第三章 第二节 洛必达法则

第二节 洛必达法则 在第一章中，我们曾计算过两个无穷小之比以及两个无穷大之比的未定式的极限. 在那 里，计算未定式的极限往往需要经过适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的 形式进行计算. 这种变形没有一般方法，需视具体问题而定，属于特定的方法. 本节将用导 数作为工具，给出计算未定式极限的一般方法，即洛必达法则. 本节的几个定理所给出的求 极限的方法统称为洛必达法则. 分布图示       0 0 ★ 例 1-2 ★ 例 3 ★ 例 4       ∞ ∞ ★ 例 5 ★ 例 6-7 综合应用 ★ 例 8 ★ 例 9 ★ 例 10 )0( ∞⋅ ★ 例 11 )( ∞−∞ ★ 例 12 ★ 例 13 ★ 例 14 )0( 0 ★ 例 15 ★ 例 16 )1( ∞ ★ 例 17 ★ 例 18 ★ 例 19 )( 0∞ ★ 例 20 ★ 例 21 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 3-2 内容要点 一、未定式的基本类型： 0 0 型与 ∞ ∞ 型； . )( )(lim )( )(lim xF xf xF xf axax ′ ′ = →→ . )( )(lim )( )(lim xF xf xF xf xx ′ ′ = ∞→∞→ 二、未定式的其它类型： ∞⋅0 型， ∞−∞ 型， 00 ,1,0 ∞∞ 型 （1）对于 ∞⋅0 型，可将乘积化为除的形式，即化为 0 0 或 ∞ ∞ 型的未定式来计算. （2）对于 ∞−∞ 型，可利用通分化为 0 0 型的未定式来计算. （3） 对于 00 ,1,0 ∞∞ 型，可先化以 e为底的指数函数的极限，再利用指数函数的连 续性，化为直接求指数的极限，指数的极限为 ∞⋅0 的形式，再化为 0 0 或 ∞ ∞ 型的未定式来计 算. 例题选讲 0 0 型 例 1 (E01) 求 ⋅≠ → )0(sinlim 0 k x kx x 解 原式 )( )(sinlim 0 ′ ′ = → x kx x 1 coslim 0 kxk x→ = .k= 例 2 (E02) 求 ⋅ +−− +− → 1 23lim 23 3 1 xxx xx x 解 原式 123 33lim 2 2 1 −− − = → xx x x 26 6lim 1 − = → x x x . 2 3 = 注: 上式中, 26 6lim 1 −→ x x x 已不是未定式,不能再对它应用洛必达法则. 例 3 (E03) 求 . sin 2lim 0 xx xee xx x − −− − → 解 xx xee xx x sin 2lim 0 − −− − → x ee xx x cos1 2lim 0 − −− = − → x ee xx x sin lim 0 − → − = x ee xx x cos lim 0 − → + = .2= 例 4 (E04) 求 x x x 1 arctan 2lim − +∞→ π . 解 x x x 1 arctan 2lim − +∞→ π 2 2 1 1 1 lim x x x − + − = +∞→ 2 2 1 lim x x x + = +∞→ 1= 注: 若求 n n n n ( 1 arctan 2lim − +∞→ π 为自然数）则可利用上面求出的函数极限,得 1 1 arctan 2lim = − +∞→ n n n π . 例 5 (E05) 求 . ln cotlnlim 0 x x x +→ 解 x x x ln cotlnlim 0+→ x xx x 1 ) sin 1( cot 1 lim 2 0 −⋅ = +→ xx x x cossin lim 0+→ −= xxx x xx cos 1lim cossin lim 00 ++ →→ ⋅−= .1−= 例 6 (E06) 求 )0(lnlim > +∞→ n x x nx . 解 原式 1 1 lim −+∞→ = nx nx x nx nx 1lim +∞→ = .0= 例 7 (E07) 求 ⋅ +∞→ x n x e x λlim (n为正整数, 0>λ ) 解 反复应用洛必达法则 n次，得 原式 x n x e nx λλ 1 lim − +∞→ = x n x e xnn λλ2 2)1(lim − +∞→ − = = xnx e n λλ !lim +∞→ = .0= 注：对数函数 xln 、幂函数 nx 、指数函数 )0( >λλxe 均为当 ∞→x 时的无穷大，但它们 增大的速度很不一样，其增大速度比较: 对数函数<<幂函数<<指数函数. 例 8 求 . tan tanlim 20 xx xx x − → 解 注意到 ,~tan xx 则有 xx xx x tan tanlim 20 − → 30 tanlim x xx x − = → 2 2 0 3 1seclim x x x − = → x xx x 6 tansec2lim 2 0→ = x xx xx tanlimseclim 3 1 0 2 0 →→ ⋅= x x x tanlim 3 1 0→ = . 3 1 = 注: 洛必达法则虽然是求未定式的一种有效方法, 但若能与其它求极限的方法结合使用, 效果则更好. 例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替换或重要极限时，应尽 可能应用，以使运算尽可能简捷. 例 9 (E08) 求 . )21ln()cos1( 3sin3lim 0 xx xx x +− − → 解 当 0→x 时, , 2 1~cos1 2xx− ,2~)21ln( xx− 故 )21ln()cos1( 3sin3lim 0 xx xx x +− − → 30 3sin3lim x xx x − = → 20 3 3cos33lim x x x − = → x x x 2 3sin3lim 0→ = . 2 9 = 例 10 (E09) 求 x x x x sin 1sin lim 2 0→ . 解 所求极限属于 0 0 的未定式.但分子分母分别求导数后，将化为 , cos 1cos1sin2 lim 0 x xx x x − → 此 式振荡无极限,故洛必达法则失效，不能使用.但原极限是存在的,可用下法求得: x x x x sin 1sin lim 2 0→ )1sin sin (lim 0 x x x x x ⋅= → x x x x x x sinlim 1sinlim 0 0 → →= .0 1 0 == 例 11 (E10) 求 .lim 2 x x ex− +∞→ ( ∞⋅0 型) 解 对于 )0( ∞⋅ 型，可将乘积化为除的形式，即化为 0 0 或 ∞ ∞ 型的未定式来计算. x x ex 2lim − +∞→ 2 lim x ex x +∞→ = x ex x 2 lim +∞→ = 2 lim x x e +∞→ = .+∞= 例 12 (E11) 求 )tan(seclim 2 xx x − → π . ( ∞−∞ 型) 解 对于 ∞−∞ 型，可利用通分化为 0 0 型的未定式来计算. )tan(seclim 2 xx x − → π ) cos sin cos 1(lim 2 x x xx −= → π x x x cos sin1lim 2 − = → π x x x sin coslim 2 − − = → π .0 1 0 == 例 13 求 )..(1 sin 1lim 0 ∞−∞      − → xxx 解 )1 sin 1(lim 0 xxx − → xx xx x sin sinlim 0 ⋅ − = → 20 sinlim x xx x − = → x x x 2 cos1lim 0 − = → 2 sinlim 0 x x→ = .0= 例 14 求 )].()2[(lim /1 ∞−∞−+ ∞→ xex x x 解 原式 ]1)12[(lim 1 −+= ∞→ x x e x x . x e x x x 1 1)21( lim 1 −+ = ∞→ 直接用洛必达法则，计算量较大.为此作变量替换,令 ,1 x t = 则当 ∞→t 时, ,0→t 所以 ])2[(lim 1 xex x x −+ ∞→ t et t t 1)21(lim 0 −+ = → t t et 1 )12(2lim 0 ++ = → .3= 00 ,1,0 ∞∞ 型 步骤      ∞ ∞ 0 0 1 0 ⇒ 取对数      ∞⋅ ⋅∞ ⋅ ln0 1ln 0ln0 ⇒ .0 ∞⋅ 例 15 求 .lim 0 x x x → )0( 0 解 xx x x x ex ln 00 limlim ++ →→ = xx xe lnlim 0+→= x x x e 1 lnlim 0+→ = 2 0 1 1 lim x x x e − +→ = 0e= .1= 例 16 (E12) 求 x x x tan 0 lim +→ . ( 00 型) 解 将它变形为 xxx x xex lntanlimtan 0 0lim +→= +→ 由于 x x x xxx xxx 2000 csc 1 lim cot lnlimlntanlim +→+→+→ == x x x 2 0 sinlim −= +→ .0 1 cossin2lim 0 = − = +→ xx x 故 .1lim 0tan 0 == +→ ex x x 例 17 求 )1.(lim 1 1 1 ∞− → x x x 解 x x x − → 1 1 1 lim x x x e ln 1 1 1 lim − → = x x xe −→= 1 lnlim 1 1 1 lim 1−→= x xe .1−= e 例 18 (E13) 求 .sinlim cos1 1 0 x x x x − →       ( ∞1 型) 解 x x x x cos1 1 0 )sin(lim − → x x x x e sinln cos1 1 0 lim − → = x xx xe cos1 lnsinlnlim 0 − − →= 由于 x xx x cos1 lnsinlnlim 0 − − → x x x x sin 1cot lim 0 − = → xx xxx x 20 sin sincoslim −= → 30 sincoslim x xxx x − = → 20 3 sinlim x xx x − = → . 3 1 −= 所以 .3 1 cos1 1 0 )sin(lim − − → = e x x x x 例 19 求 ( ) .coslim 0 x x x π +→ )1( ∞ 解一 利用洛必达法则. x x x π )(coslim 0+→ x xxe coslnlim 0 π +→= xx x xe 2 1 cos sinlim 0 ⋅ − +→= π .2 π − = e 解二 利用两个重要极限. x x x π )(coslim 0+→ x x x π )1cos1(lim 0 −+= +→ π⋅−⋅ − +→ −+= x x x x x 1cos 1cos 1 0 )1cos1(lim .2 π − = e 例 20 (E14) 求 x x x ln 1 0 )(cotlim +→ . ( 0∞ 型) 解 x x x ln 1 0 )(cotlim +→ x x x e ln cotln 0 lim +→ = x x xe ln cotlnlim 0+→= x xx xe 1 csctanlim 2 0 ⋅− +→ = x x xxe sincos 1lim 0 ⋅ − +→= .1−= e 例 21 求 ( ) .5lim /13 xx x xe − +∞→ )( 0∞ 解 xx x xe 13 )5(lim − +∞→ )5ln(1 3 lim xe x x x e − +∞→ = )5ln(1lim 3 xe x x xe − +∞→= 因为 )5ln(1lim 3 xe x x x − +∞→ x xe x x )5ln(lim 3 − = +∞→ )( ∞ ∞ 1 5 53 lim 3 3 xe e x x x − − = +∞→ xe e x x x 5 53lim 3 3 − − = +∞→ )( ∞ ∞ 53 33lim 3 3 −⋅ ⋅⋅ = +∞→ x x x e e x x e3 53 9lim − = +∞→ .3= 所以 .3 13 )5(lim exe xx x =− +∞→ 课堂练习 1.设 )(xf 有一阶导数, ,1)0()0( =′= ff 求 . )(ln 1)(sinlim 0 xf xf x − → 2.设 )( )(lim xg xf 是未定式极限, 如果 )( )( xg xf ′ ′ 的极限不存在且不为∞ , 是否 )( )( xg xf 的极限也一 定不存在? 举例说明. 洛必达（L’ Hospital，1661~1704）简介： 洛必达(L’Hospital)是法国数学家，1661年生于巴黎，1704年 2月 2日卒于巴黎。 洛必达生于法国贵族家庭，他拥有圣梅特候爵，昂特尔芒伯爵称号。青年时期一度任骑 兵军官，因眼睛近视自行告退，转向从事学术研究。 洛必达很早即显示出其数学的才华，15岁时就解决了帕斯卡所进出的一个摆线难题。 洛必达是莱布尼兹微积分的忠实信徒，并且是约翰.伯努利的高足，成功地解答过约。 伯努利提出的“最速降线”问题。他是法国科学院院士。 洛必达的最大功绩是撰写了世界上第一本系统的微积分教程--------《用于理解曲线的无 穷小分析》。这部著作出版于 1696年，后来多次修订再版，为在欧洲大陆，特别是在法国普 及微积分起了重要作用。这本书追随欧几里得和阿基米德古典范例，以定义和公理为出发点， 同时得益于他的老师约翰.伯努利的著作，其经过是这样的：约翰.伯努利在 1691-1692 年间 写了两篇关于微积分的短论，但未发。不久以后，他答应为年轻的洛必达讲授微积分，定 期领取薪金。作为答谢。他把自己的数学发现传授给洛必达，并允许他随时利用。于是洛必 达根据约翰.伯努利的传授和未发表的论著以及自己的学习心得，撰写了该书。 洛必达曾计划出版一本关于积分学的书，但在得悉莱布尼兹也打算撰写这样一本书时， 就放弃了自己的计划。他还写过一本关于圆锥曲线的书——《圆锥曲线分析论》。此书在他 逝世之后 16年才出版。 洛必达豁达大度，气宇不凡。由于他与当时欧洲各国主要数学家都有交往。从而成为全 欧洲传播微积分的著名人物。