第02讲 绝对值

第二讲 绝对值 第二讲 绝对值 　　绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题． 　　下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题． 　　一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即 　　绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值． 　　结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数． 　　例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？ 　　(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜； 　　(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜； 　　(4)若｜a｜=b，则a=b； 　　(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b； 　　(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜． 　　解 (1)不对．当a，b同号或其中一个为0时成立．(2)对． 　　(3)对． 　　(4)不对．当a≥0时成立． 　　(5)不对．当b＞0时成立． 　　(6)不对．当a＋b＞0时成立． 　　例2 设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜． 　　解 由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0． 　　再根据绝对值的概念，得 ｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c． 　　于是有 　　原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c． 　　例3 已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜． 　　分析 这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号． 　　解 原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0) 　　　　　 =｜3+｜3+x｜｜ 　　　　　 =｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0) 　　　　　 =｜-x｜=-x． 　　 　　解 因为 abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0． 　　(1)当a，b，c均大于零时，原式=3； 　　(2)当a，b，c均小于零时，原式=-3； 　　(3)当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1； 　　(4)当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1． 　　 　　说明 本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用． 　　例5 若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值． 　　解 因为｜x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=-3． 　　(1)当y=2时，x+y=-1； 　　(2)当y=-2时，x+y=-5． 　　所以x+y的值为-1或-5． 　　例6 若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值． 　　解 a，b，c均为整数，则a-b，c-a也应为整数，且｜a-b｜19，｜c-a｜99为两个非负整数，和为1，所以只能是 　　 　 　｜a-b｜19=0且｜c-a｜99=1， ① 　　或 　　　　　｜a-b｜19=1且｜c-a｜99=0． ② 　　由①有a=b且c=a±1，于是｜b-c｜=｜c-a｜=1；由②有c=a且a=b±1，于是｜b-c｜=｜a-b｜=1．无论①或②都有 ｜b-c｜=1且｜a-b｜+｜c-a｜=1， 　　所以 ｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜=2． 　　 　　解 依相反数的意义有 ｜x-y+3｜=-｜x+y-1999｜． 　　因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有｜x-y+3｜=0且｜x+y-1999｜=0．即 　　由①有x-y=-3，由②有x+y=1999．②-①得 2y=2002， y=1001， 　　所以 　　例8 化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜． 　　分析 本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简｜3x+1｜，只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们 为三个部分(如图1－2所示)，即 　　这样我们就可以分类讨论化简了． 　 　 　　 　 　　　　　　原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x； 　　　 　　　　　　原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2； 　　　 　　　　　 原式=(3x+1)+(2x-1)=5x． 　　即 　　　　　　　　　 　　说明 解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”． 　　例9 已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值． 　　分析 首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者． 　　解 有三个分界点：-3，1，-1． 　　(1)当x≤-3时， y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1， 由于x≤-3，所以y=x-1≤-4，y的最大值是-4． 　　(2)当-3≤x≤-1时， y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11， 由于-3≤x≤-1，所以-4≤5x+11≤6，y的最大值是6． 　　(3)当-1≤x≤1时， y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3， 由于-1≤x≤1，所以0≤-3x+3≤6，y的最大值是6． 　　(4)当x≥1时， y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1， 由于x≥1，所以1-x≤0，y的最大值是0． 　　综上可知，当x=-1时，y取得最大值为6． 　　例10 设a＜b＜c＜d，求 ｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜ 　　的最小值． 　　分析 本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦．若能利用｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜的几何意义来解题，将显得更加简捷便利． 　　解 设a，b，c，d，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，D，X，则｜x-a｜表示线段AX之长，同理，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜分别表示线段BX，CX，DX之长．现要求｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜之和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C，D四点距离之和最小． 　　因为a＜b＜c＜d，所以A，B，C，D的排列应如图1－3所示： 　　所以当X在B，C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC，即(d-a)+(c-b)． 　　例11 若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值． 　　分析与解 要使原式对任何数x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零，即x的系数之和为零．故本题只有2x-5x+3x=0一种情况．因此必须有 ｜4-5x｜=4-5x且｜1-3x｜=3x-1． 　　 故x应满足的条件是 　　 　　此时 原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4 =7． 练习二 　　1．x是什么实数时，下列等式成立： 　　(1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜； 　　(2)｜(7x+6)(3x-5)｜=(7x+6)(3x-5)． 　　2．化简下列各式： 　 　　(2)｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜． 　　3．若a＋b＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b｜． 　　4．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y的最大值． 　　5．设T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p＜15，对于满足p≤x≤15的x来说，T的最小值是多少？ 　　6．已知a＜b，求｜x-a｜+｜x-b｜的最小值． 　　7．不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜，那么B点应为( )． 　　(1)在A，C点的右边； 　　(2)在A，C点的左边； 　　(3)在A，C点之间； 　　(4)以上三种情况都有可能．