火车售餐价格问_题_数学建模

列车售餐问题 列车售餐问题 陆南风 10材成（1）班 201010340142 1 摘要：列车上的服务方处于垄断地位，有着得天独厚的优势，让食品以高出市场价售出很容易。价格越高利润自然越大，但乘客有一个承受的上限，超过这一上限，随着价格的继续提高，就会有越来越多的乘客放弃购买，相应地服务方所获得的总的利润就会随之发生变化。在本模型中，我们选供需双方为一个系统，站在供者的角度研究怎样使得售价乘需求量减成本，即,使销售效益最大化的问题 2 问题重述： 长途列车由于时间漫长，需要提供车上的一些服务。提供一天三餐是主要的服务。由于火车上各方面的成本高，因此车上食物的价格也略高。以T238次哈尔滨到广州的列车为例，每天早餐为一碗粥、一个鸡蛋及些许咸菜，价格10元；中午及晚上为盒饭，价格一律15元。由于价格偏贵，乘客一般自带食品如方便面、面包等。列车上也卖方便面及面包等食品，但价格也偏贵。如一般售价3元的方便面卖5元。当然，由于列车容量有限，因此提供的用餐量及食品是有限的，适当提高价格是正常的。但高出的价格应有一个限制，不能高得过头。假如车上有乘客1000人，其中500人有在车上买饭的要求，但车上盒饭每餐只能供给200人；另外，车上还可提供每餐100人的方便面。请你根据实际情况设计一个价格，使列车在用餐销售上效益最大。 3 问题分析： 价格增长利润增加同时导致要求购买的人数下降； 价格降低利润减小同时导致要求购买的人数上升； 存在最优的价格使得列车上的东西全都售出同时获得最大效益； 这是一个优化问题，关键在找到最优的价格。 4 问题假设： 1）​ 盒饭价格每增加1元，就会有20个人选择放弃购买 ,即b1 = 20; 2）​ 方便面价格每增加1元，就会有36个人选择放弃购买 ,即b2 = 36; 3）​ 因为500人有在车上买饭的要求，假设早餐能提供500份； 4）​ 早餐的价格每增加1元，就会有30个人选择放弃购买, 即b3 = 30; 5）​ 各餐饮市场上的价格作为这里的成本价,即q1 = 10元（盒饭），q2 = 3元（方便面），q3 =5元（早餐）； 6）​ 销量 x 依赖于价格 p, x(p)是减函数 进一步设: x ( p ) = a – bp, a, b > 0； 5 符号说明： q：以各餐饮市场上的价格作为这里的成本价，即食物的成本价； p：食物所卖的价格； a：绝对需求( p很小时的需求)，即价格最低时的购买人数； b：价格上升1元时购买人数的下降幅度（需求对价格的敏感度）； I：收入；U：利润；C：支出； x：需要购买某食物的人数； 相应的下标1，2，3分别表示早餐，盒饭，方便面;例如：x1, x2, x3分别表示购买盒饭，方便面，早餐的人数； 6 模型建立与求解： 采用先统一再分开的算法； 收入I ( p ) = px; 支出 C ( p ) = qx; 利润 U ( p ) = I ( p ) – C ( p ); 求p使U ( p ) 最大； 使利润 U(p)最大的最优价格 p*满足 U ( p ) = I ( p ) – C ( p ) = (p – q )( a – bp) = -bpp + ( a + bq)p - aq 因为 q / 2 ~ 成本的一半； b ~ 价格上升1单位时销量的下降幅度（需求对价格的敏感度）b p* a ~ 绝对需求( p很小时的需求) a p* 7 对于盒饭： 由假设可知：q1 = 10, b1 = 20；因为500人有在车上买饭的要求，但车上盒饭每餐只能供给200人；所以：a1 = 500; 购买人数x1 = 500 – 20p1; 由p* = q / 2 + a / 2 * b 可得：p* = q1 / 2 + a1 / 2 * b1 = 10 / 2 + 500 / 2 * 20 = 17.5; 由 500 – 20 * 17.5 = 150 < 200; 此时不能直接用公式； 由500 – 20p1 >= 200 得到 p1 <= 15; 所以取得最大利润时p1 = 15; 8 同理可得方便面： q2 = 3, b2 = 36；因为500人有在车上买饭的要求，但车上盒饭每餐只能供给200人，此时还剩下300人需求方便面；所以，a2 = 300, 购买人数x = 300 –36p2 ; 由p* = q / 2 + a / 2 * b 可得：p* = q2 / 2 + a2 / 2 * b2 = 3 / 2 + 300 / 2 * 36 = 6.3; 由 300 – 36 * 6.3 = 73 < 100; 此时也不能直接用公式 由 300 – 36 * p2 >= 100;得到p2 <= 5.5 由U（p）= -bpp + (a + bq)p – aq可知： 当U（p)取最大值时，p2 = 5.5; 9 同理可得早餐： q3 = 5, b3 = 30；因为500人有在车上买饭的要求，以：a1 = 500; 购买人数x1 = 500 – 30p3; 因为供应量不受约束，所以可以直接用公式： 由p* = q / 2 + a / 2 * b 可得：p* = q3 / 2 + a3 / 2 * b3 = 5 / 2 + 500 / 2 * 30 = 11.5; 所以取得最大利润时p1 = 11.5; 10 结果分析与检验: 1）盒饭、方便面、早餐的价格分别为15元、5.5元、11.5元； 1)​ 通过计算各价格都没有超出市场价格的3倍，并且能使所提供（早餐除外）的卖完.并从中获取最大的效益； 2)​ 算出的这些结果，消费者应当能够接受的； 3)​ 该模型算出的价格跟列车的实际价格相差不多，说明它是合理的； 4)​ 该模型中的建模与求解的过程已对它检验过了，深入地检验有待实践去完成； 11 模型的： 优点：由一个二次函数来解决了这个价格优化问题，从而获得了最大效益；使一个复杂多变的问题简单化了； 缺点：需求对价格的敏感度仅靠自我的经验而得出的并没有精确化，敏感度问题仅用了一次函数，这太过简单化，可能不能很好的表现出它真实的模； 改进方向： 将敏感度问题精确化，进一步的接近于现实；函数可以尝试用更高层次富于变化的； 推广新：建立数学模型必须从多方面去思考，它的最终目的是使复杂问题简单化、实际问题数学化；数学问题又生活化；但这些都有一个前提：必须要有严密的数学法则，数学理论为基础； 12 参考文献： [1] 熊伟.运筹学[M]，武汉.武汉理工大学 　 [2] 姜启源等.数学模型[M]，北京.高等教育出版社