高中数学所有知识点概括

列表如下： 运 算 图形语言 符号语言 坐标语言 加法与减法 + = = 记 =(x1,y1), =(x1,y2) 则 =(x1+x2,y1+y2) =（x2-x1,y2-y1） + = 实数与向量的乘积 =λ λ∈R 记 =(x,y) 则λ =(λx,λy) 两个向量的数量积 记 则 · =x1x2+y1y2 (二)运算律 加法：① (交换律); ② (结合律) 实数与向量的乘积：① ; ② ;③ 两个向量的数量积: ① · = · ; ②(λ )· = ·(λ )=λ( · );③( + )· = · + · 注：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算， 例如( ± )2= (三)运算性质及重要结论 ⑴平面向量基本定理:如果 是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任一向量 ,有且只有一对实数 ,使 ，称 为 的线性组合。 ①其中 叫做表示这一平面内所有向量的基底; ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量 的方向分解为两个向量的和,并且这种分解是唯一的. 这说明如果 且 ,那么 . ③当基底 是两个互相垂直的单位向量时,就建立了平面直角坐标系,因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础. 向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标， 即若A(x，y)，则 =（x,y）；当向量起点不在原点时，向量 坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A（x1,y1），B（x2,y2），则 =(x2-x1,y2-y1) ⑵两个向量平行的充要条件 符号语言： 坐标语言为：设非零向量 ,则 ∥ (x1,y1)=λ(x2,y2)， 即 ,或x1y2-x2y1=0, 在这里,实数λ是唯一存在的,当 与 同向时,λ>0；当 与 异向时,λ<0。|λ|= ,λ的大小由 及 的大小确定。因此,当 , 确定时，λ的符号与大小就确定了.这就是实数乘向量中λ的几何意义。 ⑶两个向量垂直的充要条件 符号语言： 坐标语言：设非零向量 ，则 ⑷两个向量数量积的重要性质： ① 即 (求线段的长度); ② (垂直的判断); ③ (求角度)。 以上结论可以(从向量角度)有效地分析有关垂直、长度、角度等问题,由此可以看到向量知识的重要价值. 注:①两向量 , 的数量积运算结果是一个数 (其中 ),这个数的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦有关. ② 叫做向量 在 方向上的投影（如图）. 数量积的几何意义是数量积 等于 的模与 在 方向上的投影的积. ③如果 , ,则 = , ∴ ,这就是平面内两点间的距离公式. 知识点七：逻辑与关联词 1．常用逻辑用语 （1）命题 命题：可以判断真假的语句叫命题； 逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词；简单命题：不含逻辑联结词的命题。复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题。 常用小写的拉丁字母p，q，r，s，……表示命题，故复合命题有三种形式：p或q；p且q；非p。 （2）复合命题的真值 “非p”形式复合命题的真假可以用下表表示： p 非p 真 假 假 真 “p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示： p q p且q 真 真 真 真 假 假 假 真 假 假 假 假 “p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示： p q P或q 真 真 真 真 假 真 假 真 真 假 假 假 注： 1°像上面表示命题真假的表叫真值表； 2°由真值表得：“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；“p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情况为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况为真； 3°真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容。 （3）四种命题 如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题； 如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题； 如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题。 两个互为逆否命题的真假是相同的，即两个互为逆否命题是等价命题.若判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其逆否命题的真假。 （4）条件 一般地，如果已知pq，那么就说：p是q的充分条件；q是p的必要条件。 可分为四类： （1）充分不必要条件，即pq,而q p； (2)必要不充分条件，即p q,而qp； (3)既充分又必要条件，即pq，又有qp； (4)既不充分也不必要条件，即p q，又有q p。 一般地，如果既有pq，又有qp，就记作：p q.“ ”叫做等价符号。p q表示pq且qp。 这时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，则p是q的充分必要条件，简称充要条件。 （5）全称命题与特称命题 这里，短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号 表示。含有全体量词的命题，叫做全称命题。 短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号 表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题。 知识点八：解三角形 (1)A+B+C=1800 ⑵任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. ⑶等边对等角: ; 大边对大角: . ⑷ 底×高= (其中 是内切圆半径) ⑸ (正弦定理) ⑹ (余弦定理) 知识点九：函数 1．函数概念 1．映射：设非空数集A，B，若对集合A中任一元素a，在集合B中有唯一元素b与之对应，则称从A到B的对应为映射，记为f：A→B，f表示对应法则，b=f(a)。若A中不同元素的象也不同，且B中每一个元素都有原象与之对应,则称从A到B的映射为一一映射。 2．函数定义：函数就是定义在非空数集A，B上的映射，此时称数集A为定义域，象集C={f(x)|x∈A}为值域。 3．函数的三要素：定义域，值域，对应法则. 从逻辑上讲，定义域，对应法则决定了值域，是两个最基本的因素。 4．函数定义域的求法：列出使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等. 注:求函数定义域是通过解关于自变量的不等式（组）来实现的。函数定义域是研究函数性质的基础和前提。函数对应法则通常表现为表格，解析式和图象。  5．函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②判别式法；③反函数法（反解法）；④换元法（代数换元法）；⑤不等式法；⑥单调函数法. 注:⑴求函数值域是函数中常见问题，在初等数学范围内，直接法的途径有单调性，基本不等式及几何意义，间接法的途径为函数与方程的思想，表现为△法，反函数法等，在高等数学范围内，用导数法求某些函数最值（极值）更加方便. ⑵常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。 1​ 函数 的值域为R; 2​ 二次函数 当 时值域是 ,当 时值域是 ]； 3​ 反比例函数 的值域为 ； 4​  指数函数 的值域为 ； 5​ 对数函数 的值域为R； 6​ 函数 的值域为[-1，1]； 7​ 函数 , 的值域为R； 2.指数函数： （ ），定义域R，值域为（ ）.⑴①当 ，指数函数： 在定义域上为增函数；②当 ，指数函数： 在定义域上为减函数.⑵当 时， 的 值越大，越靠近 轴；当 时，则相反. 3.对数函数：如果 （ ）的 次幂等于 ，就是 ，数 就叫做以 为底的 的对数，记作 （ ，负数和零没有对数）；其中 叫底数， 叫真数. ⑴对数运算： 例如： 中x＞0而 中x∈R）. ⑵ （ ）与 互为反函数. 当 时， 的 值越大，越靠近 轴；当 时，则相反. 4.幂函数 ，当 时，若 其图像在直线 的下方，若 ，其图像在直线 的上方；当 时，若 其图像在直线 的上方，当 时，若 其图像在直线 的下方。 5. 函数图像 ①y = f（x） ②y =f（x） ③y =f（x） ④y=f(x)→y=f(|x|),把ｘ轴上方的图象保留，ｘ轴下方的图象关于ｘ轴对称 ⑤y=f(x)→y=|f(x)|把ｙ轴右边的图象保留，然后将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称。（注意：它是一个偶函数） ⑥伸缩变换：y=f(x)→y=f(ωx), y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具体参照三角函数的图象变换。 注:一个重要结论：若f(a－x)＝f(a+x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称； 6．函数性质 1、函数的单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分. 对于具体的函数来说可能有单调区间，也可能没有单调区间，如果函数在区间（0，1）上为减函数，在区间（1，2）上为减函数，就不能说函数在 上为减函数. 2、单调性：研究函数的单调性应结合函数单调区间，单调区间应是定义域的子集。 判断函数单调性的方法： 1​ 定义法（作差比较和作商比较）； 2​ 图象法； 3​ 单调性的运算性质（实质上是不等式性质）； 4​ 复合函数单调性判断法则; 5​ 导数法（适用于多项式函数） 注：函数单调性是函数性质中最活跃的性质，它的运用主要体现在不等式方面，如比较大小，解抽象函数不等式等。 3.偶函数 ⑴偶函数： .设（ ）为偶函数上一点，则（ ）也是图象上一点. ⑵偶函数的判定：两个条件同时满足 1​ 定义域一定要关于 轴对称，例如： 在 上不是偶函数. 2​ 满足 ，或 ，若 时， . 4. 奇函数 ⑴奇函数： .设（ ）为奇函数上一点，则（ ）也是图象上一点. ⑵奇函数的判定：两个条件同时满足①定义域一定要关于原点对称，例如： 在 上不是奇函数.②满足 ，或 ，若 时， . 注:函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件，在利用定义判断时，应在化简解析式后进行，同时灵活运用定义域的变形，如 ， （f(x)≠0） 5．反函数 ⑴定义：只有满足 ，函数 才有反函数. 例如： 无反函数.函数 的反函数记为 ，习惯上记为 . ⑵.求反函数的步骤: ①将 看成关于 的方程,解出 ，若有两解，要注意解的选择； ②将 互换，得 ； ③写出反函数的定义域（即 的值域）。 ⑶.在同一坐标系，函数 与它的反函数 的图象关于 对称. [注]：一般地， 的反函数. 是先 的反函数，在左移三个单位. 是先左移三个单位，在 的反函数. 6函数性质之间的关系 .⑴单调函数必有反函数，但并非反函数存在时一定是单调的.因此，所有偶函数不存在反函数. ⑵如果一个函数有反函数且为奇函数，那么它的反函数也为奇函数. ⑶设函数y = f（x）定义域，值域分别为X、Y. 如果y = f（x）在X上是增（减）函数，那么反函数 在Y上一定是增（减）函数，即互为反函数的两个函数增减性相同. ⑷一般地，如果函数 有反函数，且 ，那么 . 这就是说点（ ）在函数 图象上，那么点（ ）在函数 的图象上. 注： 1.函数f(x)的反函数f-1(x)的性质与f(x)性质紧密相连，如定义域、值域互换，具有相同的单调性等，把反函数f-1(x)的问题化归为函数f(x)的问题是处理反函数问题的重要思想。 2.设函数f(x)定义域为A，值域为C，则① f-1[f(x)]=x,(xA)②f[f-1(x)]=x,(xC)