初中数学第23章旋转

第二十三章 旋 转 第二十三章 旋 转 测试1 图形的旋转 学习要求 1．通过实例认识图形的旋转变换，理解旋转的含义；通过探索它的基本特征，理解旋转变换的基本性质． 2．能按要求作出简单平面图形旋转后的图形． 课堂学习检测 一、填空题 1．在平面内，把一个图形绕着某______沿着某个方向转动______的图形变换叫做旋转．这个点O叫做______，转动的角叫做______．因此，图形的旋转是由______和______决定的． 2．如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两点叫做这个旋转的______． 3．如图，△AOB旋转到△A′OB′的位置．若∠AOA′=90°，则旋转中心是点______．旋转角是______．点A的对应点是______．线段AB的对应线段是______．∠B的对应角是______．∠BOB′=______． 3题图 4．如图，△ABC绕着点O旋转到△DEF的位置，则旋转中心是______．旋转角是______．AO=______，AB=______，∠ACB=∠______． 4题图 5．如图，正三角形ABC绕其中心O至少旋转______度，可与其自身重合． 5题图 6．一个平行四边形ABCD，如果绕其对角线的交点O旋转，至少要旋转______度，才可与其自身重合． 7．钟表的运动可以看作是一种旋转现象，那么分针匀速旋转时，它的旋转中心是钟表的旋转轴的轴心，经过45分钟旋转了______度． 8．旋转的性质是对应点到旋转中心的______相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于______；旋转前、后的图形之间的关系是______． 二、选择题 9．下图中，不是旋转对称图形的是( )． 10．有下列四个说法，其中正确说法的个数是( )． ①图形旋转时，位置保持不变的点只有旋转中心； ②图形旋转时，图形上的每一个点都绕着旋转中心旋转了相同的角度； ③图形旋转时，对应点与旋转中心的距离相等； ④图形旋转时，对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小都没有发生变化 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．如图，把菱形ABOC绕点O顺时针旋转得到菱形DFOE，则下列角中不是旋转角的为( )． A．∠BOF B．∠AOD C．∠COE D．∠COF 12．如图，若正方形DCEF旋转后能与正方形ABCD重合，则图形所在平面内可作为旋转中心的点共有( )个． A．1 B．2 C．3 D．4 13．下面各图中，哪些绕一点旋转180°后能与原来的图形重合?( )． A．①、④、⑤ B．①、③、⑤ C．②、③、⑤ D．②、④、⑤ 综合、运用、诊断 14．如图，六角星可看作是由什么“基本图形”通过怎样的旋转而得到的? 15．如图，五角星可看作是由什么“基本图形”通过怎样的旋转而得到的? 16．已知：如图，四边形ABCD及一点P． 求作：四边形A′B′C′D′，使得它是由四边形ABCD绕P点顺时针旋转150°得到的． 17．如图，已知有两个同心圆，半径OA、OB成30°角，OB与小圆交于C点，若把△ABC每次绕O点逆时针旋转30°，试画出所得的图形． 拓广、探究、思考 18．已知：如图，当半径为30cm的转动轮按顺时针方向转过120°角时，传送带上的物体A向哪个方向移动?移动的距离是多少? 19．已知：如图，F是正方形ABCD中BC边上一点，延长AB到E，使得BE=BF，试用旋转的性质说明：AF=CE且AF⊥CE． 20．已知：如图，若线段CD是由线段AB经过旋转变换得到的． 求作：旋转中心O点． 21．已知：如图，P为等边△ABC内一点，∠APB=113°，∠APC=123°，试说明：以AP、BP、CP为边长可以构成一个三角形，并确定所构成三角形的各内角的度数． 测试2 中心对称 学习要求 1．理解两个图形关于某一点中心对称的概念及其性质，能作一个图形关于某一个点的中心对称图形． 2．理解中心对称图形． 3．能熟练掌握关于原点对称的点的坐标． 4．能综合运用平移、轴对称、旋转等变换解决图形变换问题． 课堂学习检测 一、填空题 1．把一个图形绕着某一个点旋转______，如果它能够与另一个图形______，那么称这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做______，这两个图形中的对应点叫做关于中心的______． 2．关于中心对称的两个图形的性质是： (1)关于中心对称的两个图形，对称点所连______都经过______，而且被对称中心所______． (2)关于中心对称的两个图形是______． 3．把一个图形绕着某一个点旋转______，如果旋转后的图形能够与原来的图形______，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的______． 4．线段不仅是轴对称图形，而且是______图形，它的对称中心是______． 5．平行四边形是______图形，它的对称中心是____________． 6．圆不仅是轴对称图形，而且是______图形，它的对称中心是______． 7．若线段AB、CD关于点P成中心对称，则线段AB、CD的关系是______． 8．如图，若四边形ABCD与四边形CEFG成中心对称，则它们的对称中心是______，点A的对称点是______，E的对称点是______．BD∥______且BD=______．连结A，F的线段经过______，且被C点______，△ABD≌______． 8题图 9．若O点是□ABCD对角线AC、BD的交点，过O点作直线l交AD于E，交BC于F．则线段OF与OE的关系是______，梯形ABFE与梯形CDEF是______图形． 二、选择题 10．下列图形中，不是中心对称图形的是( )． A．圆 B．菱形 C．矩形 D．等边三角形 11．以下四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有( )． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 12．下列图形中，是中心对称图形的有( )． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．下列图形中，是轴对称图形而不是中心对称图形的是( )． 综合、运用、诊断 14．如图，已知四边形ABCD及点O． 求作：四边形A′B′C′D′，使得四边形A′B′C′D′与四边形ABCD关于O点中心对称． 15．已知：如图，四边形ABCD与四边形EFGH成中心对称，试画出它们的对称中心，并简要说明理由． 16．如下图，图(1)和图(2)是中心对称图形，仿照(1)和(2)，完成(3)，(4)，(5)，(6)的中心对称图形． 17．如图，有一块长方形钢板，工人师傅想把它分成面积相等的两部分，请你在图中画出作图痕迹． 18．已知：三点A(－1，1)，B(－3，2)，C(－4，－1)． (1)作出与△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出各顶点的坐标； (2)作出与△ABC关于P(1，－2)点对称的△A2B2C2，并写出各顶点的坐标． 拓广、探究、思考 19．(1)到目前为止，已研究的图形变换有哪几种?这些变换的共同性质有哪些? (2)如图，O是正六边形ABCDEF的中心，图中可由△OBC旋转得到的三角形有a个，可由△OBC平移得到的三角形有b个，可由△OBC轴对称得到的三角形有c个，试求(a＋b＋c)a＋b－c的值． 20．已知：直线l的解析式为y=2x＋3，若先作直线l关于原点的对称直线l1，再作直线l1关于y轴的对称直线l2，最后将直线l2沿y轴向上平移4个单位长度得到直线l3，试求l3的解析式． 21．如图，将给出的4张扑克牌摆成第一行的样子，然后将其中的1张牌旋转180°成第二行的样子，你能判断出被旋转过的1张牌是哪一张吗?为什么? 科学家名言 对称性原理在探索自然奥秘中所起的作用，无论怎么强调也不会过分的。因为物理学家发现，一个对称规律打破后，会出现更高一级的对称。 ——杨振宁 测试3 旋转的综合训练 一、填空题 1．如图，用等腰直角三角板画∠AOB=45°，并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线处后绕点M按逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA的夹角为______°． 1题图 2．如图，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形A′B′C′D′，则它们的公共部分的面积等于______． 2题图 3．在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为(1，0)，将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得到P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1，再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°，得点P3，则P3的坐标是______． 4．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=3，BC=5，AB=1，把线段CD绕点D逆时针旋转90°到DE位置，连结AE，则AE的长为______． 4题图 5．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD，连结DC，以DC为边作等边△DCE，B，E在C，D的同侧．若 则BE=______． 5题图 6．如图，已知D，E分别是正三角形的边BC和CA上的点，且AE=CD，AD与BE交于P，则∠BPD______°． 6题图 二、选择题 7．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )． A．等边三角形 B．菱形 C．等腰梯形 D．平行四边形 8．数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O旋转多少度后和它自身重合?甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°．以上四位同学的回答中，错误的是( )． 8题图 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△DEF为等边三角形，AB=DE，点B，C，D在x轴上，点A，E，F在y轴上，下面判断正确的是( )． A．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的 B．△DEF是△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的 C．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转60°得到的 D．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转120°得到的 10．以下图的边缘所在直线为轴将该图案向右翻折后，再绕中心旋转180°，所得到的图形是( )． 三、解答题 11．已知：如图，四边形ABCD中，∠D=60°，∠B=30°，AD=CD． 求证：BD2=AB2＋BC2． 12．已知：如图，E是正方形ABCD的边CD上任意一点，F是边AD上的点，且FB平分∠ABE． 求证：BE=AF＋CE． 13．已知：如图，在四边形ABCD中，∠B＋∠D=180°，AB=AD，E，F分别是线段BC，CD上的点，且BE＋FD=EF． 求证： 14．已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，DE、DF分别交AC于E，交BC于F，且DE⊥DF． (1)如果CA=CB，求证：AE2＋BF2=EF2； (2)如果CA＜CB，(1)中的结论还成立吗?若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 答案与提示 第二十三章 旋 转 测试1 1．一点O，一个角度，旋转中心，旋转角，旋转中心，旋转角． 2．对应点． 3．O，90°， 点， ，∠ ，∠AO ＝90°． 4．O点，∠DOA或∠FOC或∠EOB，DO，DE，∠DFE． 5．120． 6．180． 7．270． 8．距离，旋转角，全等． 9．B． 10．D． 11．D． 12．C． 13．A． 14．答案不唯一，如可看成正△ACE绕其中心旋转60°得到的． 15．可看成四边形AFOJ绕O点每次旋转72°，共旋转了四次得到的． 16．略． 17．略． 18．物体A向右平移，移动的距离是20cm． 19．△CBE可看成由△ABF按顺时针旋转90°得到的，所以△CBE≌△ABF，并且CE＝AF，AF⊥CE． 20．分两类：(1)A与C是对应点．(2)B与C是对应点，对(1)的作法： (1)连结AC，作线段AC的垂直平分线l1； (2)连结BD，作线段BD的垂直平分线l2，与l1交于O点，则O点为所求． 同理可作出(2)的O′选点． 21．提示：如图1，以C为旋转中心，将△APC绕C点逆时针旋转60°得到△BDC，易证△PCD为等边三角形，△PBD是以BP，AP(＝BD)，CP(＝PD)为三边的三角形．∠PBD＝53°，∠BPD＝64°，∠PDB＝63°． 图1 测试2 1．180°，重合，对称中心，对称点． 2．(1)线段，对称中心，平分；(2)全等图形． 3．180°，重合，对称中心． 4．中心对称，它的中点． 5．中心对称，它的两条对角线的交点． 6．中心对称，它的圆心． 7．AB＝CD且AB∥CD或AB与CD共线． 8．C点，点F，D点，EG，EG，C点，平分，△FGE． 9．OF＝OE，全等． 10．D． 11．B． 12．C． 13．C． 14．略． 15．作法：分别连结CG、BF，则它们的交点O为两四边形的对称中心．其理由是关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而CG、BF两线段不共线，所以它们的交点即为对称中心． 16．略． 17． 18．(1)A1(1，－1)、B1(3，－2)、C1(4，1)． (2)A2(3，－5)、B2(5，－6)、C2(6，－3)． 19．(1)平移变换、轴对称变换、旋转变换．一个图形经过平移、轴对称、旋转变换，它的形状和大小都不会改变．即所得的图形与原图形全等． (2)a＝5，b＝2，c＝5，(a＋b＋c)a＋b－c＝122＝144． 20．l1∶y＝2x－3， l2∶y＝－2x－3， l3∶y＝－2x＋1． 21．第2张，是中心对称图形． 测试3 1．22． 2． 3． 4． 5．1 6．60． 7．B． 8．B． 9．A． 10．A． 11．提示：如图，以BC为边向形外作等边△BCE，连结AC，AE．可证△BCD≌△ECA，AE＝BD，∠ABE＝90°，在Rt△ABE中，有AB2＋BE2＝AE2，即AB2＋BC2＝BD2． 11题图 12．提示：如图，延长EC到M，使CM＝AF，连结BM．易证△AFB≌△CMB，∠4＝∠M．又AD∥BC， ∴4＝∠2＋∠5＝∠1＋∠5＝∠3＋∠5． ∴∠M＝∠EBM． ∴BE＝EM＝AF＋CE． 12题图 13．提示：延长FD到H，使DH＝BE，易证△ABE≌△ADH．再证△AEF≌△AHF． 14．提示：如图， (1)连结CD，证△CDE≌△BDF．CE＝BF． ∵CA＝CB， ∴ AE＝CF． 在Rt△CEF中，CE2＋CF2＝EF2，∴AE2＋BF2＝EF2． (2)延长FD到M，使DM＝DF，连结AM、EM，先证△BFD≌△AMD．∴AM＝BF，∠DAM＝∠B，再证EM＝EF． 14题图