第三节

nullnull主要内容引入带余除法第三节 整除的概念整除null二、带余除法带余除法 对于 P[x] 中任意两个多项式 f (x)与 g(x) ，其中 g(x)  0，一定有 P[x] 中的多项式q(x) , r(x) 存在，使f (x) = q(x) g(x) + r(x) (1)成立，其中  ( r(x) ) <  ( g(x) ) 或者 r(x) = 0 ，并 且这样的 q(x) , r(x) 是唯一决定的.null等式f (x) = q(x) g(x) + r(x)中 q(x) 和 r(x) 的存在性可以由前面所说的除法直接得出.下面用归纳法的语言来叙述.如果 f (x) = 0，取 q(x) = r(x) = 0 即可.以下设 f (x)  0 .令 f (x) , g(x) 的次数分别为n , m .对 f (x) 的次数 n 作(第二)数学归纳法.当 n < m 时，显然取 q(x) = 0， r(x) = f (x) ，结论成立.null下面讨论 n  m 的情形.假设当 f (x) 的次数小于 n 时， q(x) , r(x) 的存在性已证.现来看次数为n 的情形.令 axn , bxm 分别是 f (x) , g(x) 的首项，显然b -1axn - m g(x) 与 f (x) 有相同的首项，因而多项式f1(x) = f (x) - b -1axn - m g(x) 的次数小于 n 或为 0 .对于后者，取q(x) = b -1axn - m ， r(x) = 0 ；对于前者，由归纳法假设，对 f1(x) , g(x) 有nullq1(x) , r1(x) 存在使f1(x) = q1(x) g(x) + r1(x) ，其中  ( r1(x) ) <  ( g(x) ) 或者 r1(x) = 0 .于是f (x) = (q1(x) + b -1axn - m ) g(x) + r1(x) ,也就是说，有 q (x) = q1(x) + b -1axn - m ， r(x) = r1(x) 使 f (x) = q(x) g(x) + r(x) 成立.存在性得证.null下面再来证唯一性.设另有 q (x) , r (x) 使f (x) = q (x) g(x) + r (x) ，其中  ( r (x) ) <  ( g(x) ) 或者 r (x) = 0 .于是q(x) g(x) + r(x) = q (x) g(x) + r (x) ， 即( q(x) - q (x) ) g(x) = r (x) - r(x) . 如果 q(x)  q (x) ，又据假设 g(x)  0，那么r (x) - r(x)  0，null且有 ( q(x) - q (x) ) +  ( g(x) ) =  ( r (x) - r(x) ) . 但是 ( g(x) ) >  ( r (x) - r(x) ) ，所以上式不可能成立.这就证明了q(x) = q (x) ，因此 r (x) = r(x) .唯一性得征.证毕带余除法中所得的 q(x) 通常称为 g(x) 除 f (x) 的商， r(x) 通常称为 g(x) 除 f (x) 的余式.null三、整除1. 定义定义 5 数域 P 上的多项式 g(x) 称为整除f (x) ，如果有数域 P 上的多项式 h(x) 使等式f (x) = g(x) h(x) 成立.我们用“g(x) | f (x)”表示 g(x) 整除 f (x) ，null当 g(x) | f (x) 时， g(x) 就称为 f (x) 的因式，f (x) 称为 g(x) 的倍式.当 g(x)  0 时，带余除法给出了整除性的一个判别法.2. 整除的条件定理 1 对于数域 P 上的任意两个多项式 f (x) 和 g(x) ，其中 g(x)  0 ， g(x) | f (x) 的充分必要条件是 g(x) 除 f (x) 的余式为零.null证明如果 r(x) = 0，那么 f (x) = q(x) g(x) ,即 g(x) | f (x) .反过来，如果 g(x) | f (x)，那么f (x) = q(x) g(x) = q(x) g(x) + 0 ，即 r(x) = 0.证毕带余除法中 g(x) 必须不为零.但 g(x) | f (x) 中,g(x) 可以为零.这时 f (x) = g(x) h(x) = 0  h(x) = 0.null当 g(x) | f (x) 时，如 g(x)  0 ， g(x) 除 f (x) 所得的商 q(x) 有时也可用来表示.由定义还可看出，任一个多项式 f (x) 一定整除它自身，即 f (x) | f (x) ，因为 f (x) =1  f (x) ；任一多项式 f (x) 都整除零多项式 0, 因为 0=0  f (x) ;零次多项式，也就是非零常数，能整除任一个多项null式，因为当 a  0 时， f (x) = a ( a -1 f (x) ) .下面介绍整除性的几个常用的性质：2. 整除性的性质性质 1 如果 f (x) | g(x) , g(x) | f (x) , 那么 f (x) = c g(x) ,其中 c 为非零常数.null性质 2 整除的传递性如果 f (x) | g(x) , g(x) | h (x) , 那么 f (x) | h (x) . 性质 3 如果 f (x) | gi (x) , i = 1 , 2 , … , r ,那么f (x) | ( u1 (x) g1(x) + u2 (x) g2(x) + … + ur (x) gr(x) ),其中 ui (x) 是数域 P 上任意的多项式.null通常，u1 (x) g1(x) + u2 (x) g2(x) + …+ ur (x) gr(x)称为多项式 g1(x) , g2(x) , … , gr(x) 的一个组合.由以上的性质可以看出，多项式 f (x) 与它的任一个非零常数倍 c f (x) (c  0) 有相同的因式，也有相同的倍式.所以，在多项式整除性的讨论中，f (x) 常常可以用 c f (x) 来代替.最后我们指出，两个多项式之间的整除关系不因为系数域的扩大而改变.也就是说，如果 f (x), nullg(x) 是 P[x] 中两个多项式，P1 是包含 P 的一个较大的数域.当然， f (x) , g(x) 也可以看成是 P1[x]中的多项式.从带余除法可以看出，不论把 f (x) , g(x) 看成是 P[x] 中或者是 P1[x] 中的多项式，用g(x) 去除 f (x) 所得的商式及余式都是一样的.因此，如果在 P[x] 中 g(x) 不能整除 f (x)，那么在P1[x] 中， g(x) 也不能整除 f (x).null本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.