解析几何知识点

解析几何知识点 一、基本理论和基本公式 （1）​ 曲线和方程 1.曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线C和方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： 1） 曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解（纯粹性）； 2） 方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上（完备性）。 则称方程f(x,y)=0为曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x,y)=0的曲线。 2.求曲线方程的方法：. 1）直接法; 2)相关点法；3）参数法; 4）定义法；5）待定系数法. （二）基本公式 1.​ 两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式： . 若直线P1P2的斜率为k，则 . 定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段 ,其中P1(x1,y1),P2(x2,y2).则 特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。 2.​ 直线的倾斜角（0°≤ ＜180°）、斜率: 3.​ 过两点 . 当 （即直线和x轴垂直）时，直线的倾斜角 ＝ ，没有斜率 二、直线方程 （一）直线方程的几种形式： 直线名称 已知条件 直线方程 使用范围 点斜式 k存在 斜截式 k,b k存在 两点式 (x1,y1)、x2,y2） 截距式 a,b 一般式 A、B不全为0 （二）两条直线的位置关系 1.若两条直线的方程分别为 l1： y=k1x+b1；　 l2： y=k2x+b2．则 l1|| l2⇔k1=k2,且b1≠b2; l1⊥l2⇔k1•k2= -1 ; 当1+k1k2≠0时，若为l1到l2的角，则 ， 若α为l1和l2的夹角则 ， 2.如果直线l1、l2的方程分别为l1:A1x+B1y+C1=0, l2: A2x+B2y+C2=0 则l1与l2 相交的充要条件： ；交点坐标： . 平行的充要条件：l1|| l2⇔A1B2-A2B1=0,(B1C2-B2C1)2+(C1A2-C2A1)2≠0. 垂直的充要条件：l1⊥ l2⇔A1A2+B1B2=0. 重合的充要条件：l1与l2重合⇔A1B2-A2B1=B1C2-B2C1=C1A2-C2A1=0 (或 ). 若 A1A2+B1B2≠0，直线l1到直线l2的角是θ，则有tanθ= （三）直线系方程 1. 与直线：Ax+By+C= 0平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.( m∊R, C≠m). 2. 与直线：Ax+By+C= 0垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.( m∊R) 3. 过定点（x1,y1）的直线系方程是： A(x-x1)+B(y-y1)=0 (A,B不全为0) 4. 过直线l1、l2交点的直线系方程：（A1x+B1y+C1）+λ( A2x+B2y+C2）=0 (λ∊R） 注：该直线系不含l2. （四）距离 1.点P(xo,yo)到直线l：Ax+By+C= 0的距离 2.两平行线l1:Ax+By+c1=0, l2:Ax+By+c2=0间的距离公式:d= 三、圆的方程 （一）圆的定义：平面上到一定点的距离等于定长的点的轨迹。 （二）圆的方程 1. 圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2 2.一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0,(D2+E2-4F>0) 圆心坐标：（- ，- ） 半径r= （3）以(x1,y1),(x2,y2)为直径两端的圆的方程：（x-x1）(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0 （4）圆的参数方程： （ 为参数） （三）点与圆的位置关系 设圆C∶(x-a)2+(y-b)2=r2，点M(x0，y0)到圆心的距离为d，则有： (1)d＞r 点M在圆外； (2)d=r 点M在圆上； (3)d＜r 点M在圆内． （四）直线与圆的位置关系 设圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2, 直线l的方程为Ax+By+C=0.圆心(a,b)到l的距离为d; 消去y得关于x的一元二次方程判别式为△，则有： 位置关系 公共点个数 数量关系 相离 0 d>r ⊿< 0 相切 1 d=r ⊿ = 0 相交 2 d 0 （五）圆与圆的位置关系 设圆C1：(x-a)2+(y-b)2=r12和圆C2：(x-m)2+(y-n)2=r22(r1≥r2)，且设两圆圆心距为d，则有： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 数量关系 d> r1+r2 d=r1+r2 r1-r2|F1F2|)的点的轨迹 1．到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹 2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（01） 与定点和直线的距离相等的点的轨迹. 图形 方 程 标准方程 ( >0) (a>0,b>0) y2=2px 参数方程 (t为参数) 范围 ─axa，─byb |x| a，yR x0 中心 原点O（0，0） 原点O（0，0） 顶点 (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) (a,0), (─a,0) (0,0) 对称轴 x轴，y轴； 长轴长2a,短轴长2b x轴，y轴; 实轴长2a, 虚轴长2b. x轴 焦点 F1(c,0), F2(─c,0) F1(c,0), F2(─c,0) 焦距 2c （c= ） 2c （c= ） 离心率 e=1 准线 x= x= 渐近线 y=± x 焦半径 通径 2p 焦参数 P