分格式求解反应扩散方程初边 值问题：取h=0.1，取τ分别为0.1,0.01,0.005,0.001, 计算到t=1, 并与精确解作比较。null布 置 实 验一、分别用向前和向后差分格式求解反应扩散 方程初边值问题：取h=0.1，取τ分别为0.1,0.01,0.005,0.001, 计算到t=1, 并与精确解作比较，不同步长时格式的稳定情况。